新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

如果兩個相交平面的交線與第三個平面

平面與平面垂直的定義垂直，又這兩個平面與第三個平面相交

所得的兩條交線互相垂直.

一個平面過另一個平面的垂

平面與平面垂直的判定定理

線，則這兩個平面垂直

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于

平面與平面垂直的性質(zhì)定理

交線的直線與另一個平面垂直

題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定

【典例1-1】設(shè)/”4為兩條不同的直線，4，%為兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/］〃%,4〃4，則"J4

B.若44與％所成的角相等,則4〃%

c.若見_1_的，4〃%,4〃%，則4，4

D.若4-L%,4_L_L4,貝I」412

【答案】D

【解析】對于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯誤；

對于B,乙4與％所成的角相等，則44可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤，

對于C,4，%<〃%，4〃%，貝以4可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯誤；

對于D,-La2,ltla,,/；,la2,貝［j乙"L4，D正確.

故選：D.

【典例1-2］（多選題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的

頂點.則滿足的是（）

【解析】設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則的V//AC,

故/POC（或其補角）為異面直線OR及V所成的角，

在直角三角形OPC,0C=42,CP=1,故tanNPOC=J==變,

V22

故MN，0尸不成立，故A錯誤.

對于B,如圖(2)所示，取AT的中點為Q,連接尸2,OQ,則OQLNT,PQ1MN,

由正方體SBCM-NADT可得SN1平面4VDT,而OQu平面ANDT,

故SN，。。，而SNCMN=N,故OQ，平面SN力W,

又A￡Vu平面SN7M,OQLMN,而。。。尸Q=Q,

所以ACV_L平面。PQ,而POu平面。PQ,故MN_LOP,故B正確.

對于C,如圖(3),連接8。，%\BDHMN,由B的判斷可得OP1.3D,

故OPLMN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取AD的中點Q,A3的中點K,連接AC,尸。,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因為DP=PC,故PQ〃AC,WPQUMN,

所以NQPO或其補角為異面直線PO,MN所成的角，

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故尸Q=；AC=&,OQJAO。+AC=^^=6

PO=y]PK2+OK2=74+1=>/5-QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故尸。，兒W不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

【方法技巧】

此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除.

【變式1-1]已知如〃是兩條不重合的直線，%夕是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若加〃a,〃〃尸,。〃萬，則加〃〃

B.若mua、nua,mH）3,貝！Ja〃分

C.若m工a,ml/n,a工。，則〃_L/7

D.若機_La,幾_1_反m_L〃，則々_1/

【答案】D

【解析】對于A,Wall/3,則〃//a或〃ua,則如"相交、平行、異面都有可能，A錯誤；

對于B,若相燙z,"a,m///3,n///3,則a與夕相交或平行，B錯誤；

對于C,若m工a,m//n,則〃_La,又。_L尸，則〃//4或〃u/7,C錯誤；

對于D,由機_La,m_L〃，得〃//a或幾u〃，若兒//a,則存在過〃的平面與。相交，

令交線為/,則"/〃，而〃，尸，于是分，若九u〃，而〃，△，則a，/,

因此。_L尸，D正確.

故選：D

【變式1-2]如圖已知正方體A8CZ)-A4G2,M,N分別是a。，的中點，貝I]()

A.直線4。與直線垂直，直線MN//平面ABCD

B,直線4。與直線平行，直線平面2D，片

C.直線4。與直線相交，直線MN//平面ABC。

D.直線4。與直線異面，直線平面8。。用

【答案】A

【解析】

連AQ,在正方體ABCD-A與G2中，

M是的中點，所以A1為A2中點，

又N是RB的中點，所以MN//AB,

MN(Z平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MM/平面ABCD

因為A8不垂直3。，所以"N不垂直3。

則跖V不垂直平面BOR4,所以選項B,D不正確;

在正方體ABCD-44GR中，

AB_L平面的，。，所以AB_LAQ,

ADtr>AB=A,所以平面ABZ^,

RBu平面A8R,所以ADLRB,

且直線A。,是異面直線，

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

題型二：證明線線垂直

【典例2-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABC。，底面ABC。為正方形，E為線段AB的

求證：BD1PC；

【解析】證明：?；PA_L平面ABC，3￡>u平面ABC。，.?.BUBD.

