第三章立體的投影及表面的交線3.1基本幾何體的投影3.2立體表面的截交線3.3立體表面的相貫線化工制圖微信掌握常用平面立體和曲面立體的投影；平面體截交線及圓柱、圓錐、球截交線的概念、基本性質(zhì)、形狀特點(diǎn)和相貫線的概念、基本性質(zhì)及曲面立體的相貫線分析方法和作圖方法。教學(xué)目的及教學(xué)要求六棱柱螺栓三棱錐圓柱圓錐球體圓環(huán)3.1基本幾何體的投影基本幾何體平面立體曲面立體完全由平面圍成的立體，稱為平面立體。由曲面（回轉(zhuǎn)面）或曲面（回轉(zhuǎn)面）與平面所圍成的立體，稱為回轉(zhuǎn)體。六棱柱螺栓三棱錐圓柱圓錐球體圓環(huán)3.1.1三視圖的形成及對應(yīng)關(guān)系1、三視圖的形成VHW長對正高平齊寬寬XYZVWH寬相等2、投影對應(yīng)關(guān)系VHW長對正高平齊寬寬主視俯視長相等且對正主視左視高相等且平齊俯視左視寬相等且對應(yīng)長對正寬相等高平齊寬相等“三等”原則是三視圖的重要特性，也是畫圖和讀圖的依據(jù)！3、方位對應(yīng)關(guān)系VHW上下左右后前上下前后左右

主視圖反映：上、下；左、右

俯視圖反映：前、后；左、右

左視圖反映：上、下；前、后3.1.2平面立體的投影1、棱柱棱柱是由兩個底面和若干個側(cè)面圍成的。相鄰側(cè)面的交線稱為棱線，各棱線相互平行，頂面和底面為多邊形。斜棱柱直棱柱其他形式直棱柱正棱柱棱柱棱線不與底面垂直的棱柱。底面為正多面性的直棱柱。棱線垂直于底面的棱柱底面為特征面（a)直觀圖（b)投影作圖正六棱柱三視圖作圖（1）棱柱的三視圖繪制三視圖的畫法:先畫反映底面特征的多邊形三視圖；再根據(jù)投影規(guī)律畫出各側(cè)面和棱線的三視圖。三視圖的特點(diǎn):

與特征面平行的投影面上的視圖反映特征面實(shí)形的多邊形；其余兩個投影則有由若干矩形組成。（2）棱柱表面取點(diǎn)已知正六棱柱面上點(diǎn)M的V面投影m′及N點(diǎn)的H面投影n，求該兩點(diǎn)在另兩個投影面上的投影。（b)投影圖m

a(d)b(c)a′d′b′c′n分析：(1)確定點(diǎn)所在的平面，并分析該平面的投影特性；（2）再根據(jù)投影規(guī)律畫出其余兩個投影面上的投影。123（2）棱柱表面取點(diǎn)已知正六棱柱面上點(diǎn)M的V面投影m′及N點(diǎn)的H面投影n，求該兩點(diǎn)在另兩個投影面上的投影。（a)直觀圖（b)投影圖m

a(d)b(c)a′d′b′c′mm

nn'n

MABDCdm

m

m五棱柱作圖步驟：畫底面和頂面的投影畫五條棱線的投影判別可見性2、棱錐棱錐由一個底面和若干個三角形側(cè)面組成，側(cè)面匯交于一點(diǎn)（稱為錐頂），底面為特征面。當(dāng)棱錐底面為正多邊形，各側(cè)面為全等的等腰三角形時，稱為正棱錐。（1）棱錐的三視圖繪制三視圖的畫法:先畫底面的各個投影；再畫錐頂?shù)娜齻€投影；最后連接各棱線的同面投影即畫出棱錐三視圖。作圖YXZs"Ss'b'c'ACBb"a"bcsaa'O(c")(a)直觀圖(b)投影aba′b′c′ca"(c")b"正三棱錐的投影s"ss′三視圖的特點(diǎn):

與特征面平行的投影面上的視圖反映特征面實(shí)形的多邊形，錐頂?shù)耐队芭c底面的各頂點(diǎn)直線相連，另兩個視圖由若干三角形組成。b'a's'c'sabc(c")a"b"s"(b)投影m

n(n

)n

mm

正三棱錐柱面上取點(diǎn)分析：（1）確定點(diǎn)所在的平面，并分析該平面的投影特性；（2）再根據(jù)投影規(guī)律畫出其余兩個投影面上的投影。（2）棱錐表面取點(diǎn)已知正三棱錐面上點(diǎn)M的V面投影m′及N點(diǎn)的H面投影n，求該兩點(diǎn)在另兩個投影面上的投影。(a)直觀圖(d')四棱錐作圖步驟：畫底面的投影畫錐頂?shù)耐队爱嬎臈l棱線的投影（）（）3.1.3曲面立體的投影曲面立體（回轉(zhuǎn)體）

