2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《勾股定理》專項(xiàng)測(cè)試卷（帶答案）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、勾股定理的定義

1.內(nèi)容：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

-數(shù)學(xué)表達(dá)式：（a?+Y=/）

（其中a、b為直角邊，c為斜邊）

2.適用條件：

-僅適用于直角三角形，非直角三角形不適用。

-斜邊（直角對(duì)邊）必須正確識(shí)別。

二、勾股定理的證明方法（初中常見(jiàn)）

1.幾何拼圖法（趙爽弦圖）：

-通過(guò)四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)正方形，利用面積關(guān)系證明。

2.面積法：

-構(gòu)造以直角邊和斜邊為邊的正方形，比較總面積得出（1+b?=（?）

3.相似三角形法：

-利用直角三角形斜邊上的高分割出的相似三角形性質(zhì)推導(dǎo)。

三、勾股定理的常見(jiàn)應(yīng)用

1.求邊長(zhǎng)：

-已知任意兩邊，求第三邊（注意區(qū)分直角邊和斜邊）。

-例：直角邊a=3、b=4,則斜邊c=5

'3+4=o

2.判斷三角形形狀：

-若a?+b?,則為銳角三角形；

-若a2+b2<c2,則為鈍角三角形。

3.實(shí)際應(yīng)用題：

-測(cè)量問(wèn)題（如梯子靠墻高度、兩點(diǎn)間最短距離）。

-幾何圖形中的線段計(jì)算（如矩形對(duì)角線、圓錐的高）。

四、勾股定理的逆定理

1.內(nèi)容：

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-若三角形三邊滿足a2+b2=c2,則該三角形為直角三角形c為斜邊。

2.應(yīng)用：

-驗(yàn)證三角形是否為直角三角形(如邊長(zhǎng)6、8、10滿足62+82=102,是直角三角形)。

五、常見(jiàn)勾股數(shù)(畢達(dá)哥拉斯三元組)

1.定義：滿足a2+b2=c，的正整數(shù)組合。

2.例子：

-基本組：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)?

-倍數(shù)擴(kuò)展組：(6,8,10)、(9,12,15)等。

六、注意事項(xiàng)

1.分清斜邊：最長(zhǎng)邊不一定是斜邊，需確認(rèn)直角位置。

2.單位統(tǒng)一：計(jì)算前確保所有邊長(zhǎng)單位一致。

3.代數(shù)變形：

-若求直角邊：a=Vc2-b2

4.無(wú)解情況：若灌＜0,說(shuō)明題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或非直角三角形。

提升練習(xí)：

一、選擇題

1.下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是()

A.234B.345C.112D.467

2.如圖DE是AABC的邊4B的垂直平分線D為垂足DE交AC于點(diǎn)E且AB=8BC=6ZABC=

90°則ABEC的周長(zhǎng)是()

A.13.5B.16C.10D.9.6

3.在RtAABCZBAC=90°,AB=8,AC=6DE是48邊的垂直平分線垂足為D交邊BC于點(diǎn)E

連接力E則AACE的周長(zhǎng)是（）

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A

A.8B.10C.14D.16

4.如圖在△ABC中4cB=90°以“為底邊在△ABC外作等腰三角形“7?過(guò)點(diǎn)。作上4DC的平分

線分別交ARZC于點(diǎn)當(dāng)工若4C=12,BC=5,尸是直線龐上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)則^周長(zhǎng)的最小值為

C.19D.20

5.如圖所示在中/48C的平分線交AC于點(diǎn)DE為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)F為邊上一動(dòng)點(diǎn)若

AB=5BD=4AD=DC=3貝J/E+EF的最小值為（）

A.4B.—24C.5D.2—3

54

6.如圖是屋頂?shù)钠拭鎴D屋檐48=AC=5米橫梁BC=8米在橫梁BC上的一點(diǎn)。處要支一根木頭

頂住屋頂/處則這根木頭需要長(zhǎng)度可能是（）

7.如圖在△ABC中4=45。NB=30。CDLAB垂足為DCD=3則48的長(zhǎng)為（）

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c

A.V3+1B.3V3+3C.6D.6百

8.如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片面積

分別是12345選取其中三塊按圖中的方式組成圖案則選取的三塊紙片的不可熊的是（）

A.123B.134C.235D.345

9.如圖在AABC和△力BD中AB=AC=ADAC1.ADAE1BC于點(diǎn)EAE的反向延長(zhǎng)線與BD交于

點(diǎn)F連接CD則線段BFDFCD三者之間的關(guān)系為（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CDC.BF2+DF2=CD2D.2BF-2DF=CD

10.如圖八年級(jí)一班的同學(xué)準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度他們把一根竹竿4B豎直插到水底此時(shí)竹竿

AB離岸邊點(diǎn)C處的距離CD=0.8米.竹竿高出水面的部分力。長(zhǎng)0.2米如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點(diǎn)C

處竿頂和岸邊的水面剛好相齊則人工湖的深度BD為（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

二填空題

11.如圖長(zhǎng)方體的高為8cm底面是邊長(zhǎng)為4cm的正方形一只螞蟻從頂點(diǎn)力開(kāi)始爬向頂點(diǎn)B那么

它爬行的最短路程為cm.

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12.如圖等邊4DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊4ABe的三條邊上BD=a,DC=b若4DEF與

AABC的面積分別為5V3和11V3則ab的值為

4D是/B4C的平分線交BC于點(diǎn)D若AC=6,BC=8則

SAAB。：SA4co為.

