（小專題沖刺訓(xùn)練）三角形壓軸題-2025年中考數(shù)學(xué)專題突破

1.在V/3C和中,NACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC,DC<AC.

E

圖1圖2

（1）如圖1,求證：AD=BE；

⑵當(dāng)點(diǎn)。落在線段8E上時(shí).

①如圖2,若力。平分/B4C時(shí)，CD=6，求線段的長(zhǎng);

②如圖3,尸是NB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸尸〃CE交4D于點(diǎn)尸，當(dāng)EP=CE時(shí)，判斷線段/C

與C￡的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.臂架泵車（如圖1）是一種用于建筑工程中混凝土輸送和澆筑的特種工程車輛，集混凝

土泵送、臂架伸展和移動(dòng)功能于一體，廣泛應(yīng)用于高層建筑、橋梁、隧道等施工場(chǎng)景.圖2

是其輸送原理平面圖，進(jìn)料口A到建筑樓的水平距離為24米,到地面的垂直距離為2米，AB,

BC,CD,DE為輸送臂，可繞A,B,C,D旋轉(zhuǎn),已知輸送臂48垂直地面且N8=14米，

8C=CD=13米，DE=1米,/BCD=134.8°,ZCDE^112.6°.

cD

(1)AD的長(zhǎng)約為；(直接寫出答案)

⑵求出料口到地面的距離.

(參考數(shù)據(jù)：sin67.4°?,cos67.4°,sin56.3°?—,cos56.3°?—)

3.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在矩形/BCD中，點(diǎn)尸是矩形/BCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作好1分別交

8c于點(diǎn)￡,F.則尸/2+尸。2PB2+PD?.(填=”或“<”)

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形/BCD中，點(diǎn)P是矩形Z2CQ外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作斯14D,分別交4D,

BC的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖3,在中，NB/C=90。，P是Rt△48C外一點(diǎn)，PA=1,尸3=3,尸。=百,

則BC的最小值為

圖I

4.我們定義：如圖1,在V/BC中，把繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)口(0°<0<180。)得到/Q，

把/C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)P得到AC,連接B'C，當(dāng)a+￡=180。時(shí)，我們稱AABC是VABC

的“旋補(bǔ)三角形"，△4B'C'邊8'C'上的中線AD叫做V48c的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)/叫做“旋補(bǔ)中

心”.

特例感知：

(1)在圖2,圖3中,△/B'C'是V4BC的“旋補(bǔ)三角形”,40是V48c的“旋補(bǔ)中線”

①如圖2,在V/2C為等邊三角形時(shí)，AD與8C的數(shù)量關(guān)系為BC；

②如圖3,當(dāng)/B4C=90。，8c=8時(shí)，則/。長(zhǎng)為

猜想論證：

(2)在圖1中，當(dāng)V/8C為任意三角形時(shí)，猜想NO與2C的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖4,在四邊形48C。中，ZC=90°,ND=150。，3c=12,CD=24，在四邊形內(nèi)

部是否存在點(diǎn)尸，使△尸DC是人尸48的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求在48的“旋

補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

5.綜合與探究

問(wèn)題背景

數(shù)學(xué)課上、同學(xué)們以“直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1,在VA8C中，

ZACB=90°,4C<3C,點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE1交3c于點(diǎn)￡,連接NE,

點(diǎn)尸是/E的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接。EDG,CF.

初步探究：

(1)DG與CF的數(shù)量關(guān)系為；

深入探究

(2)如圖2將VADE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABMN,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)W,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)N,連接/N,點(diǎn)F是/N的中點(diǎn)，點(diǎn)H是3N的中點(diǎn)，連接尸。，F(xiàn)'H,尸和尸'C.

①試判斷四邊形BD尸臼的形狀，并說(shuō)明理由；

②求證：F'M=F'C；

拓展延伸

(3)如圖3,在V4BC中，NC=5,8C=10,NC=90。，點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DQL8C

于點(diǎn)。，將△3D。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)△C8。是以80為底邊的

等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的CQ的值.

圖3備用圖

6.【探究】

(1)已知V/8C和VNDE都是等邊三角形.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在8C上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?zhí)骄緾4CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?jiān)俅翁骄緾4CE和CO之間的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【運(yùn)用】

(2)如圖3,等邊三角形4BC中，48=6,點(diǎn)￡在/C上，CE=26.點(diǎn)。是直線BC上

的動(dòng)點(diǎn)，連接。E,以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形OEF,連接CF.當(dāng)ACE尸為直

角三角形時(shí)，請(qǐng)寫出8。的長(zhǎng)

AABC=AADH.

