函數(shù)第6節(jié)嘉函數(shù)與二次函數(shù)第6節(jié)嘉函

數(shù)與二次函數(shù)

1

-1

考試要求L了解募函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)丁=工，y=_?,y=x3,y=x1,的圖

象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、

不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.

■知識(shí)診斷自測(cè)

【知識(shí)梳理】

1.募函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)31叫做募函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見(jiàn)的五種募函數(shù)的圖象

⑶募函數(shù)的性質(zhì)

①募函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

⑴一般式：

(2)頂點(diǎn)式：j[x)=a(x~m)2+n(a0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，

(3)零點(diǎn)式：y(x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,X2為4x)的零點(diǎn).

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y—加+bx+c(tz>0)y=ax2+bx-\-C(Q<0)

K

圖象（拋物線）

/oL

定義域R

4ac—b2(4ac-

.+oo-8.

值域_4a，十1'4a」

_b

對(duì)稱(chēng)軸x=二/

1-b4ac-4

頂點(diǎn)坐標(biāo)-2a-~4aJ

奇偶性當(dāng)6=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)5W0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在I8,1上是增函

在iTa

上是減函數(shù)；數(shù)

單調(diào)性

在「梟+8）

上是增函數(shù)在d+8；上是減函

數(shù)

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.（1）嘉函數(shù)y=y中，a的取值影響募函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；

（2）募函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限.

2.對(duì)勾函數(shù)丁=6+《（漏>0）極值與圖象的拐點(diǎn)可利用基本不等式求得.

Ji

3.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

［a>0,fa<0,

4.若火x）=af+"x+c"O）,則當(dāng)j.時(shí)，恒有於）>0；當(dāng)屋。時(shí)，恒有段）<0.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“?”或“X”）

（1）函數(shù)y=2x3是募函數(shù).（）

⑵二次函數(shù)y=af+6x+c的圖象恒在x軸下方，則a<0且/<0.（）

⑶若二次函數(shù)7=0?+^+。的兩個(gè)零點(diǎn)確定，則二次函數(shù)的解析式確定.（）

4-cic—廿

（4）二次函數(shù)y=^^+法+以工6加，川）的最值一定是，4〃?（）

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

解析(1)由于嘉函數(shù)的解析式為五x)=d,

故y=2。不是嘉函數(shù)，故(1)錯(cuò)誤.

(3)二次函數(shù)y=f—%與丁=2好一2x零點(diǎn)相同，但解析式不同，故(3)錯(cuò)誤.

A4-dC一抉

(4)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸％=—依［加，加時(shí)，最值則不是故(4)錯(cuò)誤.

2.若募函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則募函數(shù)y=/(x)的大致圖象是()

答案C

解析設(shè)嘉函數(shù)的解析式為丁=產(chǎn)，

因?yàn)榧魏瘮?shù)4=%)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),

所以2=4。，解得a=g,

所以y=也，其定義域?yàn)椋?,+8),且是增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l時(shí)，其圖象在直線y=x的上方，對(duì)照選項(xiàng)知C正確.

3.已知y=/(x)為二次函數(shù)，若y=/(x)在x=2處取得最小值一4,且y=/(x)的圖象

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則函數(shù)解析式為.

答案J［X)=X2—4X

解析由題意，可設(shè)y(x)=a(x—2)2—4(a>0),

又圖象過(guò)原點(diǎn)，所以次0)=4。一4=0,<2=1,

所以40=(%—2)2—4=/—4x.

4.若函數(shù)五x)=4f—日一8在［5,20］上單調(diào)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為.

答案(一8,40］U［160>+°°)

解析依題意知，［巳20或：W5,

OO

解得左N160或左W40.

■考點(diǎn)

考點(diǎn)一事函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1(1)募函數(shù)丁=ny=xb,y=xc,y=/在第一象限的圖象如圖所示，則a,b,

c,d的大小關(guān)系是()

A.a>b>c>dB.d>b>c>a

C.d>c>b>aD.b>c>d>a

答案D

解析觀察函數(shù)圖象可知在(1,+8)上，函數(shù)圖象與x軸的距離由遠(yuǎn)及近為y=

y=xc,y=xd,y=^,

其函數(shù)的指數(shù)的大小為b>c>d>a.

