2.1正弦交流電量及基本概念2.2正弦交流電的相量表示方法2.3單一參數(shù)元件的正弦交流電路2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的正弦 交流電路2.5正弦交流電路的分析與計(jì)算2.6諧振電路分析*2.7功率因數(shù)的提高2.8三相交流電路第二章正弦交流電路【本章學(xué)習(xí)要求】理論：掌握正弦交流電的三要素、單一參數(shù)元件電路中電壓與電流的相量關(guān)系、三相負(fù)載的星型聯(lián)接及中性線的作用；熟悉正弦量的相量表示法及相量模型、阻抗串并聯(lián)電路的分析計(jì)算；了解諧振電路的特點(diǎn)、三相負(fù)載的三角形聯(lián)接及特點(diǎn)。技能：會正確使用儀表測量正弦交流電流、電壓及能量。第二章正弦交流電路2.1正弦交流電量及基本概念2.1.1正弦交流電量交流電在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中有著最為廣泛的應(yīng)用。什么是交流電？它和直流電有什么區(qū)別？先看圖2-1所示的幾種電壓和電流的波形。

圖2-1幾種電壓和電流的波形從圖2-1可以看出：

(a)圖中，電壓和電流的大小與方向不隨時間變化而變化，是恒定的，統(tǒng)稱為直流電量。

(b)～(d)圖中，電壓和電流的大小與方向隨時間的變化而變化，是交變的，統(tǒng)稱為交流電量。而在圖(d)中，電壓和電流的大小與方向隨時間按正弦規(guī)律變化，故這種交流電量稱為正弦交流電，簡稱為正弦量。正弦交流電，易于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和傳輸，而且同頻率的正弦量易于計(jì)算，頻率不變，有利于工程測量。因此我們分析的交流電路一般是指正弦交流電路，除非有特別的注明。2.2正弦交流電的相量表示方法

2.1.2正弦交流電的三要素1.正弦量數(shù)學(xué)表達(dá)式一個正弦電壓量可表示為：

u=Umsin(ωt+ψu(yù))(2-1)u為瞬時值，即表示任一時刻正弦交流電壓的值，用小寫的英文字母表示。

Um為正弦量的最大值，ω為正弦量的角頻率，ψu(yù)稱為初相位，這三個物理量所確定的正弦量是唯一的，因此稱為正弦量的三要素。式（2-1）所對應(yīng)的波形圖如圖2-2所示。

(1)最大值又稱為幅值，是正弦量的最大值，用帶右下標(biāo)m的大寫字母表示，如Im、Um、Em分別表示正弦電流、正弦電壓、正弦電動勢的最大值。(2)角頻率ω

在單位時間內(nèi)正弦量所經(jīng)歷的電角度，用ω表示，其單位為弧度每秒(rad/s)。正弦交流電變化一次所需的時間，稱為周期T，其單位為秒（s），正弦量在單位時間內(nèi)變化的次數(shù)，稱為頻率f，其單位為赫[茲](Hz)。所以周期T和頻率f互為倒數(shù)。即或（2-2）我國和大多數(shù)國家都采用50Hz作為電力系統(tǒng)的供電頻率，有些國家如美國、日本等，采用60Hz，這種頻率習(xí)慣稱為工頻.

ω、T、f三者有如下關(guān)系：ω==2πf

圖2-2正弦交流電波形圖(2-3)ω、T、f都是表示正弦量變化快慢的物理量，只要知道其中一個，另外兩個量就可求得。

(3)初相位

在式（2-1）中，(ωt+ψu(yù))稱為正弦量的相位角，簡稱為相位。當(dāng)t=0時的相位角ψu(yù),稱為初相角或初相位，簡稱為初相，單位為弧度(rad)或度(0)，它表示正弦量的初始狀態(tài)。

在波形圖2-2中，正弦波從負(fù)值（負(fù)極性）到正值（正極性）的過零點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離就是初相，如果A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，初相ψu(yù)>0，如圖2-2（a）；如果A點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，初相ψu(yù)<0，如圖2-2（b）。由于正弦波周期性變化，最靠近原點(diǎn)左右兩側(cè)各有一個過零點(diǎn)，為了避免混淆，習(xí)慣上初相位ψ的取值范圍為|ψ|≤π。2.有效值交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的。交流電流的有效值是熱效應(yīng)與它相等的直流電流的數(shù)值。若某一交流電流i通過電阻R在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量，與某一直流電流I通

過同一電阻在相同的時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則稱這一直流電流的數(shù)值為該交流電流的有效值。交流電流i在T時間內(nèi)，通過R產(chǎn)生的熱量為

直流電流I在T的時間內(nèi)，通過R產(chǎn)生的熱量為Q2

=I2RT若Q1

=Q2，則有： =I2RT

可得

(2-4)式（2-4）表示的就是交流電的有效值。有效值用大寫的英文字母表示，如I、U、E分別表示交流電流、電壓、電動勢的有效值。對于正弦交流電流i=

Imsin（ωt+

i），由式（2-4）可得：(2-5)同理，交流電動勢有效值為交流電壓的有效值為

(2-7）由式（2-5）、（2-6）、（2-7）可知，正弦交流電的有效值是它最大值的1/。在交流電路中，一般所講電壓或電流的大小都是指有效值。3.相位差描述兩個同頻正弦量之間的相位關(guān)系，即兩個同頻正弦量相位之差，用φ表示。設(shè)同頻正弦電壓u和電流i，其波形圖如圖2-3所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為(2-6）

u=Umsin(ωt+ψu(yù))i=

Imsin(ωt+ψi)

