2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《探索規(guī)律題》專項檢測卷（帶答案）

學(xué)校:班級：姓名:考號：

1.探索規(guī)律.

樂樂在計算：22-12,32-22>……這樣的算式時，他想到用“數(shù)形結(jié)合”的方法來探索：以算式中的兩個數(shù)分別構(gòu)造

兩個正方形，用大正方形的面積減小正方形的面積，求剩余圖形的面積.他發(fā)現(xiàn)“剩余圖形可以轉(zhuǎn)化成長方形，求

它的面積可用下面的算式表示”:

@22-12=（2+1）X（2-1）

@32-22=（3+2）X（3-2）

@42-32=（4+3）X（4-3）

（1）圖④的涂色部分表示52-42,這個涂色部分可以轉(zhuǎn)化成長是,寬是的長方形.

⑵根據(jù)以上規(guī)律計算：1002-992==

（3）根據(jù)以上規(guī)律計算并寫出過程：102x98

2.數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究“勾股數(shù)”.指導(dǎo)老師首先提出一個猜想:如果”表示大于1的整數(shù),則2ii,n2-l,

1+I為勾股數(shù).例如：當(dāng)九=2時，2〃=4,n2-1=3,rr+1=5.

v32+42=52,

；?數(shù)據(jù)3,4,5是勾股數(shù).

對于此規(guī)律，興趣小組的成員進(jìn)行了如下證明：

*.*n>1,

n2+1—=—l）2>0,

An2+l?_2n.（填或"<"）

n2+l-（n2-l）=2>0,

??獷+1>—1.

V（"可+（24二②—二③一，（/+1『=@_,

...—1）+（2〃）~=（〃2+1）,

?2〃,〃2一1,〃2+1為勾股數(shù).

(1)請補全橫線上所缺的內(nèi)容.

(2)若數(shù)據(jù)8,a,b為勾股數(shù)，且。＜6,求a,b的值.

3.數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)大家進(jìn)行數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗總結(jié).

【觀察與思考】觀察下列等式：

第1個等式：1x3+1=4=22；

第2個等式：2x4+1=9=32；

第3個等式：3x5+1=16=4?；

第4個等式：4x6+1=25=5,;

【猜想與驗證】根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題.

(1)請直接寫出第6個等式：；

(2)寫出你猜想的第"個等式(用含”的等式表示)，并證明;

【實踐與應(yīng)用】直接寫出下列式子的結(jié)果.

x?--X

2024x2026

4.綜合與實踐：

小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部8處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC

的夾角為nN；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.(直線MV'為法線，4。為入射光線，OD為折射

光線.)

【測量數(shù)據(jù)】

如圖，點A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內(nèi)，測得AC=20cm,ZA=45°,折射角NOON=32。.

NDB

【問題解決】

根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題:

(1)BC的長為；

⑵求8,。之間的距離(結(jié)果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62)

5.小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,。是等邊ZXACB的邊3c上的一動點，其中等邊△AC3的邊長為10,以AD為邊在A8上

方作等邊VADE,小明認(rèn)為AD有最小值，那么AD的最小值是.

⑵【問題探究】如圖2,若八4虛和ADCE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點A、D、E在同一條直線

上，CM為中DE邊上的高，連接BE,請判斷NAEB的度數(shù)及線段CM、A&3E之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

(3)【問題解決】如圖3,在四邊形中，AB=AD,ZBAD=60°,BC=5,CD=4,求四邊形ABC。面積的最大值.

6.數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動：研究一個判斷正整數(shù)能否被7整除的規(guī)律.

觀察歸納:

14+7=2；1—4x2=-7；-7H-7=-1.

168+7=24；16-8x2=0；0+7=0.

336+7=48；33-6x2=21；21+7=3.

875+7=125；87-5x2=77；77+7=11.

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：對于一個正整數(shù)x,有如下判斷正整數(shù)x能否被7整除的方法：劃掉該數(shù)的最后一位數(shù)字，將剩下的數(shù)

與劃掉的數(shù)字的兩倍相減得到它們的差.若該差能被7整除，則正整數(shù)x能被7整除.否則，正整數(shù)尤不能被7整

除.

規(guī)律應(yīng)用：

(1)請用上述方法驗證266能否被7整除.

