廣東卷中考數(shù)學考前猜押22-23題（解答題）

猜押考點1年真題考情分析押題依據(jù)難度

幾何圖形的2024年廣東省2024年第22題考查旋轉與相似三角2025年模擬卷第22題可能設難

綜合變換卷第22題形，2023年涉及折疊問題置”矩形折疊后的角度計算”

函數(shù)的綜合2024年廣東省2024年第23題考查反比例函數(shù)與折2025年模擬卷第23題可能結難

問題卷第23題疊問題，2023年涉及二次函數(shù)與幾合“拋物線與動點軌跡”

何動態(tài)

題型一幾何圖形的綜合變換

1.（2025?廣東汕頭?一模）【知識技能】如圖1,△O3C繞點。順時針旋轉90。得到AODE,作NCOE的平分

線。4交線段OE于點A,連接AC交。。于點尺

【數(shù)學理解】（2）如圖2,若OB=DE,以點。為圓心，。廠長為半徑作圓，求證：。。與3C相切；

【拓展探索】（3）在（2）的條件下，若CF=2,OF=4,求AD的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）|

【知識點】全等三角形綜合問題、證明某直線是圓的切線、根據(jù)旋轉的性質求解、相似三角形的判定與性

質綜合

【分析】（1）分別證明。。=緋，ZCOA=ZEOA,結合。4=Q4,可得結論；

（2）先證明=結合（1）得△Q4C四△CME,可得=可得NOFC=90。.如圖，

過點。作OG_LBC于點G,貝U/OGC=90°=NOPC.證明AOGC名AORCIAAS）,進一步可得結論；

（3）由旋轉的性質，得NB=ZD,OB=OD,3c=OE,證明3c=03.設O3=x,由（2）得CG=CF=2,

OG=OF=4,利用勾股定理可得（*-2）?+42=尤2,可得了=5.再證明△OBGS/XA",進一步利用相似

三角形的性質可得答案.

—1—

(詳解】證明：(1)???△O3C繞點。順時針旋轉90°得至ljJJDE,

OC=OE.

???。4平分“。石，

???ZCOA=ZEOA.

又OA=OA,

???AOAC^AOAE(SAS).

(2)???AOBC繞點O順時針旋轉90°得至ljAODE,

ZBCO=AE,ZCOE=ZDOE-^-ZCOF=90°,OB=OD.

'：OB=DE,

：.OD=DE.

：.ZDOE=ZE.

由(1)得△OACHQ4E,

.??ZOCA=ZE.

：.ZOCA=ZDOE.

：.ZOCA+ZCOF=ZDOE+ZCOF=90°.

???ZOFC=90°.

如圖，過點。作OG,5c于點G,則NOGC=9(r=Nar.

D

c-2

又OC=OC,ZOCG=ZE=ZOCF,

：.AOGC^AOFC(AAS).

OG=OF.

丁O歹為。。的半徑，

???G)O與5c相切.

(3)由旋轉的性質，得ZB=ZD,OB=OD,BC=DE.

又OB=DE,

：.BC=OB.

設OB=x,由(2)得CG=CF=2,OG=OF=4,

BG=BC-CG=OB-CG=x-2.

—2—

在RtZkOGB中，ZOGB=90°,

BG2+OG2=OB2,BP(X-2)2+42=X2.

解得x=5.

：.OB=OD=5,BG=3,DF=OD-OF=5-4=1.

,:ZB=ZD,ZOGB=ZAFD=90°,

，AOBGs/\ADF.

,OBBG

"AD-DF)

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，切線的判定，相似三角形的判定與性質，

作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

2.（2025?廣東東莞?一模）如圖，在RSABC中，NC=90。，AZ）平分NBAC交BC于點O,。為A3上一

點，經(jīng)過點A,。的0。分別交AB,AC于點E,F,連接OP交AD于點G.

（2）連接跖，求證：EF//BC；

⑶求證：AD2=ABAF.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）見解析

【知識點】半圓（直徑）所對的圓周角是直角、證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】（1）連接O。，禾!!用等腰三角形性質和角平分線定義得到NOD4=NCW,進而證明OD〃AC,

利用平行線性質推出OD±BC,結合切線的判定定理即可證明BC是。。的切線；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，再結合平行線判定定理證明，即可解題；

（3）連接。/，結合平行線性質，角平分線定義，以及同弧所對的圓周角相等，證明△46/＞入皿7,利用

相似三角形性質證明，即可解題.

