高等數(shù)學教材完整

一、函數(shù)與極限..................................................................2

1、集合的概念................................................................2

2、常量與變量................................................................3

2、函數(shù)......................................................................4

3、函數(shù)的簡單性態(tài)............................................................4

4、反函數(shù)一..................................................................5

5、復合函數(shù)..................................................................6

6、初等函數(shù)..................................................................6

7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)......................................................7

8、數(shù)列的極限................................................................8

9、函數(shù)的極限................................................................9

10、函數(shù)極限的運算規(guī)則.....................................................11

一、函數(shù)與極限

1、集合的概念

一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給

定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能

構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就說a屬于A,記作：a^A,否則就說a不屬于A,記作：aA。

⑴、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N

⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N?或N+。

⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。

⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Qo

（5）、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。

集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就

說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中

的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A=

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A,我們稱集合A是集合

B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

①、任何一個集合是它本身的子集。即AA

②、對于集合A、B、C,如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A

UB。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次，）

即AUB={x|xGA,或x￡B}o

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A

AB0

AAB={x|x￡A,且x￡B}o

⑶、補集：

①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。

通常記作U。

②補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U

的補集。簡稱為集合A的補集，記作與八。

uA}o

1、學校里開運動會，設(shè),人={x|x是參加一百米跑的同學}.B={x|x是參加二百米跑的同學},C

={x|x是參加四百米跑的同學}。學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的

運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。(1)、AUB；(2)、AnBo

2、在平面直角坐標系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直線丫=*,從這個角度看，集合D=<(xy)方程組：

2x-y=l,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。

3、已知集合A={x|lWxW3},H={xIGHMmgO}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使A

二B成立？

4、對于有限集合A、B、C,能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？

5、無限集合人=(1,2,3,4,…，n,…},B=[2,4,6,8,…，2n,…)，你能設(shè)計一種比較

這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？

⑴、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不

起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為

變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我

們則把它看作常量。

⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是

指介于某兩點之間的線段上點的全體。

區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式

[a,b]

閉區(qū)間aWxWb

——

&b)

開區(qū)間T1:

&b]

-*t

半開區(qū)間[Q,b)

*bI

⑶、鄰域：設(shè)a與5是兩個實數(shù)，且6>0.滿足不等式|x-a|<6的實數(shù)x的全體稱為點a的

⑴、函數(shù)的定義：如果當變量X在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確

定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y

叫做函數(shù)值(或因變量)，變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用

記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母〃f"、"F〃表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系，它們是可以

任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它

對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。

⑵、函數(shù)相等

由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)

關(guān)系決定的,所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。

⑶、域函數(shù)的表示方法

a)：解析法：用數(shù)學式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，

半徑為人圓心在原點的圓的方程是：X2+y?二口

b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表珞法。例：在

實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。

c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表

示因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：

⑴、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有|f(x)|WM成立，其中M是一個與x無關(guān)

的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。

注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

例題：函數(shù)COSX在(-8,+8)內(nèi)是有界的.

(2)、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)J'

/g)</(叼)/W/W

2I

,''在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。

/W

/W，（一x）/w0II/W/w

I人

“F）/㈤…又熟

叫做奇函數(shù)。

注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。

”）、函數(shù)的周期性

若存在一個不為零的數(shù)L使得關(guān)系式

/⑺叫做周期函數(shù)，1是/⑴

sinx,cosx

y=JM

定義域內(nèi)必有-值X與之對應(yīng)，即/（，°）=>°X=以>）

0

^=/w

注：由此定義可知,函數(shù)"〃幻x=p8

y=/（工）

加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間（-8,+8）上，函數(shù)不是嚴格增（減），故其沒有反

x=oO）

y=2=logx

2互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線

復合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：/八'，而u又是x的函數(shù)：6）

'的定義域內(nèi)，那末，y通過U的聯(lián)系也是X的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)

>=〃以）'=力。（切

注：并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

y=arcsinu〃=2十；?曰7砧住八寸人不淤的

是不能復合成一個函數(shù)的。

"=2+x"的定義域（_8,+8）中的任何x值所對應(yīng)的U值（都大于或等于2）,使

y=arcsinu

⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三

令a=m/n

a)：當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函

數(shù)；

b):當m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù)；

C):當m奇n偶時,y在(-8,0)無意

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一

義.