(2)興趣小組的同學(xué)按規(guī)律把一些三位數(shù)整理成如下表格，請你填寫表格中橫線上的內(nèi)容：

XX的表示按(2)中操作得到的差，記為M(x)

217217=10x21+7M（217）=21-7x2

945945=______Af（945）=______

(3)詼表示100a+106+c,其中l(wèi)WaW9,0<b<9,Q<c<9,且a,b,c均為整數(shù).利用以上信息說明：當(dāng)M(赤)

能被7整除時，丸也能被7整除.

7.將連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,……排成如圖所示的數(shù)表.

131Tl79

1113151719

21司25方25

3133353739

(1)十字形框中的五個數(shù)之和是,設(shè)中間數(shù)為。，請用含a的代數(shù)式表示十字形框中的五個數(shù)之和是.

(2)若將十字形框上下左右移動，可框住另外五個數(shù)，這五個數(shù)還有上述的規(guī)律嗎？若有，請說明理由，若沒有，也

說明理由.

(3)十字形框中的五個數(shù)之和能等于2022嗎？能等于2025嗎？并說明理由.

8.【觀察思考】

畢達(dá)哥拉斯常在沙灘上擺小石子表示數(shù)，產(chǎn)生了一系列形數(shù).如圖1,當(dāng)小石子的數(shù)是1,3,6,…時，小石子能

擺成三角形，這些數(shù)叫三角形數(shù).如圖2,當(dāng)小石子的數(shù)是1,4,9,…時，小石子能擺成正方形，這些數(shù)叫正方

形數(shù).

?????

??????????

???????????????

????????????????????

第1個第2個第3個第4個第1個第2個第3個第4個

圖1圖2

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

(1)圖1中，第5個三角形數(shù)是二圖2中，第，個正方形數(shù)是一(請用含〃的式子表示).

【猜想驗證】

(2)畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了三角形數(shù)和正方形數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：1+3=4,6+10=16,…，即第〃個與第5+D個

三角形數(shù)之和等于第5+1)個的正方形數(shù).請將上述聯(lián)系用含有〃的等式表示出來，并證明.

9.觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：

32-5=4xl2①

52-9=4x2?②

72-13=4x3?③

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:

⑴完成第四個等式：;

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含〃的式子表示)，并驗證其正確性.

10.探尋規(guī)律：

(1)直接寫出右邊各數(shù)的值：152,25S35"452；

提煉規(guī)律：

(2)若用耘(lWaW9且。為整數(shù))表示以上各平方數(shù)的底數(shù)的一般形式，請你觀察上述各數(shù)的運算結(jié)果，猜測后z

的運算結(jié)果，并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用規(guī)律：

(3)計算7.52+8.52+9.52的值.

11.如圖1,是我國漢代的趙爽用來證明“勾股定理”的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形

拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長分別為。、b,斜邊長為J

圖2

(1)圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為和;

(2)若必=8,大正方形的邊長c=5,則小正方形的邊長為；

［知識遷移］通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式.如圖2是棱長為a+b的正方體，被如

圖所示的分割線分成8塊.

(3)用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為；

(4)已知a+6=4,ab=2,利用上面的規(guī)律求〃+尸的值.

12.某校的七年級數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，他們一起研究兩位整數(shù)的平方數(shù)問題，先從個位數(shù)是1的兩位整數(shù)

的平方數(shù)開始.如：

II2=1x6x20+1;

212=2x11x20+1

312=3x16x20+1

412=4x21x20+1

按照以上規(guī)律，完成下列問題:

⑴51?=;

（2）十位數(shù)字是〃，個位數(shù)字是1的兩位整數(shù)的平方數(shù)可以寫成：（）2=；（用含〃的代數(shù)

式表示）

⑶請你猜想出十位數(shù)字是。，個位數(shù)字是6的兩位整數(shù)的平方數(shù)，寫成：（）2=（用含a,b

的代數(shù)式表示），并證明.

13.觀察下列圖形.將邊長為1的正方形紙片按圖1所示方法進(jìn)行對折，記第1次對折后得到的圖形面積為5,第

2次對折后得到的圖形面積為S2,.：,第〃次對折后得到的圖形面積為S“.

