北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期

初二年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷

試卷說明：

1.本試卷考試時(shí)間為100分鐘，總分?jǐn)?shù)為110分.

2.本試卷共8頁，四道大題，28道小題.

3.請(qǐng)將答案都寫在答題紙上.

4.一律不得使用涂改液及涂改帶，本試卷主觀試題鉛筆答題無效.

5.注意保持卷面整潔，書寫工整.

A卷

一、選擇題（本大題共8道小題，每小題2分，共16分）

1.下列四屆奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線

叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：B,C,D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；

A選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱

圖形；

故選：A.

2.下列計(jì)算，錯(cuò)誤的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查同底數(shù)幕的乘除法、幕的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)同底

數(shù)塞的乘除法法則、幕的乘方與積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：A、（2"）=8",故該項(xiàng)正確，不符合題意；

B、a3a:=as,故該項(xiàng)正確，不符合題意；

c、故該項(xiàng)正確，不符合題意；

/_3\2_（5

D、一"'一，故該項(xiàng)不正確，符合題意；

故選：D.

3.如圖，2ABC0N2DA,乙804=50。，,3=90。，則NC4D的度數(shù)等于（）

A.40°B.45。C.50°D,60°

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，由三角形全等可知乙4CE=/CAD,進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】解：：△450經(jīng)△CR4,

AACB=ACAD,

?.?乙8c4=50。，

NOW-50。，

故選：c.

4.若分式X+1的值為0,則無的值為

A.-1B.0C.2D.-1或2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得％-2=0,再解方程即可.

【詳解】解：由題意得：x-2=0,且無+1力0,

解得：x=2,

故選C.

5.等腰三角形的一個(gè)角為50。，則頂角的度數(shù)為（）

A.65?；?0。B.80°c,50°D.50。或80。

【答案】D

【解析】

【分析】分50°角是等腰三角形的頂角和底角兩種情況計(jì)算，熟練掌握等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】當(dāng)50°角是等腰三角形的頂角時(shí)，頂角的度數(shù)是50。；

當(dāng)50°角是等腰三角形的底角時(shí)，頂角的度數(shù)是130°-50°-50°=30°.

故選D.

6.下列因式分解正確的是()

2

人ab+ac+a=a(b+c]Da-2a-3=(a+3)(a-1)

222-22

Ca+2ab+b=(a+b)D16=(a+4)(a-4j

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查因式分解，熟記乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步驟和要求是解答的關(guān)

鍵.利用提公因式法或公式法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)中的式子進(jìn)行因式分解，進(jìn)而可作出判斷.

【詳解】解：A、a6+ac+a=a(b+c+l),原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、J-2a-3=(a7)(a+l),原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、aJ+2ab+b2=(a+b)\原計(jì)算正確，符合題意；

D-16s(aJ+4)(aa-4)■(a3+4)(a+2)(a-2)原計(jì)算錯(cuò)誤,不符合題意;

故選：c.

7.下列說法中正確的是()

A.如果兩個(gè)三角形全等，則它們一定關(guān)于某直線成軸對(duì)稱.

B.到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

C.等腰三角形任意角的平分線與該角所對(duì)邊的高線、中線互相重合.

D.到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定及角平分線的判定，

熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定及角平分線的判定依次進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】解：如果兩個(gè)三角形全等，則它們不一定關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，

故A選項(xiàng)不符合題意；

到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，

故B選項(xiàng)符合題意；

等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線和底邊上的高相互重合，

故C選項(xiàng)不符合題意；

在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，

故D選項(xiàng)不符合題意，

故選：B.

8.如圖是2?2的正方形網(wǎng)格，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的

A23C為格點(diǎn)三角形，則正方形網(wǎng)格中與44BC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）

備用圖

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，根

據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對(duì)稱軸，然后作出軸對(duì)稱三角形即可得解.

【詳解】解：如圖所示，

HM

—BCD,AEBC,hlAHN,AAAO與色45。成軸對(duì)稱

???共5個(gè).