⑵如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn)E,/E+/CHE=180。，用等式表示AD、BE和CH之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明;

(3)點(diǎn)。從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M為射線上一點(diǎn)，AD=2DM,連接CM,若P

為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，直線尸。與直線NC交與點(diǎn)G,當(dāng)CA/

取得最小值時(shí)，AC=3AG,直接寫出此時(shí)看的值.

AB

8.已知：RtZSNBC中，AB=BC,a13C=90。，點(diǎn)。，￡分別在邊48,AC±(均不與點(diǎn)

/重合)，連接。E.

⑴特例探究：如圖1,當(dāng)點(diǎn)〃，￡分別與點(diǎn)3,。重合時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到線段在，連接/尸，4尸與8C的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是;

(2)類比探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，E不與點(diǎn)B,C重合時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到線段也，連接NRN廠與8c的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,當(dāng)點(diǎn)￡不與點(diǎn)C重合，且。為48的中點(diǎn)時(shí)，將線段DE繞點(diǎn)￡順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段也，點(diǎn)G是點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)G,D,尸在一條直線

上，且/C=4也，求CE的長(zhǎng).

9.綜合與實(shí)踐

(1)如圖1,VABC的NABC和ZACB的平分線BE,CF相交于點(diǎn)G.

①若N/=50。，則NBGC=；

②求證：ABGC=90°+g//.

【數(shù)學(xué)思考】

(2)如圖2,V/BC中N/5C的平分線與其外角//CE的平分線交于點(diǎn)。，猜想//與

/80C之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,菱形/2CO的頂點(diǎn)4。在OO上，NB與OO相交于點(diǎn)瓦尸為，B的中點(diǎn)，若

Ap

AFEC=90°,ACAE=ZFEA=2ZACE,求巴的值.

AD

10.如圖，在V4BC中，AB=AC,/B/C=90。，點(diǎn)。是直線上一點(diǎn)，連接40,將。4

繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接AE.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在8C的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸是/E的中點(diǎn)，C尸的延長(zhǎng)線交切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G,探索線段NG,AC,。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,若點(diǎn)。在8C邊上，點(diǎn)P是40的中點(diǎn)，40=2,連接PC,將線段NP繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)得到/。，連接30,將2。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到,連接尸當(dāng)尸C取最大值時(shí),

直接寫出此條件下△尸CM的面積的最大值.

《(小專題沖刺訓(xùn)練)三角形壓軸題-2025年中考數(shù)學(xué)專題突破》參考答案

1.⑴見(jiàn)解析；

⑵①&'+2；②*'=囪.

【分析】(1)證明A/CDgA8CE(SAS),然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；

(2)①作于點(diǎn)V,求出囪/=。凹=。1=。-5反/67)￡=8-5反45°=1,再

通過(guò)等腰直角三角形性質(zhì)可得NCA8=NCA4=45。，又AD平分/BAC,則

ZCAD=ZBAD=22.5°,再得出DZ)CB=DC5E,則有2。=0。=拒，最后通過(guò)線段和差即可求

解；

②延長(zhǎng)EC交4D于點(diǎn)G,連接CF交4D于點(diǎn)H,證明ACG〃均"“(ASA),則有

AQ4H

CH=FH,再證明△力所以——二——，設(shè)FH=x,則/尸=C/=2x,在

FPFH

RtZ\4FH中，由勾股定理得一〃=，/尸+尸尸=底,再代入求解即可.

【詳解】(1)證明：?:NACB=NDCE,

：.NACB+ZBCD=NDCE+NBCD,即乙4c。=NBCE,

又?：AC=BC,DC=EC,

：.AACD^ABCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：①如圖，作CN_L8￡于點(diǎn)M,

ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC,CD=也,

：.ZCDE=ZE=45°,

EM=DM=CM=CD-sinNCDE=CD-sin45°=1,

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

,/平分N2/C,

ACAD=ABAD=22.5°

?；NACD@BCE,

：.AD=BE,ZCBE=ZCAD=22.5°f

：.ZDCB=ZCDE-/CBE=22.5°,

i)DCB=0CBE,

BD=CD=C，

???AD=BE=BD+DM+CM=42+2;

②如圖，延長(zhǎng)EC交4。于點(diǎn)G,連接。尸交4。于點(diǎn)”,

?：YACD縉BCE,

：.ZADC=ZE=45°,

：./ADE=/ADC+ZCDE=90°,

：.ZEGD=ZE=45°,

：.DE=DG,

???NDCE=90°,

???CG=CE=FP,

■:FP//CE,

：.ZFPH=ZCGH=45°,ZGCH=APFH

?,.△CG〃絲△"http://(ASA),

CH=FH,

VZDCE=90°,AC=BC,b是的中點(diǎn),

CF=AF,ZACF=45°fZAFC=90°,

：./FPH=ZACF,

ZAHC=ZFHP,

：.AAHCS/HP,

ACAH

FP~FH

設(shè).FH=x,則/尸=CF=2x,

在Rt/\AFH中，由勾股定理得AH=^AF2+FH2=&，

.ACACAH

"CE~FP~FH~'

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直

角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

2.(1)24；

(2)23米

【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三

角形.

