10．4隨機事件與概率、古典概型1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．理解事件的關(guān)系和運算．3．理解古典概型及其概率計算公式．4．會計算一些隨機事件所包含的樣本點及事件發(fā)生的概率．1．樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．事件的關(guān)系和運算項目含義符號表示包含若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生B?A（或A?B）相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個發(fā)生A∪B（或A＋B）交事件（積事件）事件A與事件B同時發(fā)生A∩B（或AB）互斥（互不相容）事件A與事件B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生A∪B＝Ω，且A∩B＝?3.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A).4．古典概型(1)具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等Ｗ．(2)古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n(A),n(Ω)).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)Ｗ．特別地，對任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況．教材拓展1．當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥．也即兩事件互斥是這兩事件對立的必要不充分條件．2．隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率．3．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生．(√)(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(√)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件．(×)2．（人教A版必修第二冊P235T1改編）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是(B)A．至少有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶解析：射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”．故選B.3．（人教A版必修第二冊P245練習T1(2)改編）已知A與B為互斥事件，且P(A∪B)＝0.5，P(A)＝0.2，則P(B)＝0.3．解析：因為A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因此，P(B)＝0.5－P(A)＝0.5－0.2＝0.3.4．（人教A版必修第二冊P246T7改編）《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，易經(jīng)八卦分別為乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌，現(xiàn)將乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，則乾、坤相鄰的概率為eq\f(2,3)．解析：將乾、坤、巽排成一排有（乾，坤，巽），（乾，巽，坤），（坤，乾，巽），（坤，巽，乾），（巽，乾，坤），（巽，坤，乾），共6種可能，乾、坤相鄰的有（乾，坤，巽），（坤，乾，巽），（巽，乾，坤），（巽，坤，乾），共4種，所以乾、坤相鄰的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).考點1隨機事件關(guān)系的判斷【例1】(1)（多選）小華到大理旅游，對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，下列各事件關(guān)系中正確的是(CD)A．事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”為互斥事件B．事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件C．事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”為互斥事件D．事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”互為對立事件【解析】對于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個景點，可能的結(jié)果有兩個景點都不選擇、選擇一個景點、選擇兩個景點，事件“至少選擇其中一個景點”包括選擇一個景點和選擇兩個景點，事件“至多選擇其中一個景點”包括兩個景點都不選擇和選擇一個景點，所以事件“至少選擇其中一個景點”與事件“至多選擇其中一個景點”可能同時發(fā)生，A錯誤；事件“兩個景點均未選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”可能同時發(fā)生，B錯誤；事件“只選擇其中一個景點”與事件“兩個景點均選擇”不能同時發(fā)生，C正確；事件“兩個景點均選擇”與事件“至多選擇其中一個景點”不能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，D正確．故選CD.(2)（多選）某籃球運動員進行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機事件“兩次都投中”，事件B表示隨機事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系正確的是(ABD)A．A?D B．B∩D＝?C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D【解析】事件A表示“兩次都投中”；事件B表示“兩次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中或恰有一次投中”．對于A，事件A表示“兩次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故A?D，故A正確；對于B，事件B和事件D是對立事件，故B∩D＝?，故B正確；對于C，事件A∪B表示“兩次都投中或兩次都未投中”，而事件B∪D表示“兩次都未投中、兩次都投中或恰有一次投中”，故C錯誤；對于D，事件A∪C表示“兩次都投中或恰有一次投中”，故A∪C＝D，故D正確．故選ABD.事件關(guān)系判斷的策略(1)判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件，反之不成立．互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)判斷事件的交、并關(guān)系時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析．也可類比集合的關(guān)系運用Venn圖分析事件．【對點訓(xùn)練1】(1)如圖，甲、乙兩個元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，事件M＝“甲元件故障”，N＝“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為(D)A．M∪N B．M∩NC．eq\x\to(M)∪eq\x\to(N) D．eq\x\to(M)∩eq\x\to(N)解析：因為甲、乙兩個元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障，即事件eq\x\to(M)和eq\x\to(N)同時發(fā)生，即eq\x\to(M)∩eq\x\to(N)事件發(fā)生．故選D.(2)從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則以下哪個選項中的事件A與事件B互斥卻不互為對立(B)A．