故選：B.

二、填空題（本大題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.若分式-V-2有意義，則x的取值范圍是.

【答案】XH2

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件是分母不為。進(jìn)行求解即可.

1

【詳解】解：?.?分式X-2有意義，

.X*2,

故答案為：

10.計(jì)算-3/4x=.

【答案】T2/

【解析】

【分析】此題考查的是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解決此題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則.直接根據(jù)單

項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=-1卜’.

故答案為：

11.如圖，BE、交于點(diǎn)。，且BE=CD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得9AHeD,則可以添加的條

【答案】Z5=ZC（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法.添加條件：

N5=NC,再由已知條件AE=CD和公共角/力可利用AAS定理證明^ABE^^ACD.

【詳解】解：添加條件：/-B-Z.C,

在dABE和i力UD中，

’4=4

<Z5=ZC

BE=CD

L9

^ABE^ACD（KkS）

ff

故答案為：NB=/C（答案不唯一）.

12.如圖，一個(gè)直角三角板的一條直角邊經(jīng)過/HOB的頂點(diǎn)。，一把直尺經(jīng)過三角板的直角頂點(diǎn)E并且

與這條直角邊垂直，直尺與/幺08的兩邊分別交于0、D,當(dāng)CE=0E時(shí)，/4。月與/月。8的數(shù)

ZAOE=-AAOB

【答案】？

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.根

據(jù)SAS可以證明LOEC9一OED,從而得結(jié)論.

【詳解】解：由題意得OR_LCD,

ZO5C=ZO￡D=90°

在△OEC和xCED中，

'CE=DE

<40EC=40ED

OE=OE

..AOSCA。即(SAS),

ZAOE=ABOE,

ZAOE--ZAOB

2,

ZAOE=-Z.AOB

故答案為：2

13.關(guān)于x的多項(xiàng)式(、+l一對(duì)展開合并后一次項(xiàng)系數(shù)為一1,則刀的值為.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解展開合并后一次項(xiàng)系數(shù)為-1.根據(jù)多

項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開后，根據(jù)工項(xiàng)的系數(shù)等于-1可得出”的值.

【詳解】解：(x+l)(3x-")=3xJ/ix+3x-"=3x、(3-")xf

???一次項(xiàng)系數(shù)為-1,

3-〃=-1

.,.7/=4,

故答案為：4.

14.如圖，射線。G為/'0B的平分線，點(diǎn)尸為射線。G上一點(diǎn)，于點(diǎn)M,PN上。B于點(diǎn)、

N,且/W=3,點(diǎn)C為。4上一點(diǎn)，S-9,則。。=.

【解析】

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)

鍵.

首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到PM=PN=3,然后利用=9代數(shù)求解即可.

【詳解】解：?謝線°G為乙4。3的平分線，PMLOA,PN10B,且4=3,

：.PM=PN=3；

：&oc?=9,

-0CioCx3=9

.-.2，即2,

.-.0C=6.

故答案為：6.

15.如圖，線段為匚力夕。的中線，且RD15C,BC=4,若N4+NC=45°,則BD=

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定.解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三

角形.延長(zhǎng)BZ）至點(diǎn)片，使得DE=BD,連接CE,證明二4D5W28E,可得458=乙4,再

證得NBCE-45?，最后根據(jù)等腰三角形判定求解可.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)后，使得=連接CE,

在AADH和ACDE中，

'AD=CD

<NADB=ZCDE

BD=DE

:.^ADB^CDE(SK^

ZECD~ZA,

?.Z+4CD=45。，

..AECD+4CD=45。,

ZBCE-45,,

-BDVBC,

ZBCE=NBEC=45。,

BE=BC=4,

：,BD=-BE=2

故答案為：2

16.如圖，在等邊aZBC中，點(diǎn)P、2在邊3C上，并且滿足B尸=℃,連接加、HQ,點(diǎn)N'為4C

上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸"、QN.

