第十章I統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第一節(jié)隨機事件的概率

明：知

源標；數(shù)考

笠求；導(dǎo)向

1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.

運送:課前一教材溫顧學(xué)習(xí)“2方案”

i/主干知識回顧一遍

i.事件的相關(guān)概念

2.頻數(shù)、頻率和概率

(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件5下重復(fù)〃次試驗，觀察某一事件4是否出現(xiàn)，稱〃次

試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)如為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例加A)=詈為事件A

出現(xiàn)的頻率.

(2)概率：對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率啟4)

穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作尸(A),稱為事件4的概率.

3.事件的關(guān)系與運算

名稱條件結(jié)論符號表示

事件5包含事件4事

包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生=3發(fā)生53A（或AG8）

件A包含于事件B)

相等關(guān)系若且A3E事件A與事件B相等A=B

事件A與事件B的并

并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生AUB（或4+8）

事件(或和事件)

事件A與事件B的交

交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生AD〃（或A8）

事件(或積事件)

互斥事件Anx為不可能事件事件A與事件B互斥AnB=。

Ans為不可能事件，事件A與事件B互為

對立事件ADB=0fP（AUff）=l

AUB為必然事件對立事件

4.概率的幾個基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWP(A)WL

(2)必然事件的概率：P(E)=1.

(3)不可能事件的概率：P(r)=0.

(4)概率的加法公式：如果事件A與事件“互斥，則RAU8)=PS)+P(").

(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則AUB為必然事件，P(AUB)

=1,P(A)=1-P(B).

一級結(jié)論與微點提醒

(1)頻率隨試驗次數(shù)的改變而改變，概率是一個常數(shù).

(2)對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”

的必要不充分條件.

(3)概率的一般加法公式P(4U4)=P(A)+P(B)—P(4CB)中，易忽視只有當(dāng)4

即A,B互斥時，P(AUa=P(A)+P(8),此時尸(An8)=0.

(4)當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即

P(AI+A2+”?+4“)=P(4I)+PC42)+…+P(A“).

至2經(jīng)典小題練悟一遍

1.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)4="三件產(chǎn)品全不是次品"，B="三件產(chǎn)品全是

次品"，C="三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.A與C互斥B.〃與C互斥

C.任何兩個都互斥D.任何兩個都不互斥

解析：選DA為｛三件產(chǎn)品全不是次品｝,指的是三件產(chǎn)品都是正品，B為｛三件產(chǎn)品全

是次品｝,A與〃互斥，C為｛三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品｝,它包括一件次品，兩件次品，

由此可知，A與C是互斥事件.笈與C是互斥事件.故選D.

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)任意一個點數(shù)的概率都是上記事件4為

“向上的點數(shù)是奇數(shù)“，事件〃為“向上的點數(shù)不超過3”，則概率〃(AU6)=()

A,2B3C3D-6

解析：選C易知事件4,3不是互斥事件，由題意可得A=｛135｝,3=｛1,2J｝,所以

P(A)=|=1,P(B)=|=1,P(AB)=|=|,所以尸(AU%)=P(A)+P(3)—P(4"T+：-；=京

3.甲、乙兩人做錘子、剪刀、布游戲，則平局的概率為；甲嬴的概率為

解析：設(shè)平局(用△表示)為事件A,甲贏(用。表示)為事件乙

布※?！?/p>

剪刀。△冰

錘子△※。

錘子的刀布甲

Bf乙贏（用※表示）為事件C.容易得到如圖.

313

平局含3個基本事件（圖中的△）,P（A）=?=；.甲贏含3個基本事件（圖中的。），P（B）『

=y

答案：;I

送送返姿課堂----輪深化學(xué)習(xí)“3層級”

層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)（省時間）

基礎(chǔ)點隨機事件的關(guān)系及運算

［題點全訓(xùn)］

1.一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5

件，現(xiàn)給出以下四個事件：

事件A表示“恰有一件次品”；

事件3表示“至少有兩件次品”；

事件C表示“至少有一件次品”；

事件。表示“至多有一件次品”.