事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球B．事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球C．事件A：3個球中至多有2個紅球：事件B：3個球中至少有2個白球D．事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球解析：對于A，事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件A與事件B互斥卻不互為對立，故B正確；對于C，事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，所以事件A與事件B是互斥事件也是對立事件，故D錯誤．故選B.考點2用頻率估計概率【例2】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25℃，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20℃，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高氣溫不低于25℃，則Y＝450×(6－4)＝900.所以利潤Y的所有可能值為－100，300，900.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.1．頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．2．利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．【對點訓(xùn)練2】某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在上一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件“續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事件“續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．解：(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，用頻率估計概率，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，用頻率估計概率，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a（元）.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a元．考點3古典概型的概率命題角度1古典概型的概率【例3】(1)（2024·福建泉州二模）2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，文藝晚會等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書法作品、1幅攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術(shù)作品不相鄰（分別在兩排不算相鄰）的概率為(C)A．eq\f(4,15) B．eq\f(8,15)C．eq\f(11,15) D．eq\f(13,15)【解析】由題意知這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上的不同掛法有Aeq\o\al(6,6)種，由于美術(shù)作品不相鄰，按以下情形分類：①美術(shù)作品都掛在第一排的不同掛法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種；②美術(shù)作品分別掛在兩排的不同掛法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種．所以美術(shù)作品不相鄰的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(11,15).故選C.(2)（2025·八省聯(lián)考）有8張卡片，其上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為eq\f(3,56)．【解析】8張卡片上的所有數(shù)字之和為36，根據(jù)題意，抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18，只有三種情況：3＋7＋8，4＋6＋8，5＋6＋7，所以所求概率為P＝eq\f(3,Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(3,56).1．古典概型的概率求解步驟(1)求出所有樣本點的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)求解．2．求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗結(jié)果．樹狀圖在解決求樣本點總數(shù)和事件A包含的樣本點個數(shù)的問題時直觀、方便，但畫樹狀圖時要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)．(3)排列、組合法：在求一些較復(fù)雜問題的樣本點個數(shù)時，可利用排列、組合的知識．命題角度2較復(fù)雜古典概型的概率【例4】算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具．如圖，算盤多為木制，內(nèi)嵌有九至十五根直桿（簡稱檔），自右向左分別表示個位、十位、百位……梁上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，梁下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件A＝“表示的三位數(shù)能被5整除”，B＝“表示的三位數(shù)能被3整除”．(1)求事件A，B發(fā)生的概率；(2)求事件A∪B，A∩B發(fā)生的概率．【解】(1)只撥動一粒珠子至梁上，因此只表示數(shù)字1或5，三位數(shù)的個數(shù)是23＝8，要使得組成的三位數(shù)能被5整除，則只需個位數(shù)字是5即可，而這些數(shù)中個位數(shù)字是5的數(shù)的個數(shù)為22＝4，所以事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).由題意要使得組成的三位數(shù)能被3整除，則只能同時出現(xiàn)3個1或者同時出現(xiàn)3個5，即111和555共兩個數(shù)，即組成的三位數(shù)能被3整除的數(shù)的個數(shù)為2，所以事件B發(fā)生的概率P(B)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).故P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,4).(2)因為A∩B表示組成的三位數(shù)既能被3整除，又能被5整除，只有555既能被3整除，又能被5整除，所以P(A∩B)＝eq\f(1,8).因為A∪B表示組成的三位數(shù)能被3整除或能被5整除，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8).故P(A∩B)＝eq\f(1,8)，P(A∪B)＝eq\f(5,8).互斥事件概率的兩種求法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即運用“正難則反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．【對點訓(xùn)練3】(1)（2024·全國甲卷理）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球．設(shè)m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于eq\f(1,2)的概率為eq\f(7,15)．