第二章圓柱和圓錐知識(shí)歸納與題型突破

01思維導(dǎo)圖

圓柱的認(rèn)識(shí)

圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)—

圓錐的認(rèn)識(shí)

圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法

圓柱的表面積

圓柱和圓錐圓柱表面積的計(jì)算方法

圓柱的體積

圓錐的體積

02知識(shí)速記

一、圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)

1.圓柱和圓錐的特征：圓柱有兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面，圓柱的兩個(gè)底面是完全相同的圓；圓

錐是由底面和側(cè)面兩個(gè)部分組成，圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是曲面。

2.圓柱和圓錐的高：圓柱有無(wú)數(shù)條高，所有的高都相等；圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是

圓錐的高，圓錐只有一條高。

二'圓柱的側(cè)面積和表面積的計(jì)算方法

1.圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X圖。用字母表示為S惻=0卜=ndh=2nrh。

2.圓柱的表面積：圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+圓柱的兩個(gè)底面積。用字母表示圓柱的

表面積：S表=$側(cè)+2$底。

三'圓柱的體積公式

1.圓柱的體積公式：圓柱的體積=圓柱的底面積X高，用字母表示為v=Sh。

2.長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的統(tǒng)一體積公式：體積=底面積X高，用字母表示為V=Sh。

3.計(jì)算圓柱體積，如果已知半徑，利用公式V=nr12h計(jì)算；已知直徑，利用公式V=n（&）

2

2h計(jì)算；已知周長(zhǎng)，利用公式V=n（C+n+2）2h計(jì)算。

四'圓柱的體積公式

1.圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的工。

3

2.圓錐的體積=底面積X|^jX—o

3

3.已知圓錐的底面積和高，可以利用公式V=1Sh直接代入數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐的體積。

3

03題型歸納

題型一圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)

例1.（2024春?高陵區(qū)期中）如圖，一個(gè)禮盒上扎了一根絲帶。這個(gè)禮盒底面直徑是30厘米,

高是10厘米，打結(jié)部分長(zhǎng)28厘米，這根絲帶至少長(zhǎng)多少厘米？

鞏固訓(xùn)練

1.（2022?曹縣）如圖中圓柱的底面周長(zhǎng)是25.12cm,高是15dm,現(xiàn)用包裝繩包扎，至少需要

多長(zhǎng)的包裝繩？（接頭處需15cm）

15dm

2.（2023春?通榆縣月考）下面哪個(gè)圖形是圓柱的展開圖？在括號(hào)里畫“。（單位：cm）

3.（2022?陸豐市）一個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)是18.84厘米，高是4厘米.從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將

它切成兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了多少平方厘米？

題型二圓柱的側(cè)面積和表面積

例2.（2024?洛南縣）計(jì)算如圖的表面積。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?長(zhǎng)葛市）求如圖形的表面積。（單位：厘米，n取3.14）

5

10

2.（2024?蒸湘區(qū)）計(jì)算如圖形的表面積。（單位：cm）

3.（2024春?鄂城區(qū)期中）“三八”婦女節(jié)，小華想送給媽媽一個(gè)自制的筆筒，并且自己制

作一個(gè)無(wú)蓋禮品盒。有以下幾種型號(hào)的彩紙可供搭配選擇。

□8cm

25.12cm9.42cm

①②③④

（1）選擇號(hào)和號(hào)彩紙可以制作一個(gè)無(wú)蓋的禮品盒。

（2）做這個(gè)無(wú)蓋的禮品盒至少需要多少平方厘米的彩紙?

題型三圓柱和圓錐的體積

例3.（2024?龍華區(qū)）木工師傅用正方體木塊切割加工圓柱體。正方體木塊棱長(zhǎng)是12厘米。

請(qǐng)分別解決以下問(wèn)題。（此題結(jié)果可用含口的式子表示，也可將口取3.14計(jì)算。）

（1）如果用這個(gè)正方體木塊切割出一個(gè)最大的圓柱體，如圖1,這個(gè)圓柱體的體積是多少？

被切割掉的邊角料的體積是多少？

（2）如果用這個(gè)正方體木塊切割出4個(gè)大小相等且體積最大的圓柱體，如圖2,每個(gè)小圓

柱體的體積是多少？被切割掉的邊角料的體積是多少？

圖2

（3）如果繼續(xù)像上面這樣加工圓柱體，加工9個(gè)大小相等且體積最大的圓柱體，被切割掉

的邊角料的體積是多少？

（4）奇思在解決上述問(wèn)題時(shí)，他發(fā)現(xiàn)被切割出來(lái)的圓柱體的個(gè)數(shù)是1X1,2X2,3X3,……，

nXno那么，當(dāng)被切割出來(lái)的圓柱體的個(gè)數(shù)是nXn時(shí)，每個(gè)小圓柱體的半徑是

厘米，每個(gè)小圓柱體的體積是___________立方厘米。按照這種想法，此時(shí)，被切割掉的邊

角料體積是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么？

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?叢臺(tái)區(qū)）計(jì)算立體圖形的體積。（單位：cm）