421

升b=封3,則處0,。的大小關(guān)系為

(2)(2024?石家莊調(diào)研)已知a/C

)

A.a<b<cB.c<a<b

C.a>b>cD.b<c<a

答案B

422_

解析由a=人=及了，0=氏)3,

222

得yT畀。=即

2111

因?yàn)楦绾瘮?shù)丁=%在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且不不可，

222

所以即c<a<。故選B.

感悟提升1.對(duì)于募函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條直線分第一象限

為六個(gè)區(qū)域，即x=l,y=l,y=x所分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>\

的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

2.在比較累值的大小時(shí)，必須結(jié)合基值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性

進(jìn)行比較.

P

訓(xùn)練1（1）已知基函數(shù)y=X3（>GZ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示，則（)

A.p為奇數(shù)，且p>0B0為奇數(shù)，且2<0

C0為偶數(shù)，且p>0D.p為偶數(shù),且p<0

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=4的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

所以函數(shù)尸舌為偶函數(shù)，即2為偶數(shù),

P

又函數(shù)y=%3的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+°°）,且在（0,+8）上單調(diào)遞減,

所以叁0,即p<0.

（2）（2024?德州模擬隔函數(shù)於）=（川+加一5）產(chǎn)2+2”廠5在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增,

則/3）等于（）

A.27B.9

11

C9D-27

答案A

解析由題意，得源+冽-5=1,

即機(jī)2+加一6=0,解得機(jī)=2或m=-3,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，可得函數(shù)應(yīng)。=》3,此時(shí)函數(shù)4x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)機(jī)=一3時(shí)，可得兀0=%—2,

此時(shí)兀t）在（0,+8）上單調(diào)遞減，不符合題意，

即第函數(shù)段）=我,則43）=27.

考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式

例2已知二次函數(shù)人為滿(mǎn)足火2）=—1,五-1）=—1,且人勸的最大值是8,則人防

答案一4/+4X+7

解析法一(利用“一般式”)

設(shè)兀0=to2+Ox+c(aW0).

“4a+2〃+c=-1,(-

[a=~4,

由題意得＜ai+c=T，解得＜。=4,

〔-^~=8，3=7.

所以所求二次函數(shù)的解析式為五x)=-4f+4x+7.

法二(利用“頂點(diǎn)式”)

設(shè)?x)=a(x—機(jī)＞+”(a￥0).

因?yàn)镴2)=/(—1),

所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2+("n=|,

所以m=1.

又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8,

所以〃=8,

所以“x)=a(x—T)

+8.

因?yàn)槠?)=-1,

2

所以a(2—+8=-1,

解得。=—4,

2

所以人x)=一4卜一3I+8=-4/+4x+7.

法三(利用“零點(diǎn)式”)

由已知力?+1=0的兩根為xi=2,X2=—l,

故可設(shè)_/(%)+1=a(x—2)(尤+l)(aW0),

即fi,x)=a^—ax—2a—l.

又函數(shù)有最大值8,

ri4a(—2a—1)一(一。)2

解得a=—4或a=0(舍).

故所求函數(shù)的解析式為_(kāi)/(x)=-4X2+4X+7.

感悟提升求二次函數(shù)解析式的方法

_［三點(diǎn)坐標(biāo)I選用一般式)

d頂點(diǎn)坐標(biāo)卜

［對(duì)稱(chēng)軸)-［選用頂點(diǎn)式)

U最大(小)值.

―［與X軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)I選用零點(diǎn)式)

訓(xùn)練2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,

則二次函數(shù)的解析式為

1313

答案y=/+x—］或,=_牙2―工+］

解析因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),

所以可設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x—l)(aW0),

展開(kāi)得，y=ax1+2ax—3a,

,—12a2-4a2

頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為---石=—4a,

由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離為2,

所以|一4臼=2,即a=土;，

131八3

所以二次函數(shù)的解析式為丁=中2+%一］或_y=--%2—%+-

考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

角度1二次函數(shù)的圖象

例3(1)已知函數(shù)火%)=加+桁+。，若a〉Z?〉c,且a+b+c=0,且函數(shù)?x)的圖象

可能是()

答案D

解析由a>b>c且a+6+c=0,

得a>0,c<0,

所以函數(shù)圖象開(kāi)口向上，排除A,C；

又汽0)=c<0,排除B.故選D.

(2)(多選)如圖是二次函數(shù)y=云+c(aWO)圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(—3,

0),對(duì)稱(chēng)軸為x=-1.給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為()

A.Z?2>4<7CB.2a—b=1

C.a—b+c=0D.5a<b

答案AD

解析因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn),

所以廬一4ac>0,即戶(hù)>4ac,A正確.

