概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大第二章課件第一頁，共104頁。第一節(jié)隨機變量在上一章中，我們把隨機事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機變量的概念，用隨機變量的取值來描述隨機事件。一、隨機變量引例：E1:將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。2第二頁，共104頁。e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)1e4=（反，反）0令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則X是一個隨著試驗結果不同而取值不同的量，其對應關系如下：由上可知，對每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)基本結果(e)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e)3第三頁，共104頁。與之對應。我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).

令X=“正面出現(xiàn)的點數(shù)”

E3：某產(chǎn)品的使用壽命X,X>=0.

E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.4第四頁，共104頁。一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一個變量X，使得試驗的每一個樣本點都有一個X的取值X(e)與之對應，這樣就得到隨機變量的概念.1、隨機變量的定義:

設E是一個隨機試驗，其樣本空間為S={e}，在E上引入一個變量X，如果對S中每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)與之對應，我們就稱X為定義在隨機試驗E的一個隨機變量.5第五頁，共104頁。（2）引入隨機變量的目的：用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數(shù)學的工具研究隨機現(xiàn)象。事件“正面至少出現(xiàn)一次”可表示為:“X≥1”；2、隨機變量的說明（1）隨機變量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次”可表示為:“0<X≤2”表示事件“正面至少出現(xiàn)一次”?！癤=2”；6第六頁，共104頁。例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；P(0<X≤2)=3/4；

隨機變量的取值具有一定的概率：(4)隨機變量的類型：這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同各有特點，學習時注意它們各自的特點及描述方式的不同。

具有隨機性:在一次試驗之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部可能的取值。

（3）隨機變量的特點:離散型與連續(xù)型隨機變量。7第七頁，共104頁。

例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童賣報，每份報0.50元,其成本為0.30元。報館每天給報童1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。解：分析{報童賠錢}{賣出報紙的錢不夠成本}當0.50X<1000×0.3時，報童賠錢.故{報童賠錢}{X600}

令X=“報童每天賣出的報紙份數(shù)”試將“報童賠錢”這一事件用X的取值表示出來。8第八頁，共104頁。（1）隨機變量X可能取哪些值？

（2）隨機變量X取某個值的概率是多大？3、隨機變量的概率分布引入隨機變量后,上述說法相應變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩τ谝粋€隨機試驗，我們關心下列兩件事情：（1）試驗會發(fā)生一些什么事件？（2）每個事件發(fā)生的概率是多大？9第九頁，共104頁。

對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說給出了隨機變量X的概率分布(也稱分布律）。這一章我們的中心任務是學習離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的概率分布.10第十頁，共104頁?！?離散型隨機變量及其分布11第十一頁，共104頁。

如果隨機變量X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則稱X為離散型隨機變量。一、離散型隨機變量的定義及其分布律1.離散型隨機變量的定義2.離散型隨機變量的分布律要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須且只需知道以下兩點：(1)X所有可能的取值:(2)X取每個值時的概率:12第十二頁，共104頁。稱(1)式為離散型隨機變量X的分布律.注:離散型隨機變量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)表格法:LL21kpppxxX2113第十三頁，共104頁。X012pk1/42/41/4例1：將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律。解：在此試驗中，所有可能的結果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律：14第十四頁，共104頁。圖形表示15第十五頁，共104頁。16第十六頁，共104頁。程序x=[0,1,2];pk=[1/4,2/4,1/4];figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)holdonplot(x,pk,'r-.')ylim([00.6])holdoffxlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')bar(x,pk,0.1,'r')ylim([00.6])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);xlim([0,2.3])text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')stem(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);17第十七頁，共104頁。3、離散型隨機變量分布律的性質(zhì)

例２:設隨機變量X的分布律為：試求常數(shù)a.18第十八頁，共104頁。例3:設隨機變量X的分布律為：試求常數(shù)a.19第十九頁，共104頁。練習:設隨機變量X的分布律為：試確定常數(shù)b.解：由分布律的性質(zhì)，有20第二十頁，共104頁。

解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:

設有產(chǎn)品100件，其中3件是次品。從中有放回地任取3件，求“取得次品件數(shù)X”的分布律。21第二十一頁，共104頁。這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來看一個重要的試驗——伯努利（Bernoulli）試驗。22第二十二頁，共104頁。二、伯努利（Bernoulli）試驗及二項分布(1)n次獨立重復試驗1、伯努利（Bernoulli）試驗將試驗E重復進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.(2)n重伯努利試驗滿足下列條件的試驗稱為伯努利（Bernoulli）試驗:①每次試驗都在相同的條件下重復進行；23第二十三頁，共104頁。②每次試驗只有兩個可能的結果:A及③每次試驗的結果相互獨立。若用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則n次試驗中事件A發(fā)生k次的概率為：

