專題03向量及其運(yùn)算（3大考點(diǎn)）

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01向量的相關(guān)概念

考點(diǎn)02向量的線性運(yùn)算

考點(diǎn)03圖形的相似與向量綜合

：支口向量的相義橢念

1.（2025?上海楊浦?一模）已知b和c都是非零向量，下列結(jié)論中不能判定〃〃〃的是（）

A.a//cb//cB.a+b=c

D.a=3c，b=2c

2.（2025?上海靜安?一模）已知辦b、c都是非零向量，下列條件中不能判定bIIc的是（）

A.ac,ab

c.H=icla=3b，c=12〃

（2025?上海嘉定?一模）下列命題正確的是（

如果|〃|二W，那么a=Z?如果4和。都是單位向量，那么〃=。

C.a+(—a)=OD.如果〃=助（左wO）,那么〃〃Z?

4.（2025?上海崇明?一模）已知〃與單位向量e方向相反，且長度為5,那么〃=.（用含向量e式子表

示a）

5.（2025?上海奉賢?一模）已知e是單位向量，向量。與e的方向相反，且長度為4,那么。用0表示

是.

:點(diǎn)W向量的鐵收運(yùn)算

6.（2025?上海松江?一模）已知q+6=2c，a-b=3c,且e是非零向量.那么下列說法中正確的是（）

A.a//b//cB.a"b，。與c不平行

C.a//c>a與b不平行D.b//c>b與a不平行

7.（2025?上海普陀?一模）設(shè)非零向量。、b,如果a+36=0,那么下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.。與。方向相同B.d//bC.a=-3bD.\a\=3\b\

8.（2025?上海長寧?一模）如果兩個(gè)非零向量。、。方向相反，且同=2網(wǎng)，那么下列說法正確的是（）

A.〃+2b=0B.a—2b=0C.a=2bD.a=—2b

9.（2025?上海虹口?一模）已知非零向量〃、6和c，下列條件中，不能判定〃〃。的是（）

A.a=2bB.a=2c2b=c

C.|34=忸|D.a//cb//c

10.（2025?上海崇明?一模）已知直線/上三點(diǎn)AB、C,且下列說法正確的是（）

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

11.（2025?上海寶山?一模）如圖，在等腰梯形A5CD中，AD//BC,ZB=60°,45=4）,設(shè)AB=凡A。=〃,

用向量a,Z?表示。C,結(jié)果正確的是（）

B

A.DC=a-bB.DC=a+bC.DC=ci—bD.DC=aT—b

22

12.（2025?上海寶山?一*模）計(jì)算：a+—（b—a）=

13.（2025?上海長寧?一模）計(jì)算：2（a-3b）+5b=.

14.（2025?上海虹口?一模）計(jì)算：2。+3（力-4=.

15.（2025?上海崇明?一模）計(jì)算：3（a+b）-^a-2b）=

16.(2025?上海黃浦?一模)(a+b)+3[+-2“=

17.（2025?上海松江?一模）如圖，梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,設(shè)R4=Q,BC=b，那么30可

BC

4ni

18.（2025?上海靜安?一模）如圖，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC±,M—=-,DE//BC.AD=a，EC=b>

BD2

那么用向量a、b表示向量BC為.

19.（2025?上海青浦?一模）如圖，點(diǎn)￡、/分別是平行四邊形ABCD的邊。C、BC的中點(diǎn)，連接08,如果

EF=a>BC=b，那么向量AB關(guān)于a、b的分解式為.

20.（2025?上海金山?一模）在VABC中，如果AB=AC,這個(gè)三角形的重心為點(diǎn)G,設(shè)GB=a，GA=b，

那么向量8c用向量a、b表示為.

心點(diǎn)把圖形的相制易向量除合

21.（2025上海虹口?一模）如圖，在丫回€;中，點(diǎn)。、片分別在邊43、43上，連接班、?！?如果3￡>=24）,

DE//BC,AB-a,AC=b，用Q、b表示BE—.