解析：記三個球上的數(shù)字分別為a，b，c，則共有Aeq\o\al(3,6)＝120（種）可能，令|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\f(a＋b＋c,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b－2c,6)))≤eq\f(1,2)，則|a＋b－2c|≤3，根據(jù)對稱性，c＝1或6時，均有2種可能；c＝2或5時，均有10種可能；c＝3或4時，均有16種可能．故滿足條件的共有56種可能，所以所求概率P＝eq\f(56,120)＝eq\f(7,15).(2)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記下骰子朝上的點數(shù)．若用x表示第一次拋擲出現(xiàn)的點數(shù)，用y表示第二次拋擲出現(xiàn)的點數(shù)，用(x，y)表示這個試驗的一個樣本點．①記A＝“兩次點數(shù)之和大于9”，B＝“至少出現(xiàn)一次點數(shù)為3”，求事件A，B發(fā)生的概率．②甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：若xy為偶數(shù)，則甲獲勝；否則，乙獲勝．這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．解：①依題意，將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，共有36個樣本點，其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即事件A包含6個樣本點，所以事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).又由事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}，即事件B包含11個樣本點，所以事件B發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(11,36).②不公平．理由如下：設(shè)事件C＝“xy為偶數(shù)”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}，y∈{2，4，6}}，事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}}，可得P(D)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，P(E)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，因為事件D與事件E互斥，且C＝D∪E，所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(3,4).因此甲獲勝的概率為eq\f(3,4)，乙獲勝的概率為1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，因為eq\f(3,4)>eq\f(1,4)，所以這種游戲規(guī)則不公平．課時作業(yè)711．（5分）兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖1所示，則符合這一結(jié)果的試驗是(D)A．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率B．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率C．轉(zhuǎn)動如圖2所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率解析：根據(jù)統(tǒng)計圖可知，實驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.33，估計其概率P＝eq\f(1,3)，對于A，拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為eq\f(1,2)，故此選項不符合題意；對于B，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為eq\f(1,6)，故此選項不符合題意；對于C，轉(zhuǎn)動如題圖2所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為eq\f(2,3)，故此選項不符合題意；對于D，從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為eq\f(1,3)，故此選項符合題意．故選D.2．（5分）從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取兩個球，下列各組事件中，是互斥事件的是(B)A．“至少一個白球”與“至少一個黃球”B．“恰有一個白球”與“恰有兩個白球”C．“至多一個白球”與“至多一個黃球”D．“至少一個黃球”與“都是黃球”解析：從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取兩個球，共有三種結(jié)果：兩白球，一白一黃，兩黃球，這三個事件兩兩互斥，故B正確；由于“至少一個白球”包含事件有兩白球和一白一黃，而“至少一個黃球”包含事件有兩黃球和一白一黃，當取到一白一黃時，這兩個事件同時發(fā)生，故A錯誤；由于“至多一個白球”包含事件有一白一黃和兩黃球，而“至多一個黃球”包含事件有一黃一白和兩白球，所以當取到一白一黃時，兩個事件同時發(fā)生，故C錯誤；由于“至少一個黃球”包含事件一白一黃和兩黃球，而“都是黃球”顯然也是兩黃球，故D錯誤．故選B.3．（5分）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有Aeq\o\al(4,4)＝24（種）可能，丙不在排頭，且甲或乙在排尾有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8（種）可能，故所求概率P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).故選B.4．（5分）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，設(shè)A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，則下列關(guān)系不正確的是(D)A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D解析：“至少有一名男生”包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A?D，A∪C＝D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D＝?，故B正確；A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示2名全是女生或1名男生1名女生或2名全是男生，故A∪B≠B∪D，D錯誤．故選D.5．（5分）（2024·江西景德鎮(zhèn)三模）六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人，則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,36)C．eq\f(1,72) D．eq\f(1,108)解析：不妨假設(shè)六位小朋友已經(jīng)站好了位置，不同站位方法數(shù)為Aeq\o\al(6,6)，爸爸們接到各自的小朋友，則其為定序問題，不同站位方法數(shù)為Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)，所以爸爸們不需要插隊就能接到自己家的小朋友的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,36).故選B.6．（5分）一個口袋中有標號為1，2，3的小球各一個，小球的大小相同、質(zhì)地均勻．每次從中取出一個球，記下號碼后放回，當三種號碼的小球全部取出時即停止，則恰好取5次小球時停止的概率為(B)A．eq\f(20,81) B．eq\f(14,81)C．