則u、i的相位差為

φ

=(ωt+ψu(yù))-(ωt-ψi)=ψu(yù)-ψi(2-8)

可見，相位差亦為它們的初相位之差，與時間無關(guān)。

圖2-3電壓與電流相位差從圖2-3可看出，u和i的初相不同，它們變化的步調(diào)是不一致的，u比i先到達(dá)幅值。若φ>0，即ψu(yù)>ψi，電壓在相位上超前電流φ角，或者說電流滯后電壓φ角。若φ<0，即ψu(yù)<ψi，電壓滯后電流φ角，或者說電流超前電壓φ角度。若φ=0，即ψu(yù)=ψi，它們是同相位的，簡稱同相，如圖2-4（a）所示。若φ=π，則說明它們相位相反，簡稱反相，如圖2-4（b）所示。圖2-4兩正弦量的同相與反相例2.1已知正弦量u=220sin(314t+300)V，試求正弦量的三要素、有效值及變化周期.

解：對照式（2-1），可知三要素：最大值Um=220V

角頻率ω=314rad/s

初相角ψ=300

由式（2-7），有效值U=Um/=220/=220V

由式（2-3），周期T=2π/ω=2π/314=0.02s例2.1已知正弦量u=220sin(314t+300)V，試求正弦量的三要素、有效值及變化周期.

解：對照式（2-1），可知三要素：最大值Um=220V

角頻率ω=314rad/s

初相角ψ=300

由式（2-7），有效值U=Um/=220/=220V

由式（2-3），周期T=2π/ω=2π/314=0.02s

例2.2已知正弦電壓u和正弦電流i1、i2的瞬時表達(dá)式為u=310sin(ωt-45°)V，i1=14.1sin(ωt-30°)A，i2=28.2sin(ωt+450)A，試以電壓u為參考量重新寫出u和電流i1、i2的瞬時值表達(dá)式解：以電壓u為參考量，則電壓u的表達(dá)式為

u=310sinωtV由于i1、i2與u的相位差為

φ1=ψi1-ψu(yù)=-300-(-45°)=15°，φ2=ψi2-ψu(yù)=450-(-45°)=90°

故電流i1、i2的瞬時值表達(dá)式為

i1=14.1sin(ωt+15°)A，i2=28.2sin(ωt+900)A

若以電流i1為參考量，讀者可自己寫出電壓u、電流i2的瞬時值表達(dá)式。

2.2正弦交流電的相量表示方法相量法就是用相量來表示正弦量。相量是用復(fù)數(shù)來表示的。

2.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)的表示方法復(fù)數(shù)有多種表達(dá)形式，常見的有四種形式，現(xiàn)分述如下。(1)代數(shù)式

A=a+jb

(2-9)復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上可用矢量表示，如圖2-5所示。實(shí)部a就是在實(shí)軸上的投影，虛部b就是在虛軸上的投影，的長度稱為復(fù)數(shù)的模|A|，用r表示，即r=|A|,與實(shí)軸正方向的夾角稱為復(fù)數(shù)的幅角，用ψ表示。

圖2-5復(fù)數(shù)的矢量表示從圖2-5可知：(2-10)(2-11)(2)三角函數(shù)式A=r(cosψ+jsinψ)(2-12)(3)指數(shù)式A=

rejψ(2-13)(4)極坐標(biāo)式A=rψ(2-14)以上四種形式可利用式（2-10）、式（2-11）進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。例2.3現(xiàn)有復(fù)數(shù)A1=3+j4，A2=10450，求出它們的其他三種表達(dá)式。解：對復(fù)數(shù)A1，將代數(shù)式化為三角函數(shù)式、指數(shù)式、極坐標(biāo)式，由A1=3+j4可知a=3,b=4,由式（2-10）可得：模r1===5,

幅角ψ1

=arctan=arctan=530∴三角函數(shù)式A1=r1(cosψ1+jsinψ1)=5(cos530+jsin530)

指數(shù)式A1

=r1ejψ1

=5ej53

極坐標(biāo)式A1

=r1ψ1=5530

對復(fù)數(shù)A2，將極坐標(biāo)式化為代數(shù)式、三角函數(shù)式、指數(shù)式，由A2=10450可知模r2=10，幅角ψ2

=

450由式（2-11）可得a=r2cosψ2=10cos450=5b=r2sinψ2

=10sin450=5∴代數(shù)式A2=a+jb=5+j5三角函數(shù)式A2

=

r2(cosψ2+jsinψ2)=10(cos450+jsin450)指數(shù)式A2

=r2ejψ2=10ej452.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個復(fù)數(shù)A、B，分別為

A=a1+jb1=r1ψ1,B=

a2

+jb2

=r2ψ2(1)加減運(yùn)算

AB=(a1a2)+j(b1b2)(2-15)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算還可以用矢量合成分析，利用平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算，如圖2-6所示。

(2)乘除運(yùn)算

圖2-6矢量的平行四邊形法則（2-16）（2-17）2.2.2正弦量的相量表示法對于正弦電流i=Imsin(ωt+ψ)，為了表示這個正弦量，我們可以構(gòu)建這樣一個復(fù)數(shù)：它的模為正弦量有效值I，幅角為正弦量的初相角ψ，這個復(fù)數(shù)就稱為電流i的有效值相量，記作，即

=I(2-18)