22.（2025?上海楊浦?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,AD=2DB,

設(shè)BC=b，那么.（用含〃、Z?的式子表示）

B

23.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，且應(yīng)）=2AD,EC=2AE,

連接。E,如果AB=a,A（j=b，那么。E=.（用含向量a、b的式子表示）

24.（2025?上海長寧?一模）如圖，已知在VABC中，中線AD、BE交于點(diǎn)、G,EF〃BC交AD于點(diǎn)、F.

⑴如果尸G=l,求GO和AF的長；

（2）如果AB=a,AC=b＞那么EP=.（用含向量。、。的式子表示）

25.（2025?上海徐匯?一模）如圖，A。與BE相交于點(diǎn)C,￡）E〃AB,點(diǎn)廠在線段BC上，且EC2=CCBC,

連接。尸,E4.

（2）設(shè)AB=a,BC=6,當(dāng)BC=2EC時(shí)，求向量CO（用向量a/表示）.

26.（2025?上海普陀?一模）如圖，已知點(diǎn)E、E分別在VABC的邊A3和AC上，EF//BC,BE=2AE,

點(diǎn)。在BC的延長線上，BC=CD,連接即與AC交于點(diǎn)G.

⑴求然FG的值;

（2）設(shè)BA=a，BD=b，那么AC=，EG=.（用向量。、6表示）

27.（2025?上海閔行?一模）已知：如圖，點(diǎn)A、8在射線上，點(diǎn)C、。在射線ON上，AD.BC交于

1OBOD5、江

=

點(diǎn)尸，7^7=~7^rQ,設(shè)0A=〃，OC=b?

（1）AC=,BD=（結(jié)果用含向量a、6的式子表示）

⑵由（1）可知與3。是向量.

（3）如果網(wǎng)=6,那么|可=.

28.(2025?上海崇明?一模)如圖，四邊形A3CD中，AD//BC,AC與3。相交于點(diǎn)。，50=16,00=8,

AO=5.

------------------1

⑴求CO的長；

(2)設(shè)BA=a，BC=b，試用。、b表示C。.

29.(2025?上海黃浦?一模)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=4,BC=5,對角線AC、BD交于

點(diǎn)、E.

Ay--------------------^D

(1)設(shè)2C=a，BD=b＞試用。、。的線性組合表示向量AE.

(2)已知ADJLCD,tanZDAC=1,求sinNABC的值.

30.(2025?上海奉賢?一模)如圖，AB//CD,AC與3。相交于點(diǎn)E,AB=9,。=6,點(diǎn)尸在A。上,

S/\DEFeS/^AEF=2.3.

⑴求E尸的長；

(2)設(shè)EC=a,EF=b,用含o、Z?的式子表示

專題03向量及其運(yùn)算（3大考點(diǎn)）

■考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01向量的相關(guān)概念

考點(diǎn)02向量的線性運(yùn)算

考點(diǎn)03圖形的相似與向量綜合

考點(diǎn)"向黃的相關(guān)概念

1.（2025?上海楊浦?一模）已知°、b和c都是非零向量，下列結(jié)論中不能判定a〃b的是（）

,VVVVVVV

A.a//cb//cB.a+b=c

VVVVVV

C.a-2bD.a-3c<b—2c

【答案】B

【分析】本題主要考查了平面向量的知識，理解并掌握平行向量的定義是解題關(guān)鍵.

根據(jù)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，對各選項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A>,-a//'c，b//c>?-a//by故本選項(xiàng)不符合題意；

B、a+b=c，但不一定平行，故本選項(xiàng)符合題意；

C、?二=2力，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、3=31，b=2c，■■a//b,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

2.（2025?上海靜安?一模）已知服b、c都是非零向量，下列條件中不能判定"I。的是（）

A.a\\c,abB.c=3b

C.|&|=|c|D.a=3b，c=—2a

【答案】C

【分析】本題考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)向量平行的判定，向量模的理解進(jìn)行判定即可求解.

