第1課時橢圓的定義、方程與性質(zhì)橢圓的定義及其應(yīng)用1.已知兩圓C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（）A.x264－y248＝1 B.xC.x248－y264＝1 D.x解析：D設(shè)動圓的圓心M（x，y），半徑為r，圓M與圓C1：（x－4）2＋y2＝169內(nèi)切，與圓C2：（x＋4）2＋y2＝9外切.所以｜MC1｜＝13－r，｜MC2｜＝3＋r.｜MC1｜＋｜MC2｜＝16＞｜C1C2｜＝8，由橢圓的定義，M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，長軸長為16的橢圓.則a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，動圓的圓心M的軌跡方程為x264＋y2.（2024·桂林模擬）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓x24＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則｜PF2｜＝答案：2－2解析：因為點(diǎn)P在橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，又PF1⊥PF2，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝12，聯(lián)立上式可得｜PF2｜2－4｜PF2｜＋2＝0，因為｜PF1｜＞｜PF2｜，所以｜PF2｜＝2－2.3.若F1，F(xiàn)2是橢圓x29＋y27＝1的兩個焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F答案：7解析：由題意得a＝3，b＝7，c＝2，∴｜F1F2｜＝22，｜AF1｜＋｜AF2｜＝6.∵｜AF2｜2＝｜AF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜AF1｜·｜F1F2｜c(diǎn)os45°＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，∴（6－｜AF1｜）2＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，解得｜AF1｜＝72.∴△AF1F2的面積S＝12×22×72×24.設(shè)橢圓x216＋y29＝1的一個焦點(diǎn)為F，則對于橢圓上兩動點(diǎn)A，B，△答案：16解析：設(shè)F1為橢圓的另外一個焦點(diǎn)，則由橢圓的定義可得｜AF｜＋｜BF｜＋｜AB｜＝2a－｜AF1｜＋2a－｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋｜AB｜－｜BF1｜－｜AF1｜＝16＋｜AB｜－｜BF1｜－｜AF1｜，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，｜AB｜－｜BF1｜－｜AF1｜＝0，當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)不共線時，｜AB｜－｜BF1｜－｜AF1｜＜0，所以當(dāng)A，B，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，△ABF的周長取得最大值16.練后悟通橢圓定義的應(yīng)用技巧（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：判斷平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及橢圓的弦長、最值和離心率等；（2）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的關(guān)系.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（1）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1ABA.x24＋y23＝1 B.xC.x22＋y2＝1 D.x24（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1（6，1），P2（－3，－2），則該橢圓的方程為.答案：（1）A（2）x29＋y解析：（1）如圖，由橢圓的定義可知，△F1AB的周長為4a，所以4a＝8，a＝2，又離心率為12，所以c＝1，b2＝3，所以橢圓方程為x24＋（2）設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點(diǎn)，所以點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則6m＋n=1，3m+2解題技法根據(jù)條件求橢圓方程的兩種方法（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.1.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為F1（－5，0），F(xiàn)2（5，0），M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，｜MF1｜·｜MF2｜＝8，則該橢圓的方程是（）A.x27＋y22＝1 B.xC.x29＋y24＝1 D.x解析：C設(shè)｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，因為MF1⊥MF2，｜MF1｜·｜MF2｜＝8，｜F1F2｜＝25，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以（m＋n）2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因為c＝5，所以b＝a2－c2＝2.所以橢圓的方程是x2.過點(diǎn)P（3，165）且與橢圓x215＋y26答案：x225＋y解析：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），則a2－b2＝9①.又點(diǎn)P（3，165）在所求橢圓上，所以32a2＋（165）2b2＝1，即9a2＋25625b2＝1橢圓的幾何性質(zhì)考向1離心率問題【例2】（1）（2023·新高考Ⅰ卷5題）設(shè)橢圓C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝3e1，A.233 C.3 D.6（2）（2022·全國甲卷10題）橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為14A.32 B.C.12 D.答案：（1）A（2）A解析：（1）法一由題意知e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因為e2＝3e1，所以32＝3×法二代入驗證，若a＝233，則e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，（2）法一設(shè)P（m，n）（n≠0），則Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14（*）.因為點(diǎn)P在橢圓C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入（*）式，得b2a2＝14，結(jié)合法二設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為B，則直線BP與直線AQ關(guān)于y軸對稱，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.