圖1-1圖1-2圖1-3圖2

（1）繼續(xù)觀察圖形填空：設(shè)w一］gj、計算邑=,并在上面某個圖中將表示$2的

區(qū)域涂成陰影；

⑵請根據(jù)上面圖形計算：1+^J+Qj+...+Qj025=（直接寫出結(jié)果）

（3）觀察圖形并探索（）中各式的規(guī)律：試寫出第〃個等式/=,并說明第〃個等式成立.

14.閱讀材料：像（君+志）（若-0）=3、&.&=a（a?o）、（揚+1）（振-1）=。一1（匹0）……兩個含有二次根

式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如g與6,立+1與亞-1等都是

1V3_V3

互為有理化因式.在進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.例如:

2五一2岳6-6

半0上+1=/」0」+1\=3+2「0解答下列問題:

V2-1(72-1)(72+1)

L2

（1）3一近與一互為有理化因式，將電分母有理化得一,

（2）觀察下面的變形規(guī)律并解決問題:

廠廠]

①七3f1=V4-V3,=^5-74……若〃為正整數(shù)，請你猜想:

V4+V3V5+V4

1

>jn+l+yJn

11______1_

②計算:J2025+1)

+V3772+V47^+-"+72025+

15.觀察下列一組算式的特征及運算結(jié)果，探索規(guī)律：

第1個等式：，仔—2x1x1+12=而=0；第2個等式:"-2x2x1+12=&=1；第3個等式:732-2x3xl+l2=74=2；

第4個等式：，不-2x4xl+F=囪=3；……

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：

(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出下列算式的值：

①152-2x5x1+12=;

②J10F-2xl01xl+F=?

⑵用含〃(〃為正整數(shù))的代數(shù)式表示出第〃個等式：.

(3)根據(jù)上述規(guī)律計算：

JF-2x1x1+12-722-2x2xl+l2+732-2x3xl+l2-742-2x4xl+l2

+……+720252-2x2025xl+l2-720262-2x2026x1+12

參考答案

1.(1)9,1

(2)(100+99)x(100-99),199

(3)9996

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，平方差與幾何圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題目可得兩個數(shù)的平方的差，等于兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積，由此可解；

(2)根據(jù)(1)中所得規(guī)律可解；

(3)根據(jù)(1)中所得規(guī)律將原式變形為(100+2)x(100-2)即可求解.

【詳解】(1)解：5?-42=(5+4)x(5-4)=9xl,

這個涂色部分可以轉(zhuǎn)化成長是9,寬是1的長方形，

故答案為：9,1；

(2)解：1002-992=(100+99)x(100-99)=199,

故答案為：(100+99)x(100-99),199；

(3)解:102x98

=(100+2)x(100-2)

=1002-22

=10000-4

=9996.

2.(1)?>；?n4-2n2+1+4n2;③/+2/+1；@n4+2n2+1.

(2)a—15,6=17或a=6,b=10.

【分析】本題考查了勾股數(shù)及其應(yīng)用.

(1)根據(jù)解題過程，結(jié)合上下文即可完成；

(2)分三種情況：2”=8；n2-l=8;/+1=8,分別求出小由(1)中結(jié)論即可求出余下兩個數(shù).

【詳解】(1)解：：〃〉：!，

〃2+1-2w=(〃—1)~>0,

n2+1>2”.

V?2+1-(/12-1)=2>0,

n2+l>n2-l.

V(?2-1)2+(2才=/-2/+1+4/=/4+2/+1,("2+1)2=n4+2n2+l,

A(n2-l)2+(2n)2=(?2+l)2,

2〃,D+1為勾股數(shù).

@>;②"4_2/+1+4/；③/+2/+1;④/+2/+1.

⑵解:分三種情況：

①若2〃=8,則”=4,

n2-l=15,n2+l=17,

a=15,Z?=17；

②若〃2_1=8,則〃=3,

/.2九=6,九2+1=10,

二.。=6/=10；

③若"+1=8,則〃=近不是有理數(shù)，故舍去.

綜上所述，a=15,b=17或。=6,6=10.

3.(1)6x8+1=49=72;(2)第"個等式為：“〃+2)+1=(〃+1)2,理由見解析；(3)

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，解答的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)算式中的規(guī)律并靈活運用.