證明：在n重貝努利試驗中，事件A在前k次出現(xiàn)，而在后n-k次不出現(xiàn)的概率為:若滿足上述條件的試驗重復進行n次,則稱這一串試驗為n重伯努利(Bernoulii)試驗。24第二十四頁，共104頁。而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：25第二十五頁，共104頁。2、二項分布

用X表示n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，，則X的分布律為:此時稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為X～B(n,p).例1：

將一枚均勻的骰子擲4次，求3次擲出5點的概率.26第二十六頁，共104頁。

解：令A=“擲出5點”，令X=“4次拋擲中擲出5點的次數(shù)”，則4次拋擲中3次擲出5點的概率為：27第二十七頁，共104頁。程序和結果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure('color','w')plot(x,y,'r.','MarkerSize',31)figure('color','w')bar(x,y,0.1,'r')pxequal3=y(4)pxequal3=0.0154320987654328第二十八頁，共104頁。例2：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3個人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。29第二十九頁，共104頁。30第三十頁，共104頁。例3：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗

31第三十一頁，共104頁。例4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0<p<1，設命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗同時可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。32第三十二頁，共104頁。例5：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產(chǎn)品，設產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 設X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。33第三十三頁，共104頁。例6：某公交公司有車輛300臺，每臺出故障的概率是0.01，求至少有295輛車能正常運行的概率。至多有5輛車出故障的概率為：解：令X=“出故障的車輛數(shù)”，則X~B(300,0.01)。

至少有295輛車能正常運行，即至多有5輛車出故障。34第三十四頁，共104頁。三、Poisson定理及泊松分布設

>0為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設npn=λ,則對任一固定的非負整數(shù)k，有

考慮到直接計算上式較麻煩，當n很大p很小時，有下列近似計算公式：1、Poisson定理35第三十五頁，共104頁。36第三十六頁，共104頁。2、泊松分布定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…,而取每個值的概率為:則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布(Poisson),記為:1)泊松分布與二項分布的關系：這兩個分布的X～().說明：37第三十七頁，共104頁。數(shù)學模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項分布當n很大p很小時的近似計算。38第三十八頁，共104頁。程序對比泊松分布與二項分布poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.04;(b)n=8;p=0.4;39第三十九頁，共104頁。上兩圖程序代碼figure('color','w')n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=20,p=0.04','\lambda=n*p=0.8')figure('color','w')n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=8,p=0.4','\lambda=n*p=3.2')

40第四十頁，共104頁。上述例2的解答：3、Poisson分布的應用41第四十一頁，共104頁。分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函數(shù)編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.91709643671569Poissonsum=0.9160820579687042第四十二頁，共104頁。分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函數(shù)編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.9160820579687043第四十三頁，共104頁。四、（0—1）分布X01pk1-pp一個只有兩個結果的隨機試驗，都可以用（0－１）分布來描述。如新生嬰兒的性別，打靶中與不中等等。即X的分布律為：則稱X服從（0—１）分布。44第四十四頁，共104頁。作業(yè)題（同濟大學）P46：2題、5題、7題45第四十五頁，共104頁?！?隨機變量的分布函數(shù)引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數(shù)”，記P｛X≤1｝=F(1）P｛X≤2｝=F(2）P｛X≤3｝=F(3）……一般地：對任意的實數(shù)我們把稱為隨機變量X的分布函數(shù)。46第四十六頁，共104頁。設X為一隨機變量,為任意實數(shù),稱為隨機變量X的分布函數(shù)。2）分布函數(shù)的定義域為：值域為：注：

1）分布函數(shù)的含義：1、分布函數(shù)的定義:xa分布函數(shù)F(a)的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間(-∞,a]內(nèi)的概率值。如何求？47第四十七頁，共104頁。48第四十八頁，共104頁。

3）引進分布函數(shù)后，事件的概率可以用的函數(shù)值來表示。0（]ab49第四十九頁，共104頁。50第五十頁，共104頁。例1：已知隨機變量X的分布律為:X012pk1/42/41/4(1)求X的分布函數(shù)(2)求X的分布函數(shù)51第五十一頁，共104頁。52第五十二頁，共104頁。P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4=3/453第五十三頁，共104頁。2、分布函數(shù)的性質(zhì)

