阿氏圓最值

由來：這個問題是由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯提出的有關(guān)圓的問題，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定值

（不為1）的所有點的軌跡是圓，簡稱阿氏圓.

如圖10.93所示，已知平面上兩定點A,B,一動點P胃=k（k片1）,此時所有滿足條件的點P的軌跡是一個

證明：如圖10.94所示，已知Qk,作/APB的平分線交AB于點M廁鼠=k,作/APB的外角平分線交

直線AB于點N,則瞿=k,止匕時NNPM=90。,故點P在以MN為直徑的圓上運動（圖10.95）.

【分析】解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握“共邊共角型”相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法.

如圖10.95所示，連接OP.因為OP=OM,所以/OPM=NOMP.

又/OBP=NOMP+a,ZOPA=ZOPM+a廁ZOBP=ZOPA.

又因為NPOB=/POA,所以△OPBs/^OAP,則

竺=竺="=①

PAOPOA

故QP+kPA=QP+PBNQB.此時我們需要鎖定點B的位置，可是點B的位置我們不是知道嗎?但實際上點B的

位置往往我們不知道，要利用式①中的OP?=OB-。4鎖定點B的位置.

解題步驟：連半徑、定比例、構(gòu)相似.

實例剖析

第2步：定比例.從問題中發(fā)現(xiàn)，我們需要構(gòu)造扣P,所以相似比為I,而此時^=1.

ZZDCZ

第3步構(gòu)相似.構(gòu)造以半徑CP為共邊且PB參與的“共邊共角型相似”相似比為教口圖10.99所示，此時寥=

2DC

”.CP2=BC-CE.

泊言嗎則｛PE—PB,即22=4?CE,解得CE=L故

2

（AP+IBP）=Q4P+PE）mh=AE=7AC2+CE2=V37.

'z7min2

A工A

圖10.98圖10.99

(2)第1步:連半徑.連接CP.

第2步：定比例.從問題中發(fā)現(xiàn)，我們需要構(gòu)造-豺P,,所以相似比為-|,,而此時=|

第3步：構(gòu)相似.構(gòu)造以半徑CP為共邊且AP參與的“共邊共角型相似”，相似比為叔口圖10.100所示，此時

CP2=AC-CF,

生="=竺=工則即22=6.C居解得CF=|故

ACCPAP3PF=-AP,

22

BP+-AP=(BP+PF)min=BF=y/CF+BC=

圖10.100

類①：構(gòu)造“分邊”

1.(1)如圖10.101所示，已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，則PD

+之PC的最小值為PD—2PC的最大值為.

⑵如圖10.102所示，已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上的一個動點，那么PD+|

PC的最小值為PD-lPC的最大值為.

(3)如圖10.103所示，已知菱形ABCD的邊長為4,NB=60。,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，那么

PD+lPC的最/卜值為,PD-1PC的最大值為

圖10.101圖10.102圖10.103

2.如圖10.104所示，在直角坐標系中,已知點A(4,0),B(0,3),點E在以原點。為圓心、半徑為2的圓上運動.

+BE的最小值為.

(2)4E+|BE的最小值為.

3.如圖10.105所示，已知拋物線y=—蔡》+段與*軸交于A,C兩點，與y軸交于點B，點M(-4,0).

將線段OM繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段ON(旋轉(zhuǎn)角度在0。?90。之間).

⑴線段OB上是否存在定點P,使得在旋轉(zhuǎn)過程中，黑的值不變?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說

ND

明理由.

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，4NA+3NB的最小值為.

圖10.105

類②：構(gòu)造“倍邊”

4.如圖10.106所示,AB,CD是。O的直徑，AB=4,CE伺4B且點E是OA的中點，P是。O上的一個動點，

貝?。?PE+PD的最小值為.

圖10.106

5.如圖10.107所示,拋物線y=-/+2%+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,3)頂點為D(1,4).OM

經(jīng)過點A,B,C,P是。M上的一個動點很UCP+手。P的最小值為.

圖10.107

類型5：全等變換

6.如圖10.108所示，已知直線AB:y=*％+分別交x軸、y軸于B,A兩點，C(3,0),D,E分別為線段A

O和線段AC上一動點,BE交y軸于點H,且AD=CE當BD+8E的值最小時，點H的坐標為L

7.如圖10.109所示，在△4BC中,乙ABC=60°fBC=3,AC=10,點D,E分別在AB,AC邊上，且.4。=C/則

CD+BE的最小值為.