(1)過(guò)點(diǎn)C作利用銳角三角函數(shù)可得3M=12,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

BD=2BM=24米;

(2)過(guò)點(diǎn)3作5尸J.EP,垂足為P,利用勾股定理可以求出3。=24米，根據(jù)進(jìn)料口A到建

筑樓的水平距離為24米，可得8尸=24米，根據(jù)HL可證RMEDB也RLEPB,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可得進(jìn)料口到地面的距離為成+16=7+16=23(米).

【詳解】(1)解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)C作

?.?N8CD=134.8。，CB=CD,

ZBCM=-x134.8°=67.4°,BM=DM,

2

BM=BCsinZBCM=SCsin67.4°?13x—=12,

13

:.BD=2BM=24(7^),

故答案為：24米；

(2)解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)3作AP_L￡P(guān),垂足為尸,

在RLBDE中，

<￡>￡=7米，

BE=ylBD2+DE2=V242+72=25米，

?.?AP=24米，

BP=BD,

D

RLEDB與R3EPB,

DE=PE,

.?.E到地面的距離為即+16=7+16=23(米)，

到地面的距離為23米.

3.(1)=；(2)成立，見(jiàn)解析(3)V11-1

【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短、類比及數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題.

221122

(1)由尸/=/月2+尸￡2,PQ1=PF2+FC2,PB^BF+PF，PD=PE+DE，進(jìn)一

222

步可得尸/2+pc^PB+PD,于是得到問(wèn)題的答案；

(2)先證明四邊形NBFE和四邊形。CFE都是矩形，則NE=8尸，DE=CF,所以

PD-=CF2-PE2,PA2=BF2+PE2,求得PD?-PT=CF?-BF?；MPC2=CF2+PF2,

PB2=BF2+PF2，求得PC2-尸B2=C尸2-8尸2,所以PC?-PB?=PD?-PT,貝U

PA2+PC-PB2+PD2,所以(1)中結(jié)論成立；

(3)作交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則/PMC=90。，所以PC?=PM?,

PA2=PM2+AM'作BNLPM交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作CTLNB交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,

連接NT、PT,可證明四邊形4m/和四邊形CKW都是矩形，貝lj7W=CAf,BN=AM,

=PN2+CM2,PB2=PN1+AM1,貝!I尸產(chǎn)一尸。2=尸發(fā)-尸/?=??？一尸用?，求得/>7=而，

則。+12而，所以8。2而-1，求得8c的最小值為而一1，于是得到問(wèn)題的答案.

【詳解】解：(1):矩形48C。，EF1AD,

：.NAEF=ZDEF=90°,AD//BC,

：.NBFE=90°=ZCFE,

：.PA?=AE?+PE?，PC2=PF2+FC2,PB2^BF2+PF2，PD~=PE2+DE2-

在矩形ABCD中，EF1AD,

四邊形/加瓦CFED是矩形，

；.AE=BF,ED=FC,

，PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+FC1，PB2+PD2=BF2+PF2+PE2+DE2，

PA2+PC2^PB2+PD2.

故答案為：=.

(2)成立，理由：：四邊形48co是矩形，

/.ZBAD=AABC=ZADC=ZBCD=90°,

ZEAB=ZFBA=90°.

?/EF1AD,

：.ZE=90°,

四邊形ABFE和四邊形DCFE都是矩形，

：.AE=BF,DE=CF.

,/PD2=DE2+PE2=CF2+PE1,PA2=AE2+PE2=BF2+PE2,

：.PD2-PA1=CF2-BF2.

,/PC1=CF2+PF2,PB2=BF2+PF2，

PC2-PB~=CF2-BF1,

PC2-PB2=PD1-PA2,

PA2+PC2PB2+PD2.

(3)如圖，作Rif，。交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,貝I]/PMC=90。,

■yvi

y

PC2=PM2+CM2,PA2=PM2+AM2-

作BN交尸M的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作CT，2vB交A?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)7,連接PT.

:NA4c=90°,

NBAM=90。.