則下列說法正確的是（）

A.A+B=DB.3+Q是必然事件

C.AB=CD.AD=C

解析：選B事件人+V表示“至少有一件次品”，即事件C,所以A不正確；事件）

+O表示“至少有兩件次品或至多有一件次品”，包括了所有情況，所以B正確；事件43

=。，所以C不正確；事件AO表示“怡'有一件次品”，即事件A,所以D不正確.

2.從裝有2個紅球和2個白球的袋內(nèi)任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是紅球

B.取出的球恰有1個紅球；取出的球恰有1個白球

C.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是白球

D.取出的球恰有1個白球；取出的球恰有2個白球

解析：選D在A中，至少有1個紅球和都是紅球，這兩個事件能同時發(fā)生，故A不

是互斥事件；在B中，恰有1個紅球，恰有1個白球，這兩個事件能同時發(fā)生，故B不是互

斥事件；在C中，至少有1個紅球，都是白球，這兩個事件不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)

生.故C是對立事件；在D中，恰有1個白球，恰有2個白球，這兩個事件不能同時發(fā)生，

能同時不發(fā)生，故D是互斥而不對立的兩個事件.故選D.

L"點”就過］

辨析互斥事件與對立事件的思路

(1)在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)

生.

(2)兩個對立事件必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生,即兩事件對立，必定互斥，但兩事

件互斥，未必對立.對立事件是互斥事件的一個特例.

(3)互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件.

層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)

重難點(一)隨機事件的概率與頻率

［典例I某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量丫(單位：萬千瓦時)與該河上

游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)>=70時，y=460；X每增加10,Y

增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,

160,220,140,160.

(1)完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160200220

111

頻率

20510

(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概

率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.

［解］(1)在所給數(shù)據(jù)白，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為20。毫

米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為：

降雨量7011()140160200220

7

頻率13131

202052020而

X-70x

(2)根據(jù)題意，Y=4604-777-X5=y4-425,

故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或趣過530萬千瓦時”)

=P(r<490或?530)=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+尸(X=110)+P(X=220)

=J__3_J_=3_

=20_*-20+20=10-

故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或趣過530(萬千瓦時)的概率為

3

10,

［方法技巧］

1.計算簡單隨機事件的頻率或概率的解題思路

(1)計算所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù).

(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率.

2.求復(fù)雜事件的概率的兩種方法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解

概率.

(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面的

分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即“正難則反”.常用此方法求“至少”“至多”

型事件的概率.

［針對訓(xùn)練］

某險種的基本保費為。(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年

度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出

0123425

險次數(shù)

保費0.85aa1.25。1.5a1.75a2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)01234>5

頻數(shù)605030302010

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求尸(A)的估計值；

(2)記笈為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的16()%”,

求P仍)的估計值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

解：(1)事件4發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于

2的頻率為6(需0=0.55,故PC4)的估計值為0?55.

(2)事件〃發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)

大于1且小于4的頻率為4『。=0.3,故0(5)的估計值為0.3.

(3)由所給數(shù)據(jù)得

保費i).85aa1.25a1.5a1.75a2a

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為O.85aXO.3O+aXO.25+1.25aXO.15+L5aX0.15+

1.75aX0.10+2aX0.05=1.1925a.

因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.

重難點(二)互斥事件、對立事件的概率

［典例］一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12只小球，其中S個紅球，4個黑球，2個白

球，1個綠球.從中隨機取出1球，求：

(1)取出的小球是紅球或黑球的概率；

(2)取出的小球是紅球或黑球或白球的概率.

［解］記事件4=｛任取1球為紅球｝;

b=｛任取1球為黑球｝;C=｛任取1球為白球｝;

。=｛任取1球為綠球｝,

5421

則PG4)=石，尸佛)=五，尸(。=五，尸(。)=瓦.

543

(1)由于A,笈互斥，故取出1球為紅球或黑球的概率為PI=P(A)+P(")=E+五=量

(2)任取一球，取出的小球是紅球或黑球或是白球的對立事件是取出一個小球是綠球.

故尸2=1一尸(0=1一

［方法技巧］求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

1他一一口根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的:

I第步尸事件的和

U二二二二二二二二二二二二二二二二二二

利用有關(guān)概率計算公式分別計算這些彼此互；

I第一步一斥的事件的概率

o........................................'