⑴當(dāng)PM+NQ最短時(shí)，測(cè)量CM=cm；(精確到01cm)

(2)若/出=4,則在點(diǎn)尸從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，PN+QN最短時(shí),CN=.

【答案】①.05②.1

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角，兩點(diǎn)之間線段最短問題.

(1)作點(diǎn)。關(guān)于直線力。的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接尸Q',交4c于點(diǎn)N,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知,

此時(shí)PA'+NQ最短，測(cè)量出CN即可；

(2)連接幺0'，CQ'，根據(jù)題意證明"?絳NCQ(SAS),結(jié)合點(diǎn)。關(guān)于直線力。的對(duì)稱點(diǎn)Q',證

明"QS"0C(SSS),mAP=AQ=AQ',ABAP=ACAQ=ACAQ',進(jìn)而證明一網(wǎng)'是

等邊三角形，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，要使PN+QN最短,則p、N、Q'三點(diǎn)共線，此時(shí)

PN+NQ=PQ',又因?yàn)榧?尸0,即分最小，過點(diǎn)a作⑷于點(diǎn)p,止匕時(shí)心最小，由

Q"=QW,二"。'是等邊三角形，得WPQ',再結(jié)合/NPC=30°,AB=4,即可求出答

案.

【詳解】解：(1)作點(diǎn)。關(guān)于直線10的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接尸Q',交AC于點(diǎn)N,此時(shí)PN+NO最短,

則測(cè)量CN=0.5cm；

(2)連接CQ',

A

BP=CQ,

^ABP^ACO(SAS)

:點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q',

AQ=AQ',CQ=CQ\

?：AC=AC,

”Qm“Qe(SSS)

AP^AQ=AQ'.￡BAP=NC4Q=NC40,

■：ABAC=60°,

ZP4Q'=60。，

是等邊三角形，

AP=PQ，,

■：PN+QN=PN+NQ'2PQ,

要使PN+QN最短，則尸、N、Q'三點(diǎn)共線，此時(shí)尸及+畋=做',

?：AP=PQ\

即⑷3最小，

過點(diǎn)A作4E_LBC于點(diǎn)尸，此時(shí)月P最小，

?.?△SBC為等邊三角形,

..BP=CP,

.：BP=CQ,

此時(shí)p、。重合，

,.?QN=2W,△4RQ，是等邊三角形,

ANLPQ'

..=90°-ZXCB=90°-60°=30°,

-：AB=4,

：,CP=-BC=-AB=2

——，

CN=-CP=1

1o,

,PN+ON最短時(shí)，CN=1,

故答案為：i.

三、解答題(本大題共10道小題，其中第17至21題每題8分，第22至23題每題6分,

第24題5分，第25題4分，第26題7分，共68分)

17.計(jì)算：

⑴4.T(.X-2)-(.X+1)

【答案】⑴4『-9戈-1

(2)支-4ab

【解析】

【分析】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再去括號(hào)，最后合并進(jìn)而得出答案；

(2)直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得出答案.

【小問1詳解】

解：原式=4?-8戈-戈-1,

=4.v2-9.x-1.

【小問2詳解】

解：原式=3c-4a6

18.計(jì)算：

ab1-Aca

(1)

【答案】(1)3

(2)。-3

【解析】

【分析】本題考查了分式的乘法運(yùn)算和分式的除法運(yùn)算，熟記分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)分式的乘除法則，先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分化簡(jiǎn)即可;

(2)先將分子分母因式分解，再約分化簡(jiǎn)即可.

【小問1詳解】

ab2-Aca

I,,

解：6c2b2c

_ab2-4cc

6c2b2a

=——

3；

【小問2詳解】

("3、，a2+aa

\aJa-3a+1

(a-37a(a+l)a

5

=aa-Ja+717

=a-3

19.把下列各式分解因式：

⑴2AV2-12.w+18x

⑵2叫；2

【答案】⑴2，(jT)

⑵(3a一切(a-b)

【解析】

【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.

