2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之代數(shù)式（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，圖1的瓶子中盛滿了水，如果將這個(gè)瓶子中的水全部倒入圖2這樣

的杯子中，那么一共需要（）個(gè)這樣的杯子.

2.（2025春?北倍區(qū)校級(jí)月考）已知多項(xiàng)式尤1-X2-X3-切，滿足尤1>X2>X3>3>尤n>0,"22且"

為正整數(shù)，將其中的根（0〈根W/1-1）個(gè)“-"改為“+”后得到一個(gè)新多項(xiàng)式.下列說法中正確的個(gè)

數(shù)是（）

①當(dāng)爪=今5為偶數(shù)）時(shí)，新多項(xiàng)式的值可能為0；

②當(dāng)機(jī)=1時(shí)，若XI,…，X”均為正整數(shù)且X1=〃，得到的新多項(xiàng)式的值恒為非負(fù)數(shù)，則2WwW4；

③當(dāng)w=6,m=2時(shí)，對(duì)新多項(xiàng)式取絕對(duì)值后化簡(jiǎn)的結(jié)果共有15種.

A.0B.1C.2D.3

3.（2025春?大足區(qū)月考）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案中有5個(gè)四邊形，第2個(gè)圖案中有9

個(gè)四邊形，第3個(gè)圖案中有13個(gè)四邊形，…，按此規(guī)律，第7個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為（）

4.（2025?阿城區(qū)一模）烷垃是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的

分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中黑球代表碳原子，藍(lán)球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，…按照這一規(guī)律，第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子

的個(gè)數(shù)是（）

內(nèi)容

①②③④

A.16B.18C.20D.22

5.（2024秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）用木棒按如圖所示的規(guī)律擺放圖形，第1個(gè)圖形需要6根木棒，第2個(gè)圖

形需要11根木棒，第3個(gè)圖形需要16根木棒，…，按這種方式擺放下去，用含〃的代數(shù)式表示第〃個(gè)

圖形需要木棒的根數(shù)為（）

III

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

A.6nB.5〃+1C.5n-1D.4n+2

6.（2025春?重慶月考）2021年是農(nóng)歷我國(guó)“?！蹦?，為祝福我們偉大祖國(guó)更加繁榮昌盛，同時(shí)勉勵(lì)新一

屆初三人在2021年更加“牛氣沖天”，某同學(xué)制作了如圖“牛氣圖”，請(qǐng)根據(jù)如圖規(guī)律，計(jì)算第15個(gè)圖

案中一共有多少個(gè)“牛”字？（）

牛牛牛牛牛

①牛②牛牛③牛牛牛④牛牛牛牛

A.119B.120C.121D.5050

7.（2025春?東西湖區(qū)月考）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)重要的成就之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所

著的《詳解九章算法》中.如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩

上”的兩個(gè)數(shù)字之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.若在“楊輝三角”中從第2行左邊的1

開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：41=1,01=2,43=3,44=3,4/5=6,〃6=

4,47=10,48=5…，則〃99-4100的值是（）

1

11

1—?21

13f31

146^41

151010f51

A.1222B.1223C.1224D.1225

8.（2025春?淹橋區(qū)校級(jí)月考）楊輝三角是數(shù)字呈三角形形狀的排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著

的《詳解九章算法》指出這個(gè)三角形排列出自于北宋時(shí)期賈憲（11世紀(jì)）的《釋鎖》.在歐洲I,帕斯卡

于1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比賈憲的發(fā)現(xiàn)要遲約500年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭

2,3,3,6,4,10,5,則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是（)

A.153B.171C.190D.210

9.（2025春?江津區(qū)校級(jí)月考）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第

②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下

去，則第⑩個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（)

??????????

??????????????????????

???????

???