eq\f(20,243) D．eq\f(14,243)解析：由題可知分兩種情況，取到的標號的次數(shù)為3，1，1或2，2，1，這兩種情況是互斥的，當取到的標號的次數(shù)為3，1，1時，試驗包含的樣本點共有35個，滿足條件的樣本點有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)個，所以這種情況的概率為P1＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2),35)＝eq\f(8,81)；當取到的標號的次數(shù)為2，2，1時，試驗包含的樣本點共有35個，滿足條件的樣本點有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)個，所以這種情況的概率為P2＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),35)＝eq\f(2,27).故恰好取5次小球時停止的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,81)＋eq\f(2,27)＝eq\f(14,81).故選B.7．（6分）（多選）已知事件A，B，C兩兩互斥，若P(A)＝eq\f(1,5)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，P(A∪C)＝eq\f(9,20)，則(ACD)A．P(B)＝eq\f(1,3) B．P(C)＝eq\f(1,3)C．P(B∪C)＝eq\f(7,12) D．P(B∩C)＝0解析：因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(B∩C)＝0，故D正確；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋P(B)＝eq\f(8,15)，則P(B)＝eq\f(1,3)，故A正確；P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,5)＋P(C)＝eq\f(9,20)，則P(C)＝eq\f(1,4)，故B錯誤；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12)，故C正確．故選ACD.8．（6分）（多選）口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個形狀、大小完全相同的小球，從中任取2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個黃球”，C＝“取出的2球中至少有一個白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的是(AD)A．事件A與D為對立事件B．事件B與C是互斥事件C．事件C與E為對立事件D．P(C∪E)＝1解析：設(shè)Ω是樣本空間，對于A，由于A∪D＝Ω，A∩D＝?，所以A與D是對立事件，A正確．對于B，由于B∩C＝“取出的2球中，有一個黃球一個白球”，所以B與C不是互斥事件，B錯誤．對于C，由于C∩E＝“取出的2球中，恰好有一個白球”，所以C與E不是對立事件，C錯誤．對于D，由于C∪E＝Ω，所以P(C∪E)＝1，D正確．故選AD.9．（5分）若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝a2－5，P(B)＝5－2a，則實數(shù)a的取值范圍為（eq\r(5)，1＋eq\r(2)]．解析：因為隨機事件A，B互斥，且A，B發(fā)生的概率均不等于0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<P(A)<1，,0<P(B)<1，,P(A)＋P(B)≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a2－5<1，,0<5－2a<1，,a2－2a≤1，))解得a∈（eq\r(5)，1＋eq\r(2)].10．（5分）（2024·陜西寶雞三模）圍棋起源于中國，至今已有四千多年的歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成三個小組，則甲和乙在同一個小組的概率為eq\f(6,25)．解析：把5人分成3個小組的分法有3，1，1和2，2，1，其中3，1，1的分法有eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),2)＝10（種），甲和乙在同一個小組的情況有Ceq\o\al(1,3)＝3（種），2，2，1的分法有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),2)＝15（種），甲和乙在同一個小組的情況有Ceq\o\al(1,3)＝3（種），故所有的分組方法有25種，甲和乙在同一個小組的情況有6種，故所求概率P＝eq\f(6,25).11．（16分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計，當X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(1,10)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率．解：(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個．故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(1,5)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(1,10)(2)根據(jù)題意得Y＝460＋eq\f(X－70,10)×5＝eq\f(X,2)＋425，故P（發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時）＝P（Y<490或Y>530）＝P（X<130或X>210）＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率為eq\f(3,10).12．（17分）已知甲、乙兩袋中各裝有4個質(zhì)地和大小完全相同的小球，甲袋中有紅球2個、白球1個、藍球1個，乙袋中有紅球1個、白球1個、藍球2個．(1)從兩袋中隨機各取一球，求取到的兩球顏色相同的概率；(2)從甲袋中隨機取兩球，從乙袋中隨機取一球，求取到至少一個紅球的概率．解：(1)設(shè)甲袋中的紅球為r1，r2，白球為w，藍球為b，乙袋中的紅球為R，白球為W，藍球為B1，B2，則從兩袋中各取一球，所有情況如下：(r1，R)，(r1，W)，(r1，B1)，(r1，B2)，(w，R)，(w，W)，(w，B1)，(w，B2)，(r2，R)，(r2，W)，(r2，B1)，(r2，B2)，(b，R)，(b，W)，(b，B1)，(b，B2)，共16種．設(shè)A為“取到的兩球顏色相同”，則A含有的情況如下：(r1，R)，(r2，R)，(w，W)，(b，B1)，(b，B2)，共5種，則P(A)＝eq\f(5,16).(2)如(1)中所設(shè)，從甲袋中隨機取兩球，從乙袋中隨機取一球，所有情況如下：(r1，r2，R)，(r1，r2，W)，(r1，r2，B1)，(r1，r2，B2)，(r1，w，R)，(r1，w，W)，(r1，w，B1)，(r1，w，B2)，(r1，b，R)，(r1，b，W)，(r1，b，B1)，(r1，b，B2)，(r2，b，R)，(r2，b，W)，(r2，b，B1)，(r2，b，B2)，(r2，w，R)，(r2，w，W)，(r2，w，B1)，(r2，w，B2)，(b，w，R)，(b，w，W)，(b，w，B1)，(b，w，B2)，共24種，設(shè)B為“取到至少一個紅球”，其對立事件設(shè)為C，則C為“沒有取到紅球”，C含有的情況如下：(b，w，W)，(b，w，B1)，(b，w，B2)，共3種，故P(C)＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8)，故P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).13．（5分）（2025·四川巴中一模）從0，1，2，3四個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(5,9)C．