［第三步H運用互斥事件的概率加法公式計算所求概率:

(2)間接法(正難則反)

判斷事件A的概率計算是否適合用間接法，

|第一步判斷的標準是正向思考時分類較多，而其對

立面的分類較少，此時應(yīng)用間接法

8

［第二步卜利用互斥事件的概率計算公式計算事件3的

0對立事件人的概率

［第三步卜運用公式。(A)=l-P(1)求解

［針對訓(xùn)練］

經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率;

(2)至少3人排隊等候的概率.

解：記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件5,“2人排隊等候”為事

件C,“3人排隊等候”為事件O,“4人排隊等候”為事件凡“5人及5人以上排隊等候”

為事件尸，則事件A,BtC,DtE,尸彼此互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A+〃+C,所以P(G)=PC4+〃+C)=P(A)

+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)法一：記“至少3人排隊等候“為事件"，則”=O+E+尸，所以P(H)=P(O+E+

尸)=P(D)+P(E)+P(尸)=0.3+0.1+0.04=0.44.

法二：記“至少3人排隊等候”為事件〃，則其對立事件為事件G,所以P(4)=l—P(G)

=0.44.

層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)

1.(互斥事件與對立事件的概念把握不準)某籃球職業(yè)聯(lián)賽中，運動員甲在最近幾次參加

的比賽中的投籃情況如下表(不包含罰球)：

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中二分球的次數(shù)

1005518

記該運動員在一次投籃中，“投中兩分球”為事件A,“投中三分球”為事件不“沒

投中”為事件C,用頻率估計概率，則下述結(jié)論不正確的是()

A.P(4)=0.55B.P(砌=0.18

C.P(C)=0.27D.尸(8+。=0.55

55

解析：選D由題意可知，P(4)=麗=0.55,P(S)=麗=0.18,事件“A+5”與事件

C為對立事件，且事件A,B,C互斥，所以P(C)=l-P(A+3)=l-P(A)-P(6)=0.27,所

以尸(4+。=尸(研+P(C)=0.45.

2.(借助數(shù)學(xué)文化)公元5世紀，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的值的范圍是3.141592

6<7：<3,1415927.為紀念祖沖之在圓周率上的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國

數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們從小數(shù)點后的7位數(shù)字

141,5,9,2,6中隨機選取2位數(shù)字，整數(shù)部分3不變，那么得到的數(shù)大于3.14的概率為()

cSD4T

解析：選A選擇數(shù)字的總的方法有5X6+1=31(種)，其中得到的數(shù)不大于3.14的數(shù)

328

為3.11,3.12,3.14,所以得到的數(shù)大于3.14的概率為尸=1一^=77?故選A.

?JI1

3.(創(chuàng)新命題情境)對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)送行抽樣檢測，圖為檢測結(jié)果的頻率

分布直方圖.根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間［20,25)上為一等品，在區(qū)間［15,20)和［25,30)上為一

等品，在區(qū)間［10,15)和［3035］上為三等品.用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件,

則其為二等品的概率是()

頻率

組距

0.04

0.03

0.02

O101520253035長度/毫米

A.0.09B.0.20

C.0.25D.0.45

解析：選D由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間［25,30)上的頻率為1一

5X(0.024-0.044-0.06+0.03)=0.25,則二等品的須率為0.25+0.04X5=0.45,故任取1件為

二等品的概率約為0.45.故選D.

4.(創(chuàng)新考查方式)設(shè)條件甲：”事件4與3是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)

+P(B)=1”,則甲是乙的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選A若事件a與事件3是對立事件，則AU8為必然事件，再由概率的加法公

式得P(A)+P(5)=1.投擲一枚硬幣3次，事件A:“至少出現(xiàn)一次正面”，事件3:“3次

71

出現(xiàn)正面“，則(，，滿足產(chǎn)但〃不是對立事件.故甲是

pA)=dOP(")=dO(A)+P(3)=l,A,

乙的充分不必要條件.

5.(滲透“五育”教育)中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，

甲奪得冠軍的概率為9,乙奪得冠軍的概率為:，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率

為.