①②③④

A.37B.41C.45D.49

10.（2025?祥云縣模擬）有一組單項(xiàng)式依次為a,-42a2,V3a3,-2a4,V5a5,…，根據(jù)它們的規(guī)律，

第100個(gè)單項(xiàng)式為（）

A.-lOOfl100B.lOOa100C.-10a100D.lOa100

二.填空題（共5小題）

11.（2025?洛南縣一模）如圖是由大小相同的正六邊形組成的“蜂窩圖”，按此規(guī)律排列下去，則第9個(gè)

第3個(gè)

12.（2025春?鄭州月考）“楊輝三角”，又稱“賈憲三角”，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在

我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，觀察

下列各式及其展開式：

1

11(a+b)'=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

1464(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4afa3+b4

請(qǐng)你猜想（a+b）9展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是.

13.（2025?潼南區(qū)模擬）一個(gè)四位正整數(shù)其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，如果個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字

與千位數(shù)字之和，則稱這個(gè)四位數(shù)M為“壓軸數(shù)”.將“壓軸數(shù)”〃的千位數(shù)字去掉得到一個(gè)三位數(shù),

再將這個(gè)三位數(shù)與原“壓軸數(shù)”M的千位數(shù)字的3倍求和，記作F（M）.則最大的壓軸數(shù)與最小的壓

軸數(shù)之差為.有兩個(gè)四位正整數(shù)尸=1000a+200b+10c+d,K=1010a+200+x（iWa、c、d、

xW9,1W6W4）均為“壓軸數(shù)”，若F（P）+F（K）能被7整除且F（K）能被13整除，則滿足條件

的P值的和為.

14.（2025?市中區(qū)一模）如圖，春節(jié)期間，廣場(chǎng)上空用紅色無人機(jī)（O）和黃色無人機(jī)（A）組成如下圖

案:

OAO

△△

OAO

△△

△O△

△△△△

△△

△△△△

第1個(gè)圖案第3個(gè)圖案

結(jié)合上面圖案中“O”和“△”的排列方式及規(guī)律，當(dāng)正整數(shù)〃=時(shí)，使得紅色無人機(jī)（O）

比黃色無人機(jī)（△）的個(gè)數(shù)多28臺(tái).

15.（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）某快遞員負(fù)責(zé)為A,B,C,D,E五個(gè)小區(qū)取送快遞，每送一個(gè)快遞收益1

元，每取一個(gè)快遞收益2元，某天5個(gè)小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表

小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快遞員一個(gè)上午最多前往3個(gè)小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一

種滿足條件的方案（寫出小區(qū)編號(hào)）；

（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達(dá)到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案（寫出

小區(qū)編號(hào)）.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?廬江縣模擬）綜合與實(shí)踐：

【發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組在討論對(duì)于一個(gè)個(gè)位數(shù)和9相乘的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以用10個(gè)手指直觀地展示出

來，如計(jì)算3X9,將兩手平伸，手心向上，從左邊開始數(shù)至第3個(gè)手指，將它彎起，此時(shí)它的左邊有2

個(gè)手指，右邊有7個(gè)手指，27正是3X9的結(jié)果.

【應(yīng)用】

（1）填空：若計(jì)算5X9,從左邊開始數(shù)至第個(gè)手指，將它彎起，此時(shí)它的左邊手指?jìng)€(gè)數(shù)

為,右邊手指?jìng)€(gè)數(shù)為,結(jié)果為;

【探究】

（2）從左邊開始數(shù)至第n個(gè)手指，將它彎起，此時(shí)它的左邊手指?jìng)€(gè)數(shù)為,右邊手指?jìng)€(gè)數(shù)

為,用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明上面的發(fā)現(xiàn).

3X9=27

17.（2025春?合肥月考）觀察以下等式:

第1個(gè)等式：l=l2-02=2X0+l；

第2個(gè)等式：3=22-12=2X1+1；

第3個(gè)等式：5=32-22=2X2+1；

第4個(gè)等式：7=42-32=2X3+l；

(1)請(qǐng)寫出第6個(gè)等式：.

(2)通過上面等式發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)正奇數(shù)，都可以寫成相鄰兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的平方差.如果仿與VF是兩

個(gè)相鄰的整數(shù)，其中a>6,設(shè)V^=m+1,yj~b=m,試說明：a-b=2y/b+1.