部分。

y=smxy=sink

衣乙b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且

三5

|sinx\<1

y=arcsinxa)：由于此函數(shù)為多值函數(shù)，因此我

壬們此函數(shù)值限制在K/2]±,

附并稱其為反正弦函數(shù)的主值.

⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一

個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

y=2O5K+ln(?阿+3+sin8x)

⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)

1

y=shx^

7

Ja):其定義域為：。8,+8);

雙曲正e—e

shx=---------b)：是奇函數(shù)；

弦2/

、1kyy=ch?

Ja):其定義域為：(-8,+8)；

雙曲余/f

ckx=---------X_zb)：是偶函數(shù)；

弦2r_

c)：其圖像過點(0,1)：

三角函數(shù)的性質(zhì)

sh。=OrckO=1,/AO=0sin0=011cos0=1,tan0=0

shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)

ch2x-sh2x=1sinx-t-cosx=1

都是周期函數(shù)

^(x+z)=shxchy^chjishy

ck{x±/)=ckxcky±shxshy

求(中)=向土徹:

\±thxlhy

ars/人=ln(x+J/+1)-4、、

，其定義域為:(一z8,+8)；

archx=ln(x+Jr2-1)_、

'、)其定義域為：［r1,+8)；

,111+K

artnx=—In---

21一x其定義域為：(-i,+D;

⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù),第二個數(shù),…，依次排列下去，使得任何一個正整

數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù).那末，我們稱這列有次序的數(shù)％",…」…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)

它的定義域是全體正整數(shù)

⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。

例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。

設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為AJ再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A；

再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A；依次循下去（一般把內(nèi)接正6X2邊形的面積記為A）可得一

3n-ln

系列內(nèi)接正多邊形的面積：A2.A,…，An,…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正

多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值（圓的面積），這個確定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)

?注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學家劉徽（公元三世紀）的割圓術(shù)。

々，工2,…，。，…

n1"1都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列“

物/及=a工廠。（力—8）

才能表達出“與a無限接近的意思。且

⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋,

以使我們能理解它。數(shù)列“極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列】2,

2c

小XN4-1乂N+3%+2x2*3r

卜.一〃K￡a-+￡幾

11"等分，故當n>N時，所有的點”都落在開區(qū)

XXX

⑸、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)此使得一切即都滿足不等式I#I則稱數(shù)

XX

列”是有界的，若正數(shù).M不存在，則可說數(shù)列江是無界的。

注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列I.

前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1-E內(nèi)的正整數(shù),

函數(shù)的極值有兩種情況：a）：自變量無限增大；b）：自變量無限接近某一定點xQ如果在這時，函數(shù)

值無限接近于某一常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢？

下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念！

⑴、函數(shù)的極限（分兩種情況）

若對于任意給定的正數(shù)E（不論其多么?。?，總存在著正數(shù)X,使得對于適

/W

lim八x)二A

j=/W

%=/5)

€>0,總可找到一正數(shù)X,對于適合1「

LT4

y=/（X）

‘J''當x-8時的極限為A,記：

lima,=J4

lim/（x）=J4

Xfg

0

i

------1------州1/111-----?

0A*-A

0

x-1

當X-*1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=l處無定義.我們知道對實數(shù)

來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x-H時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,

如下圖：

??0,90.990.999???1|…1.0011.U11.1…

I-2.0012.012.1???

