5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲担ň殻?/p>

【題組一極值（點）】

1.（2021?全國高二課時練習(xí)）下列函數(shù)中存在極值的是（）

A.y=-B.y=x-e'C.y=2D.y=x3

X

【答案】B

【解析對于A：y在（3,0）和（（）,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞減，不存在極值；故選項A不正確；

對干B：由y=x-e'可得）/=l-e',由y'=l-e、>（）可得x<0；由y'=l-e'<0可得x>0；所以y=x-e”在

（YO,0）上單調(diào)遞增，在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以在x=O處取得極大值，故選項B正確；

對于C：丁=2是常函數(shù)，不具有單調(diào)性，所以不存在極值，故選項C不正確；

對干D：），=??在R上單調(diào)遞增，不存在極值，故選項D不正確；

故選:B.

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）函數(shù)/tr）=lnx—x在區(qū)間（0,e）上的極大值為（）

A.—eB.1—e

C.-1D.0

【答案】C

【解析八彳）的定義域為（0,十3），f（x）—'-1.

x

令F（x）=0,得x=1.當(dāng)（0,1）時，f（x）>0,當(dāng)x￡（l,。）時，f（x）<0,

故f（x）在*=1處取得極大值F（l）=ln1—1=0—1=-1.故選：C

2.（2021嚏國高二單元測試）已知函數(shù)/（幻的定義域為（〃，/，），導(dǎo)函數(shù)廣（力在區(qū)間（《力）上的圖象如圖所示，

則函數(shù)八此在區(qū)間（。，刀上的極大道點的個數(shù)為（）

【答案】B

【解析】極大值點在導(dǎo)函數(shù)/'（X）的零點處，且滿足零點的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知極大

值點共有3個.故選:B.

3.(2021?全國高二課時練習(xí))設(shè)函數(shù)“X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且函數(shù)/(X)在4=-2處取得極

小值，則函數(shù)V=M'(x)的圖象可能是()

【答案】C

【解析】由題意可得/'(—2)=0,而且當(dāng)2)時，/'(x)<0,此時礦(x)>0,排除B、D；

當(dāng)HG(-2,0)時，/,(x)>0,此時，V(x)v0,若xe(0,+oo),#'(x)>0,

所以函數(shù)y=M''(x)的圖象可能是C.

故選:C

4.(2021?全國高二課前預(yù)習(xí))函數(shù)/(x)=gV—f—3x+6的極大值為,極小值為________.

23

【答案】y-3

【解析】r(x)=f-2x—3,令F(%)>0,得底-1或x>3,令/(x)<0得一1<水3,故f(x)在(一8,

-1),(3,+8)上單增，在(-1,3)上單減，故的極大值為/'(-1)=23/，極小值為f(3)=-3.

5(2021?全國高二課時練習(xí))求下列函數(shù)的極值：

⑴/(文)=疣7；

2x

⑵g(f?

【答案】(1)極大值,，無極小值；(2)極小值為-3：極大值為-1.

e

【解析⑴rtl/(x)=.b求導(dǎo)得/(x)=(l—x)er,令/'(力=0,得x=l,

當(dāng)工變化時，f\x),/(力的變化情況如下表：

X(5)1(1,+cc)

/V)+0一

1

/㈤/

e

觀察表格可得：函數(shù)〃X)在X=1處取得極大值=L無極小值,

e

所以函數(shù)/(力極大值為L無極小值；

e

/、2*，/、2(x2+i)-4x22(1+X)(1-X)

⑵由g力=令-2求導(dǎo)得g'x=/,f=，/)，

%+1(x2+l)(.r2+l)

令g'(x)=()，解得$=-1,々=1，

當(dāng)考變化時，/(不)，&(力的變化情況如下表:

XS，T)-1(-1,1)1(|，甸

g'G)—0+0一

g(x)-3/-1\

觀察表格可得：當(dāng)x=-l時，g(“取得極小值g(-l)=-3,當(dāng)x=l時，g(x)取得極大值g(l)=-l,

所以g(x)極小值為-3,極大值T.

【題組二已知極值(點)求參數(shù)】

1.(2021?全國高二課時練習(xí))函數(shù)/V)在x=：處有極值，則ac+2b的值為()

A.13B.0C.1D.3

【答案】A

【解析】f(x)=3or2+2Za+c.依題意/3)=3a*+203+。=0,

3+2b+ac八_,迎3

---------=0=>2〃=-3.故選：A

2(2021?全國高二單元測試)函數(shù)/(x)=；d+加_2%+1在xe(l,3)內(nèi)存在極值點，則(

)

B,-2<.<1

A.