(3)如果V?與VT口是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，求f的值.

18.(2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)如圖，一幅長(zhǎng)為由九，寬為勿《的長(zhǎng)方形風(fēng)景畫，畫面的四周留有空白區(qū)

域作裝飾，其中四角均是邊長(zhǎng)為X7”的正方形，正中間畫面的面積是多少平方米？

19.(2025春?高新區(qū)校級(jí)月考)觀察下列各式:

(1)(尤-1)(尤+1)=；

(x-1)(f+x+l)=；

(X-1)(x3+x2+x+l)=;

(2)猜想：(X-1)(/7+/-2+d-3一/3+/+彳+1)=(〃為正整數(shù))；

(3)應(yīng)用:-5n+510-59+--53+52-5.

20.(2025?晉州市模擬)有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為a(a>b)的大正方形.將小正方形按

圖1的方式放入大正方形中，設(shè)圖中陰影部分的面積為Si；再將小正方形按圖2的方式放入大正方形

中，取A8的中點(diǎn)設(shè)圖中三角形(陰影部分)的面積為S2.

(1)Si=(用含a,b的式子表示)；

(2)求S2的大小(結(jié)果用含a,b的式子表示)；

(3)若SI=HS2,請(qǐng)你直接寫出左的值，不用說明理由.

圖1圖2

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之代數(shù)式（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案ADCCBBCCBC

一.選擇題（共10小題）

1.（2025春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，圖1的瓶子中盛滿了水，如果將這個(gè)瓶子中的水全部倒入圖2這樣

的杯子中，那么一共需要（）個(gè)這樣的杯子.

2

圖2

11

A.-h+2HB.-h+HC.h+2HD.h+H

22

【考點(diǎn)】列代數(shù)式；整式的除法.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】圓柱的體積公式=n/?爪首先算出圖（1）中瓶子的體積，然后再算出圖（2）中杯子的體積，

即可得出結(jié)論.

3

【解答】解：圖（1）圖（1）瓶子的體積為：兀（獷/1+兀小”=,7m2%+7m2“=@八+”）7m2（cm）.

3

圖（2）杯子的體積為兀@。）2X8=（cm）.

111

???一共需要杯子為Qh+H）7ia24-Tia2=（2H+個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式除法的應(yīng)用，列代數(shù)式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握?qǐng)A柱的體積公式.

2.（2025春?北培區(qū)校級(jí)月考）已知多項(xiàng)式-X2-X3-…-％九，滿足％1>X2>X3>—>初>0,且〃

為正整數(shù)，將其中的根（0<m^n-1）個(gè)“-"改為“+”后得到一個(gè)新多項(xiàng)式.下列說法中正確的個(gè)

數(shù)是()

①當(dāng)山=今("為偶數(shù))時(shí)，新多項(xiàng)式的值可能為0；

②當(dāng)機(jī)=1時(shí)，若XI,…，物均為正整數(shù)且XI=加得到的新多項(xiàng)式的值恒為非負(fù)數(shù)，則2W/W4；

③當(dāng)”=6,機(jī)=2時(shí)，對(duì)新多項(xiàng)式取絕對(duì)值后化簡(jiǎn)的結(jié)果共有15種.

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；不等式的性質(zhì).

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】①中，正確舉例即可得；

②中，卞艮據(jù)XI,…，物均為正整數(shù)且Xl=n,Xl>X2>X3>">Xn>0,得出XI-X2-X3--Xn=n--1)

-(n-2)-----2-1,設(shè)-%2-工3-…-初=〃-(〃-1)-(〃-2)------2-1,先判斷

Mn-X,再得出當(dāng)根=1時(shí)，跖:的新多項(xiàng)式的最小值為改變項(xiàng)物=1前的“-”，設(shè)最小值為降/,得出

Mn'=Mn+2,得出n=2時(shí)，Mi'=3；n=3時(shí)，M3,=2；〃=4時(shí)，M4=-2,M4'=0；又由Mn

<Mn-i<M4,得MzV-2,則可得W=Mt+2V0,即可判斷；

③中，逐一枚舉，并利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得.