(1)根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；

(2)分析所給的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)即可；

(3)利用(2)中規(guī)律，把所求的式子進(jìn)行整理，從而可求解.

【詳解】解：(1)由題意可得：第6個等式：6x8+1=49=72,

(2)猜想：第〃個等式為：?(?+2)+1=(?+1)2.

證明：等式左邊="+2〃+1=+=等式右邊，

所以等式成立

11+2024x2026

1x3+12x4+13x5+12024x2026+1

---------------X-----------------X-----------------X---X----------------------------------

1x32x43x52024x2026

22324220252

---------X-----------X----------X…X---------------------------

1x32x43x52024x2026

223344556620252025

=—X—X—X—X—X—X—X—X—X—X...X-----------X------------

132435465720242026

22025

—x--------

12026

2025

-1013

2025

故答案為:

1013

4.(l)20cm

(2)4cm

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出的值；

(2)利用銳角三角函數(shù)求出。N長，然后根據(jù)=QN計算即可.

【詳解】(1)解：在RtAABC中，NA=45。，AC=20cm,

???NB=45。，

???BC=AC=20cm,

(2)解：由題可知ON=EC=，AC=10cm,

2

?.?/BNO=90。,

：.ZNOB=45°=ZB,

：?NB=ON=10cm,

又???NDON=32。，

???DN=ON?tan/DON=10xtan32°?10x0.62=6.2cm,

5￡>=&V-ON=10—6.2=3.8~4cm.

5.(1)5百

(2)90°,AE=BE+2CM,理由見解析

4

【分析】(1)根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)AD13C時，AD有最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可;

(2)先證明/ACD=/3CE,再利用SAS證明VAC哈V3CE即可得到=ZCDA=ZCEB,根據(jù)等邊三角

形的性質(zhì)和平角的定義得到NCZM=NCEB=135。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NCDE=NCED=45。,進(jìn)由此可

得NA￡S=90。；再證明=,即可得到AE=4。+?！?；=跳；+2cM.

(3)如圖:將AADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到對應(yīng)的.ABE,連接CE,證明AACE是等邊三角形,得到AC=CE,

19

則當(dāng)C,B,E三點共線時，CE最大,即AC的最大值是9,如圖：過A作AHLCE于則即:己。石=,、

AH=y/AE"H'晅,再根據(jù)四邊形ABC。面積=ZV1CE的面積進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】(1)解：???。是等邊△ACB的邊8C上的一動點，

.?.當(dāng)AD上3c時，AD有最小值，

CD=BD=LBC=5,

2

AD=VAB2-BD2=5V3，

，AO的最小值是5百.

故答案為：5百.

(2)解：AE=BE+2CM,理由如下：

,/AACb和△￡)(%均為等腰直角三角形，

:.CA=CB,CD=CE,2ACB2DCE90?,ZCDE=ZCED=45°,

：.ZACB-ZBCD=ZDCE-ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在△ACD和△5CE中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

ZVICZ)^ABCE(SAS),

AAD=BE,ZCDA=ZCEB,

ZCDE=45°,

：.ZADC=180°-ZCDE=135°,

ZCDA=ZCEB=135°,

???ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°.

,.?CD=CE,CM工DE,

???DM=ME,

???ZDCE=90°,

：.DM=ME=CM.

:.AE=AD+DE=BE+2cM.

(3)解：如圖：將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到對應(yīng)的△AB石，連接CE,

AC=AE.lCAE60?,

???加五是等邊三角形，

???AC=CE,

?；CESBC—BE—4+5=9,

,當(dāng)C,B,E三點共線時，CE最大,

???AC的最大值是9,

如圖：過A作AHLCE于H,

19

EH=-CE=~,

22

AH=VA￡2-EH2=拽，

2

四邊形ABCD面積=AACE的面積=Lx9x拽=空叵.

224

四邊形ABC。面積的最大值為變巨.

4

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定

理等知識點，靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析；

(2)10x94+5,94-5x2；

(3)見解析.