弓62

C.a<——或aN—D.av—或a>一

2222

【解析】/(力=丁+2?-2,A=4?2+8>0?

令f(x)=f+加-2=0,由于x?l,3),

所以2a=31=2——

XX

o7

尸土7在(1,3)上遞減，當(dāng)X=1時，y=l：當(dāng)1=3時，y=~.

*VJ

由于函數(shù)/(x)=；V+如2_2x+l在xe(l,3)內(nèi)存在極值點，

,7cl71

/r可r以i——=——<a<—.

362

故選：B

3.(2021?安徽金安?六安一中高二月考(理))若〃>(),力>0,且函數(shù)/(x)=4d一奴2一方工+2在工=1處

取得極值，則他的最大值為()

A.9B.6C.3D.2

【答案】A

【解析】???函數(shù)/(力=4/一如2一2法+2在x=l處取得極值，

??.r⑴=oy.f\x)=\2x2-2^x-2b

J\2-2a-2b=O

a+b=6

又〃>0,。>0,由基本不等式可得a+力22而，

???而49(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立),

?,?而的最大值為9

故選:A.

4.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/(戈)="-爾-，〃把，(,〃€對在工=0處取得極小值，則機=________,

/⑶的極大值是_______.

【答案】04e-2

2x2x

【解析】解:由題意知，fU)=[x+(2-m)x-2m]e,/'(0)=-2〃1=()解得〃?=0,/(x)=xe,/'(A)=(X2+2x)e,,

令f?)>0,解得xv—2或x>0,令/'")<(),解得一2Vx<0,則函數(shù)在區(qū)間(ro,-2)和(0,+oo)上單

調(diào)遞增，在M間(-2,0)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(X)的極大值為/(-2)=4e,.

故答案為：0；4e-2.

5.(2021?全國高二課時練習(xí))若f(x)=e'一履的極小值為0,則A=________.

【答案】e

【解析】因為人才)=@'一公的定義域為"，

所以/(*)=/一〃，當(dāng)Y0時，f(x)>0,F(x)在〃上單調(diào)遞增，

所以/'(>)無極值.當(dāng)4>0時，由r(x)=0,得x=lnk；

號F(x)>0,得x>lnk,此時函數(shù)單調(diào)遞增；

令￡(x)<0,得敘Ink,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

所以F(x)的極小值為:/(Ink)=e'*—Aink=k(l—lnk)=0,

所以l—lnk=0,即k=a

故答案為：e

6.⑵)21?全國高二專題練習(xí))若函數(shù)/(x)-丁-3分+1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則”的取值范圍為

【答案】(0,1)

［解析］由/(x)=V-3or+1可得r(x)=3x2-3a,

當(dāng).40時，/'(x)=3d-3a>0恒成立，所以“力在(0,1)上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)a>()時，令/、'(x)=3x?-3。>()可得%>&或xv一&；

令『(力=3/-3〃<0可得：,

所以。>0時，/(x)=V-3or+1在x=G處取得極小值，

若函數(shù)/(力=丁-3奴+1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，

則()<&<1,解得0<。<1,

綜上所述：〃的取值范圍為(0」)

故答案為：(。，1).

7.(2021?全國)若函數(shù)y=ln.K+aa-(2?+l)x,a>0在x=l處取得極小值，則實數(shù)，的取值范圍是

［答案】(5'十°°)

【解析】由題意，函數(shù))，=姑工+加-(2。+1)樂。>0的定義域與(0,+8),

且y,[+2aH2。+卜必*31=土上明

x>0,

此時函數(shù)），=皿工+奴2-（2。+1）工在工=1取得極大值，不滿足題意;

當(dāng)呆的即"我可得"號幺。恒成立，可得函數(shù)y在（。收）上單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值,

不滿足題意：

當(dāng)時，即〃>_1時，

2a2

令:/>o,可得%w（o,或）U（i,+°°）,令y'<o,可得xe看1）,

所以函數(shù)在（o,《）,（1，+8）上單調(diào)遞增，在/）單調(diào)遞減，

此時函數(shù)y=lnx+以2-（2，+1）1在X=1處取得極小值，滿足題意,

綜上可得，實數(shù)”的取值范圍是（；,+8）.

故答案為：g,+8）.

8.（2021全國）已知函數(shù)〃力=匕詈在區(qū)間（，,a+5（a>0）上存在極值,則實數(shù)〃的取值范圍是_____.

