猜押04以旋轉(zhuǎn)為前提的幾何問(wèn)題（三年兩考）猜押考點(diǎn)3年福建真題考情分析押題依據(jù)在旋轉(zhuǎn)的前提下探究角2022年第24題旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱(chēng)在初中數(shù)學(xué)都是重要的圖形變化。除了23年和23年，2020年也曾在第24題考過(guò)，可見(jiàn)旋轉(zhuǎn)在解答題的考查中基本屬于壓軸考點(diǎn)。它可結(jié)合其他幾何圖形，綜合性強(qiáng)。無(wú)論是三角形、四邊形或是線段，都可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，考題中所給的旋轉(zhuǎn)角度也通常是特殊角，因此旋轉(zhuǎn)能夠結(jié)合的幾何性質(zhì)很多；比如全等三角形或者勾股定理來(lái)探究線段數(shù)量關(guān)系、用相似三角形來(lái)求角度等等。根據(jù)三年兩考的頻率，在2025年備考時(shí)可關(guān)注此考點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)背景下的三角形相似2023年第25題旋轉(zhuǎn)與全等三角形題型一在旋轉(zhuǎn)的前提下探究角1．（2022·福建泉州·二模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，且點(diǎn)E恰好落在邊BC上．(1)求證：AE平分；(2)連接BD，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)可將角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，最后可證得結(jié)論；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理對(duì)角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，平分．（2）證明：如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，即，，，，∵在中，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等以及合理利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到．(1)如圖1，當(dāng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好在中線的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）解法一：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，即，再利用即可求解；解法二：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，即，取得中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，由同角的余角相等得，以此即可求解；解法三：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，則平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，以此可根據(jù)證明，得到，由三角形外角性質(zhì)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，以此即可求解；（2）解法一：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，進(jìn)而得到，因此，易證明，得到，，，設(shè)，則，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解法二：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得性質(zhì)得，進(jìn)而得到，由平行線分線段成比例得，設(shè)，則，，在證，得，求得，，，由得，則，得到，即，解得，以此即可求解．【詳解】（1）證明：解法一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，又，，即，，，，，即；解法二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，又，，即，取得中點(diǎn)，連接，如圖，，，平分，即，，，，，，，，即；解法三：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，平分，，，，在和中，，，，，，，又，，，即；（2）解：解法一：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，為斜邊上的中線，，，即，，，，，，，，，即，，，，設(shè)，則，，，，，，，即，，．解法二：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，為斜邊上的中線，，，，，，設(shè)，則，，，，，，即，，，，，，，，即，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，并熟練掌握相似三角形的判定方法以及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二旋轉(zhuǎn)背景下的三角形相似1．（2024·福州臺(tái)江·一輪模擬）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，滿足，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，連接，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)交于,由,由旋轉(zhuǎn)可得,而,即可得,故,因,即有,,設(shè),則,求出,證明,即可得,進(jìn)而即可得解．【詳解】解：設(shè)交于,如圖，,,將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,,,,,,,,,,,,,,設(shè),則,,,,,,,,,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)及應(yīng)用，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定定理.2．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中的平分線交外接圓于點(diǎn)D，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，．求的值；(3)作的平分線交于點(diǎn)P，連接，若將線段繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的外接圓上，求的正切值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平分線線的定義可得，再根據(jù)圓周角定理可得，，可得，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）證明，可得，即，同理證明，可得，即，即可求解；（3）如圖，連接、、，根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，可得，再由四邊形外接圓的性質(zhì)可得，再由三角形角平分線的性質(zhì)可得平分，再根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線可得，再根據(jù)四邊形外接圓的性質(zhì)可得，，從而求得，再利用銳角三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴，又∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，同理，，∴，∵，，∴，∵，∴∴；（3）解：如圖，連接、、，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)在圓上，∴，∵點(diǎn)P是兩個(gè)內(nèi)角與的角平分線交點(diǎn)，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、角平分線的定義、圓周角定理、三角形內(nèi)心、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建寧德·一模）如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，．將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E落在內(nèi)部，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)F，連接．寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明，，從而可得結(jié)論；（2）解法一：當(dāng)時(shí)，，證明．由（1）得，．即B，E，D三點(diǎn)共線．（如圖2），再利用勾股定理可得答案；解法二：過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．如圖3，當(dāng)時(shí)，，證明．求解．可得．由（1）得，從而可得答案；解法三：過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)I．當(dāng)時(shí)，證明，．設(shè)，則．再建立方程求解x，可得．由（1）得，從而可得答案；（3）設(shè)交于點(diǎn)H，作交BF于點(diǎn)G．由（1）得，證明．．可得．從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：和都是等腰直角三角形，．．即，，∴．．（2）解法一：當(dāng)時(shí)，，又，．由（1）得，，．即B，E，D三點(diǎn)共線．（如圖2）在中，，，，．