【分析】本題考查了整式的加減運算，數(shù)字規(guī)律類探索，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意給出的方法即可解答；

(2)根據(jù)題意給出的規(guī)律即可解答；

(3)由題意得Af(a6c)=a6-2j得到2c=(%),由^^=10兄+c，貝I]2%=21a6-Af(abc),當(dāng)M(a6c)

能被7整除時，2麻-M(菽)也是7的倍數(shù)，即2嬴是7的倍數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意可得：26—6x2=14,

14+7=2,

???266能被7整除；

(2)解:由題意可得：

945=10x94+5,

M(945)=94-5x2,

故答案為：10x94+5,94-5x2；

(3)解：由題意得：M^ab^=^b-2c,

2c=ab-M(abc),

*.*abc=lOOtz+10/?+c=10(10。+b)+c=lOab+c,

2abc=20ab+2c=20ab+ab-M(oZ?c)=21ab-M(abc^,

當(dāng)M(正)能被7整除時，21瓦-M(嬴)也是7的倍數(shù)，即2詼?zhǔn)?的倍數(shù)，

而也是7的倍數(shù)，能被7整除，

.?.當(dāng)時?癡)能被7整除時，正也能被7整除.

7.(1)75；5a

(2)這五個數(shù)的和還是中間那個數(shù)的5倍，理由見解析

⑶不能為2022,可以為2025,理由見解析

【分析】本題考查了探索數(shù)字的規(guī)律，整式的加減計算，解題的關(guān)鍵是能找出所給數(shù)據(jù)之間的規(guī)律.

(1)把五個數(shù)相加即可得出答案；用含a的式子分別表示出其他四個數(shù)，再利用整式的加減計算法則求出這五個

數(shù)的和即可；

(2)令十字框中間數(shù)為b,根據(jù)題中所給十字框，可寫出則其余4個數(shù)，將這5個數(shù)相加即可得；

(3)分別計算出2025和2022除以5的結(jié)果，所得的結(jié)果只要不在最右邊或最左邊那一列都符合題意.

【詳解】(1)解:5+13+15+17+25=75,

；?十字框中的五個數(shù)之和為75；

解：設(shè)中間數(shù)為。，則其余的4個數(shù)分別為。-2,a+2,a-10,a+10,

由足頁后、,《導(dǎo)a+a—2+“+2+。—10+a+10=5a,

因此十字框中的五個數(shù)之和為5a.

(2)解：這五個數(shù)的和還是中間那個數(shù)的5倍，理由如下：

設(shè)移動后中間數(shù)為6,則其余的4個數(shù)分別為6-2,6+2,b-10,6+10,

由題意，^b+b-2+b+2+b-10+b+10=5b,

因此這五個數(shù)之和還是中間數(shù)的5倍.

(3)解：不能為2022,可以為2025,理由如下：

由(2)知，十字框中五個數(shù)之和總為中間數(shù)的5倍，

,/2025+5=505,且個位數(shù)字為5的數(shù)字都在第三列，

中間的那個數(shù)字為505,滿足題意，

；?十字框中五個數(shù)之和能為2025,

：2022+5=404.4,

；?十字框中五個數(shù)之和不能為2022.

,、。n(n+l]++,.2l

8.(1)15；n2(2)——U-i————^=(〃+1)一；見解析

22v7

【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，整式的乘法，因式分解，正確找出圖形的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得出圖1中第"個三角形數(shù)為也上D，圖2中第〃個正方形數(shù)為二,據(jù)此可得答案；

2

(2)根據(jù)題意列出等式并應(yīng)用因式分解，即得證明.

【詳解】解：(1)由題意知在圖1中，第〃個三角形數(shù)為1+2+3+…+”=女+D,

2

第5個三角形數(shù)為5x(5+l)=i5,

2

圖2中，第〃個正方形數(shù)為"

故答案為：15,/；

/、n(n+\\++/、2

(2)——+————=+

22v7

、市口口上法(〃+l)x(〃+〃+2)

證明：左邊二1---U-----------L

2

(〃+l)x(2〃+2)

一2

二(“+1)2=右邊，

J等式成立.

9.(1)92-17=4X42

（2）（2〃+1）2-（4〃+1）=4"2.

【分析】本題考查的是整式的混合運算、數(shù)字的規(guī)律探究；

（1）由所給三個等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1,計算的結(jié)果是從

1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，由此規(guī)律得出答案即可.

（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示變化規(guī)律，根據(jù)完全平方公式計算，即可證明.