【解答】解：①例如，多項(xiàng)式XI-12-％3-％4-％5-X6,n=6,

則m=2=3,

新多項(xiàng)式可以為XI-X2-X3+X4+X5+X6,

舉例：9-8-7+3+2+1=0(9>8>7>3>2>1),

則①正確；

②若％1,…，X"均為正整數(shù)且Xl=〃，X1>X2>X3>->XH>0,

??Xn=1,Xn-1=2,Xn-2~3,Xn-3~4,…,=〃-2,Xl~ri1,Xl=〃,

/.XI-X2-X3----Xn=n-(n-1)--2)---2-1,

Mn—X\-X2-X3---Xn—n-(〃-1)-(〃-2)-…-2-1,

Mn-1=Xl-X2-X?>---Xn-l=-1)-(〃-2)-…-2-1,

Mn-Mn-\—n-(n-1)-(n-2)---2-1-[(n-1)-(九-2)-…-2-1]=2-m

?.,介2,

其中，當(dāng)〃>2時(shí)，Mn-Mn-\=2-n<Q,

??MnVMn-1,

當(dāng)"7=1時(shí)，M"的新多項(xiàng)式的最小值為改變項(xiàng)物=1前的“-

設(shè)最小值為跖」,

gpMn'=n-(w-1)-(?-2)——2+l=Mi+2,

：“=2時(shí)，M2=2-1=1,M2'=2-1+2=3；

〃=3時(shí)，〃3=3-2-1=0,M3,=3-2-1+2=2；

”=4時(shí)，M4=4-3-2-1=-2,MS=4-3-2-1+2=0；

又：跖1c跖

：.Mn<-2,

：.Mn'=跖計(jì)2<0,

...只有當(dāng)2WwW4時(shí)，得到的新多項(xiàng)式的值恒為非負(fù)數(shù)，

故②正確；

③當(dāng)W=6,機(jī)=2時(shí)，Mn—xi-X2-X3-X4-X5-X6,

情況1:|X1+X2+X3-X4-X5-X6\>

VXl>X2>X3>">Xn>0,

.*.X1-X4>0,X2-X5>0,X3-X6>0,

.'.X1+X2+X3-X4-X5-X6>0,

|X1+X2+X3-X4-X5_X6|=X1+X2+X3-X4_X5-X6,

情況2:|xi+%2-X3+X4-X5-X6|，

*.*%1>x2>%3>“>切>0,

.*.X1-X3>0,X2-X5>0,X4-X6>0，

.*.X1+X2-X3+X4-X5-X6>0,

\X1+X2-X3+X4-X5-X6|=X1+X2-%3+%4~X5-％6,

情況3:|X1+X2-X3-X4+X5-X6|，

VXl>X2>X3>'>Xn>0^

/.XI-X3>0,X2-X4>0,X5~X6>0,

.*.X1+X2-X3-X4+X5-X6>0,

\xi+X2_X3-X4+X5-X6|—|X1+X2-X3-X4+%5-X6,

情況4:\X1+X2-X3-X4-X5+X6|,

由X1>X2>X3>">XH>0無法為J斷入1+X2一%3一X4-X5+X6的正負(fù),

|X1+X2-%3-X4-X5+X6|=X1+X2-X3-X4~X5+%6或|%l+12-X3~X4-X5+%6|=~XI-X2+%3+%4+X5X6；

情況5:\X1-X2+X3+X4-X5~%6|,

*.*Xl>X2>％3>“>X〃>0,

.*.X1-X2>0,X3-X5>0，X4-X6>0，

.".XI-X2+X3+X4-X5-％6>0,

，新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-X2+X3+X4-X5-X6；

情況6:\X1-X2+X3-X4+X5~X6|，

*/XI>X2>X3>…>0,

/.XI-X2>0,X3-X4>0,X5-X6>0,

.'?XI-X2+X3-X4+X5-X6>0,

???新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-X2+X3-X4+X5-X6；

情況7:|X1-X2+X3-X4-X5+X6|,

由X1>X2>X3>->XH>0無法判斷XI-X2+X3-X4-X5+X6的正負(fù)性，

???新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-X2+X3-X4-X5+X6或-X1+X2-X3+X4+X5-X6；