由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體，稱曲面立體。由一條母線（直線或曲線）繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的表面，稱為回轉(zhuǎn)面?；剞D(zhuǎn)體的投影繪制方法：在投影面上把組成回轉(zhuǎn)體的回轉(zhuǎn)面或平面與回轉(zhuǎn)面表示出來，并判別其可見性。圓柱圓錐球體圓環(huán)運(yùn)動的線（直線或曲線）固定的線（直線）素線——母線位于回轉(zhuǎn)面任一位置時的線。1、圓柱圓柱面可看成是由一條直線（母線）繞與它平行的軸線回轉(zhuǎn)一。如圖所示，OO

1

稱為軸線，直線AA1稱為母線，母線回轉(zhuǎn)的任一位置稱為素線。OO1AA1O1A圓柱體由兩個互相平行且相等的圓平面和一個圓柱面組成。頂面底面圓柱面（1）圓柱體三視圖三視圖的特點(diǎn):

與底面平行的投影面上的視圖為圓，另兩個視圖為大小相等的矩形。圓柱的投影※必須繪制對稱中心線三視圖的畫法：

先畫出形狀為圓的視圖，再畫出其他兩個視圖（轉(zhuǎn)向輪廓線）。m'mm"(

)nn'(n")分析：①確定點(diǎn)所在位置；②分析該平面的投影特性；③再根據(jù)投影規(guī)律畫出其余兩個投影面上的投影。

圓柱面上M點(diǎn)和N點(diǎn)正面投影，求水平投影和側(cè)面投影。（2）圓柱體表面上取點(diǎn)2、圓錐圓錐面是由一條直母線繞著與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而形成的。圓錐體的表面由圓錐面和底面圓組成。底面圓錐面圓錐體（1）圓錐體三視圖三視圖的畫法：

先畫出底面圓的各個投影，再畫出錐頂?shù)耐队?，然后分別畫出其他兩個視圖（轉(zhuǎn)向輪廓線）。三視圖的特點(diǎn):與底面平行的投影面上的視圖為圓，另兩個視圖為大小相等的三角形。圓錐的投影（2）圓錐體表面上取點(diǎn)aa"A(a)(b)

已知圓錐上點(diǎn)A的正面投影，求水平投影和側(cè)面投影。a'a"sAba輔助素線(c)(d)b"b'作圖方法1：輔助素線法已知圓錐面上點(diǎn)A的正面投影，求水平投影和側(cè)面投影。Saa"A輔助緯圓(a)(b)作圖方法2：輔助緯圓法EFf'e'3、球體球面可看成一條半圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)一。三視圖的特點(diǎn):三視圖皆為與圓球直徑相等的圓。三視圖的畫法：

作圖時先畫出各視圖的中心線，再畫出直徑相等的圓。（1）圓錐體三視圖（2）球體表面上取點(diǎn)

已知球面上點(diǎn)A的正面投影，求水平投影和側(cè)面投影。a"Aa輔助緯圓(a)(b)用輔助正平圓作圖輔助緯圓Aaa"

球面上取點(diǎn)(c)(d)第三章立體的投影及表面的交線3.1基本幾何體的投影3.2立體表面的截交線3.3立體表面的相貫線3.2立體表面的截交線

較復(fù)雜立體，如帶缺口的平面立體，可以看成是基本立體被單個或多個截平面截切后形成的。

平面截切幾何體而產(chǎn)生的交線，稱為截交線；該平面稱為截交面；截交線圍成的圖形稱為截?cái)嗝?；被截平面截切之后的立體稱為截切體。CDBA截交線截交面截切體截交線性質(zhì)（1）共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面，是截平面與立體表面的共有線段。（2）封閉性：截交線是封閉的平面圖形。截交線形狀取決于幾何體表面的性質(zhì)及截平面相對幾何體的位置。如圖，截交線的頂點(diǎn)是平面立體的棱線（或底邊）與截平面的交點(diǎn)，它的邊是截平面與平面立體表面的交線。截交線求法首先，求出截交面和幾何體表面共有的點(diǎn)。然后，用直線或曲線將這些點(diǎn)連接起來，即可得到截交線。3.2.1平面切割平面立體

求截平面與立體棱線的交點(diǎn)或截平面與立體表面的交線。★求平面立體截交線的實(shí)質(zhì)：

分析截平面與立體的相對位置

分析截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性1.空間及投影分析2.畫出截交線的投影

求出截平面與棱線的交點(diǎn)(或截平面與棱面的交線），判斷可見性。

依次連接成多邊形。確定截交線的形狀★求截交線的步驟：3.完善輪廓例1：求正四棱錐被一正垂面P截切后的投影。正四棱錐被一正垂面截切(a)題圖1、分析：形體分析與投影分析；ABCD(a)截切體abca"c"b"(d')dd"a'b'c'①求正垂面與立體的交線ABCD2、作圖：abca"c"b"(d')dd"a'b'c'(c)整理、加深②整理、加深A(yù)BCD(d)檢查、完成ABCDabcda"c"b"(d')d"a'b'c'③檢查、完成例2：已知正六棱錐被兩側(cè)平面和一水平面截切，補(bǔ)畫三視圖。

