概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大第二章課件第一頁，共104頁。第一節(jié)隨機(jī)變量在上一章中，我們把隨機(jī)事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念，用隨機(jī)變量的取值來描述隨機(jī)事件。一、隨機(jī)變量引例：E1:將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。2第二頁，共104頁。e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)1e4=（反，反）0令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則X是一個(gè)隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：由上可知，對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都有一個(gè)X的取值X(e)基本結(jié)果(e)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e)3第三頁，共104頁。與之對(duì)應(yīng)。我們把X稱為定義在這個(gè)試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

令X=“正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”

E3：某產(chǎn)品的使用壽命X,X>=0.

E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.4第四頁，共104頁。一般地，對(duì)每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一個(gè)變量X，使得試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)X的取值X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到隨機(jī)變量的概念.1、隨機(jī)變量的定義:

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為S={e}，在E上引入一個(gè)變量X，如果對(duì)S中每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都有一個(gè)X的取值X(e)與之對(duì)應(yīng)，我們就稱X為定義在隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)變量.5第五頁，共104頁。（2）引入隨機(jī)變量的目的：用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。事件“正面至少出現(xiàn)一次”可表示為:“X≥1”；2、隨機(jī)變量的說明（1）隨機(jī)變量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次”可表示為:“0<X≤2”表示事件“正面至少出現(xiàn)一次”?！癤=2”；6第六頁，共104頁。例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；P(0<X≤2)=3/4；

隨機(jī)變量的取值具有一定的概率：(4)隨機(jī)變量的類型：這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)注意它們各自的特點(diǎn)及描述方式的不同。

具有隨機(jī)性:在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)值，但事先知道它全部可能的取值。

（3）隨機(jī)變量的特點(diǎn):離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量。7第七頁，共104頁。

例1（用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）一報(bào)童賣報(bào)，每份報(bào)0.50元,其成本為0.30元。報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)紙，并規(guī)定賣不出的報(bào)紙不得退回。解：分析{報(bào)童賠錢}{賣出報(bào)紙的錢不夠成本}當(dāng)0.50X<1000×0.3時(shí)，報(bào)童賠錢.故{報(bào)童賠錢}{X600}

令X=“報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)”試將“報(bào)童賠錢”這一事件用X的取值表示出來。8第八頁，共104頁。（1）隨機(jī)變量X可能取哪些值？

（2）隨機(jī)變量X取某個(gè)值的概率是多大？3、隨機(jī)變量的概率分布引入隨機(jī)變量后,上述說法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情：（1）試驗(yàn)會(huì)發(fā)生一些什么事件？（2）每個(gè)事件發(fā)生的概率是多大？9第九頁，共104頁。

對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X，若給出了以上兩條，我們就說給出了隨機(jī)變量X的概率分布(也稱分布律）。這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.10第十頁，共104頁?！?離散型隨機(jī)變量及其分布11第十一頁，共104頁。

如果隨機(jī)變量X所有可能的取值是有限個(gè)或無窮可列個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量的定義及其分布律1.離散型隨機(jī)變量的定義2.離散型隨機(jī)變量的分布律要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律，必須且只需知道以下兩點(diǎn)：(1)X所有可能的取值:(2)X取每個(gè)值時(shí)的概率:12第十二頁，共104頁。稱(1)式為離散型隨機(jī)變量X的分布律.注:離散型隨機(jī)變量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)表格法:LL21kpppxxX2113第十三頁，共104頁。X012pk1/42/41/4例1：將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律。解：在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X”的分布律：14第十四頁，共104頁。圖形表示15第十五頁，共104頁。16第十六頁，共104頁。程序x=[0,1,2];pk=[1/4,2/4,1/4];figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)holdonplot(x,pk,'r-.')ylim([00.6])holdoffxlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')bar(x,pk,0.1,'r')ylim([00.6])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);xlim([0,2.3])text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')stem(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);17第十七頁，共104頁。3、離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)

例２:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：試求常數(shù)a.18第十八頁，共104頁。例3:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：試求常數(shù)a.19第十九頁，共104頁。練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：試確定常數(shù)b.解：由分布律的性質(zhì)，有20第二十頁，共104頁。

解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:

設(shè)有產(chǎn)品100件，其中3件是次品。從中有放回地任取3件，求“取得次品件數(shù)X”的分布律。21第二十一頁，共104頁。這個(gè)分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來看一個(gè)重要的試驗(yàn)——伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。22第二十二頁，共104頁。二、伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)及二項(xiàng)分布(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.(2)n重伯努利試驗(yàn)滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn):①每次試驗(yàn)都在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；23第二十三頁，共104頁。②每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果:A及③每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。若用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為：