情況8:|X1-Xl-X3+X4+X5-%6|，

由Xl>X2>X3>->Xn>0無法判斷XI-I2-X3+X4+X5-16的正負(fù)性，

新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-12-X3+X4+X5-X6或-X1+X2+X3-X4~X5+X6；

情況9：|X1-XI-尤3+尤4-X5+X6I，

由Xl>X2>X3>->X?>0無法判斷XI-X2-X3+X4-X5+X6的正負(fù)性，

新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-尤2-尤3+X4-X5+X6或-X1+X2+X3-X4+X5-X6；

'情況10:|%1-X2~X3-X4+X5+X6I，

由Xl>X2>X3>->Xn>0無法判斷XI-X2-尤3-X4+X5+X6的正負(fù)，

新多項(xiàng)式取絕對(duì)值化簡(jiǎn)結(jié)果為XI-X2-X3-X4+X5+尤6或-無1+X2+X3+X4-X5-X6；

綜上，新多項(xiàng)式取絕對(duì)值后化簡(jiǎn)的結(jié)果共有15種，

故③正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，不等式的性質(zhì)，整式的規(guī)律探索，熟練根據(jù)題意正確列出多項(xiàng)式是解

題的關(guān)鍵.

3.（2025春?大足區(qū)月考）如圖，是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案中有5個(gè)四邊形，第2個(gè)圖案中有9

個(gè)四邊形，第3個(gè)圖案中有13個(gè)四邊形，…，按此規(guī)律，第7個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為（）

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】猜想歸納；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中四邊形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

第1個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為：5=1X4+1；

第2個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為：9=2X4+1；

第3個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為：13=3X4+1；

所以第幾個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為（4n+l）個(gè).

當(dāng)n=l時(shí)，

4n+l=4X7+l=29（個(gè)），

即第7個(gè)圖案中四邊形的個(gè)數(shù)為29個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律,能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)四邊形的個(gè)數(shù)依次增加4是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?阿城區(qū)一模）烷妙是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的

分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中黑球代表碳原子，藍(lán)球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，…按照這一規(guī)律，第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子

的個(gè)數(shù)是（）

①②③④

A.16B.18C.20D.22

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【答案】c

【分析】先根據(jù)圖形計(jì)算前4個(gè)圖形中的氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，再計(jì)算求解.

【解答】解：第1種如圖①有4個(gè)氫原子，

第2種如圖②有3X2=6個(gè)氫原子，

第3種如圖③有3X2+2=8個(gè)氫原子，

第4種有3X2+2X2=8=10個(gè)氫原子，

第"種有3X2+2(n-2)=(2〃+2)個(gè)氫原子,

按照這一規(guī)律,

第9種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：2X9+2=20,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）用木棒按如圖所示的規(guī)律擺放圖形，第1個(gè)圖形需要6根木棒，第2個(gè)圖

形需要11根木棒，第3個(gè)圖形需要16根木棒，…，按這種方式擺放下去，用含〃的代數(shù)式表示第〃個(gè)

圖形需要木棒的根數(shù)為（）

III

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

A.6nB.5n+lC.5?-1D.4n+2

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；列代數(shù)式.

【專題】規(guī)律型；幾何直觀；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)后一個(gè)圖形的木棒比前一個(gè)圖形的木棒多5根，即可得到答案.