【詳解】（1）證明：連接OO,

—3—

A

QOD=OAf

：.ZOAD=ZODA,

???AT)平分交5c于點。，

.\ZOAD=ZCAD,

.\ZODA=ZCAD,

:.OD//ACf

??,ZC=90°,

ZODB=ZC=9Q°,BPOD±BC,

???O。為半徑，

「?3C是0。的切線；

(2)證明：連接所，

??,AE為。。的直徑,ZC=90°,

.?.ZAFE=90。=NC,

??.EF//BC；

:.ZB=ZAEF,

AF=AF?

,\ZAEF=ZADF,

—4—

ZB=ZADF,

ZBAD=ZDAF,

:.AABDsAADF,

ADAF

"~AB~~AD'

AD2=ABAF.

【點睛】本題考查了等腰三角形性質，角平分線定義，平行線性質和判定，切線的判定定理，直徑所對的

圓周角為直角，同弧所對的圓周角相等，相似三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識.

3.(2025?廣東?一模)如圖1,以VA3C的邊為直徑作。。交AC于點。，連接其中

圖1圖2圖3

⑴求證：3C與。。相切；

(2)如圖2,連接OC交8。于點E,若CE=A/I-1,求AC的長；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點。作。尸，AD于點尸，連接班■交OC于點G,求尸G的長.

【答案】(1)見詳解

⑵石

c、3技

20

【知識點】解直角三角形的相關計算、相似三角形的判定與性質綜合、切線的性質和判定的綜合應用、用

勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了切線的判定，直徑定理，解直角三角形，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判

定和性質等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質，并準確作出輔助線.

(1)利用直徑定理得出NADB=NCD3=9O。，利用給出的三角函數(shù)比可得=,進而可得相切；

(2)根據(jù)三角函數(shù)比得出3C=OB,假設半徑為x,表示出相關線段，根據(jù)原=0(7-0后=0-1求出工的

值即可得出答案；

(3)過點/作交OE于點根據(jù)三角函數(shù)比得出/C=Z)F+CD=3CD,AC=AD+CD=5CD,

根據(jù)平行的性質得出AFG〃SA3GO,△尸。母”!。。，根據(jù)相似比得出尸G=,求得CD=也,進而

85

—5—

可求FG的長度.

【詳解】(1)證明：:AB為。。的直徑，

.\ZADB=ZCDB=90°,

QBD=2CD,

CD1

/.在RtABCD中，tanZCBD=—二一，

BD2

,1

tanA=—,

2

:.ZA=/CBD,

:.ZABC=ZABD+ZCBD=ZABD^-ZA=90°,

.?.6。與。o相切；

(2)解：在Rt/XABC中，tanA=,

AB2

AB=2BC,

\-AB=2OB,

，BC=OB,

?;OE=OB,

：.BC=OB=OE,

設BC=OB=OE=x,

???在RtZ\O3C中，oc=&,

:.CE=OC-OE=6x-x=(6-，x=y/iT,

??犬=1,

AB=2x=2,BC=x=l

...在R3ABC中,AC=^ABr+BC2=75；

(3)解：

如圖3,過點尸作用〃AB交OE于點a.

OFLAD,

尸為AD的中點,

—6—

AF=DF=-AD,

2

'n』BD1

在RtAABD中，tanA4==一,

AD2

JAD=2BD,

又?；BD=2CD,

：.AD=4CD,BD=DF=2CD,

：.FC=DF+CD=3CD,AC=AD+CD=5CD,

?:FH//AB,

:?小FGHs@GO,AFCHSAACO,

,FGFHFHFC3C33

**BG-BO-AO-AC-5CD-5?

3

???FG=-BF,

8

AC=5CD=V5,

/.CD=@,

5

R

BD=DF=2CD=^2—,

5

BF=41BD=,

FG=-BF=^^-.

820

4.（2025?廣東云浮?一模）在四邊形ABCD中，AB//CD,M,N分別為邊8C,C。上的兩點，連接AN,

DM相交于點尸，且滿足NABC=NMW.

⑵如圖2,如果四邊形為平行四邊形時，試問（1）的結論是否依然成立？并說明理由.

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，ZZMB=90°,AB=BC,ZABC=60°,點■N分別在邊A3、AD!.,

CM

且O0_L5N,求三7的值.