??1.91.991,999…2

從中我們可以看出X-1時，"''-2.而且只要X與1有多接近，JJ就與2有多接近.或說：只

卜|/(x)-2|

/w'<§時滿足?'<§定義：設(shè)

J''在某點X的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A,如果對任意給定的€(不論其多么小)，總存

卜-方|

J''當X-X時存在極限，且極限為A,

lim/(x)=A

MT珈

注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論x~x的過程，與x=x出的情況無關(guān)。此

C)：解不等式能否得出去心鄰域0<I

k一%|

lim/(x)=A

r㈣

前面已經(jīng)學習了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則

與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。

(1)、函數(shù)極限的運算規(guī)則

若已知X——)-3

0

bm(/(x)±g(x))=A±BEm/(x)-g(x)=A>B

XT%XTXQ

lim^^-=-,(5^0)

e。g(x)B

hmk-/(x)=M/為常數(shù))Em"⑴『二心,(用為正整數(shù))

3x2十了-1

fcn—

e4x3+/-x+3

lim3x2+limr-lim1

3/十x—13+1-13

_____KTI11ir-?l______

lim-----x-------4+1-1+3=

h4x+x-x+3lim4#4-lim犬-limx+lim37

XTIXTIXTLX->1

r3x—+2

lim-z---------

-7/+5--3

此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母

都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

豈3/-4/+23-M3

…7/FN-37

注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了,

應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。

函數(shù)極限的存在準則

學習函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。

我們先來看一個例子：

-

sgn=<0,x=0

1r>0

對于這個分段函數(shù),X從左趨于0和從右趨于（）時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概

念。

/w/W工—石

lim/(x)=A

）''與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)J''°

扃JS)=*

/（Z）f（x）

注：只有當X-X時，函數(shù)J'}八’在X-X時有極限

準則一：對于點X。的某一鄰域內(nèi)的一切X,X。點本身可以除外（或絕對值大于某一正數(shù)的一切X）有

hmg(x)=AlimA(x)=A

gW</W/WXfmXfXQ

lim/(z)

EK。

Inn(1+3”—Q

9T

.sinx

Imn------

iO-r

xf9r

-K

t=---

2

9111

=lini(l+-尸+-廳=/

XNT9{2T9^9t

注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時，若用t代換1/x,則t-o.

/W=—

X\fM\78/W

比我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)產(chǎn)/（'）,在X=x,的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N（一個任意大

的數(shù)），總可找到正數(shù)S,當

0<卜-為|<3|/（x）|>Nx^x0

lim/(j)=co

UT.

，（'），當X充分大時有定義,

同樣我們可以給出當X-8時，」I」

卜1>腸|/（亦N

對于任意給定的正數(shù)N（一個任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù)此當?「時，?「成立，則稱函

lun/（j）=00

數(shù)當X-8時是無窮大量，記為：…

無窮小量

/S）,對于任意給定的正數(shù)￡（不論它多么?。?，總存在正數(shù)8（或正數(shù)）1）,使得對

0〈卜-而|z[>M"⑴N后

1Ul1r）的一切X,所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式I1

/WX7/

氏1丁二。lim/（X）=0

注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量，

無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互

/⑸或X-）時有極限A,則差了⑶一"二毆）X-0

a）:有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b）：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c）：常數(shù)與無

窮小量的積也是無窮小量.

通過前面的學習我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會

是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。

定義：設(shè)a,B都是'T時的無窮小量，且B在x那）去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

lim-=0

—6，則稱a是B的高階無窮小或B是a的低階無窮??；

lim-=c0

J/°，則稱a和B是同階無窮??；

lim-=1

XTX?！?/p>

..X1

lim—=一

3x3,所以當X-0時，x與3x是同階無窮?。?/p>

lira=0

1°3式，所以當X-0時，x是3x的高階無窮小；

?2

10穴

lim—lim—=lnn—

aS",QS￡'0'§§

注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可

以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。

「sinax

lim-----

tanbx

smax..axa

rInn-----=um—=—

tanbx以b

解答：當x-*0時，sinax^ax,tanbx^bx,故：

tan.x-sinA

Inn---------

1°tan553x

tanx-sinAtanx（l-cosx）「，1

rlim-----=----=lrim--------------=hm--——=—

3tai?3汗3tai?%go6t/54

1-cosx=2sin2

注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。

函數(shù)的一重要性質(zhì)一一連續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的

反映，就是函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)變量X從它的一個初值）:變到終值X,終值與初值的差X-X就叫做變量X的增量，記為：△*即：

I22]

△x=x-X增量可正可負.