又底面ABC。為正方形，，AC.

又PAp|AC=A,且E4,ACu平面E4C,.,.HD工平面B4C,

；PCu平面以C,..3D_LPC.

【典例2-2】如圖，多面體ABCDEF中，己知面ABC。是邊長為4的正方形，4EBC是等邊三角形,

EF//AB,EF=-AB,平面FBC_L平面ABC。.

2

求證：EFLBF；

【解析】由ABCD是正方形，得AB_LBC,而平面FBC_L平面ABCD,平面FBCp|平面ABCD=BC,

ABu平面ABCD,則平面F6C,又FBu平面目?C,于是AB_L7?,又EF/IAB,

所以EF工BF.

【方法技巧】

三線合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（題目中線段數(shù)據(jù)多）

證明4,4先看兩直線位置關(guān)系

其他（初中平面幾何學(xué)習(xí)的其他垂直證明方法）

異面一考慮用線面垂直推導(dǎo)異面垂直=>找重垂線=在重垂線對應(yīng)平面內(nèi)找垂直

【變式2-1]如圖，已知多面體ABCD-A瓦G2的底面ABC。是菱形，側(cè)棱B與，底面458,且

(=2暇=4甌=4西.

G

證明：A^CLBD.

【解析】因為2甌=4甌，所以J54〃A4,,

又因為明，平面ABCZ),所以441平面A2CZ),

又因為3￡>u平面ABCD,所以相_LB。，

因為四邊形ABC?是菱形，所以3D_LAC,

又因為ACCA41=A,AC,A4,u平面AA〈，

所以工平面,

又因為ACu平面AAC，

所以8。，AC；

【變式2-2】如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，平面P4C，平面ABC,PAVAB,/PAC為銳角.

證明：ABJ.AC-,

【解析】在平面PAC中，過點尸作AC的垂線，垂足為。.

平面PAC_L平面ABC,且平面PACC|平面ABC=AC,PDu平面APC,

故PD,平面ABC.又ABu平面PAC,所以PDLAB

又E4_LAB,PA[\PD^P,PDu平面PAC,PAu平面PAC,

所以45_L平面PAC,又ACu平面PAC,故AB人AC.

題型三：證明線面垂直

【典例3-1】如圖，平行六面體ABCD-A與GR中，底面ABCL（是邊長為2的菱形，且/BW=60。,

A4,=施/41AB=幺4）,然與平面ABC。所成的角為45°,AC與BD交于0.

證明：A。，平面ABCZ）；

【解析】

連結(jié)BCt,DC1,

,底面ABC。是邊長為2的菱形，:.AB=AD.

?;Z41AB=Z^AD,AA[=AA[,

.,.△AA虐△AAD,:,B\=D\.

丁點。為線段8。中點，\OLBD.

?.?筋8為菱形，，4(?_1824(7門40=0,47,40￡=平面440,二.BDJ"平面44(

又3Du平面ABC。，.,.平面AAC_L平面ABC。,

44]在平面ABC。上的射影為AC,

.?■乙姆。為直線AA與平面ABCD所成的角,即乙妻。=45。.

在AA]A。中，A4,=",AO=：AC=6,N4AO=45。，

M+O42_A02

cos/AAO=40=y/3.

2x4AxOA

則4萬=。*+4。2,；a。10A

又OA8￡>=O,OAu平面ABCD,8Du平面ABCD,

A0-L平面ABCD.