【答案】（1）見解析

—7—

(2)結論仍然成立，理由見解析

生二立

BN2

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、特殊三角形的三角函數(shù)

【分析】(1)由四邊形ABCD為矩形，ZABC=ZMPN,可得AADNSADCM,02=絲，結合8=.，

ADAN

即可求解，

r)rr)pAnnp

(2)由已知可得進而得到——二——，由可得——二——,通過等量代

DMDNANDN

換，即可求解，

(3)過點。作CHLAB于點"，通過證明△CHMs△歷W,然后根據(jù)相似三角形的性質進行推理計算.

【詳解】(1)解：?.,四邊形A3CD為矩形，ZABC=ZMPN,

:.CD=AB,ZADN=/DCM=9伊,ZABC=ZMPN=90。,

:.AN±DM

/.ZPDA+ZPDN=ZPZM+ZDAP,

,\ZPDN=ZDAP,

???ZADN=ZDCM=90°,

:.小ADNs小DCM,

.CDDM

,AD~AN1

?.?CD=AB,

.ABDM

…茄一^7'

(2)解：仍然成立，理由如下：

vAB||CD,

ZABC+ZC=180°,

?.?ZABC=ZMPNf

.\ZAffW+ZC=180°,

/.ZPNC+ZPMC=180°,

?/NPND+ZPNC=180°,

:.ZPND=ZPMCf

-.-ZPDN=ZMDC,

.'.ADCM^^DPN,

.DCDP

,?DM-DN'

四邊形ABC。為平行四邊形，

—8—

AB=DC,

AB_DP

DM~DN1

AD//CB,

ZADP=NDMC,

ZADP=ZPND,

ZDAP=ZDAN,

AADP^AADN,

ADDP

AN-DN，

ADAB

A2V?

.ABDM

,AD~AN'

（3）解：過點。作于點H

,；CM1.BN,CHAB

：.ZMCH=ZABN=90°-ZCMH

又???/NAB=Z.CHM=90°

???ACHMs/\BAN

.CMCH

「NB~AB

AB=BC,ZABC=60°

—=sin60°=—

BC2

,CHV3

??=—

AB2

.CMy/3

【點睛】本題考查了，矩形的性質、平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，解題的關鍵是:熟練

應用相似三角形的性質進行求解.

5.（2025?廣東清遠?一模）數(shù)學活動課上，某學習小組正在利用等腰直角三角形開展研究.

【初步探索】（1）已知AABC和AERD是兩個全等的等腰直角三角形，且AB=AC=ED=￡F,

一9一

/BAC=NDEF=90。,將AABC固定不動，把△￡7力的頂點廠與A重合.

①如圖1,AB與A￡>重合，則陰影部分的面積與的面積比為；

②如圖2,將AEFD繞點A旋轉（ND1E始終在NBAC內部），線段AD、AE分別與3c交于點M、N,在旋

轉過程中，8M2+CN2=〃N2是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【拓展應用】（2）如圖3,在矩形ABCD中，點E"分別在邊3C、0c上，NEAF=45°,AD=2AB=4BE=4,

求。尸的長.

4

【答案】（1）①1:2；②成立，證明見解析（2）I

【知識點】等腰三角形的性質和判定、根據(jù)正方形的性質證明、根據(jù)旋轉的性質求解、相似三角形的判定

與性質綜合

【分析】（1）①根據(jù)題意易證/ABC=NADE=45。，推出易證AABNSAADE,推出絲=變，

AD2

進而得至I］黑也=（四］=1,即可解答；②將AACN繞點A順時針旋轉90。至位置，則CN=BH,

S.ADE<AD）2

AN=AH,ZABH=NC=45。,旋轉角NNAH=90。.連接HAf,證明AMIM絲△HAM（SAS）,推出

222

MH=MN.結合/HBM=90。，利用勾股定理得至！J+*2=.2,BM+CN=MN■,

（2）分別延長AB,￡>C至Q,S,使得3Q=CS=AZ?=2,連接QS,得出四邊形AQSD是正方形，延長AE交

3于點R,連接網(wǎng)，將廠繞點A順時針旋轉90。得到△AQP,貝?。軦AD/名人4。尸，證明丁a噲44/吠

得出PQ=RP,T^DF=X,在RtJ7?S中，RF2=FS-+RS2,即可求解.