對(duì)稱(chēng)軸為x=~l,

b

即一五=—1,2a—b=Q,B錯(cuò)誤.

結(jié)合圖象，當(dāng)x=-l時(shí)，j>0,

即a-b-\-c>0,C錯(cuò)誤.

由對(duì)稱(chēng)軸為％=—1知，b=2a.

根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，知。<0,

所以5a<2a,即5a<6,D正確.

感悟提升研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有

一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；

“一線”是指對(duì)稱(chēng)軸這條直線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.

角度2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

例4已知函數(shù)八只二%2一及一1.

⑴若1x)在區(qū)間(一1,2)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

(2)若1,2],求人勸的最小值g⑺.

解=—1

4

(1)依題意,-1<2<2,

解得一2</<4,

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍是(一2,4).

(2)①當(dāng)q22,即/巳4時(shí)，<%)在［―1,2］上單調(diào)遞減,

所以=/(2)=3—2t.

②當(dāng)一1《<2,即一2</<4時(shí)，?min=^j)=-l-

③當(dāng)夫-1,

即/W—2時(shí)，於)在［-1,2］上單調(diào)遞增,

所以y(X)min=f(—1)=/.

't,tW—2,

尸

綜上，g?)=j—1—4,-2<r<4,

、3—2t,7三4.

感悟提升閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三

點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

及分類(lèi)討論的思想求解.

訓(xùn)練3(1)(多選)二次函數(shù)y=af+fcv+c的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是

A.2a+b=QB.4a+2Z?+c<0

C.9a+36+c<0D.abc<0

答案ACD

解析由二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下知a<0,

b

對(duì)稱(chēng)軸為無(wú)=一五=1,即2。+6=0,故。>0.

又因?yàn)槿?)=(?>0,所以a0c<0.

汽2)=/0)=4a+2。+c>0,

/(3)=X-l)=9?+3Z?+c<0.

(2)已知函數(shù)火x)=f+(2a—l)x—3.

①當(dāng)。=2,x￡[-2,3]時(shí)，求函數(shù)_/(x)的值域；

②若函數(shù)1x)在[—1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)。的值.

解①當(dāng)a=2時(shí)，Hx)=/+3x—3,%￡[-2,3],

3

函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線廠一技[—2,3],

/3>9921

.?.?V)min=/L引=1]—3=—彳，/x)max=/(3)=15,

-21~

「?火工)的值域?yàn)橐会埽?5.

②函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

2a_1]

(i)當(dāng)一2<19即一]時(shí)，Z(X)max=y(3)=6Q+3,

6a+3=l,即。=一/滿(mǎn)足題意；

(日)當(dāng)一-^—>1,即。<一]時(shí)，/x)max=y(-1)=—2fl—1,

—2a—1=1,即a=-1,滿(mǎn)足題意.

綜上可知，a=—1^—L

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.若募函數(shù)兀4m+4>工加2-6冽+8在(0,+8)上為增函數(shù)，則機(jī)的值為

()

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由題意得冽2-4機(jī)+4=1,且機(jī)2一6機(jī)+8>0,解得機(jī)=1.

6

2.已知函數(shù)火x)=/3,若a=/W.606),5=人0.6。4),c=^0.4°-),則a,b,c的大小

關(guān)系是()

A.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案B

解析VO.4o-6<O.6o-6<O.6°-4,

又y=/(x)=x—3在(0,+8)上是減函數(shù)，

/.b<a<c.

3.若二次函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(l)=l,g(—1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn)，則g(x)的解析式為()

A.g(x)=2x2—3xB.g(x)=3x2—2x

C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=—3X2—lx

答案B

解析二次函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(l)=l,g(—1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn)，

設(shè)二次函數(shù)為g(x)=ax2+0),

a+b=l,

可得J,u則。=3，b=—2,

a-b=j,

所求的二次函數(shù)為g(x)=3x2-2x.

4.(2023?廈門(mén)模擬)函數(shù)y=ax-\-b和丁=加+。尤+c在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖

象可以是()

答案C

解析若a>0,則一次函數(shù)y=ax+6為增函數(shù)，二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c的圖象

開(kāi)口向上，故可排除A,D；

b

對(duì)于B,由直線可知a>Q,b>0,從而一詬<0,而二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，

故排除B,選排

5.已知a,b,cGR,函數(shù)^若汽0)=X4)次D，則()

A.a>0,4a+6=0B.a<0,40=0

C.a>0,2。+6=0D.a<0,2a+6=0

答案A

b

解析由汽0)=人4),得“x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=—五=2,所以4a+b=0,

又火0）=A4）次1）,

所以人x）的圖象開(kāi)口向上，a>0.故選A.