求截交線

完善輪廓

檢查

注意截交線投影的類似性注意可見性

空間分析和投影分析3.2.2平面切割曲面立體求截平面與曲面上素線的交點(diǎn)(表面取點(diǎn))，然后依次光滑連接?！锴蠡剞D(zhuǎn)體截交線的實(shí)質(zhì)：★求截交線的步驟：

⒈分析

分析回轉(zhuǎn)體的形狀、截平面的相對位置。

分析截平面、回轉(zhuǎn)體投影特性。如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，預(yù)見未知投影。⒉畫出截交線的投影截交線的投影為非圓曲線時，作圖步驟為：

光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的可見性。

先找特殊點(diǎn)（素線投影上的點(diǎn)和極限位置點(diǎn)）。確定截交線的形狀確定截交線的投影特性

補(bǔ)充一般點(diǎn)。3.完善輪廓。1、平面與圓柱相交

由于截平面與圓柱軸線的相對位置不同，截交線有三種不同的形狀。截平面位置截交線形狀立體圖投影圖例1：分析如圖所示的開槽圓柱，畫其三視圖。1

(2

)211

2

12341'2'(4')3'1341"2"3"4"(6')5'66"5"（b)7'(8')87"8"(a)題圖分析：空間分析與投影分析；②找特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影③作一般點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影④光滑連線ⅠⅧⅥⅤⅣⅡⅢⅦ①作圓柱體的三視圖作圖步驟:

例2：求圓柱被一正垂面P截切后的投影。橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。45°什么情況下投影為圓呢？截平面與圓柱軸線成45°時。

﹥45°

﹤45°虛實(shí)分界點(diǎn)例3：求左視圖。2、平面與圓錐相交

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。例1：求圓錐被一正垂面P截切后的投影。作圖1求出截交線上的特殊點(diǎn)；2求出一般點(diǎn)；3光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；4整理輪廓線。例2：求如圖所示形體的三視圖。1)找特殊點(diǎn)2)補(bǔ)充中間點(diǎn)3)依次光滑連接各點(diǎn)2:求正垂截面與立體的交線1)找特殊點(diǎn)2)補(bǔ)充中間點(diǎn)3)依次光滑連接各點(diǎn)并整理4)作水平面與立體的其他交線并整理1:求水平面與立體的交線31524平面與圓錐相交342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊點(diǎn)。（2）再求一般點(diǎn)。（3）依次光滑連接各點(diǎn)。5”具體步驟如下：例3:圓錐被水平面截切。3、平面與圓球相交

用一截平面切割球，所形成的截交線都是圓。當(dāng)截平面為投影面平行面時，截交線在該投影面上的投影為圓，其余兩面投影積聚為直線，線段的長度等于截交線圓的直徑。球被水平面截切的三視圖

當(dāng)截平面與某一投影面垂直時，截交線在該投影面上的投影集聚為直線，在其他兩投影面上投影均為橢圓。1‘2‘3‘4‘2(1)(2”)1”4433”4”4”5”555”5”分析:形體與投影分析;

QP作圖:①完成平面P的投影②完成平面Q的投影例1：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。第三章立體的投影及表面的交線3.1基本幾何體的投影3.2立體表面的截交線3.3立體表面的相貫線3.3立體表面的相貫線

在機(jī)器上常出現(xiàn)兩立體相交的情況。兩立體相交稱為相貫，相貫時兩立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線，參與相貫的立體稱為相貫體。相貫線也為兩立體的分界線。相貫線的特性

（1）表面性：相貫線位于兩立體的表面上。

（2）共有性：相貫線是互相貫穿的兩個形體表面的共有線，也是兩個相交形體的表面分界線；

（3）封閉性：相貫線一般為封閉光滑的空間曲線，特殊情況可能為不封閉的空間曲線，也可能為平面曲線或直線。相貫線為封閉的空間曲線(b)相貫線為不封閉的空間曲線(d)相貫線為直線(c)相貫線為平面曲線相貫線的畫法（1）利用積聚性求相貫線兩圓柱相貫或圓柱與其它回轉(zhuǎn)體相貫時，如果圓柱的軸線垂直于投影面，則圓柱面在這個投影面上的投影具有積聚性。（2）輔助平面法求相貫線輔助平面法的原理是用一個截平面依次截切兩個相貫的物體，所得的截交線必有幾點(diǎn)處于三面共點(diǎn)的位置。作圖步驟：求特殊點(diǎn)作中間點(diǎn)判斷可見性光滑連線共有線共有點(diǎn)3.3.1回轉(zhuǎn)體同軸相交兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時——相貫線為圓3.3.2回轉(zhuǎn)體正交兩回轉(zhuǎn)體軸線垂直相交——正交兩回轉(zhuǎn)體軸線垂直交叉——偏交兩回轉(zhuǎn)體軸線傾斜相交——斜交（利用積聚性求相