【詳解】解：A、ac,ab,則6?c,能判定，不符合題意；

B、c=3b，則6c,能判定，不符合題意；

C、網(wǎng)=同模相等，不一定平行，故不能判定bc,符合題意;

D^a=3b,c=-2a,貝!]g=-66，

■.bc,能判定，不符合題意；

故選：C.

3.（2025?上海嘉定?一模）下列命題正確的是（）

A.如果=那么a=6B.如果°和6都是單位向量，那么a=b

C.a+（-fl）=0D.如果°（左w0）,那么a〃b

【答案】D

【分析】本題考查命題與定理，平面向量，解答本題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和性質(zhì).

由平面向量的基本概念和性質(zhì)，即可判斷.

【詳解】解：A、兩向量的模相等，方向不一定相同，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、兩單位向量的方向可能不同，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、。+卜。）=0,故C選項(xiàng)不符合題意；

D、如果。=?！罚?彳0）,那么正確，故D選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.（2025?上海崇明?一模）已知a與單位向量3方向相反，且長度為5,那么.=.（用含向量e式

子表示。）

【答案】-5e

【分析】本題考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模.根據(jù)a長度為5,得到忖=5上|=5,再根據(jù)“

與單位向量e方向相反即可求解.

【詳解】解：?.七與單位向量e方向相反，且長度為5,

|a|=5|e|=5,

a=-5e>

故答案為：-5e-

5.（2025?上海奉賢?一模）已知e是單位向量，向量d與e的方向相反，且長度為4,那么。用e表示

是.

【答案】-42

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘，熟練掌握向量的定義、表示方法及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)向量的表示方法進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：的長度為4,向量e是單位向量，

...同=4同,

又?響量。與。的方向相反,

CL——4?,

故答案為：-4e.

6.（2025?上海松江?一模）已知°+6=2e，a-b=3c,且c是非零向量.那么下列說法中正確的是（）

A.a//b//cB.allb，。與c不平行

C.aHc，。與》不平行D.bHc，〃與。不平行

【答案】A

【分析】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量平行的判定方法.判斷出“=2.5c,6=-0.5c可

得結(jié)論.

【詳解】a+b=2c,a—b=3c

/.a=2.5c,b=-0.5c

???c是非零向量，

/.abc

故選：A.

7.（2025?上海普陀?一模）設(shè)非零向量〃、b,如果a+3人=0,那么下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.。與。方向相同B.a//bC.a=-3bD.\a\=3\b\

【答案】A

【分析】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.根據(jù)非零向量〃、方，

有a+3b=0，即可推出d=-3〃，從而得出〃=3忖，d//bf。與匕方向相反，由此即可判斷.

【詳解】解：??,非零向量。、b,有a+3Z?=0,

???a=—3b

.■.a=3\b\,a//b，d與6方向相反，

故B、C、D正確，不符合同意，A錯(cuò)誤，符合題意.

故選：A.

8.（2025?上海長寧?一模）如果兩個(gè)非零向量°、。方向相反，且同=2忖，那么下列說法正確的是（）

A.a+2b=0B.a—2b=GC.a=2bD.a=—2b

【答案】D

【分析】本題考查向量的相關(guān)概念、向量的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握向量的概念是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)向量的概念及性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：???兩個(gè)非零向量4、6方向相反,且同=2忖,

a=-2b＞即a+2）=0.則D選項(xiàng)正確.

故選D.

9.（2025?上海虹口?一模）已知非零向量。、6和c，下列條件中，不能判定a〃6的是（）

A.a=2bB.a=2c，2b=c

C.|3a|=|2Z?|D.a//cib//c

【答案】C

【分析】此題考查了向量.根據(jù)向量平行向量的定義“方向相同或相反的非零向量a、6叫做平行向量”

進(jìn)行逐一判定即可.