,：ZAMN=ZN=ACTN=90°,

...四邊形ABNM和四邊形CTNM都是矩形，

TN=CM,BN=AM,

：.PT2=PN2+TN2=PN2+CM2，PB2=PN2+BN2=PN2+AM2,

PT2-PC1=PN2-PM2，PB2-PA2=PN2-PM2,

：.PT--PC2^PB2-PA1.

,/PA=\,PB=3,PC=5

/.PT=yjPB^P^-PA2=^32+(A/3)2-12=Vil.

"：TA+PA>PT,

L4+1>ViT>

?'.Z4>VTT-1-

,?AB//MN,

；.NABT=NN=90°,ffi]ZACT=90°,

四邊形/37C是矩形，

TA=BC,

SC>VH-I.

???8c的最小值為而_1.

故答案為：Vii-i.

4.(1)①;；②4；(2)AD=^-BC,見(jiàn)解析；(3)存在，見(jiàn)解析；g

22

【分析】(1)①首先證明是含有30。是直角三角形，可得即可解決問(wèn)題；

②首先證明ABAC%B，AC',根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問(wèn)題；

(2)結(jié)論：AD=；BC.如圖1中，延長(zhǎng)/。到使得=連接,CM，

首先證明四邊形是平行四邊形，再證明△胡C會(huì)即可解決問(wèn)題；

(3)存在.如圖4中，延長(zhǎng)4D交8c的延長(zhǎng)線于W,作于E,作線段BC的垂

直平分線交8E于P,交BC于F,連接尸/、PD、PC,作△尸CD的中線尸N.連接。廠交

尸C于。.想辦法證明尸/=P。，PB=PC,再證明/4RD+/BPC=180。即可.

【詳解】(1)解：①如圖2中，

是等邊三角形,

:.AB=BC=AC=AB'=AC,

-：DB'=DC,

AD±B'C,

QABAC=60°,ZBAC+ZB'AC'=ISO°,

AB'AC=120°,

NB'=ZC'=30°,

:.AD=-AB'=-BC,

22

故答案為g.

?：ABAC=90°/B/C+/B'/C'=180。，

AB'AC=ABAC=90°,

AB=AB',AC=AC,

ABA84B'AC',

:.BC=B'C,

■：B'D=DC,

AD=-B'C=-BC=9,

22

故答案為9.

(2)結(jié)論：AD=^BC.

理由：如圖1中，延長(zhǎng)40到使得4D=DM,連接C'M，

圖1

四邊形NC為必，是平行四邊形，

AC'=B'M=AC,

ZBAC+ZB'AC'=\80°,ZB'AC+ZAB'M=180°,

ZBAC=ZMB'A,

AB=AB',

ABAC^/\AB'M,

BC=AM,

;.AD=-BC.

2

(3)解：存在.理由：

如圖4中，延長(zhǎng)40交BC的延長(zhǎng)線于M,作2￡_L4D于￡,作線段BC的垂直平分線交BE

于尸，交BC于F,連接尸N、PD、PC,作△尸CO的中線尸N.

連接。尸交尸C于。.

?/=150°,

/.ZMDC=30°,

在RMOCAf中，?.?CD=243,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

:.CM=2fDM=4,ZM=60°,

在中，VZBEM=90°,BM=14./MBE=3。。，

:.EM=^BM=7,BE=1BM2-EM?=76

:.DE=EM-DM=3,

??,AE=4AB1-BE1=J(2回『一二3

/.AE=DE,

,.，BELAD,

PA=PD,PB=PC,

在RtZXCQ廠中，,:CD=2日CF=6,

tanZ.CDF=，

/CDF=60°

ZADF=90°=ZAEB,

NCBE=4CFD,

?;/CBE=ZPCF,

ZCFD=ZPCF,

vZCFD+ZCDF=90°,ZPCF+/CPF=90°,

ZCPF=ZCDF=60°,

在△尸CP和△(?即中，

ZPCF=ZCFD

CF=FC

ZCPF=/CDF

,AFCP^△CFZ)(ASA),

CD=PF,

?/CD//PF,

四邊形CQ勿是矩形，

/./COP=90。，

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

:.^ADP是等邊三角形，

/.ZAPD=60。,

???Z.BPF=ZCPF=60°,

ZBPC=no0,

ZAPD+ZBPC=ISO°,

：，APDC是APAB的“旋補(bǔ)三角形”，

在Rt△尸ZW中，?;/PDN=90。，PD=AD=6,DN=6

PN=y/DN2+PD2="可+6=回.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直

角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考

壓軸題.