【解答】解：第個(gè)圖形需要6根木棒，第2個(gè)圖形需要11根木棒，第3個(gè)圖形需要16根木棒,

:搭第1個(gè)圖形需要：6=5X1+1,

搭第2個(gè)圖形需要：11=5X2+1,

搭第3個(gè)圖形需要：16=5X3+1,

搭第"個(gè)圖形需要的木棒的根數(shù)是：5/7+1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，列代數(shù)式，找到“后一個(gè)圖形的木棒比前一個(gè)圖形的木

棒多5根”這個(gè)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

6.（2025春?重慶月考）2021年是農(nóng)歷我國(guó)“?！蹦?，為祝福我們偉大祖國(guó)更加繁榮昌盛，同時(shí)勉勵(lì)新一

屆初三人在2021年更加“牛氣沖天”，某同學(xué)制作了如圖“牛氣圖”，請(qǐng)根據(jù)如圖規(guī)律，計(jì)算第15個(gè)圖

案中一共有多少個(gè)“?！弊?？（）

牛牛牛牛牛

①牛②牛牛③牛牛牛④牛牛牛牛

A.119B.120C.121D.5050

【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類.

【專題】規(guī)律型;運(yùn)算能力.

【答案】B

lx(l+l)2X(2+1)3X(3+1)4X(4+1)

【分析】第①?④個(gè)圖案中“牛”字的個(gè)數(shù)依次為,歸納類

2222

推出一般規(guī)律，由此即可得.

【解答】解：由圖可知:

第①個(gè)圖案中“?！弊值膫€(gè)數(shù)為1（個(gè)）,

第②個(gè)圖案中“牛”字的個(gè)數(shù)為3（個(gè)）,

第③個(gè)圖案中“?！弊值膫€(gè)數(shù)為6（個(gè)）,

第④個(gè)圖案中“?！弊值膫€(gè)數(shù)為10（個(gè)）,

n(n+l)

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第"個(gè)圖案中“牛”字的個(gè)數(shù)為?個(gè)，其中〃為正整數(shù),

2

15x(15+1)

則第15個(gè)圖案中“牛”字的個(gè)數(shù)為=120,

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.（2025春?東西湖區(qū)月考）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)重要的成就之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所

著的《詳解九章算法》中.如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩

上”的兩個(gè)數(shù)字之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.若在“楊輝三角”中從第2行左邊的1

開始按"鋸齒形"排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：。1=1,02=2,43=3,04=3,（15=6,。6=

4,47=10,48=5…，則499-4100的值是（）

1

11

1—?21

七

13—?31

146^*41

151010-?51

A.1222B.1223C.1224D.1225

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；數(shù)學(xué)常識(shí).

【專題】規(guī)律型；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以計(jì)算出。99-moo的值.

【解答】解：由圖可得，第偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)是一些連續(xù)的自然數(shù)，

從2開始，第奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的數(shù)是一些連續(xù)的整數(shù)相加，從1開始，

.?.(199-aioo=(1+2+3+-+50)-I(1004-2)+1]

=50x^0+1)_[(1004-2)+1]

=1275-51

=1224,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的

值.

8.(2025春?浦橋區(qū)校級(jí)月考)楊輝三角是數(shù)字呈三角形形狀的排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著

的《詳解九章算法》指出這個(gè)三角形排列出自于北宋時(shí)期賈憲(11世紀(jì))的《釋鎖》.在歐洲，帕斯卡

于1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比賈憲的發(fā)現(xiàn)要遲約500年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭

所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5,則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是()

1

1010

A.153B.171C.190D.210

【考點(diǎn)】規(guī)律型:數(shù)字的變化類.

【專題】規(guī)律型;運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，再計(jì)算求解.

【解答】解：由題意可知，從第4行起的每行第三個(gè)數(shù)依次為3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,…,

所以第左（左24）行的第三個(gè)數(shù)為1+2+3+-+（%-2）,

在該數(shù)列中，第37項(xiàng)為第21行的第三個(gè)數(shù),

所以該數(shù)列的第37項(xiàng)為1+2+…+19=19*（；+19）=190,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變換類，找到變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

9.（2025春?江津區(qū)校級(jí)月考）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第

②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下

去，則第⑩個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（）

??????????