【詳解】（1）解:由題意得：第四個等式為9?-17=4x4,,

故答案為：92-17=4X42;

⑵解：猜想：第〃個等式為（2〃+1）2-（4〃+1）=4/,

證明：等式左邊：（2?7+1）--（4?+1）=4??2+4n+l-4n-l=4n2.

???等式左右兩邊相等，

.?.第，個等式為（2"+咪-（4〃+1）=4/.

2

10.（1）152=225,25:625,352=1225,45,=2025;（2）a5=100。（。+1）+25,理由見解析；（3）218.75.

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，有理數(shù)的乘方，完全平方公式，有理數(shù)加法運算，讀懂題意，找出規(guī)律，掌握運算

法則是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)乘方進(jìn)行計算即可；

（2）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)（2）中規(guī)律即可求解.

【詳解】解：（1）152=225,25,=625,352=1225,45?=2025；

2

（2）=100。（。+1）+25,理由，

W=（104+5）2=100/+1000+25=100。（4+1）+25,

（3）7.52+8.52+9.52

=56.25+72.25+90.25

=218.75.

11.（1）（1）2；e-2ab；（2）3；（3）（4+6）3="+3/6+3加+/；⑷〃+〃=*

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，能正確列代數(shù)式表示各個部分的面積和體積是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)大正方形的面積=邊長x邊長或大正方形的面積=4x直角三角形的面積+小正方形的面積，分別求出大正

方形的面積的兩種表示，再根據(jù)同一圖形面積相等的性質(zhì)分析，即可得出結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論計算即可求解；

(3)分別求出大正方體的體積和各個部分的體積，再根據(jù)同一正方體體積相等的性質(zhì)分析，即可得出答案;

(4)結(jié)合(3)的結(jié)論，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】解：(1)圖中陰影部分小正方形的邊長可表示為伍-。)，面積可表示為0-。)2；

圖中陰影部分小正方形的面積也可表示為/-4><［仍='2-2",

故答案為：(b—af;<?-2ab;

(2)由(1)得僅_°)2=d_2",

?ctb=8,c=5,

???9-a)。=/—2"=25-16=9,

???小正方形的邊長為b-a=柩=3,

故答案為：3；

(3)圖形的體積為：(々+〃)3或+〃3+々26+々2人+々2/+"2+"2十必2,

+#b+a2b+b+ab^+aH+cib^=+3〃2b+3aZ??，

..(。+城=a3+3a2b+3ab2+b3,

故答案為：(a+b)3=。3+3。％+3?！?/；

(4)a+b—4,ab=2,+=a3+3a1b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(<a+b),

43=fl3+Z73+3x2x4,

/+廿=4().

12.(1)5x26x20+1

(2)10n+l；H(5n+l)x20+l

(3)10o+/j;a(5a+Z?)x20+Zj2,證明見解析

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找到規(guī)律后即可求解.

(1)根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可；

(2)根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可；

(3)根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出即可.

【詳解】(1)解：VH2=1X6X20+1=1X(5X1+1)X20+1；

212=2x11x20+1=2x(5x2+1)x20+1；

312=3x16x20+1=3x(5x3+1)x20+1；

412=4x21x20+1=4x(5x4+1)x20+1；

.'-512=5x26x20+1;

故答案為：5x26x20+1；

(2)解：(10n+l)2=ttx(5/i+l)x20+l；

故答案為：10"+l；〃x(5"+l)x20+l；

(3)解：(10a+Z7)2=ax(5a+Z2)x20+&2；

證明：(10G+Z?)2=100a2+20a/?+Z?2,

ax(5o+Z?)x20+Z?2=100o2+20ab+Z?2,

左邊=右邊，

故答案為：10a+6；ax(5a+b)x20+b2.

13.(1)；

⑵

⑶g,詳見解析

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，列代數(shù)，有理數(shù)的乘方，正確找到圖形的規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵,

(1)按題意計算畫圖即可得解；

(2)由圖找到數(shù)的規(guī)律進(jìn)行計算即可得解；

(3)由圖找到數(shù)的規(guī)律進(jìn)行計算即可得解；

【詳解】(1)解：畫圖如下，

Si\

故答案為：:;

(2)解:由圖知,

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為H=:；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為H+邑=；+]；：；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，

,?,?

第2025次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分；