也可以用幅值相量來表示正弦量：

=

Im（2-19）

正弦量和相量是一一對應(yīng)關(guān)系（注意：正弦量和相量不是相等關(guān)系！）。如=I

和i=Imsin(ωt+ψ)是一一對應(yīng)關(guān)系（不能寫成i=Imsin(ωt+ψ)==I）;

在復(fù)平面中，例如相量可用長度為U，與實(shí)軸正向的夾角為ψ的矢量表示。這種表示相量的圖形稱為相量圖。如圖2-7所示。

圖2-7電壓的相量圖2.3單一參數(shù)元件的正弦交流電路由電阻、電感、電容單個元件組成的正弦交流電路，是最簡單的交流電路，這種電路稱為單一參數(shù)元件電路或稱為純參數(shù)元件電路。復(fù)雜交流電路可以看成是由若干個單一參數(shù)元件電路組成。2.3.1相量模型1.相量模型對正弦交流電路，在不改變電路的組成結(jié)構(gòu)下，將電路中的變量如u、i、e分別用相量表示，即

；將組成電路中的元件參數(shù)R、L、C分別用復(fù)阻抗R、jXL、-jXc表示，即，通過這種轉(zhuǎn)變后得到的電路稱為相量模型電路，簡稱相量模型。相量模型電路中，可將復(fù)阻抗R、jXL

、-jXc當(dāng)作直流電路中的電阻看待，用直流電路的方法進(jìn)行分析計(jì)算。如圖2-8（a）所示的交流電路可轉(zhuǎn)化為（b）所示的相量模型電路。2.3.2純電阻電路圖2-9（a）是只有一個線性電阻元件的交流電路,又稱為純電阻電路。設(shè)加在電阻R兩端電壓為u=

Umsinωt，通過R的電流為i；圖2-8交流電路和相量模型1．電壓電流關(guān)系圖2-9純電阻電路在圖2-9（b）相量模型中，在、關(guān)聯(lián)方向下，可直接寫出類似于直流電路中的歐姆定律：(2-20)式(2-20)稱為歐姆定律的相量形式。圖2-9（b）為相量模型。從式（2-20）可得如下結(jié)論：(1)電壓和電流有效值之間的關(guān)系為U=RI；(2)電壓和電流是同頻同相的，如圖2-10（b）所示2．電阻電路中的功率電路任一瞬時所吸收或釋放的功率稱為瞬時功率，以小寫字母p表示：p=ui

∵u=

Umsinωt∴i=

Imsinωt（同頻同相）∴p=

ui

=

Umsinωt·Imsinωt=UI(1-cos2ωt)(2-21)

從式（2-21）可知p>0，即電阻從電源吸取功率，這說明電阻是耗能元件，如圖2-10（C）。瞬時功率是時間的函數(shù)，我們計(jì)量時采用平均功率，即在一個周期內(nèi)電路消耗的瞬時功率的平均值，又稱為有功功率，用大寫字母P表示：(2-22)

有功功率的單位為瓦[特]（w），有時也用千瓦（kw）表示。平時我們所說的40w燈泡、30w電烙鐵等都是指其有功功率。圖2-10純電阻電路波形圖和相量圖2.3.3純電感電路1.電壓電流的關(guān)系單一電感元件組成的交流電路，又稱為純電感電路，其交流電路和相量模型如圖2-11所示,從圖（b）的相量模型，可得電感電路歐姆定律的相量形式：

(2-23)

從式（2-23）可得如下結(jié)論：(1)電壓和電流有效值有如下關(guān)系U=XLI；其中XL=ωL稱為感抗，具有電阻的量綱，單位為歐[姆]（Ω），對交流電具有一定的阻礙作用。感抗XL=ωL=2πfL，與電感L和頻率f成正比。f→∞，則XL→∞,此時電感可視為開路（斷路）；圖2-11純電感電路f=0（直流），則XL=0，此時電感可視為短路。故電感元件具有“通低頻阻高頻”的特性。(2)電壓相位超前電流900。純電感電路電壓電流波形圖和相量圖如圖2-12（a）、（b）所示。2.電感電路功率

P=ui=Umsin(ωt+900)·Imsinωt=UIsin2ωt純電感電路的瞬時功率為：瞬時功率的曲線如圖2-12（c）所示，電感從電源吸取的功率有正有負(fù)。在0～π/2,π～1.5π時間內(nèi),u和i方向一致，p>0，電感元件相當(dāng)于負(fù)載,從電源吸收功率，并轉(zhuǎn)化為磁能貯存起來；在π/2～π,1.5π～2π時間內(nèi)，u和i方向不一致，p<0，電感元件又將貯存的磁能釋放出來，轉(zhuǎn)換成電能；

(2-24)

圖2-12純電感電路波形圖、相量圖電感電路的平均功率：(2-25)

一個周期內(nèi)電感元件吸收的能量和放出能量相等，元件本身不消耗電能，因而電感元件是一個儲能元件，在電路中起著能量的“吞吐”作用。用無功功率來衡量電路中能量交換的速率。瞬時功率的最大值稱為無功功率，用Q表示。即

Q=UI=I2XL

=U2/XL

(2-26)

無功功率單位為乏(var)，有時用千乏(kvar)。2.3.4純電容電路1.電壓電流的關(guān)系單一電容元件組成的交流電路，又稱為純電容電路。圖2-13（a）、（b）分別表示單一電容元件組成的正弦交流電路及相量模型。從圖2-13（b）的相量模型，可得純電容電路的歐姆定律的相量形式.(2-27)從式（2-27）可得如下結(jié)論：