(1)先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

(2)利用平方差公式因式分解即可.

【小問1詳解】

2xr3-12xy+18j

=6y+9)

【小問2詳解】

(

=(2a-b+ai(2a-b-a)

20.如圖，射線QM平分NBQ4.

(1)按要求尺規(guī)作圖：作線段用的垂直平分線交射線0”于點(diǎn)0,連接C8、CA.(保留作圖痕

跡)

(2)請(qǐng)把以下解題過程補(bǔ)充完整：

求證：NOBC+NQ4C=180°.

證明：在。4上截取00=。3,連接CD.

,.?。四平分/80月

..ABOM=ZAOM

'OB=OD

</BOM=ZAOM

在乙。8。與9DC中：［①--------

-OBC-ODC(②)

..CD-CB,Z.0BC=Z.ODC

?.?點(diǎn)C在線段的的垂直平分線上

..CB=CA(③)

CD=CA

..Z.CDA=Z.CAD(④)

???點(diǎn)。在射線以上

：.ZODC+ZCm=180°

NOBC+Na4c=180。

【答案】(1)見解析(2)OC=OC.SAS；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊對(duì)等角

【解析】

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟

練的作圖是解本題的關(guān)鍵.

(1)按題意作出圖形即可；

(2)根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定，逐步填寫推理過程與

推理依據(jù)即可.

【小問1詳解】

解：如圖；

【小問2詳解】

證明：在。4上截取00=03,連接CD.

...?！逼椒?比乂

Z.BOM=ZAOM

'OB=OD

<乙BOM=&OM

在△OBC與A0QC中：［OC=OC

:^OBC^ODC（SAS）

CD~CB,AOBC=^ODC

?.?點(diǎn)C在線段3的垂直平分線上

CB=CA（線段垂直平分線的性質(zhì)）

CD=CA

ACDA=ACAD（等邊對(duì)等角）

...點(diǎn)。在射線C4上

ZODC+ZCm=180°

NOBC+NORC=180。

故答案為：。。=。。；SAS；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊對(duì)等角

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，（-一,-1）,連接月B.

5

4

3

52

/1

2345

（1）畫線段44,使得線段4區(qū)與線段/關(guān)于r軸對(duì)稱，并寫出44的坐標(biāo):

A，,4，

(2)如果點(diǎn)C在】'軸上，且上期。是等腰三角形，試著寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)：.這

樣符合條件的點(diǎn)。共有個(gè).

【答案】(1)圖見解析，4(21)，用(1，2)；

⑵(0,0),4.

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形并寫出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

選取一點(diǎn)與線段八〃構(gòu)成等腰三角形分三種情況：以點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)為腰；以點(diǎn)3為等腰

三角形的頂點(diǎn)“,為腰；以八〃為等腰三角形的底邊時(shí)，則等腰三角形的頂點(diǎn)在線段48的垂直平分線上.

【小問1詳解】

解：如下圖所示，

分別作點(diǎn)A、B關(guān)于丁軸的對(duì)稱點(diǎn)4、Bi,

連接4為，線段與線段川，關(guān)于T軸對(duì)稱；

5

4

3

2

—

plV345

:已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(一二一1)、(一1二),

Y的坐標(biāo)是二一口，‘1的坐標(biāo)是(1,2)；

【小問2詳解】

解：當(dāng)以點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)48為腰時(shí)，

在】’軸上有2個(gè)點(diǎn)可以與線段48組成等腰三角形,

如下圖所示，

當(dāng)以點(diǎn)B為等腰三角形的頂點(diǎn)A8為腰時(shí)，

=AB

在丁軸上有兩個(gè)點(diǎn)使.CiB=ABt

可以看出點(diǎn)A、B、G在同一條直線上，不能構(gòu)成三角形,

在丁軸上有1個(gè)點(diǎn)可以與線段48組成等腰三角形，

如下圖所示，

當(dāng)以八必為等腰三角形的底邊時(shí)，則等腰三角形的頂點(diǎn)在線段“，的垂直平分線上,

如下圖所示，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)恰好是原點(diǎn).