證明：在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A在前k次出現(xiàn)，而在后n-k次不出現(xiàn)的概率為:若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次,則稱這一串試驗(yàn)為n重伯努利(Bernoulii)試驗(yàn)。24第二十四頁，共104頁。而事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次的方式為：25第二十五頁，共104頁。2、二項(xiàng)分布

用X表示n重Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，，則X的分布律為:此時(shí)稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為X～B(n,p).例1：

將一枚均勻的骰子擲4次，求3次擲出5點(diǎn)的概率.26第二十六頁，共104頁。

解：令A(yù)=“擲出5點(diǎn)”，令X=“4次拋擲中擲出5點(diǎn)的次數(shù)”，則4次拋擲中3次擲出5點(diǎn)的概率為：27第二十七頁，共104頁。程序和結(jié)果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure('color','w')plot(x,y,'r.','MarkerSize',31)figure('color','w')bar(x,y,0.1,'r')pxequal3=y(4)pxequal3=0.0154320987654328第二十八頁，共104頁。例2：設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。29第二十九頁，共104頁。30第三十頁，共104頁。例3：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗(yàn)

31第三十一頁，共104頁。例4：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0<p<1，設(shè)命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗(yàn)同時(shí)可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗(yàn)中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。32第三十二頁，共104頁。例5：有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下：先作第一次檢驗(yàn)， 從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，從中任取5件，僅當(dāng)5件 中無次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨(dú)立。A={接受該批}。33第三十三頁，共104頁。例6：某公交公司有車輛300臺(tái)，每臺(tái)出故障的概率是0.01，求至少有295輛車能正常運(yùn)行的概率。至多有5輛車出故障的概率為：解：令X=“出故障的車輛數(shù)”，則X~B(300,0.01)。

至少有295輛車能正常運(yùn)行，即至多有5輛車出故障。34第三十四頁，共104頁。三、Poisson定理及泊松分布設(shè)

>0為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設(shè)npn=λ,則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有

考慮到直接計(jì)算上式較麻煩，當(dāng)n很大p很小時(shí)，有下列近似計(jì)算公式：1、Poisson定理35第三十五頁，共104頁。36第三十六頁，共104頁。2、泊松分布定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2,…,而取每個(gè)值的概率為:則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布(Poisson),記為:1)泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個(gè)分布的X～().說明：37第三十七頁，共104頁。數(shù)學(xué)模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n很大p很小時(shí)的近似計(jì)算。38第三十八頁，共104頁。程序?qū)Ρ炔此煞植寂c二項(xiàng)分布poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.04;(b)n=8;p=0.4;39第三十九頁，共104頁。上兩圖程序代碼figure('color','w')n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項(xiàng)分布:n=20,p=0.04','\lambda=n*p=0.8')figure('color','w')n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項(xiàng)分布:n=8,p=0.4','\lambda=n*p=3.2')

40第四十頁，共104頁。上述例2的解答：3、Poisson分布的應(yīng)用41第四十一頁，共104頁。分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函數(shù)編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.91709643671569Poissonsum=0.9160820579687042第四十二頁，共104頁。分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函數(shù)編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.9160820579687043第四十三頁，共104頁。四、（0—1）分布X01pk1-pp一個(gè)只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以用（0－１）分布來描述。如新生嬰兒的性別，打靶中與不中等等。即X的分布律為：則稱X服從（0—１）分布。44第四十四頁，共104頁。作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)）P46：2題、5題、7題45第四十五頁，共104頁?！?隨機(jī)變量的分布函數(shù)引例：設(shè)X=“擲一顆骰子時(shí)擲出的點(diǎn)數(shù)”，記P｛X≤1｝=F(1）P｛X≤2｝=F(2）P｛X≤3｝=F(3）……一般地：對(duì)任意的實(shí)數(shù)我們把稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。46第四十六頁，共104頁。設(shè)X為一隨機(jī)變量,為任意實(shí)數(shù),稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。2）分布函數(shù)的定義域?yàn)椋褐涤驗(yàn)椋鹤ⅲ?/p>

1）分布函數(shù)的含義：1、分布函數(shù)的定義:xa分布函數(shù)F(a)的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間(-∞,a]內(nèi)的概率值。如何求？47第四十七頁，共104頁。48第四十八頁，共104頁。