【答案】刖

【解析】/"）=*,令尸（力=0,得x=l.當(dāng)X?O,1）時,r（x）>0,f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)xw（L+oo）時,

X

ra）〈o,〃力單調(diào)遞減.所以“I是函數(shù)〃力的極大值點.又函數(shù)/（力在區(qū)間上存在

極值，所以。<1<。+彳，解得三即實數(shù)。的取值范圍是~A.

35\o7

故答案為：（!」）.

9.（2021?全國）若函數(shù)/（"=-9+羅-（。+加+5在定義域內(nèi)無極值，則實數(shù)〃的取值范圍為_____.

【答案】[一2,6]

【解析】由題意，知，(")—0或f(同40在定義域內(nèi)恒成立.

又(j)=+?-(a+3),

所以△=/-4(a+3)W0,解得一24a<6.

故答案為：卜2,6].

10(2021?全國高二課時練習(xí))函數(shù)F(x)=ax1Inx(aWO)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為

【答案】0

【解析】因為才>0,f(x)=a--=—,

xx

所以當(dāng)aWO時，r(X)<()在(0,+8)上恒成立，

所以函數(shù)人才)在(0，+8)上單調(diào)遞減，

所以/*(x)在(0,+8)上沒有極值點.

故答案為：0

11.(2021?全國高二課時練習(xí))已知a為實數(shù)，函數(shù)/(x)=-爐+3%+”.

⑴求函數(shù)F(x)的極值，并畫出其圖象(草圖)；

(2)當(dāng)a為何值時，方程卡才)=0恰好有兩個實數(shù)根？

【答案】(1)極小值為a-2,極大值為a+2；圖象見解析；(2)a=±2.

【解析】(1)由/(用=一/+3工+〃，得/'(x)=-3/+3,

令f'(x)=O,得x=-1或x=l.

當(dāng)時，r(x)<0；當(dāng)時，/f(x)>0；

當(dāng)xe(l,+oo)時，fr(x)<0.

所以/(力在(1.+8)上為減函數(shù)，在(TI)上為增函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)的極小值為A-l)=a-2,極大值為F(l)=a+2.

由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)F5)的大致圖象(如圖所示)，

y

yAJ\x)=—x+3x+c

(2)結(jié)合(1)圖象可得：

當(dāng)極大值a+2=0時，有極小值小于0,此時曲線F(x)與x軸恰有兩個交點，

即方程Ax)=()恰有兩個實數(shù)根，所以》=-2滿足條件；

當(dāng)極小值a-2=0時;有極大值大于()，此時曲線/tr)與x軸恰有兩個交點，

即方程/(%)=0恰好有兩個實數(shù)根，

所以a=2滿足條件.

綜上，當(dāng)&=±2時，方程恰有兩個實數(shù)根.

12.(2021?全國高二課時練習(xí))已知f(x)=x3+3af+"+a2在*=-1時有極值0,求常數(shù)a6的值.

【答案】＜a=2,6=9.

【解析】因為〃")在*=-1時有極值0,旦/(x)=3V+6ax+6,

=0[3-6a+b=O(a=l(a=2

所以‘八八即…八2n，解之得〃々或又

/(-1)=O[-\+3a-b+a=0[b=3[b=9

當(dāng)a=l,6=3時，f(X)=3/+6X+3=3(X+1)220,所以f(x)在斤上為增函數(shù)，無極值，故舍去.

當(dāng)a=2,力=9時,f(x)=3*+12x+9=3(x+l)(x+3).

當(dāng)x￡(—3,—1)時，f(x)為減速數(shù)；

當(dāng)re(—8,—3)和(一1,十8)時，f(x)為增函數(shù)，所以/、(總在尸一1時取得極小值，符合題意.

因此a=2,6=9.

cc2

13.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=(V+ax—2a'+3a)心，當(dāng)實數(shù)時，求函數(shù)f(x)

的單調(diào)區(qū)間與極值.

【答案】答案不唯一，見解析.

【解析】/(x)=lV+(a+2)x—2，+4a]W

2

令f(x)=O,解得x=—2a或x=a—2,由知一2a#a-2.

分以下兩種情況討論：

9

①若蘇"則一2水a(chǎn)—2.當(dāng)x變化時，f(x)J(x)的變化情況如下表:

X(—8,—2a)-2a(—2a,a-2)8-2(a—2,+°0)

/(A)十0—0十

AA)遞增極大值遞減極小值遞增

所以/V)在(一8,—2a),(a-2,+8)上是增函數(shù)，在(—2&a-2)上是減函數(shù)，函數(shù)，(力在x=-2a

處取得極大值/'(—2a),且f[-2a)=3ae~~',函數(shù)/'(*)在x=a—2處取得極小值/(a—2),且尸(a—2)=(4

-3a)e~2.