【詳解】（1）①解：..?△ABC和△￡7力是兩個全等的等腰直角三角形，§LAB=AC=ED^EF,

NBAC=NDEF=90。,

：.ZABC=ZADE=45°,AB=AC=—BC=AE=DE=—AD,

22

'：A3與A￡＞重合,

BC\\DE,

：.AABNS^ADE,

.ABV2

"ADV

—10—

S.ADE2'

:陰影部分面積為S’.N，

，陰影部分的面積與的面AADE積比為1：2；

②成立.如圖，將AACN繞點A順時針旋轉90。至AABH位置，則CN=3",AN=AH,ZABH=ZC=45°,

旋轉角NN4”=90。.連接HM,

A(F)

：.ZHAM=/HAN-AMAN=45°,

AN=AH

在ANAM和4HAM中，/HAM=/MAN,

AM=AM

ANAM、HAM(S網(wǎng).

：.MH=MN.

又：NHBM=ZABH+ZABM=9Q°,

BM2+BH2=HM2>BM2+CN2=MN2.

(2)解：如圖所示，分別延長至Q,S,使得BQ=CS=A5=2,連接QS,

AD=2AB=4BE=4

：.AQ=QS=SD=DA,

又：四邊形ABC。是矩形

則？。90?

四邊形AQSO是正方形，

延長AE交QS于點R,連接用，

VBE=a,AB=BQ,BE//QR

—II—

?，?4ABESAAQR

?_B_E__A__B

?,速一而

QR=2BE=2,

將△"）尸繞點A順時針旋轉90°得到△AQP,則△AD尸二尸,

同（1）②可得AAF噲AAPR

，PR=RF

DF-x,則FR=PR=PQ+RS=x+2,FS=4-x,

在Rt△鹿中，RF2=FS2+RS2

即22+（4-X）2=（X+2）2

4

解得：x=3

4

DF=~.

3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，正

方形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

6.（2025?廣東河源?一模）如圖①，0。是VABC的外接圓，連接。4,OB,過點3作3ELAC,交AC的

圖①圖②

⑴設/AC?=x度，直接寫出度，ZCBE=度（用含x的代數(shù)式表示）;

（2）如圖②，過點A作AH_L3O,交3。的延長線于點a,連接HE,其中03=5,BH=8；

AT

①試問器的值是否是定值，若是，請求出此定值，若不是，請說明理由；

HE

②求出ACCE的最大值.

【答案】⑴卜0-；1；

⑵①g是定值正，理由見解析；②ACCE最大值為106-10.

HE2

【知識點】圓周角定理、已知圓內接四邊形求角度、相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關

計算

—12—

【分析】()作圓周角尸，可求得/AM=L/A03=』X。，進而得出

1/ABZCBE=ZAFB=-根據(jù)

222

麗〃6M得出NABD=ZOAB=90。-g元。；

(2)①作上，A3于G,可證得AAOFSABAH，從而空=",從而求得的值，可證得

AOAF

△BACSABHE,從而得出結果；

OF1CF1

②可得出tan/C3E=tan/0AB=W=彳，從而寸=彳，從而得出

AF2BE2

ACCE=；AC3E=S?C5=；AH觸=26觸，從而當點。在A5的中點時，S,BC最大，進一步得出結果.

【詳解】(1)解：如圖1,作圓周角NABD

圖1

/AFB=-ZAOB=-x°,

22

四邊形ACBF是。。的內接四邊形,

???ZAFB+ZACB=180。，

VZBCE+ACB=180°,

???ZBCE=ZAFB=-x°,

2

,/BELAC,

AZE=90°,

???ZCBE=90°-NBCE=90°--x°,

2

'：OA=OB,

]800_ZAO5

ZOAB=ZOBA==90°--x°

22

■:BD//OA,

：.ZABD=ZOAB=90」x°

2

—13—

故答案為：1F，9。-寸;

(2)解：①如圖2,

一是定值，理由如下:

HE7

圖2

作O/_LA8于/，

AAF=BF=-AB,ZAFO=ZAHB=90。，

由(1)知，/OAB=ZABD,

:.AAOFS^BAH,

,AFBH

??而一左’