5.（1）DG=CF；（2）①平行四邊形，理由見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（3）|V10^|V2

【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得出=,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

得出=即可得出答案；

2

（2）①根據(jù)中位線的性質(zhì)得出。/〃BN,DF'=-BN,HF'//AB,HF'=-AB,即可得

22

出結(jié)論；

②連接NX、CD,證明AM/F'絲ANDC（SAS）,得出〃？=。尸即可；

（3）連接CD,根據(jù)勾股定理和直角三角形性質(zhì)求出=麗7=56，

CD=BD=AD=；AB=3&求出3Q=C0=；2C=5,DQ^AC^,分兩種情況討

論：當(dāng)△8。。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中8。，C5'時(shí)，當(dāng)△8。。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中8。，。時(shí)，分別畫(huà)出

圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：(1):點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，G為BE的中點(diǎn),

/.DG=-AE,

2

VZACE=90°,尸為NE的中點(diǎn)，

CF=-AE,

2

DG=CF■,

(2)①四邊形為平行四邊形；理由如下：

:點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是/N的中點(diǎn)，

/.DF'//BN,DF'=-BN,

2

:點(diǎn)H是BN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是/N的中點(diǎn)，

；.HF'〃AB,HF'^-AB,

2

，四邊形BDF'H為平行四邊形；

②連接NH、CD,如圖所示：

,/EDLAB,

：.NBDE=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：ABMN邑BDE,

：.ZBMN=ZBDE=90°,NDBC=NMBN,

:點(diǎn)〃是8N的中點(diǎn)，

：.MH=BH=NH=-BN,

2

ZBMH=ZMBH,

4MHN=ABMH+AMBH=24MBH,

,/四邊形BDF'H為平行四邊形，

DF'=BH,

MHDF',

...點(diǎn)。為N8的中點(diǎn),

CD=BD=-AB,

2

JZDBC=ZDCB,

JZCDA=ZDBC+ZDCB=2ZDBC,

?.?ZDBC=ZMBN,

???4MHN=ZCDA,

??,HP=LAB,

???HF'=CD,

VHF'//AB,DF'//BN,

：.ZNHF1=ZNBA,ZNBA=ZADFr,

???ZNHFr=ZADFf,

JAMHN+ZNHFr=ZCDA+ZADFr,

J4MHF'=NFDC,

A△AffiF^AFT)C(SAS),

???MF'=CP；

(3)連接C。，

BQC

:點(diǎn)。為N2的中點(diǎn)，44c2=90。，

:?AB=dAC2+BC?=5下,CD=BD=AD=；AB=g4i

：.ZDBQ=ZDCQ,

'：DQLBC,

：.BQ=CQ=^BC=5,ZBQD=ZDQC=90°,

:點(diǎn)。為/B的中點(diǎn)，

當(dāng)△300在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中8。_LC8'時(shí)，如圖所示:

A

則N0GQ'=9O。，

?：ZDQ'G=ZDQG=90°,

四邊形DQG。'為矩形,

：.QG=DQ'=DQ^,GQ'=DQ=^,

：.BG=BQ-QG^5-^=^,

/.QG=BG,

?：CGIBQ,

；.CG垂直平分80,

CQ=CB,

/.ABC。是以8。為底的等腰三角形,

...此時(shí)符合題意,

CG=CQ'-Q'G=5-^^,

.?.C0=JCG2+0G2=N；

當(dāng)△AD。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中LCD時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，連接班乙過(guò)點(diǎn)2作

BGLDH于點(diǎn)、G,如圖所示:

則NBDC=ZDHC=90°,

NDQ'C=NHCQ=NDHC=90°,

四邊形為矩形，

：.CH=DQ'=^,DH=CQ'=5,

NBDG+ZCDH=ZCDH+ZDCH=90°,

/BDG=ZDCH,

CD=DB'=DB=5,/DGB=ZCHD=90°,

ADGBACHD,

:?BG=DH=5,DG=CH=~,/BDG=/BCH,

2

GH=DH-DG=~,

2

???DG=GH,

：.BG垂直平分。H,

BD=BH,

：.BH=BD,ZBHG=ZBDG,

：.CD=BH,

DC=DA,

：.ZDCH=ADAH,

?.?DQ//AC,

.??ZBrDQr=ADAH,

?.?/BDQ=/B，DQ,

?,.ZDCH=ZBDQ,

ZDCH=ZBHG,

?,.ZBDQ=ZBHG,

???ZBDC=ZDHC=90°,

：.ZBDQ+ZBDC=ZBHG+ZDHC,

ZCDQ=ZBHC,

VDQ=DQf=CH,

：.^CDQ^BHC,

：.CQ=BC,

???^BCQ是以為底的等腰三角形，

???此時(shí)符合題意，

u：BD=CD=—,ZBDC=90°,

2

CQ=BC=JCD2+BD2=-V10.