ADB

圖10.109

8.如圖10.110所示,在菱形ABCD中，乙B=120°,AC=6,點E為邊AB上一動點，點F在對角線AC上,

且CF=4E,則DE+DF的最小值為此時AE的長為

圖10.110

1.(1)5,5.

如圖J10.70所示在BC上取一點G.使得BG=1.

因為fl=|=2,需=；2,所以If=:又NPBG=NPBC,故APBGsMBP,于是界=言=|,BPPG="C,

故PD+^PC=DP+PG.

因為DP+PG>DG,所以當點D,G,P共線時，P。+?C的值最小，最小值為DG=V42+32=5.

因為PD-丁C=PD-PG<DG,所以當點P在DG的延長線上時，PD-的值最大(圖J10.71),最大值為

DG=5.

(2)7106,V106.

如圖J10.72所示在BC上取一點G,使得BG=4.

因為竺=￡=三,些=2==所以"=些，又NPBG=NPBC4!UPBGs^CBP,于是-=-=之即PG=-

BG42PB62BGPBPCPB33

PC,故PD+1PC=DP+PG.

因為DP+PG>DG,所以當點D,G,P共線時，PD+|PC的值最小，最小值為DG=V52+92=V106.

因為PD-\PC=PD-PG<DG,所以當點P在DG的延長線上時，PD一?<?的值最大，最大值為DG=

V106.

(3)V37,V37.

如圖J10.73所示在BC上取一點G.使得BG=1,作DFLBC于點F.

因為賓=：=2,案=：=2,所以霹=器又/PBG=/PBCm!MPBGs^CBP,于是,=警=去即PG=

￡>G1rDZD(JrDrCrDZZ

故PD+^PC=DP+PG.

因為DP+PG>DG,所以當點D,G,P共線時，PD+?C的值最小，最小值為DG.

在RtACDF中,/DCF=6(T,CD=4,則DF=CD-sin60°=2聒CF=2.

在RtAGDF中,DG=J(2A/3)2+52=V37.

因為PD-^PC=PD-PG<DG,所以當點P在DG的延長線上時，PD—的值最大，最大值為DG=

V37.

2.(1)V10

如圖J10.74所示，取點M(1,O),連接OE,EM.

因為等=穿=QMOE=NEOA,所以△OMES/\OEA,則等

CzCtCz^iNC

AE+BEME+B￡>BM.

當B,E,M三點共線時，稱4E+BE取得最小值為V10.

⑵海.

取點M(0，》SgOE,EM.

因為*=器=J/MOE=NEOB,所以△OMEs^OEB,則警

L/CUDDE￡J

7

+-BE=AE+ME>AM.

3

當A,E,M三點共線時，AE+1BE取得最小值為|V10.

3易得點A(-6,0),B(0,y)

⑴存在，點P的坐標為(0,3).

如圖J10.75所示，因為/*"PON=NNOB,所以△OPNs.NB廁黑=黑=灑定值，得證.

（2）1275.

已知4M4+3NB=4（NA+]NB）,由（1）得需=|恒成立,貝！INA+：NB=NA+NP>AP.

當A,N,P三點共線時，NA+浦B取得最小值,（NA+：NB）=AP=3病故4NA+3NB的最小值為12遍.

414Jmin

4.2小.

如圖J10.76所示延長OA至點M,使得0M=2。4連接OP,MP.

因為OP=OM=2,“DM=NEOP,所以AMOPAPOE廁—=—=",BPMP=2PE,故2PE+PD=PM+PD

0E0P1PEOP1

>DM.

當D,P,M三點共線時,2PE+PD取得最小值.（2PE+PD）min=DM=2?

由題意得點A(-l,0),B(3,0).

設點則AM2=22+m2,CM2=l2+(3-加產(chǎn),因此4+m2=1+(3-爪產(chǎn)解得m=l,故點半

徑r=AM=逐.

如圖J10.77所示，取點Q(—|，—D，連接PQ,MO,OQ.

易證M,O,Q三點共線，MQ=|V2.

因為舞=翳=手，"MP=NPM。,所以△MQPs^MPO,則僚=舞=手，即PQ=手。P,故CP+手

OP=CP+PQ>CQ.

當C,P,Q三點共線時，CP+孚0P取得最小值，即(CP+手0P)=CQ=|VIU.

乙\N/min/

由題意得點A(0,V55),B(-3,0),C(3,0),則AB=AC=8.

如圖J10.78所示，過點C