大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計2025年秋季學(xué)期期末考試復(fù)習(xí)試題（含答案解析）一、選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若F(x)在x=a處連續(xù)，則a等于：A.0B.1C.aD.無法確定2.下列哪一個不是概率論中的基本概念：A.事件B.隨機變量C.樣本D.確定性3.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于：A.μB.σC.μ+σD.μ-σ4.若隨機變量X和Y相互獨立，則下列哪一個結(jié)論一定成立：A.P(X<0,Y>0)=P(X<0)P(Y>0)B.P(X>0,Y<0)=P(X>0)P(Y<0)C.P(X>0,Y>0)=P(X>0)P(Y>0)D.P(X<0,Y<0)=P(X<0)P(Y<0)5.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)，則下列哪一個結(jié)論一定成立：A.E(X)=npB.D(X)=npC.E(X)=np2D.D(X)=np(1-p)二、填空題（每題5分，共20分）1.設(shè)隨機變量X服從均勻分布U(0,1)，則P{X≤0.5}等于__________。2.設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布E(λ)，則P{X≥1}等于__________。3.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，則X+Y的分布為__________。4.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則P{|X|≤1}等于__________。5.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)，若E(X)=3，則n等于__________。三、解答題（每題20分，共60分）1.（20分）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求P{X=2}。2.（20分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，求X-Y的分布。3.（20分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～B(n,p)，Y～B(m,q)，求P{X+Y≥3}。四、計算題（每題20分，共40分）1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，求P{X>1}和P{0<X<2}。2.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求P{X+Y<0}。五、證明題（每題20分，共40分）1.證明：如果隨機變量X和Y相互獨立，那么它們的分布函數(shù)F(x,y)滿足F(x,y)=F(x)F(y)。2.證明：對于任意隨機變量X，若E(X)存在，則E(X2)≥E(X)2。六、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.某次考試，成績服從正態(tài)分布N(70,102)，求成績在60分以下的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比。2.某產(chǎn)品的不合格率服從泊松分布，平均不合格率為0.5，求至少有3個不合格品的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題答案：1.C2.D3.A4.A5.A解析：1.分布函數(shù)F(x)在x=a處連續(xù)，意味著F(x)在x=a處沒有跳躍，所以a應(yīng)該是一個特定的值，這里選項C正確。2.樣本是統(tǒng)計學(xué)中的術(shù)語，用于指代從總體中抽取的一部分個體，而其他選項都是概率論中的基本概念，因此選項D不是概率論的基本概念。3.正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望等于其均值μ，因此選項A正確。4.相互獨立的隨機變量滿足概率乘法公式，即兩個事件的概率是各自概率的乘積，因此選項A正確。5.二項分布的數(shù)學(xué)期望是np，因此選項A正確。二、填空題答案：1.0.52.e^(-λ)3.N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)4.0.68275.3解析：1.均勻分布U(0,1)的概率密度函數(shù)為1，所以P{X≤0.5}等于0.5。2.指數(shù)分布E(λ)的概率密度函數(shù)為λe^(-λx)，所以P{X≥1}等于e^(-λ)。3.兩個獨立正態(tài)分布的隨機變量之和也是正態(tài)分布，其均值為兩個隨機變量的均值之和，方差為兩個隨機變量的方差之和。4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的累積分布函數(shù)為0.6827，表示P{-1≤Z≤1}，其中Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，所以P{|X|≤1}等于0.6827。5.二項分布的數(shù)學(xué)期望為np，已知E(X)=3，且p=0.5，解得n=6。三、解答題答案：1.P{X=2}=(λ^2/2!)e^(-λ)2.X-Y的分布為N(μ?-μ?,σ?2+σ?2)3.P{X+Y≥3}=1-(P{X+Y=0}+P{X+Y=1}+P{X+Y=2})解析：1.泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，代入k=2得到P{X=2}。2.兩個獨立正態(tài)分布的隨機變量之差也是正態(tài)分布，其均值為兩個隨機變量的均值之差，方差為兩個隨機變量的方差之和。3.X和Y都是二項分布，P{X+Y≥3}可以通過計算所有小于3的組合的概率并從1中減去得到。四、計算題答案：1.P{X>1}=1-P{X≤1}=1-(1-e^(-λ))=e^(-λ)2.P{X+Y<0}=1-P{X+Y≥0}=1-(0.5+0.5)=0解析：1.指數(shù)分布E(λ)的累積分布函數(shù)為1-e^(-λ)，所以P{X>1}等于e^(-λ)。2.兩個獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量之和的累積分布函數(shù)可以通過查表得到，P{X+Y<0}等于0。五、證明題答案：1.已證明：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}=F(x)F(y)2.已證明：E(X2)-(E(X))2=Var(X)≥0解析：1.由于X和Y相互獨立，它們的分布函數(shù)可以分別表示為F(x)和F(y)，所以F(x,y)=F(x)F(y)。2.根據(jù)方差的定義，Var(X)=E(X2)-(E(X))2，由于方差非負，所以E(X2)≥(E(X))2。六、應(yīng)用題答案：1.百分比=P{X<60}=Φ((60-70)/10)≈Φ(-1)≈0.15872.P{至少有3個不合格品}=1-(P{0個不合格品}+P{1個不合格品}+P{2個不合格品})=1-(e^(-0.5)-0.5e^(-0.