2

綜上分析可知：.滿足條件的CQ的值為1而或《收.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌

握相關(guān)的判定和性質(zhì).

6.(1)①C4=CE+C。，理由見(jiàn)解析；②CE=C4+CD,理由見(jiàn)解析；(2)6-抬■或6+2百

【分析】(1)?CA=CE+CD.證明△氏4￡>gAC4￡(SAS)可得即得

BC=BD+CD=CE+CD,進(jìn)而可得C4=CE+CZ)；

②CE=CA+CD.同理①即可求解；

(2)分點(diǎn)。在8C上，NE尸C=90。和點(diǎn)。在2C的延長(zhǎng)線上，NCE尸=90。兩種情況，畫(huà)出

圖形，結(jié)合四點(diǎn)共圓及圓周角定理解答即可求解；

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角

三角形，等角對(duì)等邊，應(yīng)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)①CA=CE+CD,理由如下：

WABC和VADE都是等邊三角形，

:.AB=AC=BC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即ABAD=NCAE,

：.△BAD知CAE(SAS'),

BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

:AC=BC,

：.CA=CE+CD；

?CE=CA+CD,理由如下：

WABC和VADE都是等邊三角形，

:.AB=AC=BC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

ABAC+ADAC=ZDAE+ADAC,

即ABAD=NCAE,

：.ABAD^ACAE(SAS),

BD=CE,

：.CE=BD=BC+CD=CA+CD,

即CE=C4+CZ)；

(2)解：分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)。在3c上，NE尸C=90。時(shí),

WABC和力EF都是等邊三角形，

，ZEFD=ZECD=60°,

C、D、E、尸四點(diǎn)共圓,

NEFC=90°,

；.CE為該圓的直徑，

ZCDE=90°,

,:CE=2拒,/ECD=60°,

：.CD=CE-cos60。=2百xL百，

2

:.BD=BC-CD=6-6

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在8c的延長(zhǎng)線上，NCE尸=90。時(shí),

VVABC和ADEF都是等邊三角形,

ZACB=ZEFD=60°,

ZECD=120°,

：.NECD+NEFD=180°,

D、E、尸四點(diǎn)共圓，

ZCEF=90°,

；.C尸為該圓的直徑，

ZCDF=90°,

ZEDF=60°,

ZCD^=90°-60°=30°,

???ZCED=180°-120°-30°=30°,

???ZCED=ZCDE,

CD=CE=26

:?BD=BC+CD=6+2C；

綜上，的長(zhǎng)為6-班或6+2A/L

3

7.⑴加a

(2)BD=BE+CH,證明見(jiàn)解析

(3)修的值為:或|

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得3c=/3=4,NABC=NC=60。,從而可得CD=3,

證明AABDSADCH,由相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)作BG〃EH交AC于G,在8G上取一點(diǎn)N,使得BE=EN,令BG交AD于M,則

NGBE+NBEH=180°,ZCHE=ZCGB,NGBE=NBNE,證明四邊形GHEN為平行四邊

形，得出GH=NE=BE,由等邊三角形的性質(zhì)可得4B=4C=BC,NBAC=NC=ZABC=60°,

證明A/3G會(huì)AG4D(ASA),得出CD=NG,從而可得BC-CD=/C-/G,即8D=CG,

即可得解；

(3)作/尸工3C于尸，證明A48尸SA4DM,得出ZAMD=ZAFB=90。,即由

垂線段最短可得，當(dāng)CM，。8時(shí)，CM的值最小，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合,

再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)G在線段NC上時(shí)，連接DG,作DKJ.N3于K,DLLPQ于L；當(dāng)點(diǎn)

G在C4的延長(zhǎng)線上時(shí)；分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：：V48c為等邊三角形，

:.BC=AB=4,NABC=NC=60°,

：.CD=BC-BD=3,

/ABC=ZADH=60°,

ZBAD+ZADB=ZADB+ZCDH=120°,

ZBAD=ZCDH,

AABDSADCH,

ABCD43

—二——，即nn一二——，

BDCH1CH

3

：.CH=-

4

(2)解：BD=BE+CH,證明如下:

如圖，作5G〃￡〃交4C于G,在BG上取一點(diǎn)N,使得BE=EN,令BG交AD于M,

￡

貝l」/GB￡+/B￡〃=180。，NCHE=NCGB,/GBE=/BNE,

NBEH+NCHE=T8U。,

：.ACHE=/GBE=ZBNE=ZBGC,

???NE//GC,

???四邊形GHEN為平行四邊形，

：.GH=NE=BE,

???V4BC為等邊三角形，

AB=AC=BC,ABAC=ZC=ZABC=60°,

BG〃EH,

：.ZBMD=ZADH=ZABC=60°,

ZBMD=ZABM+ZBAM=60°,ZCAD+ZBAM=60°,

：.ZCAD=AABG,

AAABG^ACAD(ASA),

：.CD=AG,

：.BC-CD=AC-AG,BPBD=CG,

：.BD=CG=GH+CH=BE+CH；

(3)解：如圖：作4尸工BC于尸，

E

：V4BC為等邊三角形，

BF=-BC=-AB,AB=AC=60°,

22

AD=2DM,ZADH=ZABC,

ABFADM，

：.ZAMD=ZAFB=90°,即

由垂線段最短可得，當(dāng)CM，。//時(shí)，CM的值最小，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)。與點(diǎn)尸重

合，如圖所示：

:尸為線段N5上一點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于直線尸。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，直線尸。與直線NC交與點(diǎn)G,

...當(dāng)點(diǎn)G在線段/C上時(shí)，連接。G,作DKL48于K,DLLPQ于L,如圖所示：

設(shè)/G=2a,貝l|/C=3/G=6a,CG=4a,

AB=BC=AC=6a,

BD=CD—3a,

由折疊的性質(zhì)可得。。=5。=3〃,

:?DK=DH=DL=%xstn6b=￡^a，

2

???點(diǎn)尸在NK"的角平分線上，點(diǎn)G在/皿Z的角平分線上,

:?/KDP=/LDP,ZLDG=ZHDG,

VZBDK=900-ZB=30°,ZCDH=90°-ZC=30°,

180。一/BDK—/CDH

?,.ZPDL+ZGDL=二6(J,

2

：.ZBDP+ZCDG=120°f

???NBDP+NBPD=120。，

：.ZBDP=ZCDG,

ABDPS^CGD,

.BDBPnn3aBP

?.CG~CD’4a~3a

9

BP=—a,

4

9

:.PB「3；

AB6a8

如圖，當(dāng)點(diǎn)G在C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，則CG=4S+4G=8Q,

同理可得：N尸。缶=60。,

NBDP+/CDG、=12(F,

/BDP+/BPD=\20。,

：./BDP=NCDG],

:.ABDPS八CGp,

BDBP3aBP

???函=五，即藐=五

9

BP=—a,

8

9

AB6a16

綜上所述，片的值為之或。.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性

質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的

關(guān)鍵.

8.(1)平行，相等

Q)AF〃BC,見(jiàn)解析

⑶血

【分析】(1)先證再證=則四邊形/6C尸是平行四邊形，即可得出結(jié)

論；

(2)過(guò)E作W_L/C交45的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,證明尸也△，ME(SAS),得

ZEAF=ZEMD=45°,則/E4b=即可得出結(jié)論；

(3)連接4尸、CF,過(guò)E作W_L45于點(diǎn)"，延長(zhǎng)"石交CF于點(diǎn)〃，證四邊形Z8C廠是

正方形，得“5〃C尸，/BCF=90°,ZACF=45°,再證AEFHWDEM(AAS)，得EH=DM,

然后證△EC"是等腰直角三角形，得EH=CH,進(jìn)而得⑷/=即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZDEF=90°fDE=FE,

\'ZABC=90°,

/ABC+NDEF=180。,

:.CF//AB,

???AB=BC,

AB=CF,

二?四邊形/BC尸是平行四邊形，

:.AF〃BC,AF=BC,

故答案為：平行；相等；

(2)解：：如圖2,過(guò)石作瓦〃_LZC交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

?：ZABC=90°,AB=BC,

/BAC=/BCA=45。,

/.AAEM是等腰直角三角形，

:.ME=AE,ZAME=45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：FE=DE,/DEF=9伊,

/DEF=ZAEM,

:"DEF-/AED=/AEM-/AED,

即ZAEF=ZMED,

:.^AEF^MED（SAS）f

NEAF=/EMD=45°,

NEAF=/BCA,

/.AF//BC；

(3)解：如圖3,連接Z尸、CF,過(guò)E作瓦于點(diǎn)M,延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H,

貝!JNEMO=90。，

由(2)可知4尸〃BC,

...NDAF=/DBG,AAFD=NG,

?.?。為45的中點(diǎn),

AD-BD9

:.AADF^BDG（AAS）,

AF=BG,

???點(diǎn)G是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，

/.BG=BC,

AF=BC,

四邊形Z5C廠是平行四邊形，

vAB=BC,AABC=90°,

???平行四邊形ABCF是正方形，

/.AB//CF,/BCF=9。。,ZACF=45°,

MH1AB,

MHLCF,

：.BM=CH,ACHE=ZFHE=90°,

/.AEFH+AFEH=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：FE=DE,/DEF=90。,

ADEM+ZFEH=90°,

/.ZEFH=/DEM,

/EMD=ZFHE=90°,

s.^EFH^DEM(AAS),

/.EH=DM,

\'ZACF=45°,

.?.△EC"是等腰直角三角形，

,EH=CH,

:.DM=BM=-BD=-AD,

22

/.AM=3BM,

/EMD=/ABC=90°,

/.EM//BC,

AEAM°

.ECBM?