【詳解】解：A.a=2b,則a與b方向相同，故q〃b，選項(xiàng)不符合題意；

B.a=2c，2b=c，則a與c方向相同，6與：方向相同，則a與6方向相同，Wallb，選項(xiàng)不符合題

思；

C.|3?|=|2&|,不能說明a〃b，選項(xiàng)符合題意；

D.a//c，b//c＜則a〃b，選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

10.（2025?上海崇明?一模）已知直線/上三點(diǎn)A、B、C,且=下列說法正確的是（）

2

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

【答案】D

【分析】此題考查了平面向量.畫出圖形，由題意得到AB與AC方向相同，且即B是AC

的中點(diǎn)，根據(jù)圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：如圖，

——1------------------------1--------------------------1--------1

ABC

■.AB=-AC,

2

??.AB與AC方向相同，且即8是AC的中點(diǎn)，

UUUUL1U

AB=BC>BC=AB，CA=2.CB,CA=2BA,

綜上可知，只有C4=2BA正確，

故選：D.

H.（2025?上海寶山?一模）如圖，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,ZB=60°,AB=AD,設(shè)

AB=a,AD=b,用向量a,6表示。C，結(jié)果正確的是（）

A.DC=a-bB.DC—a+bC.DC=a——bD.DC=a+—b

【答案】B

【分析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意向

量的方向是解答的關(guān)鍵.如圖，過點(diǎn)A作4/〃CD交3c于點(diǎn)H證明皿=鉆=&￡>-S,求出8C，

再根據(jù)0c=D4+AB+求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作Af/〃CD交于點(diǎn)"

在等腰梯形A3CD中，AD//BC,

.?.ZB=ZC=60°,

???AH//CD,

；.?AHB?C60?,

???ABH是等邊三角形，

；.AB=BH=AH,

vAD//CH,AH//CD,

???四邊形ADCH是平行四邊形，

?.AD=CH=BH=AB,

BC=CH+BH=2AD

??BC=2b，

?**DC=DA+AB+BC=—b+Q+2b=a+b?

故選：B.

12.（2025?上海寶山?一模）計(jì)算：。+；（6-。）=.

【答案】

【分析】本題考查了向量的線性計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

根據(jù)向量的線性計(jì)算，即可求解.

1121

【詳解】解：原式="■!—b—a=—a-\—b,

3333

21

故答案為：—a+—b.

13.（2025?上海長寧?一模）計(jì)算：2（a-3b）+56=.

【答案】2a—b

【分析】本題主要考查向量加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

先去括號，然后根據(jù)向量加減法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：2（a-3b）+5b

=2a-6b+5b

=2a—b.

故答案為：2a-b-

14.（2025?上海虹口?一模）計(jì)算：2a+3（b-a^=.

【答案1-a+3b/3b-a

【分析】本題考查了平面向量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的計(jì)算方法，根據(jù)平面向量的加減法

計(jì)算法則和去括號法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳角畢】尚星：2。+3（"-〃）=2〃+3"-3。=-a+3b.

故答案為：-a+3b-

15.（2025?上海崇明?一模）計(jì)算：3（o+&）-|（o-2/?）=

【答案】|a+4&

【分析】本題考查平面向量的加減法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的加減法則，注意平面向量的

加減適合加法交換律以及結(jié)合律，適合去括號法則.根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可.

【詳解】解：3（a+4一—24

—3a+3b—a+b

2

5

=—u+447b,

2

故答案為：^a+4b.

16.（2025?上海黃浦?一模）,+6）+3］卜一2早］=.

【答案】2a—5b/—5b+2a

【分析】本題考查了向量的知識，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

按照向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】解：（a+b）+3ga-2〃

=d+b+a—6b

=2a-5b

故答案為：2a-5b-

17.（2025?上海松江?一模）如圖，梯形A5CD中，AD//BC,BC=2AD,設(shè)A4=a,BC=G，那么30

可以用。、b表示為.

r1r

【答案】a+-b

【分析】本題考查向量的線性計(jì)算.熟練掌握三角形法則，是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)4）〃3C,BC=2AD,

BC=b，得出==然后利用三角形法則，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：-.AD//BC,BC=2AD,BC=b，

：.AD=-BC=-b,

22

,*,BA=a，

BD=BA+AD=a+—b.