2.（2024?興國(guó)縣）張老師在實(shí)驗(yàn)室里把4.8L藥水全部倒入如圖的兩個(gè)容器中，正好倒完也

剛好都倒?jié)M。已知圓柱和圓錐容器的底面積相等，圓柱和圓錐容器的容積各是多少L?

3.（2024?泗水縣）如圖所示，一個(gè)棱長(zhǎng)6厘米的正方體，從正方體的底面向內(nèi)挖去一個(gè)最大

的圓錐體，剩下的體積是多少立方厘米?

第二章圓柱和圓錐知識(shí)歸納與題型突破

01思維導(dǎo)圖

圓柱的認(rèn)識(shí)

圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)—

圓錐的認(rèn)識(shí)

圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法

圓柱的表面積

圓柱和圓錐圓柱表面積的計(jì)算方法

圓柱的體積

圓錐的體積

02知識(shí)速記

一、圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)

1.圓柱和圓錐的特征：圓柱有兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面，圓柱的兩個(gè)底面是完全相同的圓；圓

錐是由底面和側(cè)面兩個(gè)部分組成，圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是曲面。

2.圓柱和圓錐的高：圓柱有無(wú)數(shù)條高，所有的高都相等；圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是

圓錐的高，圓錐只有一條高。

二'圓柱的側(cè)面積和表面積的計(jì)算方法

1.圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X圖。用字母表示為S惻=0卜=ndh=2nrh。

2.圓柱的表面積：圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+圓柱的兩個(gè)底面積。用字母表示圓柱的

表面積：S表=$側(cè)+2$底。

三'圓柱的體積公式

1.圓柱的體積公式：圓柱的體積=圓柱的底面積X高，用字母表示為v=Sh。

2.長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的統(tǒng)一體積公式：體積=底面積X高，用字母表示為V=Sh。

3.計(jì)算圓柱體積，如果已知半徑，利用公式V=nr2h計(jì)算；已知直徑，利用公式V=n（&）

2

2h計(jì)算；已知周長(zhǎng)，利用公式V=n（C+n+2）2h計(jì)算。

四'圓柱的體積公式

1.圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的工。

3

2.圓錐的體積=底面積X|^jX—o

3

3.已知圓錐的底面積和高，可以利用公式V=1Sh直接代入數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐的體積。

3

03題型歸納

題型一圓柱和圓錐的認(rèn)識(shí)

例1.（2024春?高陵區(qū)期中）如圖，一個(gè)禮盒上扎了一根絲帶。這個(gè)禮盒底面直徑是30厘米,

高是10厘米，打結(jié)部分長(zhǎng)28厘米，這根絲帶至少長(zhǎng)多少厘米？

【分析】要求扎這個(gè)盒子至少用絲帶多少厘米，就是求8條直徑、8條高和打結(jié)用去的繩長(zhǎng)的

總和。

【解答】解：30X8+10X8+28

=240+80+28

=348（厘米）

答：這根絲帶至少長(zhǎng)348厘米。

【點(diǎn)評(píng)】解答此題用到的知識(shí)點(diǎn)：圓柱的特征。

鞏固訓(xùn)練

1.（2022?曹縣）如圖中圓柱的底面周長(zhǎng)是25.12cm,高是15dm,現(xiàn)用包裝繩包扎，至少需要

多長(zhǎng)的包裝繩？（接頭處需15cm）

【分析】根據(jù)題意和圖形可知，所需彩帶的長(zhǎng)度等于4條高，4條直徑，再加打結(jié)處用的15

厘米，由此列式解答。

【解答】解：15分米=150厘米

底面直徑：

25,124-3.14=8（厘米）

8X4+150X4+15

=32+600+15

=647（厘米）

答：至少需要647厘米的包裝繩。

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓柱體知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，解答關(guān)鍵是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪

些數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度和。

2.（2023春?通榆縣月考）下面哪個(gè)圖形是圓柱的展開圖？在括號(hào)里畫。（單位：cm）

【分析】根據(jù)圓柱展開圖的特點(diǎn)，其側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是圓柱底面的周長(zhǎng)，由此即可解決