圖2-13純電容電路(1)電壓和電流有效值關(guān)系為U=XcI；其中Xc=1/ωc稱為容抗，具有電阻的量綱，單位為歐[姆]（Ω），起阻礙電流的作用。容抗，它與電容c和頻率f成反比。f→∞，則Xc→0，此時電容可視為短路；當(dāng)f=0（直流），則Xc→∞，此時電路視為開路,因此，電容元件具有“通高頻阻低頻”或“通交流隔直流”的作用。(2)電壓在相位上滯后電流900。純電容電路波形圖和相量圖如圖2-14（a）、（b）所示2.電容電路的功率電容電路的瞬時功率為

p=ui=Umsinωt?Imsin(ωt+900)

=UIsin2ωt瞬時功率的波形圖如圖2-14（c）所示。(2-28)圖2-14

純電容電路波形圖和相量圖在0～π/2,π～1.5π）時間內(nèi),

p>0,

吸收功率（充電）；在π/2～π,1.5π～2π時間內(nèi),

p<0,

釋放能量（放電）。電容電路的平均功率:說明電容元件不消耗能量，是一個貯能元件。和電感元件一樣，電容元件和電源之間的能量交換用無功功率來衡量。無功功率QQ=UI=I2Xc=U

2/Xc（2-30）（2-29）2.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的正弦交流電路2.4.1電壓與電流之間的關(guān)系1.RLC串聯(lián)電路相量模型

圖2-15RLC串聯(lián)電路圖2-15（a）為交流電路，（b）為相量模型.在R、L、C上的電壓相量分別為。根據(jù)串聯(lián)電路的特性，電路的總阻抗為Z，則Z=R+

jXL+(-jXc)=R+j(XL-Xc)=R+

jX（2-31）式（2-31）稱為復(fù)阻抗，表征了電路中所有元件對電流的阻礙作用，單位為歐[姆]（Ω）。其中

X=XL-XC

（2-32）

式（2-32）稱為電抗，表征電路中貯能元件對電流的阻礙作用，單位為歐[姆]（Ω）。

復(fù)阻抗的模|Z|稱為阻抗模。（2-33）復(fù)阻抗的幅角φ，又稱阻抗角

φ=arctan=arctan（2-34）由歐姆定律可得（2-35）式（2-35），是RLC串聯(lián)交流電路的歐姆定律相量形式，從該式可得如下兩個結(jié)論：⑴電路中電壓和電流有效值之間的關(guān)系為U=|Z|·I；⑵電壓和電流之間的相位差（夾角）為φ；式（2-34）表明，在頻率一定時，φ的大小是由電路的元件參數(shù)決定的。

2.電路的性質(zhì)①當(dāng)φ>0時，即X>0,XL>XC,UL>UC。電壓超前電流φ角度，電路呈感性；相量圖如圖2-16（a）所示。圖2-16RLC串聯(lián)相位關(guān)系②當(dāng)φ<0時，即X<0,XL<XC,UL<UC。電壓滯后電流φ角度，電路呈容性，如圖2-16（b）所示。③當(dāng)φ=0時，即X=0,XL=XC,UL=UC。電壓和電流同相，電路呈阻性；此時電路產(chǎn)生了串聯(lián)諧振現(xiàn)象（后面的章節(jié)討論），如圖2-16（c）所示。對于RLC串聯(lián)電路這種典型電路，單一參數(shù)元件電路或兩個參數(shù)元件串聯(lián)電路可以看成它的特例。它們的電壓和電流關(guān)系都可用公式

=Z·

統(tǒng)一表示。例如單一參數(shù)元件電路，對純電阻電路，則XL=

Xc=0,Z=R+j(XL-Xc)=R，故

=Z·

=R

,即式（2-20）；例2.4如圖2-17（a）所示電路中，電壓表V1、V2、V3的讀數(shù)都是5V，試求電路中V表的讀數(shù)，并分析電路的性質(zhì)。解：在串聯(lián)RLC電路中，以電流為參考相量，即=I00A。

方法1：相量法選定u、u1、u2、u3、i的參考方向如圖2-17（a）所示，則有=[5cos00+j5sin00]V=5V

圖2-17例2.4圖=[5cos900+j5sin900]V=j5V=[5cos(-900)+j5sin(-900)]V=-j5V由串聯(lián)電路的特點(diǎn)，有：=5+j5+（-j5）=5V故V表的讀數(shù)為5V，電壓和電流同相，電路呈阻性。方法2：相量圖法畫出相量圖如圖2-17（b）所示，利用平行四邊形法則求解U。從圖可知

U=5V，電壓和電流同相，電路呈阻性。方法3：相量模型由圖2-17（a）畫出相量模型電路如圖2-17（c）所示。根據(jù)串聯(lián)電路的分壓原理，有取模計(jì)算得：∴R=XL=XC而Z=R+jXL+(-jXc)=R∴|Z|=R