2

r1r

故答案為：

An1

18.（2025?上海靜安?一模）如圖，點(diǎn)O、E分別在邊A5、AC上，且工工=彳，DE//BC.設(shè)

BD2

EC=b，那么用向量〃、8表示向量3。為.

【分析】本題主要考查了平面向量，根據(jù)平行線分線段成比例A得p出1=二D簽F=再1根據(jù)平面向量

CE2BC3

三角形運(yùn)算法則求出即可推出結(jié)果.

4n1

【詳解】：DE//BC.-=

BD2

AE_\_DE_1

'~CE~2fBC-3?

???AE=-EC=-b,

22

DE=AE—AD=—b—a,

2

3

BC=3DE=-3a—b,

2

3

故答案為：-3a+\b.

19.（2025?上海青浦?一模）如圖，點(diǎn)￡尸分別是平行四邊形ABCD的邊DC、BC的中點(diǎn)，連接。8,

如果EV=a，BC=b，那么向量AB關(guān)于a、6的分解式為.

DEC

【分析】本題考查向量的線性計(jì)算，根據(jù)題意，易得BD=2EF,BD〃EF,進(jìn)而得到08=2EP=2"，

平行四邊形的性質(zhì)，得到A￡＞〃3C,AD=3C,進(jìn)而得到AD=8C=6，再利用三角形法則，求出4J即

可.

【詳解】解：???平行四邊形ABCD,

.-.AD//BC,AD=BC,

???AD=BC=b，

???點(diǎn)E、尸分別是平行四邊形A3C￡＞的邊。C、的中點(diǎn)，

.-.BD=2EF,BD//EF,

DB—2EF=2a，

AB=AD+DB=b+2a;

故答案為：2a+b-

20.（2025?上海金山?一模）在VA3C中，如果A5=AC,這個(gè)三角形的重心為點(diǎn)G,設(shè)G3=a，GA=b,

那么向量8c用向量a、B表示為.

【答案］—2a-b

【分析】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形法則和平行

四邊形法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)“三角形重心的性質(zhì)一重心到頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍”可得GD=：AG,然后根據(jù)向

量的三角形法則可得比＞=86+6。=-68+6。=-。-；匕，由3C=2即可得3C=28。，于是得解.

【詳解】解:如圖,

A

???G是VABC的重心，

：.GD=-AG,

2

???GA=b,

：.GD=-AG=--GA=--b,

222

,JGB=a，

由三角形法則可得：BD=BG+GD=-GB+GD=-a--b,

2

?力為BC的中點(diǎn)，

:.BC=2BD,

.-,BC=2BD=2\-a--b]=-2a-b,

故答案為：一Za-b.

;克朗圖形的相他導(dǎo)向凌徐合

21.（2025?上海虹口?一模）如圖，在VA5C中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，連接班、DE,如果

BD=2AD,DE//BC,AB=a,AC=b,用。、b表小BE=

【答案】+

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及平面向量，先證明.ADEs,Age,再利用比例關(guān)系結(jié)

合平面向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】BD=2AD,AB=a

BD=--a

3

DEBC

ADEsABC

DEAD

*BC-AB-3

BC=AC-AB=b-a

:.DE=-BC=-b--a

333

BE=BD+DE=—QH—b—a=—d.H—b

3333

故答案為：-a+^b.

22.（2025?上海楊浦?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，DE//BC,AD=2DB,

設(shè)BC=b，那么.（用含〃、Z?的式子表示）

【答案】-2a1

33

【分析】本題考查平面向量，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知推出DB=：。，根據(jù)相似三角形的性

22

質(zhì)推出==再根據(jù)平面向量的減法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果.熟記平面向量的加減運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.??1￡)=2DB,AB=a,

12

DB=—a,AD=—AB,

33

???DE//BC,BC=b，

；?NADE=/ABC,ZAED=ZACB,

??.AADE^AABC,

_4DO

DEAD3Mn_2,^DE=-BC,

----==-------=-3

BCABAB3

/.DE=—b,

3

BE=DE-DB=-b--a.