AB=4下,

ZAHB=ZAEB=90。,

???點AH、E、5共圓，

...ZBAC=ZBHE,

由(1)知，ZABH=/CBE=NOAB,

：.ZABC=NEBH,

:.八BACs小BHE,

,AC_AB_4小_小

HE~BH~8—3，

②由上知，AF=BF=LAB=2卮

2

???OF=JA02一A尸2=—(2百『=75,

OF1

：.tanZCBE=tanZOAF=——=-,

AF2

—14—

.CE_1

**BE-2?

???ACCE=1ACBE=S.B=IAB.%=2M,

當點C在AB的中點時，S，ABC最大,

如圖3,連接OC,交A3于點尸，

圖3

OC±AB,

，CF=OC-OF=5->j5,

【點睛】本題考查了圓的有關性質，垂徑定理，圓的內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角

三角函數(shù)的定義等知識，掌握知識點的應用及正確添加輔助線，構造相似三角形是解題的關鍵.

7.（2025?廣東梅州?一模）【知識技能】（1）如圖1,在VABC中，AB=AC,ZK4C=90°,點。為平面內

一點（點A,B,。三點不共線），AE為的中線，延長AE至點M,使得=連接。欣.求證：

ZAffiL4+ZZMB=180°.

【數(shù)學理解】（2）如圖2,在VABC中，AB^AC,NR1C=9O。，點。為平面內一點（點A,B,D三點不

共線），AE為△ABD的中線，將AD繞點A按順時針方向旋轉90。得到AF,連接CF.求證：AE=\CF.

【拓展探索】（3）如圖3,在（2）的條件下，點。在以點A為圓心，AD的長為半徑的圓上運動（AD>A5）,

直線AE與直線CF交于點G,連接8G,在點。的運動過程中，BG的長度存在最大值.若至=4,求BG

的長度的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2宕+2

—15—

【知識點】全等的性質和SAS綜合(SAS)、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)旋轉

的性質求解

【分析】(1)先證明AABE絲AMDE(SAS),由全等三角形的性質得出最后根據(jù)平行線的性

質即可得出ZMDA+/DAB=180。.

(2)延長AE至點M,使得連接DM.由旋轉的性質可知，AF=AD,/ZMF=90。.證明

△ACF絲/)M4(SAS),由全等三角形的性質進一步即可證明.

(3)延長AE至點使醐/=隹，連接BM.先證明絲AMSE(SAS),再證明AMM絲AC4R(SAS),

根據(jù)得出點G在以AC為直徑的。。上運動，當且僅當BO,G三點共線時，8G的長度取得最大值，此時

BG=OB+OG.然后利用勾股定理以及直角三角形斜線的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：(1)證明：:AE為的中線，

/.BE=DE.

在△ABE和△〃￡)￡"中，

BE=DE,

<ZAEB=/MED,

AF=ME,

/.△ABE^AMDE(SAS).

:.ZBAE=ZDME.

：.AB//DM.

/.ZAffM+ZZMB=180°.

(2)證明：如答題圖，延長AE至點加，使得連接。M.

由旋轉的性質可知，AF=AD,ZDAF=90°.

vABAC=90°,NZMF+4AC+NmB+NC4F=360。,

.\ZDAB^-ZCAF=180o.

由（1）得/MZM+/DAB=180°,DM=AB=AC,

:.ZCAF=ZMDA.

在△ACF和2MA中，

—16—

AF=DA,

<ZCAF=NMDA,

AC=DM,

/.△ACF^AZ)M4(SAS).

:.CF=MA.

?/AE=-MA

2f

/.AE=-CF.

2

(3)解：如答題圖，延長A￡至點M,使石M=連接BN.

在VADE*和AWBE1中,

AE=ME,

<NAED=NMEB,

DE=BE,

/.AADE^AMBE(SAS).

:.AD=BM,ZDAE=ZM.

:.AD//BM.

:.ZDAB+ZABM=180°.

vZZMF+ZBAC=180°,

.-.ZZMB+ZC4F=180°.

:.ZABM=ZCAF.

\-AF=AD,

,\AF=MB.

在和VC4尸中，

'AB=CA,

<ZABM=NCAF,

BM=AF,

/.AABM^AC4F(SAS).

:.ZBAM=ZACF.

—17—

vZSAC=90°,

ZBAM+ACAG=9Q°.

:.ZACF+ZCAG=90°.

;.ZAGC=90。.

.?.點G在以AC為直徑的。。上運動，當且僅當8O,G三點共線時，3G的長度取得最大值，止匕時

BG=OB+OG.

??,O為AC的中點，AB=AC,

:.OA=-AC=-AB=2.