U=

=U1=5V

又XL=Xc，故電路呈阻性。

2.4.2RLC串聯(lián)電路的功率關(guān)系在圖2-15中，設(shè)電流i=Imsinωt,電壓u=Umsin(ωt+φ)，則電路的瞬時功率可寫成

p=

ui

=Umsin(ωt+φ

)·Imsinωt=

UmImsin(ωt+φ)sinωt=UI[cos

φ

-cos(2ωt+φ)]（2-36）1.有功功率由式（2-36）可得相應(yīng)的平均功率或有功功率為：

P==[UIcosφ-

UIcos(2ωt+φ)]dt=

UIcosφ

即P=

UIcosφ

（2-37）

有功功率的單位是瓦（w），有時也用千瓦（kw）。

2.無功功率將式（2-36）用三角公式展開

p=

UIcosφ-

UIcos(2ωt+φ)=

UIcosφ(1-cos2ωt)+UIsinφsin2ωt其中第一部分p1=

UIcosφ(1-cos2ωt)，其平均值=

UIcosφ，正好是有功功率；第二部分p2=

UIsinψsin2ωt的平均值=0，表明了電源與電路中貯能元件之間的能量交換的情況，定義這一部分的幅值UIsinφ為無功功率，用來表明電路能量交換的最大值，用Q表示。

Q=

UIsinφ

（2-38）

無功功率的單位為乏（var）或千乏（kvar）。

3.視在功率在正弦交流電路中，我們定義電壓和電流有效值的乘積UI為視在功率，用S表示，即S=UI（2-39）

視在功率通常用來表示電氣設(shè)備或電源的容量，其單位為伏安（V·A）或（kV·A）。

顯然，式（2-38）、（2-39）表明S≠P+Q。而是（2-40）在RLC串聯(lián)電路中，阻抗之間、電壓之間、功率之間的關(guān)系，即式（2-34）、（2-35）、（2-40）可用直角三角形表示，分別稱為阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形。如圖2-18所示，該圖也反映了三個三角形表示方法之間的關(guān)系，因此，知其一則知其二。圖2-18

阻抗、電壓、功率三角形2.5正弦交流電路的分析與計(jì)算2.5.1復(fù)阻抗的串聯(lián)電路圖2-19

復(fù)阻抗的串聯(lián)電路圖2-19（a）所示的電路為兩個復(fù)阻抗Z1和Z2串聯(lián)的相量模型電路，電路特征：1）.電路的等效復(fù)阻抗為

Z＝Z1＋Z2（2-41）2）.電路中流過Z1和Z2的電流相同；3）.電路中總電壓為各串聯(lián)復(fù)阻抗端電壓之和。即

（2-42）4）.復(fù)阻抗的分壓作用，即（2-43）

若用電壓有效值和阻抗模表示，則有：（2-44）

設(shè)復(fù)阻抗Z1=R1+jX1，Z2＝R2+jX2，則等效復(fù)阻抗

Z＝Z1＋Z2=(R1+R2)+j(XL-XC)＝R+

jX復(fù)阻抗模（2-45）復(fù)阻抗角（2-46）φ＝arctan=arctan顯然，即同理，

U1+U2≠U例2.5在如圖2-20所示的串聯(lián)電路中，已知Z1=2+j5Ω，Z2=-j8Ω，Z3=2Ω，如果Z3上電壓降為＝2∠300V，求：①電路中的電流、電壓和等效復(fù)阻抗Z；②Z1、Z2上的電壓U1、U2；③判別電路的性質(zhì)；圖2-20例2.5圖解①在阻抗串聯(lián)的相量模型電路中，電流處處相等，即流過Z3的電流為電路中電流，由歐姆定律等效阻抗Z＝Z1＋Z2

＋Z3＝（2＋j5-j8+2）＝4-j3=5∠-370Ω電路電壓=1∠300×5∠-370V=5∠-7oV②由串聯(lián)電路復(fù)阻抗的分壓原理，得V

同理還可以這樣計(jì)算：由歐姆定律得③由Z＝＝5∠-70可知

=-70<0即電流超前電壓70，電路呈容性。2.5.2復(fù)阻抗的并聯(lián)電路圖2-21（a）為兩個阻抗Z1、Z2的并聯(lián)相量模型,電路，特征：1）電路的等效電路如圖2-21（b）所示,等效阻抗為Z，則

圖2-21復(fù)阻抗并聯(lián)電路2）電路的總電流(2-48)(2-47)3）并聯(lián)電路復(fù)阻抗的分流作用,即(2-49)4）并聯(lián)支路的端電壓處處相等和串聯(lián)復(fù)阻抗電路相似，在并聯(lián)復(fù)阻抗交流電路中，即2.5.3復(fù)阻抗的混聯(lián)電路在復(fù)阻抗混聯(lián)電路中，既有復(fù)阻抗的串聯(lián)，又有復(fù)阻抗的并聯(lián)，以例題說明電路的分析與計(jì)算。例2.6在如圖2-22的電路中，已知=220∠00V，Z1=5Ω，Z2

=10+j20Ω，Z3

=-j40Ω，試求等效阻抗Z和電流、I1、I2、I3

①.等效阻抗Z=Z1+(Z2//Z3)==37+j24=44∠330Ω②求電流.電路中的電流即為流過Z1的電流，由歐姆定律，得得解由圖2-22例2.6圖同理

2.6諧振電路分析在

LC串聯(lián)電路中，當(dāng)電感的作用和電容的作用相互抵消，電路呈純阻性，即電壓和電流同相，電路產(chǎn)生了串聯(lián)諧振。此時的頻率稱為諧振頻率f0