解析：由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪

得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即披此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，

3119

中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為

［課時驗收評價］

1.某省高考實行新方案.新高考規(guī)定I語文、數(shù)學(xué)、英語是必考科目，考生還需從思

想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個等級考試科目中選取3個作為選考科目.某考

生已經(jīng)確定物理作為自己的選考科目，然后只需從剩下的5個等級考試科目中再選擇2個組

成自己的選考方案，則該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”為()

A.既是互斥事件又是對立事件

B.對立事件

C.不是互斥事件

D.互斥事件但不是對立事件

解析：選D該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”不能同時發(fā)生，但

能同時不發(fā)生，所以該考生“選擇思想政治、化學(xué)”和“選擇生物、地理”為互斥事件但不

是對立事件.故選D.

2.如果事件A與3是互斥事件，且事件AU8發(fā)生的概率是0.64,事件5發(fā)生的概率

是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為()

A.0.64B.0.36

C.0.16D.0.84

解析：選C設(shè)P(A)=xf則P(3)=3x,因為事件A與B是互斥事件，所以P(AUB)

=P(A)+P(B)=x+3x=0.64,解得x=0.16.故選C.

3.已知隨機事件A,8發(fā)生的概率滿足條件PG4UH)=本某人猜測事件A”發(fā)生，

則此人猜測正確的概率為()

A.1B.|C.1D.0

解析：選c???事件In萬與事件AUS是對立事件，，事件彳n萬發(fā)生的概率為p(彳

_A11

nB)=l-P(AUZ；)=1-^=4，則此人猜測正確的概率為了故選c.

4.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購物已逐漸成為消費時尚，為了解消費者對網(wǎng)上購物的滿

意情況，某公司隨機對4500名網(wǎng)上購物消費者進行了調(diào)查(每名消費者限選一種情況回答),

統(tǒng)計結(jié)果如表：

滿意情況不滿意比較滿意滿意非常滿意

人數(shù)200n21001000

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計在網(wǎng)上購物的消費者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的

概率是()

711

1515

解析：選C由題意知，比較滿意的人數(shù)n=4500—(200+21004-1000)=1200(人),

故“比較滿意”或“滿意”的人數(shù)為1200+2100=3300(人).所以概率為尸=咨辭=*.

5.在甲、乙、丙、丁四位志愿者中隨機選兩人，去社區(qū)給困難戶送生活必需品，恰好

選到丙和丁的概率是()

A.lB.JC.1D.T

3456

解析：選D在甲、乙、丙、丁四位志愿者中隨機選兩人，去社會給困難戶送生活必需

品，基本事件總數(shù)〃=6,J恰好選到丙和丁的概率尸=上.故選D.

6.同時擲3枚硬幣，至少有1枚正面向上的概率是()

7531

A.gB.gC.gD.g

解析：選A由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是將1枚硬

幣連續(xù)拋擲三次，共有23=8種結(jié)果，滿足條件的事件的對立事件是3枚硬幣都是背面向上,

17

有1種結(jié)果，所以至少有一枚正面向上的概率是1一；=1故選A.

OO

7.下列結(jié)論正確的是()

A.事件A的概率P(A)必滿足0<P(A)<l

B.事件4的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件

C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)

有一名胃潰瘍病人服用此藥，則估計有明顯的療效的可能性為76%

D.某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張，一定有5張中獎

解析；選C由概率的基本性質(zhì)可知，事件A的概率PG4)滿足OWP(4)W1,故A錯誤；

必然事件的概率為1,故B錯誤；某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張，不一定

有5張中獎，故D錯誤.故選C.

8.有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；

[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3.根據(jù)樣本

的頻率分布估計，數(shù)據(jù)在[31.5,43.5)的概率約是()

A,6B<3C,2D,3

解析：選B根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)得到：數(shù)據(jù)在[31.5,43.5)范圍的有

131.5,35.5)12;[35.5,39.5)7;[39.5,43.5)3,：?滿足題意的數(shù)據(jù)有12+7+3=22(個)，而總的數(shù)

22II

據(jù)有66個，???數(shù)據(jù)在[31.5,43.5)的頻率為正=Q,由頻率估計概率得尸=Q.故選B.