22

在中，由勾股定理，得08=JAB?+32="2+2?=2君.

在RtAAOG中，。為斜邊AC的中點，

OG=-AC=2.

2

BG的長度的最大值為2出+2.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合問題，直角三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理等知識.掌

握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

8.(2025?廣東肇慶?一模)在VABC中，ABAC=45°,AB=7,AC=4也.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,將ABAC繞點A按順時針方向旋轉90。得到△/1四,連接3D,CE交于點請猜想：

①BDCE=_.②銳角NCEB的度數(shù)=_.

(2)類比探究：將4c繞點A按順時針方向旋轉任意角度得到AZME,若直線BD與直線CE相交于點

當銳角NCEB存在時，(1)中的兩個結論是否還成立？若成立，請結合圖2說明理由；

(3)遷移應用：如圖3是將ABAC繞點A按順時針方向旋轉到一定角度得到A/ME,當點O在直線A3上方,

且m〃CB時，求線段CE的長.

【答案】⑴①7&:8;②45°

(2)成立，見詳解

小16a

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉的性質求解、相似三角形的判定與

性質綜合

—18—

【分析】此題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，平行

線的性質，勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

(1)①根據(jù)旋轉的性質和勾股定理即可解答；

②證明^BAD^ACAE,并根據(jù)8字形即可解答；

(2)同理可知：當銳角NCEB存在時，(1)中的兩個結論還成立；

(3)過點C作，四于過點。作交54的延長線于N,證明貝|

CMDN4

——設DV=4x,AN=3x,則AD=5x,由勾股定理即可解答.

BMAN3

【詳解】(1)解：①由旋轉得：AB=AD=1,ZBAD=ZCAE=90°,AC=AE=4形，

:.BD^y/l2+72=7A/2-CE=j32+32=8,

:.BD:CE=1丘:8;

故答案為：70:8;

圖1

②如圖1,-.-AB=AD,AC=AE,

AB_AD

,AC-A￡)

-.■ZBAD=ZCAE=90°,

.'.^BAD^^CAE,

:.ZABD=ZACE,

???NAOB=NCOF,

ZCFB=ZBAC=45°f

故答案為：45°；

(2)解：當銳角NCEB存在時，(1)中的兩個結論仍成立，理由如下:

圖2

如圖2,由旋轉得：NBAD=NCAE,

—19—

由（1）同理得：△BAD^ACAE,

BDAB7_772

ZABD=ZACE

~CE~^C~742~~8~f

?：NAOB=NCOF,

.\ZCFB=ZBAC=45°；

(3)解：

如圖3,過點。作。居于〃，過點。作OVLAB,交B4的延長線于N

ZCMB=ZN=90°.

VZBAC=45°f

「.△ACM是等腰直角三角形，

QAC=40，

/.AM=CM=4,

???AB=7,

,\BM=7-4=3f

\AD\\BC,

:./DAN=/CBM,

..^CBM^^DAN,

.CM_DN_4

..BM-AN-3'

設DN=4%,AN=3x,貝=

???A￡>=7,

/.5x=7,

x=—7,

5

：.DN=4X—=——，BN=AB+AN=7+3X-=—

55559

.-.BD=y/DN2+BN2=J(y)2+(y)2=,

???BD:CE=7A/2:8，

—20—

28為

.—_7叵,

CE8

si

5

9.(2025?廣東惠州?一模)如圖，在邊長為4的正方形ABC￡＞中，E為CD邊上一點.

⑴如圖1,將射線AE繞點A順時針旋轉90。后交CB的延長線于點尸，求四邊形AFCE的面積；

(2)如圖2,若E是CD的中點，G是2C邊上一點，將線段AG繞點G順時針旋轉90。后得到線段龍，點//

恰好落在射線AE上，求證：CG=2BG；

(3)如圖3,若OE=3CE,點M在正方形ABCD的對角線AC上，且/頌'=135。，求AM的長度.

【答案】(1)16

(2)詳見解析

⑶4忘-2

【知識點】全等三角形綜合問題、根據(jù)正方形的性質證明、根據(jù)旋轉的性質求解、相似三角形的判定與性

質綜合

【分析】本題是四邊形綜合應用，涉及正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角

形的判定與性質等知識點，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵.