2

②若火]，則一2a>4—2.當(dāng)入變化時，/'(入一),/")的變化情況如下表：

X(—8,a—2)a~2(a—2,—2a)-2a(—2a,+00)

f(x)+0—0+

遞增極大值遞減極小值遞增

所以/'(X)在(-8,a-2),(—2a,+8)上是增函數(shù)，在(a—2,-2a)上是減函數(shù)，函數(shù)/Q)在x=a-2

處取得極大值八々一2),且八々-2)=(4—3a)e-,函數(shù)f(x)在《=-2a處取得極小值八一2a),且八一2々)

=32".

14.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=af+Z^+"(折4))在工=±1處取得極值，且/U)=-1.

⑴求常數(shù)a,b,。的值；

(2)判斷x=±l是函數(shù)的極大值點還是極小值點，試說明理由，并求出極值.

【答案】(1)。=：，b=0,c=I；(2)A-=1足極大值點，才=1是極小值點，理由見解析，極大值1,

極小值一1.

【解析】⑴/(X)=3af+2Z?x+c.?.3=±1是函數(shù)F(x)的極值點，，x=±l是方程/(x)=3—+2"+。

=0的兩根,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得3”,又/?(l)=一］,???a+6+c=-L③

—=-1

,34

由①②③解得a=g，b=0,c=--|.

(2)/(x)=gf—|x,???/")=：*一|=|(*-1)5+1),當(dāng)水一1或x>l時，/(x)>0,當(dāng)一1<水1時,

/W<0,

???函數(shù)f(x)在(-8,—1)和(1,+8)上是增函數(shù)，在(-1,1)上是減函數(shù),

【題組三最值】

1.(2021?全國高二課時練習(xí))函數(shù)/(X)=26+Lxe(O,5］的最小值為()

A.2B.3C.——D.2>/2+—

42

【答案】B

3

I解析】由小)卷.4*=。，得X=1，

當(dāng)xw(O,l)時，尸(力<0,/(力單調(diào)遞減;

當(dāng)工?1,5］時,f(x)>0,f(力單調(diào)遞增.

???當(dāng)％=1時，/(八)取得最小值，且最小值為/⑴-3.

故選：B.

2.(2021?全國高二課時練習(xí))函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)2在［0,3］上的最小值為()

4

A.-8B.-4C.0I).——

27

【答案】B

【解析】由/(x)=(x7)(x-2『，

得r(x)=(工-2)’+2(x-l).(x-2j=(x-2)(3x-4).

4

r(x)>0,得x>2或xg

所以〃力在og)利(2,3］上單調(diào)遞增，在2)上單調(diào)遞減.

又"0)=-4,/(2)=0,

所以f(x)=(Al)(x-2)2在［0,3］上的最小值為T.

故選:B.

3.(2021?全國高二課前預(yù)習(xí))函數(shù)/(a=9372-3、+6在［-4,4］上的最大值為,最小值為

■田自、2358

【答案】TT

【解析】/(x)=Z-2x-3,令f(%)>0,得底-1或x>3,令F(x)<0,得一1<水3,故f(x)在(一8,

-1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,3)上單調(diào)遞減，故/'(x)的極大值為￡(-1)=23/,極小值為f(3)=

-3,又f(—4)=一三，/(4)=-|,故F(x)的最大值為/'(—1)=胃，最小值為/'(—4)=一三.

4.(2021?全國)求下列函數(shù)的最值：

(1)/(X)=X3-3X2+6X-2,Ae［-l,l］；

⑵/(刈=若，川乜斗

1—V1

(3)f(x)=——+lnx,xe-,2.

A_乙

【答案】(1)最小值為-12,最大值為2；(2)最大值為2,最小值為-2；

(3)最大值為1-1112,最小值為0.

【解析】(1)由題意，知/'(6=3/-6；1+6=3(/-21+2)=3口-1)2+3,Ae［-|j］,

???依、)在［T』上恒大于0,即/(x)在卜I』上單調(diào)遞增，

???當(dāng)x=-l時，/(x)取最小值為-12：當(dāng)x=l時，/⑴取最大值為2.

???””)的最小值為-⑵最大值為2.