綜上所述，在】'軸上有4個(gè)點(diǎn)可以與線段八〃構(gòu)成等腰三角形，其中一個(gè)滿足條件的點(diǎn)是.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換和等腰三角形門性質(zhì).關(guān)于丁軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互

為相反數(shù)；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

當(dāng)一時(shí),求戈~

22.化簡(jiǎn)求值:6x—1=03(2)?(X+3)(X-3)的值.

【答案】23

【解析】

【分析】此題考查了整式乘法的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

原式第一項(xiàng)利用完全平方公式展開，第二項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將已知等式

整體變形代入計(jì)算即可求值.

【詳解】解：???x’-6x-l=0

.-.X2-6x=1

...2.x3-12.T=2

3(x-2)-(x+3)(x-3)

=3(x2-4x+4)-(x2-9)

=3?-12x+12-.r3+9

=2x3-12x+21

=2+21

23.如圖，等腰A&C中，AB=AC,于。，過點(diǎn)Z)分別作交出于點(diǎn)E,

。斤人。交幺。于點(diǎn)尸.

求證：BE=CF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】此題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，等邊對(duì)等角，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

首先由三線合一性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到3。=8,NB=NC,然后證明出

△CDF(AAb)即可得到BE=C尸.

【詳解】解：???等腰aSBC中，AB=AC,ADJ.BC于D,

,-.BD=CD,ZS=NC

■.■DEIAB,DE1AB

；ZBED=ZCFD=90。

:.BE=CF.

24.如圖1,小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a和方，將四塊這樣的長(zhǎng)方形按如圖2所示位置擺放.

(1)圖2中的四邊形E尸G丹為正方形，其邊長(zhǎng)為.

(2)能用圖2中的圖形面積關(guān)系來驗(yàn)證的等式是：=.

(3)若*一丁=3,k=4,求X+.V的值.

【答案】⑴

⑵(a+b/-4ab

⑶x+y=+5

【解析】

【分析】此題考查了列代數(shù)式，完全平方公式和幾何圖形的應(yīng)用，利用完全平方公式的變形求值，解題的

關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

(1)由小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為。和.求解即可；

(2)分別用兩種方法表示出正方形E尸GH的面積即可求解；

(3)由(2)得(*■>=(*+?)-4中然后整體代數(shù)求解即可.

【小問1詳解】

解：???小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為。和6,

???圖2中的四邊形分弓目為正方形，其邊長(zhǎng)為(a—6)；

【小問2詳解】

解：正方形EFGH的面積為班-(”，)；

正方形EFGH的面積還可以表示為(a+b「-4ab；

.■(a+b「-4ab

,,,;

【小問3詳解】

解：由⑵得，(x-.M=(x+?-4.xy

???bx-V=3，”AT=4，

32=(j+y)2-4x4

.(x+y)'=25

?.?x+?T=±5.

25.已知：如圖，^MON=36°,射線OM、QH上分別有點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)尸在線段OB上，連接

月4,=a(0°<a(144°),若線段R4將士幺03分割為兩個(gè)等腰三角形，則稱線段尸幺為

△HOB的“a角等分線”.

ooo

(1)如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，畫出△月OB的“90角等分線”此時(shí)/。4尸=

(2)當(dāng)“。90°時(shí)，若存在線段尸/為乙幺。3的“儀角等分線”，則&=。.

【答案】(1)畫圖見解析；36；

(2)72或108

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定.