【典例3-2】在VABC中，ZABC=90°,AB=3C=6,。為邊AB上一點，AD=2,E為AC上一點,

DEIIBC,將VADE沿。E翻折，使A到A處，/ZM'B=90。.

證明：A'3_L平面型DE；

【解析】證明：由題意知DE_LA。，DE±BD,

又次?！笐?yīng)＞=。，所以DE_L平面A89,

又A'3u平面A8O,所以DELA'B，

又ADLAB,DEHA,D=D,所以A3_L平面WDE

【方法技巧】

方法一：線面垂直的判定.

線線垂直n線面垂直，符號表示為：aLb,aA-c,b^a,c^a,br\c=P,那么a_Lor.

方法二：面面垂直的性質(zhì).

面面垂直二線面垂直，符號表示為：c_L/?,1「］/?=仇aua,a_L6,那么aJ_￡.

【變式3-1】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2瓜PC=AB=6,PB=屈,/ABC=9O\D為

AC上的動點.

若AD=g,求證：PD_L平面ABC；

【解析】

在RtZXABC中，AB=6,BC=2瓜貝UAC=46，

又PA=2班,PC=6,所以AC2=PC2+PR2

由勾股定理可得為直角三角形，ZAPC=90\

PCr-

所以tan/PAC———=v3,所以APAC=60°

PA

在△R4D中，因為=由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2.AP-ADcos^PAD=（2石產(chǎn)+（退了一2x26x石xcos600=9

則尸加+仞？=75A2,所以即_|_4）,

又CD=3石,ZACB=60。,在△OC3中由余弦定理可得：

=BC?+CO?-28C?COcosNACB=（2若了+卜』『一2x2退x3百xcos60°=21,

則正獷+引＞=依2,所以尸z）_LRD,

又ADcBD=D,ADu平面ABC,BDu平面ABC,

所以平面ABC

【變式3-2】四棱錐尸-ABCD中，AP=AC,底面ABCD為等腰梯形，CD//AB,

AB=2CD=2BC=2,E為線段PC的中點，PC±CB.

【解析】因為AP=AC,E為線段尸c的中點，所以AELPC,

在等腰梯形A2CD中，作CFLAB于歹，則由AB=2CD=23C=2得/8,

2

BF1

所以cos』C&!=——=-,所以2CBA=60°,NTCB=30。，

BC2

因為AB=2BC,所以——=——=—,所以BCF~ABAC,

ABBC2

所以Z3C尸=1區(qū)4。=30。，所以NAC3=90°,所以AC_L3C,

因為尸CLCB,尸CcAC=C,PC,ACu平面尸8,所以3CL平面PCA,

因為AE在平面尸C4內(nèi)，所以

因為PCc3C=C,PC,3C在平面PCS內(nèi)，所以AE_L平面PCB.

題型四：證明面面垂直

【典例4-1】在三棱臺ABC-中，底面VA5c是等邊三角形，側(cè)面AACQ是等腰梯形，。是

AC的中點，B0是兩異面直線48和AC的公垂線，且AB=9A4=26，BB、=2叵.

證明：側(cè)面48耳4,平面耳AC；

【解析】由耳。是兩異面直線與AC的公垂線可得，Bt01AC

又VABC是等邊三角形，。是AC的中點，所以ACL3O,

因20c耳。=。,BO,瓦。u平面BBQ,故得AC，平面B}B0,

又與8u平面片B。，則AC_L81B,

因_Lq。，ACc=0,AC,BQu平面耳AC,故BtB±平面B.AC,

又B、Bu平面ABB^,所以側(cè)面ABB^±平面B}AC.

【典例4-2】如圖，在三棱柱A8C-A4G中，底面A3C是等邊三角形，=D為BC

的中點，過瓦G的平面交棱于E,交AC于F.

求證：平面4人。-L平面EBgF■

【解析】證明：連接48,4c.

因為幺AB=/4AC,AB=AC,M=AA,

所以△AAB且△AAC,所以A8=AC.