4(x2+l)-2x-4x

⑵,T廠xi[-2,2]

令戶?=0,得％=1或一1,又/⑴=2,/(-1)=-2,/(2)=|,/(-2)=-1,

JJ

，F(xiàn)(x)的最大值為2,最小值為-2.

(3)V/(x)=^—^+lnx=--1+lnx,xe-,2

令照%)=0,得x=l.

在上，當(dāng)x變化時，./Rx)與/("的變化情況如卜表:

X102

/")一0+

“X)遞減極小值遞增

???在；，2上，當(dāng)x=l時，/(X)取得極小值，也是最小值，且."1)=0.

又f(￡j=l+lng=l—ln2,/(2)=-1+ln2,

/^1l-/(2)=|-21n2=1(3-41n2)=1ln^>0

??.(￡!>/⑵

???f(x)在；,2上的最大值為/(；)=In2,最小值為/⑴=0

5.(2021?全國)求下列函數(shù)的最值：

⑴/(力=丁-3/-2冊［-1,1］；

(2)/(6=罵，”4-2,2］；

⑶/(工)=匕^+1門，xe；,2.

?X_/

【答案】(1)最小值為-6,最大值為2；(2)最大值為2,最小值為-2；

⑶最大值為l-】n2,最小值為0.

【解析】(1)由題意,函數(shù)析(9=爐-3f-Zxe［T,l］

可得/*(X)=3X2-6X=3X(X-2).

當(dāng)HW［-L0)時,Z(x)>0,〃%)單調(diào)遞增;

當(dāng)工w((M］時，/(同<0,/(X)苴調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=0時，函數(shù)“X)取得最大值，最大值為“。)=-2,

又由/(-1)=-6,/(1)=T,所以函數(shù)的最小值為/(—1)=-6,

所以/(X)的最小值為-6,最大值為-2.

2

4r/、4(廠+1)—2x,4x-4r+4ri

⑵由題意，函數(shù)〃引二一看，可得/(力=/,\2-=(、、2.4-2,2],

X+1(r+1)(廠+1)

令r(M=o,解得工=1或—1,

又由〃1)=2,/(-1)=-2,/(2)=1,/(-2)=-|,

所以〃力的最大值為2,最小值為-2.

1_V1/、11V-1

⑶由函數(shù)/(”=——+lnx=一一1+lnx,可得/,(力=二一一-=—3-,

XXXXX

令f(x)=O,解得x=l,

在上，當(dāng)x變化時，/'(力與/")的變化情況如下表:

X1(L2]

—0+

“X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以在1,2上，當(dāng)x=l時/(“取得極小值，也是最小值，且"1)=0,

又因為/(￡|=1+嗚=1-In2,,八2)=-g+ln2,

所以''(￡|_/(2)='|_2h]2=；(3—I/

4ln2)=—In—>0,

216

所以‘{I'"2)，所以〃力在1

,2上的最大值為1-訪2,最小值為0.

【題組四已知最值求參數(shù)】

+31+1*,°在的最大值為2,則實數(shù)〃的取值范圍是()

1.(2021?全國)若函數(shù)

e,x>0

A.gin2,+8)B.0,l|n2

L2J

I).I-00l]n2

C.(-oo,0]

【答案】D

【解析】當(dāng)一2WXW0時，/(x)=2V+3/+l，則/(x)=6.P+6工=6x(x+l).

當(dāng)一2KXV—1時，r(x)>0；當(dāng)-IvxcO時，r(r)<0.

所以，函數(shù))，=/("在x=-l處取得極大值，亦即最大值，即/⑸m=/(-1)=2.

當(dāng)〃>0時，函數(shù)/(6=*在(0,2］上單調(diào)遞增，由題意可知，/(2)=*Y2,

得2aWln2,解得〃4gln2,此時，0<?<^ln2；

22

當(dāng)4=0時，且當(dāng)0<xW2時，/。)=1工2合乎題意；

當(dāng)”0時，函數(shù)/("=*在(。,2］上單調(diào)遞減，此時，/(2)</(0)=1<2,合乎題意.

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍是(v［ln2,

故選：D

2.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)￡3=一義+——4在x=2處取得極值，若旌［一1,1］,則人勿)

的最小值為.

【答案】-4

【解析】尸(>)=一3丁+2而，莊/U)在x=2處取得極值知，(2)=0.

即一3X4+2aX2=0,故a=3.

由此可得〃才)=一4+3/—4,經(jīng)檢驗符合題意，

f(x)=-3/+6x,/*(x)>0=>0<x<<0=>-1<x<0

由此可得/tr)在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增

???當(dāng)加￡［-1,1］時,F(血==/*(0)=—4.