解題技法求橢圓離心率的方法（1）直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解；（2）列出含有a，b，c的齊次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程（或不等式）求解；（3）利用公式e＝1－b考向2與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題【例3】（1）已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為12，M為橢圓上一動點(diǎn)，則∠FA.π3 B.C.2π3 （2）設(shè)B是橢圓C：x25＋y2＝1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則｜PB｜的最大值為（A.52 B.C.5 D.2答案：（1）A（2）A解析：（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸頂點(diǎn)時，∠F1MF2最大，∴｜MO｜＝b，｜MF2｜＝a，｜OF2｜＝c，∴sin∠OMF2＝｜OF2｜｜MF2｜＝ca＝12，∴∠OMF2＝π6，故∠F1MF2（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則根據(jù)點(diǎn)P在橢圓x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知點(diǎn)B（0，1），所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－2y＋122.當(dāng)2y＋12＝0，即y＝－14（滿足｜y｜≤1）時，｜PB｜2取得最大值254解題技法與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題的求解策略1.若橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）A.12 B.3C.22 D.解析：C依題意可知，c＝b，又a＝b2＋c2＝2c，∴橢圓的離心率e＝2.（2021·全國乙卷11題）設(shè)B是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足｜PB｜≤2b，A.22，1C.0，22解析：C法一依題意，B（0，b），設(shè)P（acosθ，bsinθ），θ∈[0，2π），因為｜PB｜≤2b，所以對任意θ∈[0，2π），（acosθ）2＋（bsinθ－b）2≤4b2恒成立，即（a2－b2）sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0對任意θ∈[0，2π）恒成立.令sinθ＝t，t∈[－1，1]，f（t）＝（a2－b2）t2＋2b2t＋3b2－a2，則原問題轉(zhuǎn)化為對任意t∈[－1，1]，恒有f（t）≥0成立.因為f（－1）＝0，所以只需－2b22（a2－b2）≤－1即可，所以2b2≥a2法二依題意，B（0，b），設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0），則｜y0｜≤b，x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，則｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因為當(dāng)y0＝－b時，｜PB｜23.（2024·山東師大附中一模）如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x24＋y2b2＝1（b＞0）的離心率e＝12，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則答案：4解析：由題意知a＝2，因為e＝ca＝12，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故橢圓的方程為x24＋y23＝1.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），所以－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因為F（－1，0），A（2，0），所以PF＝（－1－x0，－y0），PA＝（2－x0，－y0），所以PF·PA＝x02－x0－2＋y02＝14x02－x0＋1＝14（x0－21.橢圓x210－m＋y2m－2＝1A.4 B.8C.4或8 D.12解析：C當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.2.已知橢圓C：x2a2＋y23＝1（a＞0）的一個焦點(diǎn)為點(diǎn)（1，0），則橢圓A.13 B.C.22 D.解析：B由橢圓C：x2a2＋y23＝1的一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），得a2－3＝1，解得a＝2（負(fù)值已舍去）.所以橢圓C的離心率為e＝c3.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x24＋y2B.x24＋yC.x24＋y2＝1或x2＋yD.x24＋y2＝1或x24解析：D當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，則a＝2，b＝1，此時方程為x24＋y2＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，則b＝2，a＝4，此時方程為x24＋y216＝1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2＝14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（－4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓x225＋y29＝1上，則A.34 B.C.45 D.解析：D根據(jù)題意，由橢圓的方程可得a＝5，b＝3，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－4，0）和（4，0），恰好是A、C兩點(diǎn)，則AC＝2c＝8，BC＋BA＝2a＝10.由正弦定理可得sinA＋sinCsinB＝5.（多選）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，短軸長等于2，離心率為63，過焦點(diǎn)F1作y軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（A.橢圓C的方程為y23＋x2B.橢圓C的方程為x23＋y2C.｜PQ｜＝2D.△PF2Q的周長為43解析：ACD由已知得，2b＝2，b＝1，ca＝63，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴橢圓方程為x2＋y23＝1，∴｜PQ｜＝2b2a＝23＝233，△6.寫出一個長軸長等于離心率8倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案：x24＋y23＝1（解析：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），因為長軸長等于離心率的8倍，故2a＝8ca，即a2＝4c，不妨令c＝1，則a2＝4，b2＝37.橢圓x22＋y2＝1的兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則PF1·答案：[0，1]解析：設(shè)F1為左焦點(diǎn)，則由橢圓方程得F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)P（x，y），－2≤x≤2，∴PF1＝（－1－x，－y），PF2＝（1－x，－y），則PF1·PF2＝x2＋y2－1＝8.