21

我們再來看一個例子：函數(shù)‘一'（，）在點X的鄰域內(nèi)有定義，當自變量X在領(lǐng)域內(nèi)從X變到x+Z\x

000

/Go)/Co+Ax)

"=/(毛+加)-/。0)

現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量也追向于零，即：

料勿二°y=/W

同/W=/(^o)

^=/W

在點*的某個鄰域內(nèi)有定義,如果有

0

y=JW

/W

岬/㈤/W

10-0/㈤既。/⑺/⑻

/W照/⑸/W

螞必/⑶/W/W

一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù),b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間

[a,b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。

通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)

什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數(shù)的間斷點

/W

/W

在X-x時有極限但不等于‘0°)

X——X——

y=tanx22y=tan

Umtanx=oo=死

左X—.

［七1.我們就稱/。/v=tanx的無窮間斷點；

.1

=sin—

X在點x=0處沒有定義；故當x~0時，函數(shù)值在T與+1之間變動無限多次，我

.1

>=sin—

x

無一1,大<0

/(x)=<0,x=0

Hni/W=-l照/⑺=1

x+1,x>0?->-o

這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)

在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾

何圖形表示出來如下：

/W

/W

11m

“n/⑴“公

J'｝的間斷點，但極限存在，那末X是函數(shù)J'｝的第一類間斷點。此時函

小。）期/⑶/區(qū)）小。）二蚪/⑺

/W

函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性

，二在某區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù)，那末它的反函數(shù)'=

［上1］

1J

yv=sinx2o*20上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)y,=arcsinx

伊(兀)=a

U二卬⑴lira

岳》力。（初=/（。）

y=力『⑹

limcos(14-x)x

XT。

■i

kmcos(l+匯)，=cos[Lrn(l+x)x]=cose

i2

y=cos(l-l-A)Xy-cosuu=(1+z)zy-cosu

連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。

"二W⑸在點X=x連續(xù)，且「6。）="°>='⑹在點U=u連續(xù)，那末復合函數(shù)

00

y=力火力］

通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；

一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾

條重要的性質(zhì)，下面我們來學習一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不作證明）

例：函數(shù)丫=$皿、在閉區(qū)間［0,2兀］上連續(xù)，則在點X=JI/2處，它的函數(shù)值為1,且大于閉區(qū)間。2n］

上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3n/2處，它的函數(shù)值為T,且小于閉區(qū)間［0,2口］上其它各點出的函

/C)=〃

在學習到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點

求質(zhì)點在t的瞬時速度？我們知道時間從t有增

00

Ax=/備+&)-y6)

這就是質(zhì)點在時間段At的位移。因此，在此

j年0+&)—/)

段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：

點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在i時的瞬時速度。我們認為當時問段無限地接近于o時，此

0

平均速度會無限地接近于質(zhì)點t時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t時的瞬時速度

00

11m%—(幻=11nl包

UTO&a—oAf

Ax=/(%+Ax)-/(x)

0若與Ax之比當△〉.一()時極限存

dy

Pf不小/So)

J在點:處存在導數(shù)簡稱函數(shù)J〈J在點\處可導，否則不可導。若函數(shù).

，一/對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確

內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)J''

^=/W

前面我們有了左、右極限的概念，導數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數(shù)的概念。若極限

皿學=小心曳

Ax存在，我們就稱