6.已知函數(shù)兀^二%2—4x+l的定義域?yàn)椋?,H，在該定義域內(nèi)函數(shù)的最大值與最小

值之和為一5,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

A.（l,3］B.［2,3］

C.（l,2］D.（2,3）

答案B

解析易知<x）=N—4x+l的圖象是一條開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2的拋物

線，

當(dāng)x=l時(shí)，y=~2,當(dāng)x=2時(shí)，y=~3,

由丁=—2,得x=l或x=3,

因?yàn)槲鍃）在定義域內(nèi)的最大值與最小值之和為一5,所以2W/W3.故選B.

7.（多選）若募函數(shù)Hx）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9,3）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A./（x）為偶函數(shù)

B<x）為增函數(shù)

C.若X>1,貝1］兀￥）>1

___?,/xi+x2、f（Xl）+/（X2）

D.右Xl>X2>0,則'一八一八

答案BCD

解析若嘉函數(shù)五x）=H經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9,3）,

則9a=3,則Ct=；,

則募函數(shù)<x）=G在定義域［。，+8）上為增函數(shù)，故B正確；

因?yàn)楹瘮?shù)4力=也的定義域?yàn)椋?,+8）,關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)五》）既不是

奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)x>l時(shí)，於）=也>1,故C正確；

1

函數(shù)Hx）=x￡的圖象如圖，其圖象在［0,+8）上是上凸的，

于(XI)+/(X2)1+X2

則有不等式<、成立，所以D正確.

22

1

8.若火工)=巨，則不等式16)的解集是.

答案"學(xué)

1

解析因?yàn)榘斯?=巨在定義域［。，+8)內(nèi)為增函數(shù)，且火九)＞火81-16),

「

即牛,

所以8%—16^0,2W%V

x>8x—16,

所以不等式的解集為［2,華；

9.已知二次函數(shù)五x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),且圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,并且

對(duì)任意xGR,都有42—x)=/(2+x),則|x)的解析式為.

答案火》)=_?—4x+3

解析f(2—x)=f(2-\-x')對(duì)任意x?R恒成立，

；&)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.

又；Ax)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,

...兀0=0的兩根為1和3,

設(shè)五)x=a(x—l)(x—3)(aW0),

,."(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3),

??3ci~~3,??ci~~1,

???所求函數(shù)的解析式為兀0=(%—1)(%—3),

即/(x)=x2—4x+3.

10.若函數(shù)9(%)=/+加x—1|在［0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案L2,0]

解析當(dāng)OWxWl時(shí)，(p(x)=^~mx~\~m,

此時(shí)夕(x)單調(diào)遞增，則養(yǎng)0,即機(jī)W0；

當(dāng)x>l時(shí)，^(x)=x2+mx—m,

vyi

此時(shí)夕(x)單調(diào)遞增，則一5W1,則加三一2.

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［—2,0］.

H.若點(diǎn)(地，2)在累函數(shù)汽X)的圖象上，點(diǎn)(2,T)在累函數(shù)g(x)的圖象上.

(1)求人x)和g(x)的解析式；

f(x),f(x)Wg(x),

(2)定義以%)=,、，,、，、求函數(shù)以無(wú))的最大值及單調(diào)區(qū)間.

、<?(無(wú))，J⑴>8⑴，

解(1)設(shè)大光)=產(chǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)(霹，2)在嘉函數(shù)火期的圖象上，

所以(、R)a=2,解得ct=2,即兀刈=%2.

設(shè)g(x)=/,

因?yàn)辄c(diǎn)(2,當(dāng)在嘉函數(shù)g(x)的圖象上，

所以2夕=今解得(=-1,即gQ)=”.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)五x)=/和g(x)=/1的圖象，可得函數(shù)/z(x)

的圖象如圖實(shí)線部分所示.

fx1,x<0或x>l,

由題意及圖象，可知2c

、廠，0<xWL

根據(jù)函數(shù)力(x)的解析式及圖象，可知函數(shù)力(x)的最大值為1,單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

1］,單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),(1,+°°).