故答案為：-4

3(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)”>)=5>+色，若函數(shù)”x)在［1,e］上的最小值是：，求a的值.

x2

【答案】a=廄.

【解析】函數(shù)的定義域為［1,e］,r(x)=--4=^，

XXX

令f(x)=0,得x=a,

①當(dāng)&W1時，f(x)20,函數(shù)f(x)在［1,e］上是增函數(shù)，

f\x)?,n=A1)=1n1+<3=-|,，a=|?住(-8,1］,故舍去.

②當(dāng)Ivave時，令/(力=0得)=打，

函數(shù)r(x)在［1,目上是減函數(shù)，在［a,S上是增函數(shù)，

/.f(x)=f(a)=lna+-=-./.a=>/e(1,e)?故符合題意.

xtna2

③當(dāng)aee時，「(x)WO,函數(shù)f(x)在［1,e］上是減函數(shù)，

AI

AA)?=Ae)=1ne+-=-,.\5=-e^［e,4-oo),故舍去，

e22

綜上所述a=&.

4(2021?全國高二課時練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=(.r+iy+2幻nx.

(1)若攵=-2,求函數(shù)的遞減區(qū)間；

⑵當(dāng)攵>()時，記函數(shù)g(x)=/'G),求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值.

【答案】(1)(0」)；⑵當(dāng)()<攵<4時，最小值為4?+2；當(dāng)八4時，最小值為Z+6.

4

【解析】⑴當(dāng)攵=一2時，/(x)=(x+l)-7-4lnr,/(x)=2x+2—(x>0).

由，(x)<0,得0<x<l.故函數(shù)的遞減區(qū)間為(。，1).

OL八

(2)Vg(x)=/'(x)=2x+—+2,g'(x)=2—-.

XX

,.,Q0,工?0,2］，，當(dāng)AN4時，g［x)vO,g(力在(0,2］上為減函數(shù).

因此，g(x)有最小值g(2)=Z+6；

當(dāng)0<女<4時，在(0,4］上短(力<0,在［4,2］上g<x)>0,.?.g(力在(0,4］上為減函數(shù)，在［4,2］上

為增函數(shù).故g(x)有最小值g(4)=4?+2.

綜上,當(dāng)0<%<4時,g(x)在區(qū)間(0,2］上的最小值為4?+2；當(dāng)C4時,g(x)在(0,2］上的最小值為A+6.

5.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/(外=/-3/—9X+C,當(dāng)/￡［一2,6］時，八>)<2|,|恒成立，求

。的取值范圍.

【答案】(—,一18)5乂，小)?

［解析】由/(x)=X3-3X2-9X+C可得f(x)=3X2-6A-9=3(x+l)(x-3),

當(dāng)*變化時,〃x)J'(x)隨*的變化如下表：

X(—8,—1)-1(—1,3)3(3,+oo)

+0—0+

/('?)/極大值c+5極小值C—27/

而f(—2)=c—2,F(6)=c+54,

???當(dāng)*￡［-2,6］時，f(x)的最大值為c+54,

要使F(x)<21c|恒成立，只要c+54<2|c|即可，

當(dāng)，20時，c+54〈2c,Ac>54；

當(dāng)漢0時，c+54<-2c,Ac<-18.

:.ce(-oo,-18)u(54,+oo).

6.：2021?全國高二課時練習(xí))已知力(才)=/+3/—9十+1在區(qū)間［在,2］上的最大值是28,求衣的取值范圍.

【答案】攵〈一3.

【解析】9?h(x)=x+3Z—9^r+l,

(x)=3/+6x—9,

令N(x)=0,得M=—3,司=1,

當(dāng)x變化時"(*)及方(*)的變化情況如下表.

X(—8,—3)-3(—3,1)1(1,+°0)

力‘(X)+0—0+

力(X)/28-4/

當(dāng)x=-3時，取極大值28；

當(dāng)x=l時，取極小值一4.

而爪2)=3<力(-3)=28,

如果Mx)在區(qū)間"，2］上的最大值為28,

則仁一3.

7.(2021?全國高二單元測試)已知函數(shù)/(X)=；/+與2/+2依.

(1)當(dāng)。=2時，求過坐標(biāo)原點且與函數(shù)/(力的圖象相切的直線方程;

⑵當(dāng)。40,2)時，求函數(shù)/")在［-24可上的最大值.

【答案】⑴)'二4X或)，=工：(2)|^+3?2.