問(wèn)題。

【解答】解：（1）3.14X8=25.12（厘米）

12.56*25.12,所以第一個(gè)圖不是圓柱的展開圖；

（2）3.14X10=31.4（厘米）

31.4=31.4,所以第二個(gè)圖是圓柱的展開圖；

（3）3.14X6=18.84（厘米）

18.84*12,所以第三個(gè)圖不是圓柱的展開圖。

解答如下:

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱展開圖的特點(diǎn)，其側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是圓柱底面的周長(zhǎng)，寬是圓

柱的高。

3.（2022?陸豐市）一個(gè)圓錐的底面周長(zhǎng)是18.84厘米，高是4厘米.從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將

它切成兩半后，表面積比原來(lái)的圓錐增加了多少平方厘米？

【分析】從圓錐的頂點(diǎn)沿著高把他切成兩半后，表面積比原來(lái)圓錐的表面積增加了2個(gè)以圓錐

的底面直徑為底，以圓錐的高為高的三角形的面積，由此利用圓錐的底面周長(zhǎng)18.84厘米求出

它的底面直徑即可解決問(wèn)題.

【解答】解：圓錐的底面直徑為：18.84+3.14=6（厘米），

則切割后表面積增加了：6X44-2X2=24（平方厘米）；

答：表面積之和比原來(lái)圓錐表面積增加24平方厘米.

【點(diǎn)評(píng)】抓住圓錐的切割特點(diǎn)，得出增加部分的面積是2個(gè)以底面直徑為底，以圓錐的高為高

的三角形的面積是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型二圓柱的側(cè)面積和表面積

例2.（2024?洛南縣）計(jì)算如圖的表面積。

【分析】通過(guò)觀察可知組合立體圖形的表面積是圓柱的側(cè)面積加上長(zhǎng)方體的表面積，圓柱的側(cè)

面積=底面周長(zhǎng)X高，長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2,代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算

即可。

【解答】解：3.14X5X5=15.7X5

=78.5（平方分米）

（9X7+9X4+7X4）X2

=（63+36+28）X2

=127X2

=254（平方分米）

78.5+254=332.5（平方分米）

答：如圖的表面積是332.5平方分米。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合圖形的表面積。掌握?qǐng)A柱的側(cè)面積公式以及長(zhǎng)方體的表面積公式是解決

本題的關(guān)鍵。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?長(zhǎng)葛市）求如圖形的表面積。（單位：厘米，n取3.14）

【分析】長(zhǎng)方體的表面積加上圓柱的側(cè)面積即可。

【解答】解：（10X6+10X3+6X3）X2

=（60+30+18）X2

=108X2

=216（平方厘米）

3.14X5X6

=15.7X6

=94.2（平方厘米）

216+94.2=310.2（平方厘米）

答：表面積是310.2平方厘米。

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握長(zhǎng)方體的表面積和圓柱的側(cè)面積公式是解答本題的關(guān)鍵。

2.（2024?蒸湘區(qū)）計(jì)算如圖形的表面積。（單位：cm）

【分析】圓柱的上面的面積補(bǔ)充正方體上面減少的面積，所以圖形的表面積可以求一個(gè)完整的

正方體的表面積與圓柱側(cè)面積的和，根據(jù)正方體的表面積公式與圓柱的側(cè)面積的求法，分別求

出再相加，即可解答。

【解答】解：(8X8)X6+2X3.14X5

=384+31.4

=415.4(平方厘米)

答：圖形的表面積是415.4平方厘米。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是組合圖形的表面積，關(guān)鍵是掌握正方體的表面積和圓柱的側(cè)面積。

3.(2024春?鄂城區(qū)期中)“三八”婦女節(jié)，小華想送給媽媽一個(gè)自制的筆筒，并且自己制

作一個(gè)無(wú)蓋禮品盒。有以下幾種型號(hào)的彩紙可供搭配選擇。

(1)選擇號(hào)和號(hào)彩紙可以制作一個(gè)無(wú)蓋的禮品盒。

(2)做這個(gè)無(wú)蓋的禮品盒至少需要多少平方厘米的彩紙？

【分析】(1)根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開是一個(gè)長(zhǎng)方形。這個(gè)長(zhǎng)方形的

長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式：C=nd,或C=2nr,

把數(shù)據(jù)代入公式求出兩個(gè)圓的周長(zhǎng)，然后與兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)進(jìn)行比較即可。

(2)根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S=Ch,圓的面積公式：S=nr2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【解答】解：(1)①號(hào)2X3.14X3=18.84(厘米)

②號(hào)2X3.14X4=25.12(厘米)