33

21

故答案為：-b--a.

33

23.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，且BD=2AD,EC=2AE,

連接。E,如果AC=b^那么。石=.（用含向量〃、。的式子表示）

【答案】g"—g"

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，三角形法則求出證明

DE

AADE^AABC,求出工的值，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：,.?”二〃，AC二。，

BC=A.C—A,B=b—a，

?；BD=2AD,EC=2AE,

：.AB=3AD9AC=3AE9

ADAE

*'AB-AC-3?

：.DE//BC,

-.AADE^AABC,

DEAE_1

'BC-AC-3?

：.DE=-BC,

3

：.DE=-BC=-b--a-

333

故答案為：卜一￡

24.(2025?上海長寧?一模)如圖，已知在VA5C中，中線A。、BE交于點(diǎn)G,EF〃BC交AD于點(diǎn)F.

(1)如果FG=1,求GO和AF的長；

(2)如果AB=〃，AC=b，那么斯=.(用含向量〃、匕的式子表示)

【答案】(1)GO=2,AF=3

(2)-a--b

44

【分析】本題考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握三角形的重心是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形的重心，再證明GFEs,GDB,得出比例式，即可求解；

(2)先求出CB=C4+AB=a-〃，即可得到跖==.

444

【詳解】(1)解：中線A。、BE交于點(diǎn)G,

???點(diǎn)G為重心，

EF\BC,

GFEs,GDB,

.FGEG

…GD-BG-2'

FG=1,

\GD=2,DF=3,

AFAE1

~FD~~CE~'

.\AF=DF=3；

(2)解：「AB=a,AC=b,

…CB=CA+AB=a—b,

EF\BC,EF=-CB,

4

I.EF=—CB=—a——b,

444

故答案為：^-a-^-b.

44

25.（2025?上海徐匯?一模）如圖，AD與助相交于點(diǎn)C,OE//AB,點(diǎn)尸在線段BC上，且EC?=C?BC,

連接D￡E4.

（2）設(shè)A8=a,BC=/>,當(dāng)3c=2EC時(shí)，求向量CD（用向量。力表示）.

【答案】（1）見解析；

（2）CD=—tz+—Z?

【分析】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

（1）根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)可C得D==E*C,再由石。2=。尸.3。可得EC*=C三F，從而得出

ACBCBCEC

g=再證AACESDCF,可得=再由平行線的判定即可得出結(jié)論；

ACEC

（2）由3c=2EC得出段=1,可得出段=2=2，再由AC=a+6可得=進(jìn)而可得

nC2ACnC222

答案.

【詳解】（1）證明：DE//AB,

.CDEC

一花一耘’

EC2=CFBC,

.ECCF

'~BC~~EC'

CDCF

ZACE=ZDCFf

:./\ACEsADCF,

,\ZCAE=ZCDF,

,\DF//EA；

(2)解：BC=2EC,

.￡C_1

??—―，

BC2

CDEC_1

*AC-BC-2?

又AC=a+b，

CD=-ciH—b.

22

26.（2025?上海普陀?一模）如圖，已知點(diǎn)E、尸分別在VABC的邊AB和AC上，EF//BC,BE=2AE,

點(diǎn)。在5c的延長線上，BC=CD,連接￡?與AC交于點(diǎn)G.

(1)求7^7的值；

(2)設(shè)A4=a,BD=b，那么AC=，EG=.(用向量。、》表示)

【答案】⑴:

Cl)-a+—b,~—a+—b

264

【分析】本題考查平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形法則、相似三角形的判定與性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

PPAp11

(1)由題意可得▲但”.ABC,則==F=T，即==三，再證明AEFGS.OCG,即可求解；

BCAB3CD3

1119

(2)由題意得^。二^四二7人，AB=-a^則AC=AB+BC;由題意得=BE=-AB,則

2243

2

EB=--a,ED=EB+BD，進(jìn)而求解.