?????????????????????

??????????

①②③④

A.37B.41C.45D.49

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，……，由

此可得：每增加1個(gè)圖形，就會(huì)增加4個(gè)正方形，由此找到規(guī)律，列出第"個(gè)圖形的算式，然后再解答

即可.

【解答】解：第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形；

第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，可以寫成：5+4X1；

第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，可以寫成：5+4X2；

第4個(gè)圖中有17個(gè)正方形，可以寫成：5+4X3；

第八個(gè)圖中有正方形，可以寫成：5+4（?-1）=4〃+1；

當(dāng)”=10時(shí)，代入4〃+1得：4X10+1=41.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

10.（2025?祥云縣模擬）有一組單項(xiàng)式依次為a,-V2a2,V3a3,-2a4,V5a5,…，根據(jù)它們的規(guī)律,

第100個(gè)單項(xiàng)式為（）

A.-lOOfl100B.lOOfl100C.-lOfl100D.10a100

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式.

【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)第w個(gè)單項(xiàng)式的規(guī)律為（-1尸+1傷心，據(jù)此即可求解.

【解答】解：第1個(gè)單項(xiàng)式為（-1）1+%1,

第2個(gè)單項(xiàng)式為一迎a?=（-l）2+1V2a2,

第3個(gè)單項(xiàng)式為=（-l）3+1V3a3,

第4個(gè)單項(xiàng)式為—2a4=（-l）4+1V4a4,

.?.第n個(gè)單項(xiàng)式為（-1尸+1傷心，

.,.第100個(gè)單項(xiàng)式是（-=-10a100.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，算術(shù)平方根，理解題意找到式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?洛南縣一模）如圖是由大小相同的正六邊形組成的“蜂窩圖”，按此規(guī)律排列下去，則第9個(gè)

圖案中有29個(gè)正六邊形.

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】猜想歸納；推理能力.

【答案】29.

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正六邊形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解:由所給圖形可知，

第1個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為：5=IX3+2；

第2個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為：8=2X3+2；

第3個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為：11=3X3+2；

所以第w個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為（3〃+2）個(gè).

當(dāng)n=9時(shí)，

3”+2=3X9+2=29(個(gè)),

即第9個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為29個(gè).

故答案為：29.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)正六邊形的個(gè)數(shù)依次增加3是解題的關(guān)

鍵.

12.（2025春?鄭州月考）“楊輝三角”，又稱“賈憲三角”，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在

我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，觀察

下列各式及其展開式：

1

(a+b)'=a+b

11

121(a+bV=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

請(qǐng)你猜想（a+b）9展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是36

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；數(shù)學(xué)常識(shí).

【專題】猜想歸納；推理能力.

【答案】36.

【分析】根據(jù)題意，得出Q+b)”展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律即可解決問題.

【解答】解:由題知，

從Q+6)2開始，展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)依次為1,3,6,10,15,…，

所以C〃展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)為：1+2+3+…1=攻尹；

當(dāng)〃=9時(shí)，

n(n-l)9x8

==36,

2------2

即(a+b)9展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)是36.

故答案為：36.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及數(shù)學(xué)常識(shí)，能根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)(。+6)〃展開式中的第三項(xiàng)系

數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

13.(2025?潼南區(qū)模擬)一個(gè)四位正整數(shù)M,其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，如果個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字

與千位數(shù)字之和，則稱這個(gè)四位數(shù)M為“壓軸數(shù)”.將“壓軸數(shù)”〃的千位數(shù)字去掉得到一個(gè)三位數(shù)，

再將這個(gè)三位數(shù)與原“壓軸數(shù)”M的千位數(shù)字的3倍求和，記作F(M).則最大的壓軸數(shù)與最小的壓

軸數(shù)之差為7807.有兩個(gè)四位正整數(shù)尸=1000a+200b+10c+d,K=1010a+200+x(IWa、c、d、x

W9,1W6W4)均為“壓軸數(shù)”，若尸(P)+F(K)能被7整除且E(K)能被13整除，則滿足條件的

P值的和為9507.