6

【解析】⑴當(dāng)4=2時，/(x)=p+2x2+4x,則r(x)=f+以+4,

設(shè)切點坐標(biāo)為10，；$+24+4/|,

則切線方程為：)，-!片--4x0=(XQ+4X0+4)(X-X0),

又切線過原點(()，())，，一：片一2片-4x0=-4后-4x0.

即:片+24=0,解得：/=()或%=—3.

當(dāng)$=。時，切線方程為y=4x,當(dāng)/=-3時，切線方程為y=x；

綜上所述：過坐標(biāo)原點且與函數(shù)/W的圖象相切的直線方程為y=4x或)，=二

(2)'//(x)=—x3+a+^x2+2ax,/.//(x)=x2+(a+2)x+2<i=(x+2)(x+a),

32

令f(x)=O,解得：%=一〃，％=-2,由ae(0,2)可得_a>—2.

①若一加N—2,即0<。41時，

當(dāng)上￡(一2〃,一4)時，r(x)v。：當(dāng)KW(-aM)時，/"(X)>O：

.?J(x)在(一加,F)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

???/(人)2=n1ax{/(-2〃)，/(。)}，

?//(-2a)=~ay+2a^+4a2-4a2=~a3<0,f(a)=-a3+--^a2+2a2=-(^+3a2>0,f(-2ei)<f(a),

33326

???/3四=/(。)=|"+3/；

②若-為<-2,即I<a<2時，

當(dāng)」r?—%—2)U(—〃M)時，/r(x|>0；當(dāng)x￡(—2,—a)時，/r(x)<0；

.?J(x)在(-2?-2),(-a。)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

???/(”a=max{/(-2)J(a)},

32

,/(?)=|?+3a>j,/(x)1rax=/(〃)=/+3G

綜上所述：當(dāng)。?0,2)時，函數(shù)/(x)在卜2a,a］上的最大值為，3+3片.

8.(2021?全國高二課時練習(xí))函數(shù)/(.r)=lnx-ad+(〃一2卜(々￡對，求函數(shù)/(*)在區(qū)間［4,〃］上的最大

值.

【答案】答案不唯一，具體見解析

【解析】因為/<〃，所以

，，/、1cc(2x-l)(ar+l)

f'x)=一一2ax+fl-2=----------.

XX

因為xe(O,”)，所以奴+1>0,

所以當(dāng)0<x<；時，r(x)>0,當(dāng)時，r(x)<o.

所以.“x)在上單調(diào)遞增，在發(fā)T上單調(diào)遞減.

①當(dāng)0<a《時，/(力在［/同上單調(diào)遞增，所以/(注3=/(")=13/+/-%：

1

a>一廠--Pl

②當(dāng)；2,即_!_<〃<立時，/?(”在d21上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

〃2<J,22L2」L2」

2

所以〃<L=/({|=?TTn2：

③當(dāng)卜2,即冬〃<1時，〃%)在［詭可上單調(diào)遞減,

所以/("皿、=/(〃)=2Ina--2".

綜上，當(dāng)0<嗎時，函數(shù)小)在［/司上的最大值是加…3+/-2a；

當(dāng);<〃<立時，函數(shù)“力在［V。］上的最大值是7-1-加2；

224

當(dāng)條時,函數(shù)〃x)在"同上的最大值是21ni

【題組五極值最值綜合運用】

1.(2021?臨海市西湖雙語實驗學(xué)校)若不等式or?Nlnx恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()

【答案】A

【解析】由題設(shè)知：立竽恒成立，令〃加詈且、>。，則小心中二號

???當(dāng)/")>0時，0<x<G，/⑴單調(diào)遞增：當(dāng)尸。)<0時，<>右，/(?單調(diào)遞減;

:?f(x)4f(8)=五,故a之五.

故選:A

2.(2021?福建省寧化第一中學(xué)高二期中)(多選)已知函數(shù)/(力的導(dǎo)函數(shù)尸(”的圖象如圖所示，則下列選

A.x=l是函數(shù)〃力的極值點

B./(x)在區(qū)間(-2,3)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(X)在工=-1處取得極小值

D./")的圖象在工=0處的切線斜率小于零

【答案】BD

【解析】由圖像可知,當(dāng)xv-2時,/(A)>0：當(dāng)-2<x<3時,/(A)<0,

從而/(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,3)上單調(diào)遞減，

故f(x)有極大值點犬=-2,故AC錯誤，B正確；

乂由圖像可知，/(0)<0,從而/(x)的圖像在x=0處的切線斜率小于零，故D正確.