因為。為BC的中點，所以

因為A8=AC,D為BC的中點，所以3CLAD.

因為A,D,ADU平面A/D

所以3C，平面AAD.

又BG〃BC,所以801，平面AAD.

又用Ju平面EBCF

所以平面A4。，平面防CF.

【方法技巧】

主要證明方法是利用面面垂直的判定定理(線面垂直n面面垂直).證明時，先從現(xiàn)有的直線中尋找

平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決.

【變式4-1］如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面平面A2CZ),底面ABCD為菱形，

ZABC=60°,AB=6PA=4iPB=2,E是CD的中點.

(1)證明：平面尸3c_L平面R4E.

(2)求點A到平面PBE的距離.

【解析】連接AC.因為底面A3C￡>為菱形，ZABC=60°,所以AACD是正三角形.

又E為CD的中點，所以AELCD,則AELAB.

因為平面R4B_L平面ABCO,平面R4fic平面ABCD=AB,AEu平面ABC￡>.

所以AE_L平面E4B.

因為P3u平面RIB,所以A￡_LPB.

因為AB=?PA=?PB=2,所以上42+形2=.2,則R4_LP&

因為PAnAE=A,MAEu平面以E,所以pg,平面外

又PBu平面尸BC,所以平面尸3C_L平面R4E.

【變式4-2］如圖，在三棱柱4BC-AgG中，A4與B旦的距離為6，AB=AC=AiB=2,

%C=BC=2&

C

證明：平面，平面ABC；

【解析】取棱AA中點。，連接8￡),

因為=所以BOJ.AA|

因為三棱柱ABC-AgG，所以抽〃臺4

所以BD_L84，所以3。=有

因為AB=2,所以AD=1,AA]=2.

因為AC=2,AC=2也,

所以止+酒二*,,

所以AC1M，

同理AC_L4S,

因為441nAB=A,且AA，ABu平面所以AC,平面4人臺用，

因為ACu平面ABC,所以平面AABB1，平面ABC；

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理

【典例5-1】在四棱錐P-ABCD中，平面R4D_L平面ABC。，AB//CD,AB±BC,DC=BC=2,

證明：BDLAP.

【解析】因為ABLBC,OC=8C="=2,所以BD=2貶,ZDBA=^,

24

由余弦定理可得AB|2+1BD|2-21AB\\BD\COS=^16+8-2x4x272=272,所以

AD2+BD2=AB2^則ADJ_BZ)

因為平面PAD_L平面ABCD,且平面RlDc平面ASCD=AD,">u平面PAO,

所以fiD工平面PAD.

因為APu平面必⑦，所以BDLAP.

【典例5-2】如圖，在三棱錐尸-ABC中，24,底面ABCD為A3上一點，且平面R4B，平面

2

PCD,AC=BC=PD=6,三棱錐尸—ABC的體積為

P

求證：。為A3的中點；

【解析】過A作AA7_LPD于點Af,由平面R4B_L平面PCD,

平面_1_平面尸CD,

■.-CDu平面PCD,:.AMLCD,

又B4_L底面ABC,CDu平面PAD,

:.PA±CD,-.-AMC\PA=A,AM,PAu平面PAD,

所以。。_1底面上4。,：43匚平面皿），，4^_18,

又?.?AC=BC,，n為AB的中點；

【方法技巧】

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

【變式5-1］如圖，在三棱錐尸-ABC中，。為AC的中點，平面尸03,平面ABC,△ABC是窖腰直角

三角形，ABLBC,AC=PA=y/^,PB=6.

證明：PA=PC；

【解析】證明：因為VA5C是等腰直角三角形，AB,3c，。為AC的中點,

所以ACLO3,ACu平面ABC,

又因為平面尸03J_平面ABC,平面尸08口平面至。=。3，

所以AC，平面尸OB

因為尸Ou平面尸。3,所以AC_LPO,又。為AC的中點，

所以A/MC是等腰三角形，故PA=PC.