(1)證明AAEZ在AA朋(ASA),由全等三角形的性質得出S"ED=SAAFB，即可得出答案；

(2)連接GE,過點A作AF_LAE交CB的延長線于點尸，由(1)可得AAED必AFB，證明△￡4G包E4G(SAS),

由全等三角形的性質得出EGuPGuEB+BGuZ+BG,由勾股定理求出3G的長，可得出答案；

(3)證明AMBCS曲c,由相似三角形的性質得出MC,可得出答案.

【詳解】(1)解：由旋轉的性質可得：ZEAF=90°,

四邊形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZD=ZDAB=ZABF=90°,

:.ZEAF=ZDAB,

:.ZDAE=ZBAF,

在△AED和△AFB中，

—21—

ZDAE=ZBAF

<AD=AB,

ND=NABF

:.△AED、AFB(ASA),

-S^AED=，AAFB?

???四邊形AFCE的面積和正方形ABC。面積相等，

,t,S四邊形AFCE=4x4=16,

二?四邊形AFCE的面積為16；

(2)證明：如圖，連接GE,過點A作AFLAE交CB的延長線于點尸,

E是的中點，

BF=DE=—CD=2,AE=AF,

2

???線段AG繞點G順時針旋轉90。后得到線段用,

:.AG=GH,NAG"=90。，

「.N"4G=45。，

/.ZGAF=90°-ZHAG=45°,

.\ZGAE=ZGAF,

在△AEG和&4FG中，

AE=AF

<ZGAE=ZGAF,

AG=AG

/.△AEG^AAFG(SAS),

:.EG=FG=FB+BG=2+BG,

在Rt△石CG中，EG2=EC2+CG2.

,(2+3G)2=2?+(4—BG)?.

4

解得：BG=~,

48

:.CG=BC—BG=4——=-,

33

—22—

.\CG=2BG；

(3)解：???四邊形ABC。是正方形，

ZABC=ZADC=90°,ZACB=45。，

AC=y/AB2+BC2=4A/2，

ZMBC=1SO°-ZACB-ZBMC=1SO0-450-ZBMC=1350-ZBMC,

?;DE=3CE,8=4,

:.CE=-CD=\,

4

由題意可得，ZEMC=1350-ZBMC,

:.ZMBC=ZEMC,

:AMBCS^EMC,

.BCMC

;.MC2=BC-CE=4xl=4,

解得：MC=2（負值舍去），

AM=AC-MC=4-j2-2.

40的長度為40-2.

10.（2025?廣東湛江?一模）【實踐探究】

數(shù)學實踐課上，活動小組的同學將兩個正方形紙片按照圖1所示的方式放置.如圖1,正方形A3。的對角

線相交于點。，點。又是正方形44G。的一個頂點，且這兩個正方形的邊長相等，四邊形OEB尸為這兩個

①線段AE,防之間的數(shù)量關系是,線段BE,CT之間的數(shù)量關系是.

②在①的基礎上，連接跖，則線段AE,CF,所之間的數(shù)量關系是.

⑵【類比遷移】

如圖2,矩形ABCD的中心。是矩形480。的一個頂點，4。與邊A3相交于點E,G。與邊3C相交于點

F,連接跖，延長CQ交于點尸，連接￡P,AC,矩形ASG?？衫@點。旋轉.判斷線段AE,CF,

族之間的數(shù)量關系并證明.

（3）【拓展應用】如圖3,在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=3,BC=4,直角NED尸的頂點。在邊A2的中

點處，它的兩條邊OE和。尸分別與直線AC,BC相交于點E,F,NEDF可繞點D旋轉.當AE=2時，

—23—

請求出線段防的長.

【答案】⑴①AE=3尸；BE=CF；?AE2+CF2=EF2

(2)AE2+CF2=EF2,證明見解析

(3)8斤的長為?13或3?7

88

【知識點】全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質證明、根據(jù)旋轉的性質求解

【分析】(1)①證明△Q4E四△。臺尸，由全等三角形的性質即可得到AE=斯，從而可得3E=CF；

②由①的結論及勾股定理即可得到三線段AE,CF,EF間的數(shù)量關系；

(2)由矩形的性質可證明△Q42監(jiān)△OCF,則有"=CF,OP=OF■.再由矩形的性質及線段垂直平分線

的性質可得￡P=w；在RtAPAE中，由勾股定理及等量代換可得

AE2+CF2=EF-

(3)分兩種情況：點E在邊AC上；點E在C4延長線上；由(2)的結論及勾股定理即可解決.