．解法二：過(guò)點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．如圖3，、當(dāng)時(shí)，，又，．．，．在中，，．．由（1）得，．．解法三：過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)I．當(dāng)時(shí)，，又，．．．設(shè)，則．在中，，．．，（舍去）．．由（1）得，．．（3）．理由：設(shè)交于點(diǎn)H，作交于點(diǎn)G．由（1）得，．，．．．．，即．，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用運(yùn)算知識(shí)解題是關(guān)鍵．題型三旋轉(zhuǎn)與全等三角形1．（2024·福建福州·二模）如圖，在中，D是上一點(diǎn)．(1)在上確定一點(diǎn)O，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，其中，D，E分別是點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若D是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，求證：G是的中點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查作線段垂直平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，此時(shí)則點(diǎn)即為所求；（2）由旋轉(zhuǎn)得，得，，．再證明得，從而得到，故可得結(jié)論【詳解】（1）解：如圖，O為所求作的點(diǎn)．（2）證明：∵D是的中點(diǎn)，∴．∵繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，D，E分別是點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴，，，∴，，．在與中∴，∴，∴，即，∴G是中點(diǎn)2．（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期末）圖是某產(chǎn)品電子組件的平面示意圖．該組件包含一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形電子板和一個(gè)矩形感應(yīng)帶．該組件的工作方式是：電子板繞點(diǎn)從起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，保持每秒的旋轉(zhuǎn)速度循環(huán)往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，且電子板在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不能超出感應(yīng)帶所圍區(qū)域．(1)為盡可能節(jié)省材料，應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形感應(yīng)帶的尺寸？（直接寫(xiě)出尺寸即可）(2)該產(chǎn)品用戶要求加裝指示燈，在產(chǎn)品工作過(guò)程中指示燈能按一定時(shí)間間隔閃爍，以起到提醒、警示的作用．研發(fā)團(tuán)隊(duì)擬在（1）的基礎(chǔ)上采取如下方案：在點(diǎn)處、的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)處、正方形電子板的邊上分別加裝一個(gè)傳感器，電子板旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)邊上的傳感器捕捉到與，兩處傳感器的距離相等時(shí)，指示燈閃爍，且兩次閃爍間隔3秒．該方案是否可行？若可行，求的長(zhǎng)；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)應(yīng)設(shè)計(jì)矩形感應(yīng)帶的邊長(zhǎng)為和(2)可行，【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，繞點(diǎn)從起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，恰好落在邊上，則有，連接，則有，電子板在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不能超出感應(yīng)帶所圍區(qū)域，則有，結(jié)合題意即可求出矩形感應(yīng)帶的尺寸；（2）由題意“兩次閃爍間隔3秒”，分析可得當(dāng)指示燈閃爍時(shí)，電子板應(yīng)處于相對(duì)初始位置旋轉(zhuǎn)角為的位置，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，設(shè)與的交點(diǎn)為，進(jìn)而推出，得到，當(dāng)邊上的傳感器裝在點(diǎn)處，則符合題意，所以方案可行，再利用正方形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：電子板在起始位置時(shí)，有，繞點(diǎn)從起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，恰好落在邊上，如圖，連接，則有，又電子板在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不能超出感應(yīng)帶所圍區(qū)域，，，，，的最小值為，的最小值為，盡可能節(jié)省材料，應(yīng)設(shè)計(jì)矩形感應(yīng)帶的邊長(zhǎng)為和．（2）解：方案可行，理由如下：因?yàn)殡娮影謇@點(diǎn)從起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，保持每秒的旋轉(zhuǎn)速度循環(huán)往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且指示燈兩次閃爍間隔3秒，根據(jù)該方案，當(dāng)指示燈閃爍時(shí)，電子板應(yīng)處于相對(duì)初始位置旋轉(zhuǎn)角為的位置．此時(shí)，在（1）的條件下，在正方形的對(duì)角線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，設(shè)與的交點(diǎn)為．，，，．在正方形與中，、是對(duì)角線，，，，，，即，．又，．，，即．若邊上的傳感器裝在點(diǎn)處，當(dāng)電子版處于相對(duì)于初始位置旋轉(zhuǎn)角為的位置時(shí)，則指示燈閃爍，且兩次閃爍間隔3秒，因此該方案可行．在正方形中，，，，在中，，．．3．（23-24九年級(jí)上·廈門(mén)思明·期中）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們“玩轉(zhuǎn)直角三角形”的探究活動(dòng)，老師將全等的兩張直角三角形紙片按如圖1所示在同一平面內(nèi)擺放，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．已知：，，．初步探究：(1)“勤思小組”進(jìn)行了如下操作:保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，旋轉(zhuǎn)角度為，直線DE與直線交于點(diǎn)G，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)始終有，請(qǐng)你幫他們寫(xiě)出證明過(guò)程．深入探究：(2)“敏學(xué)小組”在“勤思小組”的操作方式下繼續(xù)探究，提出問(wèn)題：①如圖2，若連接，請(qǐng)判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，的邊與邊重合，則的面積為_(kāi)_____．

【答案】(1)證明見(jiàn)