【考點(diǎn)】列代數(shù)式；整式的加減.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】7807；9507.

【分析】根據(jù)定義得出最大的“壓軸數(shù)”與最小的“壓軸數(shù)”，計(jì)算即可；根據(jù)定義計(jì)算出F(P)+F

(K)和尸(K),然后根據(jù)E(P)+F(K)能被7整除且尸(K)能被13整除，即可求解.

【解答】解：要想使“壓軸數(shù)”最大，則千位是最大的一位數(shù)，

又：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字與千位數(shù)字之和，

...千位不能為9,即千位最大是8,最小是1,

...最大的“壓軸數(shù)”是8919,最小的“壓軸數(shù)”是1112,

最大的“壓軸數(shù)”與最小的“壓軸數(shù)”之差為8919-1112=7807,

??P=1000a+2006+10c+d,K=1010a+200+x,

：.F(P)=2006+10c+d+3a,F(K)=104+200+無+3。,

???個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字與千位數(shù)字之和，

??d~-d~^c?尤:=2a,

：.F(P)=2006+llc+4a,F(K)=15a+200,

：.F(P)+F(K)=2006+llc+19a+200=(1966+196+7c+14a)+(4b+4+5a+4c),

F(K)=15a+200=(195+13。)+(5+2。)，

VF(P)+F(K)能被7整除且尸(K)能被13整除，

：.4b+4+5a+4c能被7整除，5+2a能被13整除，

:TWaW9,

.,.a=4,

46+4+5a+4c=24+4b+4c,

；.24+46+4c能被7整除，

?.TW6W4.KW9,

當(dāng)匕=3,c=5時(shí)，F(xiàn)(P)+F(K)能被7整除，此時(shí)尸=4659,

當(dāng)6=4,c=4時(shí)，F(xiàn)(P)+F(K)能被7整除，此時(shí)尸=4848,

其余取值均不符合，

，滿足條件的p值的和為4659+4848=9507.

故答案為：7807,9507.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列代數(shù)式、整式的加減等知識(shí)點(diǎn)，能正確理解題意并列出代數(shù)式是解決本題的

關(guān)鍵.

14.(2025?市中區(qū)一模)如圖，春節(jié)期間，廣場(chǎng)上空用紅色無人機(jī)(。)和黃色無人機(jī)(△)組成如下圖

案：

oAo

△△

OAO△c△人

o△o￡

裝蹩軟

aA△△△

△△△△△△

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

結(jié)合上面圖案中“O”和“△”的排列方式及規(guī)律，當(dāng)正整數(shù)〃=8時(shí)，使得紅色無人機(jī)(O)比

黃色無人機(jī)（△）的個(gè)數(shù)多28臺(tái).

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】猜想歸納；推理能力.

【答案】8.

【分析】根據(jù)所給圖形，分別求出圖形中。和△的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

第1個(gè)圖案中。的個(gè)數(shù)為3=P+2,△的個(gè)數(shù)為10=1X4+6；

第2個(gè)圖案中。的個(gè)數(shù)為6=22+2,△的個(gè)數(shù)為14=2X4+6；

第3個(gè)圖案中。的個(gè)數(shù)為11=32+2,△的個(gè)數(shù)為18=3X4+6；

***J

所以第"個(gè)圖案中。的個(gè)數(shù)為（層+2）個(gè)，△的個(gè)數(shù)為（4?+6）個(gè).

由/+2=4〃+6+28得，

m=-4（舍去），砥=8,

所以w的值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)。和△個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.（2025?海淀區(qū)校級(jí)模擬）某快遞員負(fù)責(zé)為A,B,C,D,E五個(gè)小區(qū)取送快遞，每送一個(gè)快遞收益1

元，每取一個(gè)快遞收益2元，某天5個(gè)小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表

小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快遞員一個(gè)上午最多前往3個(gè)小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一

種滿足條件的方案ABC或ABE