。串聯(lián)諧振時，電路等效阻抗Z=R+j（XL-XC）=R

呈阻性，虛部為0，即XL=XC，這是電路產(chǎn)生諧振的條件。諧振頻率為當(dāng)電源頻率f與電路參數(shù)L和C之間滿足該式時,則產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。由此可見，只要調(diào)整電路參數(shù)L、C或調(diào)節(jié)電源頻率f都能使電路產(chǎn)生諧振。串聯(lián)諧振具有如下特性:1）.電壓與電流同相位,電路呈阻性；2）.電路的阻抗模最小,電流最大；2.6.1串聯(lián)諧振圖2-23為阻抗與電流隨頻率變化的曲線,其中曲線1稱為諧振曲線。3）.電感和電容端電壓大小相等,相位相反,外加電壓全部加在電阻端，即圖2-23阻抗與電流隨頻率變化的曲線相量圖如圖2-16（c）所示。4）.電感和電容的端電壓數(shù)值是外加電源電壓值的Q倍。Q值又稱為諧振電路上的品質(zhì)因數(shù),定義為:（2-52)當(dāng)XL=XC>>R時,電容和電感端電壓數(shù)值大大于電源電壓，一般Q值可達(dá)幾十至幾百,因此串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。

串聯(lián)諧振在無線電中應(yīng)用廣泛，如收音機(jī)的調(diào)諧回路。串聯(lián)諧振也有其危害的一面,如在電力系統(tǒng)中,諧振時電感和電容端電壓是電源電壓值Q倍.過高電壓可能會擊穿線圈和電容的絕緣,造成設(shè)備損壞和系統(tǒng)故障，因此在電力系統(tǒng)中應(yīng)避免出現(xiàn)串聯(lián)諧振。2.6.2并聯(lián)諧振在L、C并聯(lián)的電路中產(chǎn)生的諧振，稱為并聯(lián)諧振。如圖2-24所示,R為電路的等效電阻，和電感L串聯(lián)。在并聯(lián)電路中等效阻抗Z=(R+jXL)∥(-jXC)，即在實(shí)際應(yīng)用中通常等效電阻R很小,在諧振時XL=ωL》R，R+jXL≈jXL，故上式可近似寫成圖2-24并聯(lián)諧振電路諧振時電路呈阻性,即

=0，則并聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是=0，由此可得諧振頻率：

或并聯(lián)諧振頻率和串聯(lián)諧振基本相同。并聯(lián)諧振具有如下特性:1）.電壓和電流同相位,電路呈阻性；2）.電路的阻抗模最大,電流最?。徊⒙?lián)諧振阻抗模，分母變?yōu)樽钚。虼拴│最大。在電源電壓一定時,諧振電流最小。3）.電感電流和電容電流幾乎大小相等,相位相反；相量圖如圖2-25所示。如圖2-25并聯(lián)諧振相量圖

4）.電感和電容支路的電流約為電路總電流的Q倍.

Q是品質(zhì)因數(shù)

Q值一般為幾十到幾百，故并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。常用并聯(lián)諧振電路作為選頻網(wǎng)絡(luò)或消除干擾。

2.7功率因數(shù)的提高

2.7.1提高功率因數(shù)的意義1.有利于電源設(shè)備容量的充分利用

實(shí)際的電力線路中負(fù)載多為感性負(fù)載，電路中存在能量交換。而cos

越小，負(fù)載得到的有功功率就越小，cos

越大，則電源設(shè)備所能提供的有功功率就越大，有利于提高電源設(shè)備的容量利用率。

2.有利于降低輸電線路的功率損耗當(dāng)輸電電壓U和輸送的有功功率P一定時，輸電線路通過的電流為,線路發(fā)熱損耗的電能為P=I2RL，RL為線路的等效電阻，若功率因數(shù)cos

提高了，則通過輸電線路的電流就減小，在線路的損耗也減小，線路壓降減少，從而提高了傳輸效率和供電質(zhì)量。對于感性電路，可利用電容器補(bǔ)償無功功率，提高功率因數(shù)，即將補(bǔ)償電容器C并聯(lián)在感性電路RL的兩端。電容器補(bǔ)償方法，造價低廉、安裝方便、運(yùn)行維護(hù)簡便，自身損耗很小，是國內(nèi)外廣泛采用的補(bǔ)償方法。電路如圖2-26所示。圖2-26

電容器補(bǔ)償電路從相量圖中可明顯地看出：在感性負(fù)載的兩端并聯(lián)造出的電容，可使電壓和電流的相位差從

1

減少到

2，cos

2>cos

1

，從而提高了電路的功率因數(shù)。圖2-26（a）是補(bǔ)償電路的相量模型電路,利用相量模型，來分析計(jì)算并聯(lián)電路。圖2-26（b）是以電壓相量U為參考量作出的相量圖。2.7.2提高功率因數(shù)的方法下面利用圖2-26（a）、（b）來定量分析如何選擇補(bǔ)償電容器C的數(shù)值。未并聯(lián)電容C時，電路就是一個RL串聯(lián)電路，阻抗Z1=R+jXL，阻抗角