12.(2024?大慶質(zhì)檢)已知五x)=ax2—2x(0WxWl),求人x)的最小值.

解當(dāng)a=0時(shí)，汽x)=—2x在［0,1］上單調(diào)遞減，

=/(1)=—2.

當(dāng)a>0時(shí)，?￥)=奴2一2》的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=：.

①當(dāng)即。巳1時(shí)，1x)在10,m上單調(diào)遞減，在1］上單調(diào)遞增，

/.XX)min=/T)=---=-

八)J\aJaaa

②當(dāng)5>1,即0<a<l時(shí)，人x)在［0,1］上單調(diào)遞減，

:?/(X)min=艮1)=。-2.

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=a^—2x的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸x=：<0,

.?猶x)：。%2—2x在［0,1］上單調(diào)遞減，

:?/(X)min=艮1)=〃-2.

a—2,a<1,

綜上所述，4T)min=<1

一—，<7^1.

Ia

【B級(jí)能力提升】

13.已知函數(shù)兀c)：%2—2(a—l)x+a,若對(duì)于區(qū)間［-1,2］上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

xi,X2,都有HXI)W/(X2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,0］B.［0,3］

C.(—8,0］U［3,+8)D.［3,+°°)

答案C

解析二次函數(shù)五為二%2—2(a—l)x+a圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=a-1,

:對(duì)于任意XI,X2?［—1,2］且X1WX2,都有為《)利X2),

即汽x)在區(qū)間［―1,2］上是單調(diào)函數(shù),

；.。-1W—1或a—1三2,

."40或心3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0］U［3,+°°).

14.已知a,6是常數(shù)且aWO,八乃二以2+法且人2)=0,且使方程Hx)=x有等根.

(1)求處0的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)如n(m<n),使得汽x)的定義域和值域分別為加，川和［2加2〃］?

解(1)由人勸=。/+法，且五2)=0,

則4a+26=0,

又方程火》)=先有等根，

即l）x=O有等根，

得Z?=l,從而<2=—1,

所以五X(qián)）=—T^+x.

（2）假定存在符合條件的m，n,由（1）知

於）=一++%=-；（%-1）2+；W\,

則有2九即屋"

又八x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

則危）在［m,網(wǎng)上單調(diào)遞增，

41

于是得，(加=2m,即j—襯+m=2m,

J(〃)=2n,_Ln2+n=2n^

LZ

解方程組得加=-2,n=0,

所以存在旭=-2,n=0,使函數(shù)人x）在［一2,0］上的值域?yàn)椋?4,0］.第10

節(jié)函數(shù)的圖象

考試要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表

法、解析法）表示函數(shù).2.會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，

解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.

【知識(shí)梳理】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、

單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等）；（4）列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小

值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

I尸於)+可

上

碎>0)個(gè)單位

移

左移

|支處+。)卜T刑%)卜

a(a>0)9…)1

個(gè)單位下個(gè)單位

移叔友>0)個(gè)單位

丘￡(%)一〃?|

(2)對(duì)稱(chēng)變換

y=/a)的圖象紅鯉橙的圖象；

y=/U)的圖象關(guān)五鯉遹丫=外一x)的圖象:

y=/U)的圖象關(guān)壬原點(diǎn)汕Y=—〃一x)的圖象:

y=a\a>Q,且aWl)的圖象，要?jiǎng)?wù)條

y=log?x(tz>0,且aWl)的圖象.

(3)伸縮變換

縱坐標(biāo)不變］

,二人勸各點(diǎn)橫巫標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的亍而"倍/二八?！?，

橫坐標(biāo)不變

，二〃)苔點(diǎn)縱巫標(biāo)菱為原來(lái)的砌湎

(4)翻折變換

y=/(x)的圖象璉需拜需需等y=皿1的圖象；

y=Ax)的圖象原5招粵需:血的圖象?

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.圖象的左右平移僅僅是理對(duì)于干而言，如果x的系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出來(lái),

再進(jìn)行變換.

2.圖象的上下平移僅僅是理對(duì)十”而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“?”或“X”)

(1)當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=|/(x)|與丁=黃國(guó))的圖象相同.()

(2)函數(shù)y=/(l—x)的圖象，可由y=五一x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.()

(3)函數(shù)尸次x)與y=fiax)(a>0且aWl)的圖象相同.()

(4)函數(shù)y=*x)與y=—/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)令人x)=-x,當(dāng)x?(0,+°°)0f,y=\f(x)\=x,y=f(]x\)=-x,兩者圖象

不同,⑴錯(cuò)誤.