14.如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)4(-3,0)點(diǎn)B(0,4)點(diǎn)C是。B上一點(diǎn)將4ABC沿2c折疊點(diǎn)B恰好

落在x軸上的點(diǎn)B,處則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

4cB=120°點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)連接4。BDCDZADC=

30°CD=6AD=5V3求BD=

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D

16.如圖在AABC中4=90°分別以點(diǎn)A點(diǎn)B為圓心大于148的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于兩點(diǎn)過(guò)

這兩點(diǎn)的直線交BC于點(diǎn)D連接AD.若力B=5cmAC=3cm則4ACD的周長(zhǎng)為cm.

17.如圖四邊形紙片力BCDAB1BC.經(jīng)測(cè)得力B=9cmBC=12cmCD=8cmAD=17cm.

(1)求AC兩點(diǎn)之間的距離.

(2)求這張紙片的面積.

18.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過(guò)程的安全性工人師傅欲減小傳送帶與地面的

夾角使其由45。為30°.已知原傳送帶長(zhǎng)為4魚(yú)機(jī).

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(1)求新傳送帶ac的長(zhǎng)度

(2)若需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2m的通道試判斷和點(diǎn)B相距5m(即PB=5)的貨物MNQP是否

需要挪走并說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：V2~1.4V3?1.7)

19.如圖在中4=90°AB=12BC=20.

(1)求AC的長(zhǎng)

(2)若點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)連接BP且BP=CP求4P的長(zhǎng).

20.如圖數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端4的繩子垂到地面多出一段的長(zhǎng)

度為3米小明同學(xué)將繩子拉直繩子末端落在點(diǎn)C處到旗桿底部8的距離為9米.

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（1）求旗桿4B的高度

（2）小明在C處用手拉住繩子的末端后退至觀賽臺(tái)的臺(tái)階上此時(shí)繩子剛好拉直繩子末端落在點(diǎn)E

處DE=2米問(wèn)小明需要后退幾米（即CD的長(zhǎng)）？（㈢=2.24結(jié)果保留一位小數(shù)）

21.圖1是某品牌嬰兒車圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC1CD現(xiàn)測(cè)得4B=CD=

6dmBC=3dmAD=9dm其中4B與BD之間由一個(gè)固定為90°的零件連接（即/48。=90。）通過(guò)

計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn).

A

圖1圖2

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22.在春天來(lái)臨之際八（1）班和八（2）班的同學(xué)計(jì)劃在學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地種植蔬菜如圖點(diǎn)C是自

來(lái)水管的位置點(diǎn)/和點(diǎn)3分別表示八（1）班和八（2）班實(shí)踐基地的位置AC兩處相距6米8、C兩

處相距8米4、8兩處相距10米為了更好的使用自來(lái)水灌溉八（1）班和八（2）班在圖紙上設(shè)計(jì)了

兩種水管鋪設(shè)方案：

八（1）班方案：沿線段AC、鋪設(shè)2段水管

A（2）班方案：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。沿線段CD,4）,8。鋪設(shè)3段水管

（1）求證：AC1BC

（2）從節(jié)約水管的角度考慮你會(huì)選擇哪個(gè)班的鋪設(shè)方案？為什么？

答案

1.B

2.B

3.D

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.C

10.A

11.8V2

12.8

13.5:3

14.（0,|）

15.V93

16.7

17.（1）解：連接力C如圖所示

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A

D

BC

在Rt△ABC中

"."AB=9cmBC=12cm

由勾股定理得92+122=AC2

解得2C=15(負(fù)值舍去)

即AC兩點(diǎn)之間的距離為15cm。

(2)解：VCD=8cmAC=15cmAD=17cm

CD2=64cm2,AC2=225cm2/AD2=289cm2

：.CD2+AC2=AD2

；?ZACD=90°

,S四邊形4BCD=SAABC+SfCD

11

=-AB■BC+-AC-CD

22

11

=-x9xl2+-xl5x8

=54+60

=114(cm2).

即該紙片的面積為114cm2.

18.(1)解：在RtZkABD中ZABD=45°

.\AD=BD

2

/.2AD=45=(4必2

解得：AD=4

在RtZ\ACD中ZACD=30°

.\AC=2AD=8(米)

即新傳送帶AC的長(zhǎng)度約為8米.

(2)解：貨物MNQP不需要挪走.

理由：在RtZkABD中BD=AD=4(米)

在RtAACD中CD-y/AC2-AD2=4值(m)

/.CB=CD-BD=4V3-4?2.8(m)

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VPC=PB-CB?5-2.8=2,2>2

貨物MNQP不需要挪走.

19.(1)解：在RtAABC中AB=12BC=20

???AB2+AC2=BC2

：.AC=\lBC2-AB2=V202-122=16

(2)解：設(shè)4P=x貝l|BP=CP=16—x.

在Rt△ABP中

AB2+AP2=BP2

122+x2=(16—x)2

解得x=3.5

AP=3.5.

20.(1)解：設(shè)旗桿AB的高度為x米則AC為(x+3)米

在RtZiMBC中由勾股定理得：/+92=(x+3)2

解得：X=12

答：旗桿4B的高度為12米

(2)解：如圖過(guò)E作EG14B于點(diǎn)G

則四邊形BDEG是矩形

BG=DE=2米EG=BD,

：.AG=AB-BG=12-2=10(米).

由(1)可知4E=4C=12+3=15(米).

在RtAAGE中由勾股定理得：EG=y/