1=arctan，通過電流為

，電路的有功功率為P=UI1cos

1

。

并聯(lián)電容后，感性負(fù)載本身沒變，負(fù)載的端電壓也沒變，故此時負(fù)載上的電流仍為，即并聯(lián)補(bǔ)償電容前后對原感性負(fù)載的工作狀態(tài)沒有影響，故感性負(fù)載的有功功率和功率因數(shù)均沒有變化。但此時電路總電流不再為，而是和電容支路電流之和，即，如相量圖2-26（b）所示。從圖上可知而∴整理后，得此式就是所需并聯(lián)的補(bǔ)償電容器的電容量。從以上分析可知，我們所討論的提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)，而不是某個感性負(fù)載的功率因數(shù)。事實(shí)上，電網(wǎng)的功率因數(shù)提高了，感性負(fù)載的有功功率和功率因數(shù)并沒有改變。這是我們應(yīng)該注意區(qū)分的。（2-53）2.8三相交流電路三相交流電與前面討論的單相交流電相比，具有下列優(yōu)點(diǎn)：(1)制造三相發(fā)電機(jī)和變壓器比制造同容量的單相交流發(fā)電機(jī)和單相變壓器省材料。

(3)三相電流能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場，從而能制成結(jié)構(gòu)簡單、性能良好的三相異步電動機(jī)。(2)在輸電距離、輸送功率、輸電等級、負(fù)載的功率因數(shù)，輸電損失及輸電線材都相同的條件下，用三相輸電所需輸電線材更省，經(jīng)濟(jì)效益明顯。2.6.1三相電源及其聯(lián)接

1.三相電源三相交流電一般是由三相交流發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的。三相電源就是指三個頻率相同、幅值相等、相位上相互間隔1200

的正弦電壓源按一定的方式聯(lián)接而成的，故稱三相對稱電源。三相發(fā)電機(jī)就是一個三相電源，圖2-27（a）為三相發(fā)電機(jī)原理圖。在發(fā)電機(jī)的定子中嵌有三相電樞繞組，每相繞組結(jié)構(gòu)完全相同，在空間位置上相互間隔1200分別稱為U相、V相、W相繞組，繞組的始端標(biāo)以U1、V1、W1，對應(yīng)的末端標(biāo)以U2、V2、W2，當(dāng)轉(zhuǎn)子磁極勻速旋轉(zhuǎn)時，將在圖2-27三相交流發(fā)電機(jī)原理圖三相繞組中產(chǎn)生正弦感應(yīng)電動勢，分別為eU、eV、eW，如圖2-27（b）所示。若以U相為參考正弦量，則三相電動勢為：（2-54）

（2-55）它們的波形圖和相量圖如圖2-28所示。從圖可知，三相對稱電源有如下特性：

eU

+eV

+eΩ=0或

（2-56）若以相量形式表示，則圖2-28三相對稱電動勢波形圖和相量圖2.三相電源的星形聯(lián)結(jié)將三相電源的末端U2、V2、W2聯(lián)成一點(diǎn)N，而把始端U1、V1、W1作為與外電路聯(lián)結(jié)的端點(diǎn)，這種聯(lián)結(jié)方式，稱為三相電源的星形聯(lián)結(jié)。節(jié)點(diǎn)N稱為中性點(diǎn)或零點(diǎn).(1)三相四線制三相電源星形聯(lián)結(jié)，分別從三相繞組的始端和中性點(diǎn)引出四根線，這種供電系統(tǒng)，稱為三相四線制。如圖2-29所示。從始端U1、V1、W1引出的三根導(dǎo)線稱為相線，常用L1、L2、L3表示。在配電裝置的母線上，分別涂以黃、綠、紅三種顏色表示，從中性點(diǎn)引出的導(dǎo)線稱為中性線，一般涂以黑色或淡藍(lán)色。圖2-29電源星形聯(lián)結(jié)—三相四線制三相四線制的供電系統(tǒng)，通常是低壓供電網(wǎng)采用。(2)相電壓和線電壓在圖2-29中，相線和中性線之間的電壓，稱為相電壓，如uU、uV、uW，相線與相線之間的電壓，稱為線電壓。如uUV、uVW、uWU

。(3)相電壓和線電壓的關(guān)系在圖2-29中，相電壓和線電壓用相量可表示為：(2-57）三相對稱電壓的相量圖如圖2-30所示.利用平行四邊形法則，相量合成可得線電壓和相電壓的關(guān)系。從相量圖可知，線電壓也是對稱的，且相位超前相電壓300，有效值是相電壓有效值的倍。若設(shè)線電壓有效值為，相電壓有效值為，則(2-58）

圖2-30

三相對稱電壓的相量圖(4)三相三線制當(dāng)三相電源聯(lián)結(jié)成星形，只引出相線，這種供電方式，稱為三相三線制，負(fù)載只能使用線電壓。三相三線制一般為動力線路供電。2.6.2三相負(fù)載的聯(lián)結(jié)三相電源供電時，為了保證每相電源輸出功率均衡,負(fù)載根據(jù)其額定電壓的不同，分別接在三相電源上，形成三相負(fù)載，其聯(lián)接方式有兩種：星形聯(lián)接（Y聯(lián)接）和三角形聯(lián)接（△聯(lián)接）。1.三相負(fù)載的星形聯(lián)接將三相負(fù)載的一端聯(lián)結(jié)在一起和電源中性線相連，另一端分別和相線相連，形成負(fù)載星形聯(lián)結(jié)的三相四線制電路。如圖(1)三相對稱負(fù)載2-31所示.在圖2-41所示電路中，每相負(fù)載的等效阻抗分別為ZU、ZV、ZW，如果ZU=ZV=ZW=Z，即每相負(fù)載的阻抗模相等且阻抗角也相等，則稱為三相對稱負(fù)載。圖2-31