(2)j=^l-x)=/[-(x-l)],所以可由y=/(—x)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

⑵錯(cuò)誤.

(3)中兩函數(shù)當(dāng)aWl時(shí)，丁=必>)與y=/(ax)是由y=/(x)分別進(jìn)行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)

伸縮變換得到，兩圖象不同，(3)錯(cuò)誤.

(4)y=/(x)與y=—而0的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，(4)錯(cuò)誤.

2.已知函數(shù)人勸的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為()

x-e-re-

A-?=-^B.?=—

^2e%+er

C.fix)=——D.?=-

cc人

答案D

解析由所給圖象可知，1%)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+°°),且為偶函數(shù)，A

選項(xiàng)中的函數(shù)定義域?yàn)镽,B,C,D選項(xiàng)中的函數(shù)定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),

排除A；

ex+e-%,e-x+exex+e-x

當(dāng)八%)=1^時(shí)，fi-x)==--^T-=

(_x)3

所以人x)=F^是奇函數(shù)，排除B;

y2(一X)2/

當(dāng)?=時(shí)，火一乃=e-A_e.r=-eA_e-A=-?，

所以Hx)=是奇函數(shù)，排除C.故選D.

3.已知函數(shù)Hx)=x|x|—2x,則下列結(jié)論正確的是()

A<x)是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)

B人x)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1)

C<x)是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(一1,1)

D次x)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0)

答案C

解析將函數(shù)Hx)=x|x|—2x去掉絕對(duì)值,

%2—2x,x20,

得五x)=

i―x2—2x,x<0,

畫(huà)出函數(shù)五X(qián))的圖象，如圖所示,

觀察圖象可知，函數(shù)人x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

故函數(shù)五X(qián))為奇函數(shù)，且在(一1,1)上單調(diào)遞減.

4.函數(shù)y=/(x)的圖象與丁=^的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再把y=/(x)的圖象向右平移1

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e「+i

解析由題意得兀0=「1

g(x)=e-(x-1)=e-Jc+1.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

例1作出下列函數(shù)的圖象:

⑴尸

(2)y=|log2(x+l)|；

(3)尸f—2國(guó)一1.

解（1）先作出的圖象，保留圖象中x20的部分,

再作出的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)部分,

即得y=（1）的圖象，如圖①實(shí)線部分.

（2）將函數(shù)y=logzx的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上

去，即可得到函數(shù)y=|log2（x+l）|的圖象，如圖②.

⑶??、=二二’且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8）上的圖象，

X十2x—l,x<0,

再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出（一8,0）上的圖象，

得圖象如圖③.

感悟提升1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式（或變形后的解析式）是熟悉的基本函數(shù)時(shí),

就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，

可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式

的影響.

訓(xùn)練1分別作出下列函數(shù)的圖象：

2元—1

(l)y=sin|A|；(2)y=——.

JiJL

解（1）當(dāng)x20時(shí)，丁=5111國(guó)與y=sinx的圖象完全相同，

又丁=$由國(guó)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其圖象如圖①.

圖①圖②

2x—11

⑵-7^-=2十二,

故函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如

圖②所示.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別

__717r

例2(1)(2022.全國(guó)甲卷涵數(shù)五x)=(3，-3r>cosx在區(qū)間［―了5上的圖象大致為

()

yy

CD

答案A

解析法一(特值法)取x=l,

18

則火1)=(3—g)cosl=§cos1>0；

1Q

取九=—1,則八一l)=(g—3)cos(—1)=11cosl<0.

結(jié)合選項(xiàng)知選A.

法二/(—x)=(3-x—3x)cos(—x)=—(3X—3-x)cosx=—fix),

所以函數(shù)段)=(3%—3r)cosx是奇函數(shù),排除B,D；

1Q

取x=l,則/(l)=(3—§)cos1=2cosl>0,排除C.故選A.

(2)(2023?天津卷)函數(shù)兀0的圖象如下圖所示，則八%)的解析式可能為()

5(ex—e-x)-~、5sinx

A>>)=-7+2B小刀尸打T

5(ex+e")5cosx

c?於尸三+2D?=7+r

答案D

解析由題圖可知函數(shù)Xx)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)1x)是偶函數(shù).