【詳解】(1)：BE=2AE,

：.AB=3AE.

?：EFBC,

ZAEF=ZB,ZAFE=ZACB9

AEF-ABC,

?m?E則F一A=E—1二一，

BCAB3

???BC=CD,

EF

??—―，

CD3

???EFBC,

：.Z.GEF=Z.GDC,NEFG=NDCG,

??.EFG~DCG,

EG_EF_1

'GD~CD~3'

(2)vBC=CD,

BC=-BD=-b,

22

,?，BA-a，

?t,AB——d，

AC=AB+BC——aH—b,

2

EG

*GD-3，

：.EG=-GD,EG=-ED

34f

:BE=2AE,

.-.BE=-AB,

3

2

.測￡5=_鏟,

2.

ED=EB+BD=—&+b,

3

EG=—\~—a+b\=-—a+—b.

413J64

故答案為：AC^-a+-b,EG=--a+-b.

264

27.(2025?上海閔行?一模)已知：如圖，點(diǎn)A、8在射線上，點(diǎn)C、。在射線ON上，AD.BC交

十.OBOD5、兒.

于點(diǎn)''7^7=，設(shè)。4=〃'OC=b.

o

（1）AC=,BD=（結(jié)果用含向量a、6的式子表小）

（2）由（1）可知與BO是向量.

（3）如果,尸|=6,那么W$=

【答案】（l）b-a；

⑵平行

（3）16

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量，掌握平面向量是解題的關(guān)鍵.

（1）AC^OC-OA^b-a，BD=OD-OB=^b-a-

（2）根據(jù)4c=0一°,BD=|/?-|a,得出AC與3。是平行向量；

CR0r）5A尸3I.1

（3）根據(jù)￡=匕==,得出4?！ò啵?從而得到人^。。八0尸從根據(jù)一==求出附=io,

OAOC3PDBD511

從而得到岡=16.

【詳解】（1）解：AC=OC-OA=b—af—OD—OB=—b——a,

故答案為：b-a;§6一耳〃；

（2）解：AC=b—a>BD=-b——a,

；?AC與3。是平行向量,

故答案為：平行;

⑶解:嘿OD5

~OC~3

??.AC//BD,

???AAPCS/\DPB,

AP_AC_3

PDBD5，

?.?網(wǎng)=6,

.?.囪=10,

.-.|DA|=16,

故答案為：16.

28.（2025?上海崇明?一模）如圖，四邊形A5CD中，AD//BC,AC與相交于點(diǎn)0,80=16,00=8,

AO=5.

⑴求C。的長；

(2)設(shè)A4=a,BC=b，試用。、b表示C0.

【答案】⑴co=io

22

(2)CO=—tz——Z?

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)和向量的知識，掌握了以上知識是解題的關(guān)鍵；

(1)利用已知條件證出一AODsC03,再得出頭=段，然后代入計(jì)算即可求解.

COBO

2

(2)先求得C0=§C4,再根據(jù)CA=5A-5C="人然后即可求解；

【詳解】(1)解：???AD〃5C,

???AODsCOB,

AODO

,?布一而’

V40=5,00=8,30=16,

5_8

,?而一記’

解得：CO=10；

(2)解：???CO=2AO,

CO=-CA,

3

又???C。與C4同向，

CO=-CA

3f

*,C4=BA.—BC=a—b，

22

CO=-a——b；

33

29.（2025?上海黃浦?一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=4fBC=5,對角線AC、BD交

于點(diǎn)E.

(1)設(shè)8C=a，8。=6，試用。、b的線性組合表示向量AE.

(2)已知AD_LCZ),tanZDAC=1,求sinNABC的值.

44

【答案】⑴=

⑵與

ED4444

【分析】(1)證明ADEs.CBE,即得—=得到進(jìn)而得到ED=-b,再

BE