③號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于25.12厘米。

答：選擇②號(hào)和③號(hào)彩紙可以制作一個(gè)無(wú)蓋的禮品盒。

(2)25.12X10+3.14X42

=251.2+3.14X16

=251.2+50.24

=301.44(平方厘米)

答：做這個(gè)無(wú)蓋的禮品盒至少需要301.44平方厘米的彩紙。

故答案為：②，③；

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A柱側(cè)面展開圖的特征及應(yīng)用，圓的周長(zhǎng)公式、圓柱的側(cè)

面積公式、圓的面積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。

題型三圓柱和圓錐的體積

例3.(2024?龍華區(qū))木工師傅用正方體木塊切割加工圓柱體。正方體木塊棱長(zhǎng)是12厘米。

請(qǐng)分別解決以下問(wèn)題。(此題結(jié)果可用含口的式子表示，也可將n取3.14計(jì)算。)

(1)如果用這個(gè)正方體木塊切割出一個(gè)最大的圓柱體，如圖1,這個(gè)圓柱體的體積是多少？

被切割掉的邊角料的體積是多少？

圖I

(2)如果用這個(gè)正方體木塊切割出4個(gè)大小相等且體積最大的圓柱體，如圖2,每個(gè)小圓

柱體的體積是多少？被切割掉的邊角料的體積是多少？

圖2

(3)如果繼續(xù)像上面這樣加工圓柱體，加工9個(gè)大小相等且體積最大的圓柱體，被切割掉

的邊角料的體積是多少？

(4)奇思在解決上述問(wèn)題時(shí)，他發(fā)現(xiàn)被切割出來(lái)的圓柱體的個(gè)數(shù)是1X1,2X2,3X3,……，

nXno那么，當(dāng)被切割出來(lái)的圓柱體的個(gè)數(shù)是nXn時(shí)，每個(gè)小圓柱體的半徑是

厘米，每個(gè)小圓柱體的體積是___________立方厘米。按照這種想法，此時(shí)，被切割掉的邊角

料體積是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么？

【分析】(1)正方體木塊切割出一個(gè)最大的圓柱體，則圓柱的底面圓的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，

高也等于正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)義棱長(zhǎng)求出正方體的體積；根據(jù)圓柱的

體積=nr2h求出圓柱的體積，用正方體的體積減去圓柱的體積即是被切割掉的邊角料的體積。

據(jù)此解答；

(2)正方體木塊切割出四個(gè)最大的圓柱體，則每個(gè)圓柱的底面圓半徑的直徑等于正方體的棱

長(zhǎng)的一半，高也等于正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)求出正方體的體積；

根據(jù)圓柱的體積=nr2h求出圓柱的體積，用正方體的體積減去圓柱的體積即是被切割掉的邊

角料的體積。據(jù)此解答；

(3)根據(jù)(1)、(2)可知，加工9個(gè)大小相等且體積最大的圓柱體，被切割掉的邊角料的體

積和(1)、(2)的切割方法剩下的邊角料相等；

(4)根據(jù)(1)、(2)、(3)可以推斷：每個(gè)小圓柱體的半徑是旦厘米，每個(gè)小圓柱體的體積是

n

432兀

七一立方厘米，被切割掉的邊角料體積是(1728-432。)立方厘米，發(fā)現(xiàn)了被切割出來(lái)的

n

圓柱體的個(gè)數(shù)是1X1,2X2,3X3,……，nXn時(shí)，被切割掉的邊角料的體積都相等(答案

不唯一，合理即可)。

【解答】解：(1)3,14X(124-2)2X12=1356.48(立方厘米)

12X12X12=1728（立方厘米）

1728-1356.48=371.52（立方厘米）

答：這個(gè)圓柱體的體積是1356.48立方厘米，被切割掉的邊角料的體積是371.52立方厘米。

(2)3.14X(124-24-2)2X12=339.12(立方厘米)

12X12X12=1728（立方厘米）

1728-339.12X4=371.52（立方厘米）

答：每個(gè)小圓柱體的體積是339.12立方厘米，被切割掉的邊角料的體積是371.52立方厘米。

(3)根據(jù)(1)、(2)的切割方法可知，被切割掉的邊角料的體積是371.52立方厘米。

(4)根據(jù)(1)、(2)、(3)可以推斷：每個(gè)小圓柱體的半徑是2厘米，每個(gè)小圓柱體的體積是

n

432兀

『一立方厘米，被切割掉的邊角料體積是(1728-432。)立方厘米，發(fā)現(xiàn)了被切割出來(lái)的

n

圓柱體的個(gè)數(shù)是1X1,2X2,3X3,,nXn時(shí)，被切割掉的邊角料的體積都