5(ex—e-x)5ex)

對(duì)于A,?v)=—尸^,定義域?yàn)镽,次—x)=一=一兀0,

5(e%—e%)

所以函數(shù)1%)=一不一是奇函數(shù)，所以排除A；

對(duì)于B,危尸署，定義域?yàn)镽,汽一加怨中一泮一段)，

所以函數(shù)人x)=1l皆是奇函數(shù)，所以排除B；

對(duì)于C,?=^2;定義域?yàn)镽，八一x)=；二=益),

5(e"+e')

所以函數(shù)人x)=一不一是偶函數(shù)，

又好+2>0,e"+e^>0,所以cx)>0恒成立，不符合題意，所以排除C；

分析知，選項(xiàng)D符合題意，故選D.

感悟提升1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；

⑵從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù);

(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：尋找函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算

分析解決問(wèn)題.

6%—6x

訓(xùn)練2⑴（2024.焦作模擬）函數(shù)加尸而口j的大致圖象為（）

CD

答案c

解析由題意知，函數(shù)兀0的定義域?yàn)椴穦xW±l，

,6~X—6X

因?yàn)榘艘涣?區(qū)%2—1|=一火》），

所以人功為奇函數(shù)，排除A；

35

因?yàn)榛?）=布＞0，所以排除B；

當(dāng)x―十8時(shí)，八%）一+8,排除D.故選C.

（2）（2024.呂梁質(zhì)檢）已知函數(shù)危）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)外）的解析式可能為

)

LX3

A.1/(x)=-

3M2

C;/(x)=%-ln|x|D./(x)=e-(x-l)

答案B

解析由題圖知，函數(shù)Hx）是奇函數(shù).

,2—83-2+8

對(duì)于A,因?yàn)槠?）=-—=—2?火—2）=?=24,

4

所以五x）是非奇非偶函數(shù)，故排除A；

對(duì)于C,當(dāng)x>l時(shí)，<x）=dlnx單調(diào)遞增，故排除C；

對(duì)于D,兀0=盧?（f—l）的定義域?yàn)镽,X——1）=7（x）,

則Hx）是偶函數(shù)，故排除D.故選B.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度1解方程或不等式

例3（2024.商丘模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)人x）在[0,+8）上的圖象如圖所示,

則不等式的㈤溝⑺的解集為（）

A.（一卷0）U（V2,2）B.（—8,-2）U（2,+?=）

C.（—8,—2）U（一啦，0）U（色，2）D.（—2,一色）U（0,啦）U（2,+?=）

答案C

解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出人為在（一8,0）上的圖象，如圖所示，

由得（x2—2）/（x）>0,

%2—2>0,fx2—2<0,

[f（x）>0[/（x）<0,

解得x<~2或一色<x<0或也<%<2,

故不等式的解集為（一8,—2）U（一地，0）U（V2,2）.

角度2求參數(shù)范圍

例4（2024?張掖診斷）已知函數(shù)於）滿(mǎn)足當(dāng)xWO時(shí)，2/（x-2）=?,且當(dāng)xG（—2,

0］時(shí)，?=k+l|-l；當(dāng)x>0時(shí)，Hx）=logd（a>0且aWl）.若函數(shù)外）的圖象上

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好有3對(duì)，則。的取值范圍是（）

A.（625,+8）B.（4,64）

C.（9,625）D.（9,64）

答案C

解析當(dāng)x?（—2,0］時(shí)，Hx）=|x+l|—1,結(jié)合當(dāng)xWO時(shí)，2/（x-2）=?,作出

函數(shù)1x）在（-8,0］上的部分圖象，再作出y=log?x（a>0且aWl）的圖象及其關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，如圖所示.

當(dāng)OVaVl時(shí)，對(duì)稱(chēng)后的圖象不可能與人x）在（一8,0］的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)。>1時(shí)，要使函數(shù)火x）=log。的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的圖象與五x）在（-8,0］

"〃>1,

上的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，則<-1°ga3>-2）

、-lOga5<T，

解得9<a<625.故選C.

感悟提升1.當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)

應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而利用

數(shù)形結(jié)合思想求解.

2.利用圖象求參數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，借助函數(shù)圖象，把原問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系較明確的問(wèn)題.

訓(xùn)練3（1）（2024.南通調(diào)研）已知函數(shù)y=/（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x@（0，

3）U（3,+8）時(shí)，人一為>家勸，43）=0,則不等式八x）>0的解集為.