3）引進(jìn)分布函數(shù)后，事件的概率可以用的函數(shù)值來表示。0（]ab49第四十九頁，共104頁。50第五十頁，共104頁。例1：已知隨機(jī)變量X的分布律為:X012pk1/42/41/4(1)求X的分布函數(shù)(2)求X的分布函數(shù)51第五十一頁，共104頁。52第五十二頁，共104頁。P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4=3/453第五十三頁，共104頁。2、分布函數(shù)的性質(zhì)

是右連續(xù)函數(shù)，即是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)54第五十四頁，共104頁。試說明F(x)能否作為某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．例1：設(shè)有函數(shù)55第五十五頁，共104頁。求:(1)常數(shù)A，B的值；(2)P(0<X≤1)例2：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：56第五十六頁，共104頁。例3:下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是()．C57第五十七頁，共104頁?！?連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義：對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)若存在 非負(fù)的函數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)有：其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿一個(gè)區(qū)間，對(duì)這種類型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用分布律描述，而是用概率密度描述。58第五十八頁，共104頁。

與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似59第五十九頁，共104頁。5）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一實(shí)數(shù)的概率值為零.注意:5)表明求連續(xù)型隨機(jī)變量落在一個(gè)區(qū)間上的概率值時(shí)，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的情況。即60第六十頁，共104頁。隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布率、密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？區(qū)別：分布函數(shù)描述隨機(jī)變量的取值規(guī)律，隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的；分布率只能描述離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律；密度函數(shù)只能描述連續(xù)型隨機(jī)變量的取值規(guī)律。聯(lián)系：61第六十一頁，共104頁。例1、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：求(1)P(0.3<X<0.7);(2)X的概率密度f(x).62第六十二頁，共104頁。例：設(shè)X的概率密度為(1)求常數(shù)c的值；(2)

寫出X的概率分布函數(shù)；

(3)要使 求k的值。解：013663第六十三頁，共104頁。64第六十四頁，共104頁。幾個(gè)重要的連續(xù)量均勻分布定義：X具有概率密度稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X～U(a,b)65第六十五頁，共104頁。例1某站點(diǎn)從8點(diǎn)到10點(diǎn)有一班車隨機(jī)到達(dá),一乘客9點(diǎn)到達(dá)車站。問他能坐上該班車的概率。乘客9點(diǎn)到達(dá)能坐上班車的概率為:解：設(shè)X班車到達(dá)車站的時(shí)刻，則X～U（8，10）,故66第六十六頁，共104頁。例：在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù)，求10個(gè)數(shù)中恰有 兩個(gè)數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0， 則：67第六十七頁，共104頁。由題意X的概率密度為：68第六十八頁，共104頁。69第六十九頁，共104頁。指數(shù)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無記憶性：70第七十頁，共104頁。正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中

為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為

的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗(yàn)算：71第七十一頁，共104頁。稱μ為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置)σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)72第七十二頁，共104頁。X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。當(dāng)固定μ時(shí)，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。

在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。73第七十三頁，共104頁。74第七十四頁，共104頁。則Z的分布函數(shù)為:一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化75第七十五頁，共104頁。76第七十六頁，共104頁。77第七十七頁，共104頁。例：查書后附表78第七十八頁，共104頁。例：一批鋼材(線材)長(zhǎng)度 (1)若μ=100，σ=2，求這批鋼材長(zhǎng)度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使這批鋼材的長(zhǎng)度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問σ至多取何值？79第七十九頁，共104頁。例：設(shè)某地區(qū)男子身高

(1)從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測(cè)身高，求他的身高大于

175cm的概率；(2)若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測(cè)身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？80第八十頁，共104頁。mu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma)plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175)

plarge175=0.09806037254757plargeless1=0.40311956686400plargeequal1=0.3244691543545581第八十一頁，共104頁。編程畫出幾個(gè)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)曲線mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure('color','w')plot(x,y1,'r','LineWidth',3)legend('Normalprobabilitydensityfunction(pdf)\mu=10\sigma=3')figure('color','w')plot(x,y2,'g','LineWidth',3)legend('Normalcumulativedistributionfunction(cdf)\mu=10\sigma=3')82第八十二頁，共104頁。83第八十三頁，共104頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)1）定義：設(shè)X~N（0，1），稱滿足陰影部分面積為84第八十四頁，共104頁。例5：求85第八十五頁，共104頁。編程計(jì)算例5的結(jié)果X=norminv(p,mu,sigm