(I)作出線段0E的中點(diǎn)P,連接力P,線段為的“90角等分線”,再根據(jù)直角三角形性質(zhì)

及等腰三角形性質(zhì)求解即可；

(2)作出圖形并分兩種情況討論：作=。3交CW于點(diǎn)B,在線段上作點(diǎn)P,使得

OP=AP.作/。23=108°,OB交ON于點(diǎn)從在線段上作點(diǎn)P,使得。尸=",再求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖，作出線段03的中點(diǎn)p,連接力P,線段24為乙4。8的“90角等分線”，

OP=AP=PB,

線段產(chǎn)幺將-HO8分割為兩個(gè)等腰三角形，

線段尸4為△HOB的“90角等分線”，

Z0AP=2M0N=36。,

故答案為：36；

【小問2詳解】

解：如圖，作N。加=72°,0B交ON于點(diǎn)B,在線段上作點(diǎn)尸，使得。尸=",

o

p

M\N

■：AMON=36°,OP=AP,

..40AP=NM0N=36。,

?2045=72。，

ZP/5=720-36°=36°,

■：ZAPB=AM0N+A0AP=12°,

?.?ZABP=^O0-APAB-ZAPB=72°,

ZABP=￡APB,

：.AP=AB,

線段P4將dHOB分割為兩個(gè)等腰三角形，

a=72。；

如圖，作NQ45=108°,OB交ON于點(diǎn)、B,在線段上作點(diǎn)P,使得。尸=",

ZOAP=/MON=36。,

期=108。，

..ZP/5=108o-36o=72°,

■：ZAPB=AM0N+A0AP=12°,

APAB=ZAPB,

：.AB=PB,

.線段R4將-HOB分割為兩個(gè)等腰三角形，

a=108°;

故答案為：72或108

26.如圖1所示，在A&c中，AB=AC,Na4c=2a(45°<a<90°),E)為線段3c上一點(diǎn)，E

為CO中點(diǎn)，連接花.作乙=得到射線期，過點(diǎn)E作昉交射線41/于點(diǎn)尸.

(2)求證：Z5=ZAFE；

(3)如圖2,當(dāng)儀=60°時(shí)，連接即、DF,求證：△尸為等邊三角形.

【答案】(1)見詳解(2)見詳解

(3)見詳解

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)等;

(1)按要求補(bǔ)全圖形，即可求解；

Z5=-(180°-2a)

(2)由角的和差得乙“*=90°-/即，由等腰三角形的性質(zhì)得2,即可求證;

(3)延長(zhǎng)延至H使28=即，連接DH,FH,證明4忿0,”7助(845)得出h0?0耳，

ACAE=￡EHD,進(jìn)而證明NO砂=2氏4斤，證明△力8尸/AHDR(SAS),推出尸3=尸。,

ZAFB=AHFD,即可得出NBFZ)=/4陽=60°,則為等邊三角形.

【小問1詳解】

解：如圖,

證明：...庭_LHE,

..ZX￡F=90°,

ZAFE=9Q°-^EAF

=9Q°-a,

-,?AB-AC,ABAC=2a,

Z5=1(180°-2a)

=90°-a,

,AB=AAFE.

【小問3詳解】

證明：延長(zhǎng)延至H使幺E=EH,連接DH,FH,

...AE=EH,ZAEC=AHED,DE=EC

.."EC'HEQ(SAS)

：.AC-DH,ZCAE=ZEHD

又：AB=AC

:.AB=DH

va=60°,則/a4。=120。，ZFAE=60°

：.ABAF=6Q°-AEAC

■：EF1AH,AE=EH

.：AF=FH,

"FAH=ZFHA=60。

:.ADHF=AAHF-￡EHD=60°-AEAC=ABAC-￡FAE-AEAC=ZBAF

.AABF知HDFttAS、

:.FB=FD,ZAFB=AHFD

:ZBFD=AAFH=60°

AFBD為等邊三角形.

B卷

四、填空題(本大題共兩道小題，其中27題4分，28題6分，共10分)

27.如圖，點(diǎn)B在線段4c上，點(diǎn)E在線段3。上，ZABD=ADBC,AB=DB,EB=CB,M,

N分別是線段抽、°。的中點(diǎn).以下結(jié)論正確的是：.