負(fù)載星形聯(lián)結(jié)的三相四線制電路否則，稱為三相不對稱負(fù)載.(2)線電壓和相電壓電源的相電壓，其大小等于電源線電壓的1/負(fù)載星形聯(lián)結(jié)時，負(fù)載兩端的電壓等于(3)線電流和相電流三相電路中，相線中流過的電流稱為線電流。如；流過每相負(fù)載的電流，稱為相電流，如.顯然，相電流等于相應(yīng)的線電流。若用有效值一般寫成IP=IL（2-59）每相電流可通過三個單相電路計(jì)算：（2-60）其中（2-61）若是三相對稱負(fù)載，則式（2-60）、（2-61）可寫成（2-62）（2-63）圖2-32

負(fù)載星形連接相量圖三相電流也是對稱的。電壓、電流相量圖如圖2-32所示。這時只需計(jì)算任一相電流，根據(jù)對稱關(guān)系便可知另兩相的電流。

若是三相對稱負(fù)載，則中性線電流為0，即可見，三相對稱負(fù)載中可將中性線省去，成為三相三線制系統(tǒng)。但在三相四線制供電系統(tǒng)中，三相負(fù)載多為不對稱負(fù)載，中性線中有電流通過，此時中性線是不能省去的，且要求中性(4)中性線電流中性線中流過的電流，稱為中性線電流，由KCL可知（2-64）（2-65）線具有一定的強(qiáng)度，中性線上不允許安裝開關(guān)和熔斷器。正是因?yàn)橛辛酥行跃€，跨接在中性線和相線之間的單相負(fù)載，其端電壓始終保持為額定電壓(相電壓)而正常工作。若中性線斷開，則會使有的負(fù)載端電壓升高，有的降低而無法正常工作，嚴(yán)重時還會燒毀負(fù)載。下面以例子說明中性線的作用。

例2.7在圖2-33所示的三相四線制系統(tǒng)中，每相接入一組燈泡，其等效電阻R=400，若線電壓為380V，試計(jì)算：①各相負(fù)載的電壓和電流的大??；②如果L1相斷開時，其他兩相負(fù)載的電壓和電流的大小；③如果L1相發(fā)生短路，其他兩相負(fù)載的電壓和電流的大??；④若除去中性線，重新計(jì)算①、②、③；解：①在正常情況下，如圖2-33（a）所示。對稱三相負(fù)載，三相的電壓和電流都是對稱的，只需任求一相即可，由式（2-58）、（2-59）可知相電壓相電流②當(dāng)L1斷開時，如圖2-33（C）所示。L2、L3相的負(fù)載端電壓還是保持為相電壓，能正常工作，電壓和電流數(shù)值是同①；圖2-33例2.7圖③當(dāng)L1相短路，如圖2-33（d）所示。L1相上的保險裝置使L1相斷開，L2、L3相上負(fù)載仍能正常工作，電壓和電流數(shù)值同①；④若除去中性線，正常情況下三相四線制系統(tǒng)成為三相三線制系統(tǒng)，如圖2-33（b）所示。每相的電壓和電流大小同①；

電流若此時L1相短路，在瞬間R2、R3分別接在兩相L1L2、L1L3之間，燈組兩端的電壓均為380V，通過的電流均為380/400A=0.95A，兩燈組迅速變亮，即刻燒壞。若此時L1相斷開，則R2、R3燈組串聯(lián)接在L2L3之間，承受線電壓380V。因R2=R3，故燈組承受的電壓為因R2、R3燈組兩端電壓低于額定電壓220V，因此R2、R3燈組變暗。由此可見，星形聯(lián)結(jié)非對稱三相負(fù)載，必須采用三相四線制系統(tǒng)供電，中性線不能省略。

2.三相負(fù)載的三角形聯(lián)接將三相負(fù)載首尾依次相連而成三角形，分別接到三相電源的三根相線上，稱為三相負(fù)載的三角形聯(lián)接（△聯(lián)接），如圖2-34所示。顯然負(fù)載三角形聯(lián)結(jié)時，負(fù)載的相電壓就是線電壓。圖2-34

三相負(fù)載的△聯(lián)接(1)相電流的計(jì)算（2-66）相位差為（2-67）若是三相對稱負(fù)載，則負(fù)載的相電流也是對稱的（2-68）(2)線電流的計(jì)算由KCL可知，每相的線電流分別為（2-69）對稱三相負(fù)載的相電流、線電流、線電壓（相電壓）之間關(guān)系相量圖如圖2-35(b)所示。圖2-35

三相負(fù)載三角形聯(lián)結(jié)相量圖從相量圖可知，三相線電流也是三相對稱的，且滯后相電流300

，大小是相電流的倍，用有效值表示為

IL=IP

（2-70）

負(fù)載作三角形聯(lián)結(jié)時，若某一相出現(xiàn)故障，并不影響其他兩相的工作。因?yàn)榱韮上嗟墓ぷ麟妷菏冀K為線電壓。需要說明的是，在三相電路中，若無說明，通常所說的電壓、電流是指線電壓和線電流。三相負(fù)載采用何種聯(lián)結(jié)方式，必須根據(jù)每相負(fù)載的額定電壓與電源線電壓的關(guān)系來決定。而與電源本身的聯(lián)結(jié)方式無關(guān)。當(dāng)各相負(fù)載的額定電壓等于電源線電壓的1/時，負(fù)載就應(yīng)該采用星形聯(lián)結(jié)，這樣負(fù)載就能在額定相電壓下工作。錯誤的接法往往會使用電設(shè)備不能正常工作，甚至引起嚴(yán)重的后果。2.8.3三相電路的功率