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦點(diǎn)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，c），A到直線（1）求橢圓C的離心率；（2）若P為橢圓C上的一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為3，求橢圓C的方程.解：（1）由題意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c，因為A到直線EF2的距離為62b，即|-a－所以a＋c＝3b，即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0，因為離心率e＝ca所以2e2＋e－1＝0，解得e＝12或e＝－1（舍所以橢圓C的離心率為12（2）由（1）知離心率e＝ca＝12，即a＝2c，因為∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為3，則12｜PF1｜｜PF2｜sin60°＝3所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，又｜所以a2－c2＝3，②聯(lián)立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y9.明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖①所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖②所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖③所示，這三個橢圓盤的外輪廓均為橢圓.已知圖①、②、③中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別為139，5645，107，設(shè)圖①、②、③中橢圓的離心率分別為e1，e2，e3，則A.e1＞e3＞e2 B.e2＞e3＞e1C.e1＞e2＞e3 D.e2＞e1＞e3解析：A因為橢圓的離心率e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝1－2b2a2，所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.因為139≈1.44，5645≈1.24，10.已知橢圓C：x225＋y29＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時，△MF1F2A.3 B.2C.53 D.解析：D因為橢圓為x225＋y29＝1，所以a＝5，b＝3，c＝a2－b2＝4.當(dāng)△MF1F2的面積最大時，點(diǎn)M為橢圓C的短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則｜MF1｜＝｜MF2｜＝a＝5，｜F1F2｜＝2c＝8，｜OM｜＝b＝3，S△MF1F2＝12（｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）·r＝1211.（多選）如圖，兩個橢圓x225＋y29＝1，y225＋x29＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C，PA.P到F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0），E1（0，－4），E2（0，4）四點(diǎn)的距離之和為定值B.曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱C.曲線C所圍區(qū)域面積必小于36D.曲線C總長度不大于6π解析：BC易知F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0）分別為橢圓x225＋y29＝1的兩個焦點(diǎn)，E1（0，－4），E2（0，4）分別為橢圓y225＋x29＝1的兩個焦點(diǎn).若點(diǎn)P僅在橢圓x225＋y29＝1上，則P到F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0）兩點(diǎn)的距離之和為定值，到E1（0，－4），E2（0，4）兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A錯誤；兩個橢圓關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，則曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，故B正確；曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故C正確；曲線C所圍區(qū)域在半徑為3的圓外部12.（多選）已知橢圓C：x216＋y29＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，點(diǎn)P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，A.｜PF1｜＋｜PF2｜＝4B.存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2＝90°C.直線PA1與直線PA2的斜率之積為－9D.若△F1PF2的面積為27，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±4解析：CD由橢圓方程知a＝4，b＝3，c＝7，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，A錯誤；當(dāng)P在橢圓上、下頂點(diǎn)時，cos∠F1PF2＝2a2－4c22a2＝18＞0，即∠F1PF2的最大值小于90°，B錯誤；設(shè)P（x'，y'），則kPA1＝y(tǒng)'x'+4，kPA2＝y(tǒng)'x'-4，有kPA1·kPA2＝y(tǒng)'2x'2－16，且x'216＋y'29＝1，所以－16y'2＝9（13.（2021·浙江高考16題）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦點(diǎn)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0）.若過F1的直線和圓x－12c2＋y2＝c2相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且PF2答案：255解析：設(shè)過F1的直線與圓的切點(diǎn)為M，圓心A12c，0，則｜AM｜＝c，｜AF1｜＝32c，所以｜MF1｜＝52c，所以該直線的斜率k＝｜AM｜｜MF1｜＝c52c＝255.因為PF2⊥x軸，所以｜PF2｜＝b2a，又｜F1F2｜14.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，P為（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.解：（1）連接PF1（圖略）.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（3＋1）c，故C的離心率為e＝ca＝3－（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P（x，y）存在，且12｜y｜·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1即c｜y｜＝16，①x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4又由①知y2＝162c2，由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2（c2－所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4