【詳解】(1)解：①：四邊形ABCZ)、四邊形ABC0均為正方形，

AB=BC,ZOAE=NOBF=45°,NAOB=NAQQ=90°,OA=OB,

：.ZAOE=Z.BOF=90°-Z.EOB；

在"OE■與ABO產(chǎn)中，

ZOAE=ZOBF

<OA=OB,

ZAOE=ZBOF

：.△OAE絲△OBF(ASA),

，AE=BF；

,/AB=BC,

：.AB-AE=BC-BF,

：.BE=CF；

故答案為：AE=BF-,BE=CF；

②在Rt^EB尸中，BF2+BE2=EF2，

1^AE=BF,BE=CF,

AE2+CF2=EF2,

故答案為：AE2+CF2=EF2；

(2)解：線段AE,CF,砂間的數(shù)量關系為：AE2+CF2=EF\

證明如下：

?.?四邊形ABC。、四邊形A與G。均為矩形，矩形ABCD的中心為。，

AOA^OC,ZDAB=ZA,OC}=90°,AD//BC,

：.NPAO=NFCO；

—24—

在AQ4尸與△OCF中，

ZAOP=NCOF

<OA=OC,

ZPAO=ZFCO

：.AOAP^AOCF(ASA),

：.AP=CF,OP=OF.

?：Z^OCj=90°,

EO垂直平分FP,

EP=EF■,

在RtApLE1中，由勾股定理得：AE2+AP2^EP2.

AE2+CF2=EF-

(3)解：①當點E在邊AC上時；

由(2)的結論知：AE2+BF2=EF2^

:在Rt^CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2,

即CE2+CF-=AE2+BF2;

設3尸=無，則CF=4—x,而CE=AC-AE=3-2=1,

：1+(4—尤)2=2?+f,

解得：x="13,

O

13

即2尸=」；

8

②如圖，當點E在C4延長線上時，把Rt^ABC補成矩形ACBM,延長FD交AAf延長線于點P,連接EP,

由(2)的結論知：AE2+BF2=EF2^

在RCCEF中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2,

^CE2+CF2=AE2+BF2；

設=貝UCF=x-4,而CE=AC+AE=3+2=5,

/.52+(^-4)2=22+X2,

37

解得：x=—,

o

—25—

即BF=—；

8

綜上，防的長為1?3或三37.

88

【點睛】本題是四邊形的綜合，考查了矩形、正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，線段

垂直平分線的性質，旋轉的性質等知識，證明三角形全等是問題的關鍵.

題型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合

11.(2025?廣東韶關?一模)【問題背景】

k

如圖，在平面直角坐標系尤0y中，正方形的邊OC,04分別在X軸和y軸上，若反比例函數(shù)y=-

X

(左/0)的圖象分別交A3,2c于點M,N.

【構建聯(lián)系】

(1)求證：AM=CN.

k

(2)。是邊AB上靠近點A的三等分點，將△Q4D沿直線OO折疊后得到若反比例函數(shù)y=*

(k#0)的圖象經(jīng)過點A,且。4=3,求上的值.

【深入探究】

(3)在(2)的條件下，連接CA,A'N,求sin/CAW的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)笈=暨；(3)5叵

25205

【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)正方形的性質求線段長、相似三角形的判定與性質綜合、解直角

三角形的相關計算

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正確作出輔助線

是解題的關鍵.

(1)根據(jù)正方形的性質和反比例函數(shù)的性質，即可解答；

(2)過點A作EFLx軸于點E,交A8于點尸，證明△女a(chǎn)尸,由相似三角形的性質列方程，即可

解答；

(3)過點N作于點過點4作A'K1.aV于點K,求得創(chuàng),AN的長，即可解答.

—26—

【詳解】解：(1)證明：設點〃(％,%),N(肛力)，

1,點N都在正方形ABCD上，

?,?%=X2，且占

「?%=%，即AM=CN.

(2)如圖1,過點4作跖，1軸于點石，交45于點尸,

四邊形。4BC是正方形,OA=3,

/.AD=-AB=1,

3

根據(jù)折疊的性質可得AD=AD=1,OA=OA=3,ZOAfD=ZOAB=90°,

/.ZDAF=90°-ZOAE=ZAOE,

*/EFJ_x軸，

:.ZDFA=ZAEO=90°,

:./\ADF^Z\OAE,

.DFAf