是右連續(xù)函數(shù)，即是一個單調(diào)不減函數(shù)54第五十四頁，共104頁。試說明F(x)能否作為某個隨機變量X的分布函數(shù)．例1：設有函數(shù)55第五十五頁，共104頁。求:(1)常數(shù)A，B的值；(2)P(0<X≤1)例2：設隨機變量X的分布函數(shù)為：56第五十六頁，共104頁。例3:下列函數(shù)中可作為隨機變量分布函數(shù)的是()．C57第五十七頁，共104頁。§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數(shù)若存在 非負的函數(shù)使對于任意實數(shù)有：其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。則稱X為連續(xù)型隨機變量，

連續(xù)型隨機變量的取值充滿一個區(qū)間，對這種類型的隨機變量不能象離散型的那樣用分布律描述，而是用概率密度描述。58第五十八頁，共104頁。

與物理學中的質(zhì)量線密度的定義相類似59第五十九頁，共104頁。5）連續(xù)型隨機變量X取任一實數(shù)的概率值為零.注意:5)表明求連續(xù)型隨機變量落在一個區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的情況。即60第六十頁，共104頁。隨機變量的分布函數(shù)、分布率、密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？區(qū)別：分布函數(shù)描述隨機變量的取值規(guī)律，隨機變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的；分布率只能描述離散型隨機變量的取值規(guī)律；密度函數(shù)只能描述連續(xù)型隨機變量的取值規(guī)律。聯(lián)系：61第六十一頁，共104頁。例1、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：求(1)P(0.3<X<0.7);(2)X的概率密度f(x).62第六十二頁，共104頁。例：設X的概率密度為(1)求常數(shù)c的值；(2)

寫出X的概率分布函數(shù)；

(3)要使 求k的值。解：013663第六十三頁，共104頁。64第六十四頁，共104頁。幾個重要的連續(xù)量均勻分布定義：X具有概率密度稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X～U(a,b)65第六十五頁，共104頁。例1某站點從8點到10點有一班車隨機到達,一乘客9點到達車站。問他能坐上該班車的概率。乘客9點到達能坐上班車的概率為:解：設X班車到達車站的時刻，則X～U（8，10）,故66第六十六頁，共104頁。例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機取10個數(shù)，求10個數(shù)中恰有 兩個數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設10個數(shù)中有Y個數(shù)大于0， 則：67第六十七頁，共104頁。由題意X的概率密度為：68第六十八頁，共104頁。69第六十九頁，共104頁。指數(shù)分布定義：設X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無記憶性：70第七十頁，共104頁。正態(tài)分布定義：設X的概率密度為 其中

為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為

的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗算：71第七十一頁，共104頁。稱μ為位置參數(shù)(決定對稱軸位置)σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)72第七十二頁，共104頁。X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。當固定μ時，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一個指標。

在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。73第七十三頁，共104頁。74第七十四頁，共104頁。則Z的分布函數(shù)為:一般正態(tài)分布的標準化75第七十五頁，共104頁。76第七十六頁，共104頁。77第七十七頁，共104頁。例：查書后附表78第七十八頁，共104頁。例：一批鋼材(線材)長度 (1)若μ=100，σ=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問σ至多取何值？79第七十九頁，共104頁。例：設某地區(qū)男子身高

(1)從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于

175cm的概率；(2)若從中隨機找5個男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？80第八十頁，共104頁。mu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma)plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175)

plarge175=0.09806037254757plargeless1=0.40311956686400plargeequal1=0.3244691543545581第八十一頁，共104頁。編程畫出幾個正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)曲線mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure('color','w')plot(x,y1,'r','LineWidth',3)legend('Normalprobabilitydensityfunction(pdf)\mu=10\sigma=3')figure('color','w')plot(x,y2,'g','LineWidth',3)legend('Normalcumulativedistributionfunction(cdf)\mu=10\sigma=3')82第八十二頁，共104頁。83第八十三頁，共104頁。標準正態(tài)分布的上分位點1）定義：設X~N（0，1），稱滿足陰影部分面積為84第八十四頁，共104頁。例5：求85第八十五頁，共104頁。編程計算例5的結果X=norminv(p,mu,sigm