答案（一8,—3）U（—3,0）

解析依題意知，1Ao）=0,

當(dāng)尤e（0,3）U（3,+8）時(shí)，火一無(wú)）>肌》），

即一Hx)>紈x),得7(x)<0,

由人3)=0,得五—3)=一五3)=0,

由此畫(huà)出<%)的大致圖象如圖所示,

由圖可知，不等式?r)>0的解集為(一8,—3)U(—3,0).

_sinnx,

(2)已知函數(shù)人x)=j,若實(shí)數(shù)a,0,c互不相等，且%)=/S)=/(c),

Jog2024X,X>1,

則a+6+c的取值范圍是.

答案(2,2025)

sinJU,0W尤Wl,

解析函數(shù)五x)=L的圖象如圖所示，

10g2024v￥,X1

不妨令a<b<c,

由正弦曲線的對(duì)稱(chēng)性可知a+b=l,

而W2024,

所以2<a+6+c<2025.

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

V—I—3

1.為了得到函數(shù)y=lg而的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點(diǎn)()

A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

答案c

x~\~3

解析,-'y=lg—j^-=lg(x+3)—1,

.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,Q、

..y—Igx--------------------------->y-lg(x+3)

—mXI…+3）T.

2.（2024?浙江十校聯(lián)考）函數(shù)y=（x-2）2ln國(guó)的圖象是（）

答案B

解析圖象過(guò)點(diǎn)（1,0）,（2,0）,排除A,D；

當(dāng)時(shí)，y^O,排除C,故選B.

3.（2024.深圳模擬）已知函數(shù)y=%）的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能

是（）

A.V=x2/(^)

C.y=xf(x)D.y=^(x)

答案C

解析對(duì)于A,當(dāng)x＜0時(shí)，#x）＜0,

所以用》）＜0,故A不符合題意；

對(duì)于B,當(dāng)x＜0時(shí)，火工）＜0,

所以?。?,故B不符合題意；

對(duì)于C,當(dāng)x＜0時(shí)，火工）＜0,所以猶x）＞0,且彳一一8時(shí)，火防一一8,猶防一+8；

當(dāng)x＞0時(shí)，?＞0,所以狀x）＞0,且%—+8時(shí)，火功一0,切㈤-0,故C符合題

意;

對(duì)于D,當(dāng)x<0時(shí)，火x)<0,

則f(x)>0,所以獷故D不符合題意.

QX-1-b,1<—],

4.若函數(shù)Hx)=(,：、，的圖象如圖所示，則H-3)=()

InCxa)9x71

1

A「1B-4

C.-1D.-2

答案c

fin(a—1)=0,。=2,

解析由圖象知。.得<

b—a=3,b=5,

2x+5,x<-1,

Jn(尤+2),尤三一1.

故五―3)=5—6=—1.

5.若函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=—火工+1)的圖象大致為()

答案C

解析要想由y=/(x)的圖象得到y(tǒng)=—_/(x+l)的圖象，需要先作出y=/(x)的圖象

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象y=—人力，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=—Hx+l)的

圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.

6.（2024.煙臺(tái)模擬）若某函數(shù)在區(qū)間［―兀，兀］上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)的解

析式可能是（）

(4X2+5X)sinx

Aj=(x+2)sin2xB?尸M+l

(%+2)sin%

c,尸ki+1D，，cosx+2

答案B

解析A中，設(shè)火x）=y=（x+2）sin2x,

則當(dāng)仔，兀）時(shí)，2%￡（兀,2K）,

則八無(wú)）＜0,不符合，排除A；

、“(x+2)sinx

C中，設(shè)於尸產(chǎn)lxl+1

(%+2)sin%

當(dāng)x?(0,兀）時(shí),於）=

x+1

且2<x+2<兀+2,0<sin1,l<x+1<兀+1,

所以0<(x+2)sinX<TI+2,

(x+2)sinx,一?人,

所以“x)=匚j<(x+2)sinx<7i+2<6,不符合，排n除wAC；

人IL

/+2工

D中，設(shè)/(x)=y=

cosx+2'

令人勸=0,解得x=0或一2,不符合，排除D.故選B.

\2X~1\,xW2,、

7.已知函數(shù)八》）=1若關(guān)于x的方程兀0—m=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)

、xI5，2,

數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（0,1）B.［0,1）

C.（l,3）U{0}D.[l,3）U{0}

答案D

解析因?yàn)殛P(guān)于X的方程五外一機(jī)=0恰有兩個(gè)不