故選BD.

2

3.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)〃才)=-2?+24/+3爪a0)的導(dǎo)數(shù)/。)的最大值為5,則在函

數(shù)f(x)圖象上的點(1,f(l))處的切線方程是_______.

【答案】15x-3y-2=0

【解析】:/(X)=-2V+4ax+3=—2(x—a)?+3+2，，:./'⑴1g=3+2，=5,

213

?.匕>0,???a=L???/'")=-2f+4x+3,/'(D=-2+4+3=5,又AD=~y+2+3=y,

工所求切線方程為y—W=5(x—1),即15x—3y—2=0.

故答案為：15x—3y—2=0

4.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/t￥)=V+a/+〃的圖象上一點〃1,0),且在點尸處的切線與直線

3x+y=0平行.

(1)求函數(shù)FJ)的解析式；

(2)求函數(shù)F(x)在區(qū)間［0,4(0<?3)上的最大值和最小值；

(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程汽x)=c在區(qū)間［1,3］上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)八彳)=/一3/+2；(2)答案見解析；(3)-2<cW0.

【解析】⑴因為f(x)=3/+2ax,曲線在一(1,0)處的切線斜率為：f(l)=3+2a,即3+2々=-3,a

=—3.

又函數(shù)過(1,0)點，即-2+6=0,b=2.

所以a=—3,b=2,f(x)=y—3/+2.

(2)由F(x)=爐-3*+2,得/(>)=3*—6*.

由尸(x)=0,得x=0或*=2.

①當(dāng)(KCW2時，在區(qū)間(0,。上/(%)<0,人才)在［0,目上是減函數(shù)，

所以f(x)的最大值為X0)=2,f(x)的最小值為Ari=/-3「+2.

②當(dāng)2"<3時，當(dāng)x變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X0(0.2)2(2,z)t

f(x)0—0+十

AA)2-2/「一31+2

人力的最小值為A2)=-2,AM的最大值為f(0)與F1)中較大的一個.

At)一AO)="3/=#(L3)<0.

所以F(x)的最大值為F(0)=2.

⑶令g(x)=f(x)—0=^—3r+2—c,

g'(x)=3寸-6x=3x(x—2).

在［1,2)上，g'a)<0：在x￡(2,3］上，H(x)>0.要使g(力=0在［1,3］上恰有兩個相異的實根,

g⑴20,l-3+2-c>0

則g(2)<0,即，8-12+2-c<0,解得一2<cW0.

g⑶t0，2727+2c>0

5.(2021?全國高二課時練習(xí))已知函數(shù)/(力=丁+涼+云+c在x=-§與x=l處都取得極值.

(1)求",《的值;

⑵若對任意x?T2］,不等式/(“</恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.

【答案】(1)。=一；，〃=一2；(2)(—,-l)U(2,y).

【解析】(1)由題設(shè)./'(x)=3f+2ar+/九又/'(—1)=：—=/(1)=3+為+b=0,解得〃二一：.

b=-2.

⑵由⑴，知〃力={一g/-2x+c,n［ir(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l),

當(dāng)“e［-l,2］時,/料,/(力隨x的變化情況如下表：

2

X1(1,2]

[--1)3錚)

小)+0—0+

/W遞增極大值遞減極小值遞增

.?.“x)在一1,一|)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增，

???當(dāng)x=-|時，/卜：)=||+c為極大值，又〃2)=2+c,則〃2)=2+c為/(x)在［―1,2］上的最大值,

要使對任意X4一1,2］恒成立，則只需C2>/(2)=2+J解得C<—1或C>2,

???實數(shù)C.的取值范圍為(-8,T)U(2,S).

6.(2021?西藏日喀則區(qū)南木林高級中學(xué)高二期末(理))已知函數(shù)/(x)=；r—(a+Dx+ainx+1.

⑴若x=3是/(-V)的極值點，求/(.V)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求a的范圍，使得恒成立.

【答案】(I)/")的單調(diào)增區(qū)間為(04),(3,+8),減區(qū)間為。,3)；(11)。4一；

【解析】⑴函數(shù)/(幻的定義域為(。，+8),r(x)=x—(4+1)+}

因為x=3是/(x)的極值點，所以/'(3)=3-(4+1)+^=0,解得疔3,

當(dāng)行3時，/(力=13+1)+3=21)(%.3),

1xX

令廣(刈>(),得Ovx<l或x>3；令/'(x)v。，得l<x<3,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1