①絲=CD；@AELCD.③四平分/MC；④BMtBN且BM=BN

【答案】①②④

【解析】

【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

首先證明出"&9血0(*),得到煙=CD,即可判斷①；延長(zhǎng)花交CD于點(diǎn)R得到

二EAB='BDC,然后結(jié)合三角形內(nèi)角和得到一=即可判斷②；根據(jù)題意無法證

明？Iff平分/A4C,即可判斷③；證明出△ABM/ADBN'IASA),得到乙18M=進(jìn)而可判

斷④.

【詳解】解：在AHBE和LOBC中，

'AB=DB

<NABD=ZDBC

EB=CB

,A48E%Z)2C(SAS),

.-.AE=CD,故①正確；

如圖所示，延長(zhǎng)至交°。于點(diǎn)F

...NA5Z)=NQ3C,點(diǎn)B在線段用上，

:.ZABD=ADBC=9Q°

?.?△ABE一DBC

...AEAB=ABDC

?：zLAEB=ZDEF

：ZABD=NDFE=90。

：.AELCD,故②正確；

根據(jù)題意無法證明HE平分/"C,故③錯(cuò)誤；

;AABE^ADBC,M,N■分別是線段越、CD的中點(diǎn)

又...4LAB=4NDB,AB=BD

,AABM，DBN(ASA)

...ZABM=ADBN

.-.ZABM+ADBM=ZD3M+tDBM

.?.UBD=」1BN=90。

...BM1BN,故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是：①②④.

故答案為：①②④.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)*s力).

對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：先將點(diǎn)P向右(°二°)或向左(°<°)平移同個(gè)單位長(zhǎng)度，再關(guān)于直線】'=6對(duì)

稱，得到點(diǎn)P',則稱點(diǎn)尸'為點(diǎn)尸的“R關(guān)聯(lián)點(diǎn)”

(1)如圖1,點(diǎn)P坐標(biāo)為(31

①當(dāng)點(diǎn)R坐標(biāo)為時(shí)，則點(diǎn)尸的“R關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P的坐標(biāo)為：；

②若點(diǎn)2'4，-3i為點(diǎn)戶的“正關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則R的坐標(biāo)為.

(2)如圖2,點(diǎn)川一2,0)、0(0,1),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于J’軸對(duì)稱.點(diǎn)正在一心。邊上，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(5,0)

①畫出點(diǎn)產(chǎn)所有的“R關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；

②這些關(guān)聯(lián)點(diǎn)組成的圖形形狀是：.

(3)如圖3,點(diǎn)現(xiàn)一，")、尸(f，f)、G5，f)、H(n,n)〃>o,點(diǎn)R在正方形EFGH邊上，

點(diǎn)M(6,4)"(7,5),若線段池上存在點(diǎn)尸(3萬叫的，，正關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出方的取值范圍.

【答案】(1)①(?§；②。,-D

(2)①圖見解析；②等腰三角形

57

2s力4—

(3)2或2

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)變換，解題關(guān)鍵是得到“五關(guān)聯(lián)點(diǎn)”變化規(guī)律.

(1)根據(jù)“正關(guān)聯(lián)點(diǎn)”定義可得點(diǎn)P*，丁)的“區(qū)(0力)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為產(chǎn)'㈠+a,?-丁)，據(jù)此計(jì)算

即可；

(2)①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義計(jì)算出當(dāng)R在三角形的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸的“五關(guān)聯(lián)點(diǎn)”坐標(biāo)，即可畫

圖；②由圖可知關(guān)聯(lián)點(diǎn)組成的圖形形狀是三角形.

(3)分點(diǎn)R在正方形的四條邊上上時(shí)，坐標(biāo)不同，根據(jù)尸|的，，R關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在線段上方程和不

等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)P坐標(biāo)為（1，T）,設(shè)P的坐標(biāo)為產(chǎn)先將點(diǎn)尸向右（。之°1或向左平移忖個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+a，J'）,

再關(guān)于直線丁=B對(duì)稱，得到點(diǎn)P',

<y+y'x=x+a