AE=3EC.

■;AE+EC=A6,

C￡=V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理

等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等

是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

9.（1）①115。；②見(jiàn)詳解；（2）ABOC=-AA-證明見(jiàn)詳解；（3）避二1

22

【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義可以得到=ZGCB=^-ZACB,再根

據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到V/BC和晶臺(tái)。的三個(gè)內(nèi)角的和是180。，對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即

可求出；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)定義可以得到=NGCB="CB,再根

據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到V/3C和AGBC的三個(gè)內(nèi)角的和是180。，對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即

可證明；

（2）根據(jù)角平分線的定義可以得到=DOCE=hACE,再根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)得到ZBOC=ZOCE-ZOBC^ZA=ZACE-ZABC,最后對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即

可.

根據(jù)角平分線的定義可以得到NO8C=!N/8C,ZOCM=^-ZACM,再根據(jù)三角形的（3）

22

連接8D,設(shè)跖與ND交于點(diǎn)M,由四邊形N8CD是菱形，得/3=/C4E,由NEEC=90。，

ZCAE=ZFEA=2ZACE,可得N/CE=18。，Z3=ZCAE=ZFEA=2ZACE=36°,

ZDAE=Z3+ZCAE=72°,ZAME=180°-ZDAE-ZFEA=72°,進(jìn)而可推出/E=ME,

Z2=ZFEA=36°,NDAE=NDEA=72°,Z4=36°=Z2=ZFEA,DM=ME,證明

^AEMs^ADE,進(jìn)而可得AE1=AD-AM=AD-[AD-AE）,

，化「3+力小+4小心-1）/°,即可求解.

22

【詳解】（1）解:①NBGC=115°,

理由：：/ABC,//C2的平分線相交于點(diǎn)G,

NGBC=-ZABC,ZGCB=-ZACB,

22

ZBGC=180°-（ZGBC+NGCB）

=180°-!^ZABC+；NACBj

180°-^(ZABC+ZACS)

18O°-1(18O0-Zy4)

900+-ZA,

2

/4=50°,

ZBGC=90°+-ZA=90°+-x50°=115°,

22

故答案為：115。；

②證明：：/ABC,N/C8的平分線相交于點(diǎn)G,

NGBC=-ZABC,ZGCB=-ZACB,

22

ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)

=18(F-；(NASC+N/C8)

=180°-1(180°-Z^)

=90°+-ZA,

2

ZBGC=90°+-ZA；

2

(2)解：ZBOC=^ZA；

證明：?.?80平分N/8C,CO平分//CE,

:.ZOBC=-ZABC,BOCE=-DACE,

22

ZBOC=ZOCE-ZOBC

=-ZACE--ZABC

22

^^(ZACE-ZABC)

7

ZBOC=-AA.

2

(3)解：連接8。，設(shè)樣與4D交于點(diǎn)M,

圖3

/.Zl+ZACE=90°,

???四邊形/5CQ是菱形，

Z3=ZCAE,

???ZCAE=ZFEA=2ZACE,

Z3=ZCAE=ZFEA=2ZACE,

???Z1=ZCAE+ZFEA,

Z1=4ZACE,

.?.4NACE+NACE=90。,

ZACE=18°f

Z3=/CAE=ZFEA=2ZACE=36°,

/.ZDAE=/3+ZCAE=72°,ZAME=180。—NDAE-ZFEA=72°,

ZDAE=ZAME,

/.AE=ME,

???萬(wàn)為介的中點(diǎn),

:.AF=DF

Z2=ZFEA=36°,

ZDAE=ZDEA=72°,

/4=36。=N2=/FEA,

DM=ME,

；AAEMS八ADE,

.AEAM

'^D~~AE'

AE2=AD-AM=AD-(AD-AE),

：.AE2+AD-AE-AD2=0,

11

.AE-AP+AD+AAD=巴小￡(舍負(fù))，

"22

(51)/0

.AE_2回1?

"7D~AD-2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、同弧

所對(duì)的圓周角相等、相似三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等量代換思

想是解題關(guān)鍵