9.若隨機事件48互斥，A,8發(fā)生的概率均不等于0,且尸(4)=2—a,P(砂=4”一5,

則實數(shù)。的取值范圍是()

2

5于

12

O<P(A)<1,

解析：選D由題意可得,O〈P(B)vl,

H4)+—W1,

0<2-a<l,

54

即彳Ov4G—5vl,解得沁

、3。-3W1,

10.向三個相鄰的軍火庫投一枚炸彈，炸中第一軍火庫的概率為0.025,炸中第二、三

軍火庫的概率均為0.1,只要炸中一個，另兩個也會發(fā)生爆炸，則軍火庫爆炸的概率為

解析：設(shè)A,B9C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件，O表示軍

火庫爆炸，則P(A)=0.025,P(")=0.l,P(C)=O.1,其中A,B,C互斥，故P(O)=P(AU3

UC)=P(A)+P(B)+P(。=0.025+0.1+0.1=0.225.

答案：0.225

11.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的

名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“雖然你的成績比乙好，但是你倆都

沒得到第一名”；對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”.從上述回答分析，丙是第一名的概率是

解析：由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因為所有的

限制條件對丙、丁或戊都沒有影響，所以這三個人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一

名的概率是1.

答案：；

12.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的

正點率為0.98,有1()個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率

的估計值為.

均正點率的估計值為0.98.

答案：0.98

13.一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次

只取一個，取得兩個紅玻璃球的概率為入，取得兩個綠玻璃球的概率為點則取得兩個同色

玻璃球的概率為；至少取得一個紅玻璃球的概率為.

解析：由于“取得兩個紅玻璃球”與“取得兩個綠玻璃球”是互斥事件，取得兩個同色

71

玻璃球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色玻璃球的概率為尸=正+不=

JLA

Q

去.由于事件A“至少取得一個紅玻璃球”與事件8”取得兩個綠玻璃球”是對立事件，則至

少取得一個紅玻璃球的概率為P(A)=1-P?=1一人=《

JLQJL，

管親?1515

14.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付

結(jié)果統(tǒng)計如下：

賠付金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛)500130100150120

(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000兀的樣本車輛中，車主

是新司機的占20%,估計在已投保新司機車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

解：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，

以頻率估計概率得P(A)=[；00=0.15,P(B)=]000=0.12.

由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4

0()0元，所以其概率為P(A)4-P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)設(shè)。哀示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，可得樣本車輛中車主為

新司機的有0.1X1000=100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有

24

0.2X120=24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為麗=0.24,由

頻率估計概率得P(O=0.24.

15.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6

元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天

需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶：如果最

高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確

定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高

(10,15)[15,20)120,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

⑴估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量

為450瓶時，寫出y的所有可能值，并估計y大于零的概率.

解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，

當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知，

最高氣溫低于25的頻率為2+聚"36=06,

所以這種酸奶一天的需求量不超過30()瓶的概率的估計值為0.6.

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25,則＞7=6X450-4X450

=900;若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則￥=6X300+2(45()-300)-4X450=300;若最高氣

溫低于20,則K=6X2004-2(450-200)-4X450=-100.

所以，y的所有可能值為900,300,-100.

Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為

36+2；7+4=0.8,因此y大于零的概率的估計值為0.8.

第四節(jié)古典概型與幾何概型

明|知

源標；教考

婪求；導(dǎo)向

1?理解古典概型及其概率計算公式,會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生

的概率.

2.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.了解幾何概型的意義.))

W送返返返課前——教材溫顧學(xué)習(xí)“2方案”

i/主干知識回顧一遍

i.基本事件的特點

(1)任何兩個基本事件是互屈的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成聚建性的和.

2,古典概型

(1)古典概型的特征

①有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的,即只有有限個不同的基本事件；

②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的亙能性是相等的.

(2)古典概型的概率計算的基本步驟：

①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件為A；

②分別計算基本事件的總數(shù)〃和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù)如

③利用古典概型的概率公式P(A)=。，求出事件A的概率.