【變式5-2】如圖，四棱錐P-ABCD,側(cè)面抬。是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD

PM

是ZABC=60°的菱形，"為棱PC上的動點且="4e[0,1]).

(1)求證：△PBC為直角三角形；

2

(2)試確定力的值，使得三棱錐P-40。的體積為1.

【解析】(1)證明：取中點0,連結(jié)OP,OC,AC,

因為四邊形ABCD為菱形，且NABC=60°,

所以AABC,^ACD均為等邊三角形，

因為也為等邊形三角形，

所以O(shè)C_LAD,OP_LAD.

又因為OCnOP=。OCu平面POC,OPu平面POC,

所以AD_L平面尸OC,

又PCu平面尸OC,所以ADLPC,

因為5C//AT),所以BCLPC,

即ZPCB=90°,從而APBC為直角三角形；

(2)由(1)可知PO_LAO,

又平面皿＞_L平面ABC。，平面RLDc平面AFCD=AD,尸Ou平面B4￡),

所以PO_L平面ABCD,

PM

因為M為棱PC上的動點且不二=〃/1€[0』]),

=

所以Vp_AMD=VM_pAD=^VC-PAD^P-ACD,

因為△PAD,AACD都是邊長為2的正三角形,

所以「O=OC=6，

SP0XX4XL

所以Lr-nAy-CUD=~3△ACzDJ34=-—^='>

2

因為三棱錐P-如血）的體積為§,

2

所以4=早

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例6-1］如圖，在直三棱柱ABC-ABCi中，ZBAC=90°,AB=AC=1.試在平面ABC內(nèi)確定

一點”，使得AHJL平面ABC,并寫出證明過程;

【解析】取棱BC的中點。，連接A。，AD.在等腰直角AABC中，AD±BC,

又A4,_L平面ABC,BCu平面ABC,所以BCLAA，

ADPlM=AA。,A4iu平面ACM,,故3c_L平面AT%.

又BCu平面ABC,故平面ABC_L平面AZM，這兩個平面的交線為4。.

在△AZM1中，作AH_LA。，AHu平面皿）,

則有AH,平面ABC；

【典例6-2］如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形且NABC=工，

3

PB=PA=4,PC=V6-

P

⑴求尸。的值；

(2)若麗=2而,是否存在力,使得平面CC歸_1_平面R4B?若存在，求出;I的值；若不存在，請說明理

由.

【解析】(1)取線段A3的中點E,連接CE、PE,

因為四邊形A2CD是邊長為2的菱形，則BC=2,BE=l,

因為NABC=-,由余弦定理可得CE2=BC2+BE2-2BCBEcos-=3,

33

:.BE2+CE2=BC2,所以3ELCE,即CE1AB,

又?.?PB=JR4且E是AB的中點，:.PE±AB,

PEnCE=E,PE、。石匚平面尸。￡,.:/16工平面尸?！?

?.?PCu平面尸CE,,'.PCIAB,-.-CD//AB,:.PC1,CD,

?；PC=巫，PD=VPC2+CD2=Vio；

(2)過點C在平面PCE內(nèi)作CMLPE,垂足為點V,

因為AB_L平面PCE,Afiu平面BW,

所以，平面BIB,平面PCE,

,平面R43c平面尸CE=PE,CMu平面尸CE,CM1,PE,

所以，CM_L平面卜4B,

過點M作及N〃/R,分別交％、PB于點、N、H,

因為CD〃AB,則HN//CD,

所以，C、D、N、H四點共面，

因為CMu平面CDNH,

所以，平面CDNH_L平面R4B,

因為24=PB=4,AE=l,PELAB,

貝UPE=y/PA'-AE2=715，

因為CE=6，PC=瓜,由余弦定理可得cos/PCE="+CE尸后=,

2PCCE2

所以，sinZPCE=Vl-cos2Z