⑶頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同

名稱不同點相同點

頻率計算中的m,n均隨隨機試驗

的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的

頻率計算公式

增多，它們的比值逐漸趨近于概率

都計算了一個比值々

值

古典概型的概々是一個定值,對同一個隨機事件而

率計算公式

言，山，〃都不會變化

3.幾何概型

(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則

稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

(2)幾何概型的基本特點

①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

(3)計算公式

p,構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

()-試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)?

二級結(jié)論與微點提醒

(1)一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和

等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.正確判斷試驗的類型是解決概率

問題的關(guān)鍵.

(2)古典概型是一種特殊的概率模型，但并不是所有的試驗都是古典概型.

(3)在幾何概型中，如果4是確定事件，

①若A是不可能事件，則P(A)=O肯定成立；如果隨機事件所在的區(qū)域是一個單點，由

于單點的長度、面積和體積都是0,則它出現(xiàn)的概率為()，顯然它不是不可能事件，因此由

P(A)=0不能推出A是不可能事件.

②若A是必然事件，則P(A)=1肯定成立；如果一個隨機事件所在的區(qū)域是從全部區(qū)域

中扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件，因此由P(/i)=l不能推出A是

必然事件.

i2經(jīng)典小題練悟一遍

1.在區(qū)間(0,4)內(nèi)隨機取一個數(shù)x,則使得不等式“+1)225工一1不成立的概率為()

A-lB-1

C,4D,3

解析：選C由題意(x+l)225x-l不成立，即(X+1)2V5X-1,即好一3X+2V0,解得

2—11

l<x<2,又x￡(0,4),故所求概率為二^=不

2.某人進行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8

環(huán)，有1次未中靶，假設(shè)此人再射擊1次，則中靶的概率約為,中10環(huán)的概率約

為.

答案：0.90.2

3.一個袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球.從中先后取出2個球，則基本事

件的個數(shù)為.

答案：12

4.袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球.從中任取一球，則取到白球的概率為

解析：從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P

_6_2

=15=5*

答案卷

運逐舉運連藍^?課堂----輪深化學(xué)習(xí)“3層級”

層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)

基礎(chǔ)點(一)基本事件及事件的構(gòu)成

［題點全訓(xùn)］

1.小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是1,N中的一個

字母，第二位是123,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入密碼所構(gòu)成的基本事件的總數(shù)等于()

A.B.10

C.15D.20

解析：選C用樹狀圖列舉如下所示:

1

22

M&33N3

44

555

所以事件總數(shù)有15種.

2.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則總的選法的種數(shù)等于（）

A.8B.9

C.10D.11

解析：選C設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊.從5名學(xué)生中隨機選出2人，有{甲，

乙},{甲，丙},{甲，丁},（甲，戊},{乙，丙},{乙，丁},{乙，戊},{丙，丁},{丙，戊},

{丁，戊},共10種情形.

3.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單

位：人）

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

（1）則該班至少參加上述一個社團的人數(shù)等于.

（2）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男問學(xué)Ai,A2,AOA4,

A5.3名女同學(xué)辦，心，伙.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，其一切可能的

結(jié)果組成的基本事件個數(shù)等于.則A被選中且Bi未被選中的事件的個數(shù)等于

解析：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參

加上述一個社團的共有45-30=15（人）.

（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：

{Ai,B\}t{zii,Bi\t{Ai,&},{A2,B\}t{Ait聞,{人2,叢},{zh,8i},{A3,82},{4，

{A4,Bi}f{A4,B2}f{A4f83},{A5,{ASf&},{ASf&},共15個.根據(jù)題意，

這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“4被選中且M未被選中”所包含的基本事件有：

{Ai,&},{Ai,B3]t共2個.

答案：（1）15⑵152

[一“點”就過I

基本事件個數(shù)的確定方法

列舉法此法適合于基本事件個數(shù)校少的情況

此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是

列表法

坐標法

樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及

樹狀圖法

較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求

基礎(chǔ)點(二)簡單的古典概型與幾何概型的計算

［題點全訓(xùn)］

1.(2021?全W乙卷)在區(qū)間(0,?隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于;的概率為()

A.TB.T

C.l