二次函數(shù)36種經(jīng)典問法

已知，如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,OA=OC=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D。

1.求此拋物線的解析式。

解:由0A=0C=3,

得A(-3,0),C(0,-3),

把A,C坐標(biāo)代入y=/+bx+c中,

(3產(chǎn)+(-3)6+c=0,b=2

tc=-31{c=-3，

故y=%2+2%—3

結(jié)論1：

適用于一般形式：y=ax2+bx+c(a豐0)

條件：已知三點(diǎn)的坐標(biāo)，直接代入三點(diǎn)的坐標(biāo)，建立三元一次方程組求解。

結(jié)論2:

適用于頂點(diǎn)式：y=a(x-li)2+k(a豐0)

條件：①已知頂點(diǎn)坐標(biāo)；②已知對稱軸；③已知函數(shù)最值；④已知兩個(gè)對稱點(diǎn).直接代入，建立二元一次方程

組求解。

結(jié)論3:

適用于兩根式：y=a(x-%1)(%-乂2)伯力0)條件：①已知函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(xi,0),(x2,0);②已知

函數(shù)圖像上的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)；直接代入條件，建立一元一次方程求解。

結(jié)論4：

關(guān)于x軸對稱：

如：拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)關(guān)于x軸對稱，x不變，y變?yōu)樗南喾磾?shù)，因此拋物線的解析式：—y

=ax2+bx+c(a^0),即

y——ax2—bx—c(a*0);

結(jié)論5：

關(guān)于y軸對稱：

如：拋物線yax2+bx+c(a*0)關(guān)于y軸對稱，y不變，x變?yōu)樗南喾磾?shù)，拋物線的解析式：y=a

(―x)2+/?(—%)+c(a*0),即y=ax2—bx+c(a豐0);

結(jié)論6：

平移：

左加右減7X,上加下減ry

如：拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)向左平移m個(gè)單位長度，再向上平移n個(gè)單位長度后解析式：y=a(x

+m)2+b(x+m)+c+n。

2.判斷△ACD的形狀，并說明理由。

解：由y=/+2%-3=(%+1產(chǎn)一4得定點(diǎn)坐標(biāo)D(-1,-4),

又A(-3,0),C(0,-3),

由兩點(diǎn)之間的公式，得

AC2=(-3-0)2+[0-(-3)]2=18,

CD2=[0-(-1)]2+[(-3)-(-4)]2=2,

AD2=[-3-(-1)]2+[0-(-4)]2=20,

貝!1心+CD2=心，

故4ACD為直角三角形。

3.求四邊形ABCD的面積。

解：先整△ACD是直角三角形(同2),則S4ACDAC-CD=|-3A/2?a=3,

A(-3,0),B(1,0)C(0,-3),則AB=4,OC=3,

=

得S—BC2-4B,OC=-X4X3=6,故SABCD=S^ABC+SAACD=6+3=9。

解題方案

分割法二次函數(shù)面積題型有詳細(xì)講解

4.在對稱軸上找一點(diǎn)P,使仆BCP的周長最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及仆BCP的周長。

解：由A(-3,0),C(0,-3)得AC:y=-x-3,

y=x2+2x—3=(x+l)2—4得對稱軸x=-l,

點(diǎn)A、B關(guān)于x=-l對稱，

??.AC與x=-l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,則P3ng二

A(—3,0),B(1,0)C(0,-3),

得AC=3vxBC=V10,

故aBCP的周長為：

BP+CP+BC=AC+BC3V2+10。

解題方案

5.在直線AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N,過點(diǎn)N作直線1〃y軸.交AC于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)N在什么位置時(shí)，線段M

N的長度最大，并求出最大值。

解:設(shè)N(t,t2+2t-3)

由AC:y=-x-3,則M(t,-1-3)

則MN=ym-yN

=-t—3—Q2+2t-3)

=—t2—3t

=-(￡+i)2+z

故當(dāng)y-1時(shí)，MN有最大值；

解題方案

利用數(shù)形結(jié)合思想設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)建二次函數(shù)模型求出最大值。

Z在直線而旁的拋物線上是否存在一而7使得△ACN的畝積最大鳳出最大值「解:過N作直線直線1

〃y軸，交AC于M,交x軸于H,作CPL于點(diǎn)P,則Ux軸，

S^ACN=S^AMN+SMMN

11

=-MN-AH+-MN-CP

22

=|MTV-(AH+CP)

=^MN-\XA-XCI

3

=-MN

2

故當(dāng)MN取最大值時(shí)，△ACN面積最大。(S—cN)?na%=v

o

7.在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得四邊形ABCN的面積最大，求出最大值。

解：由于△ABC的面積是定值，則轉(zhuǎn)化為上題的解。S=?0C=?x4X3=6,S=葛

LABCZZLACNo

6+

故SABCN=SMBC+S"CN=T=T

8.在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使得△ADE為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由。

解:①若/EAD=90。,如圖,作MN〃y軸,EMXMN,DN±MNO

設(shè)E(0,t),貝！]EM=3,DN=2,MA=t,AN=4,

由ZEMA=ZEAD=AND=90°,

貝必EMA^AAND(AAS)

/日EMMA3t3

彳可--=---0_=

ANND422

故E(6)

②若NEDA=90。,如圖，作DH±y軸于H,

設(shè)E(0,t),貝!]AN=4,DN=2,DH=l,HE=t+4,

由/EHD=/EDA=AND=90。,貝必AND^ADHE(AAS),

/日ANDN41八7

彳可—=—n-=—n￡=—,

DHEH2t+42

故E(0,-0

③若/AED=90。,如圖.

設(shè)E(O,t),則AO=3,OE=-t,DH=HE=t+4,

由ZAOE=ZAED=EHD=90°,

貝必AOE^AEHD(AAS),

4日AOOE3-t

彳可—=—n—=——,

EHHDt+41

或t=-3,

故E(0,-l)或(0,-3),

綜上所述,E的坐標(biāo)為：(0，|),

(o,-今，(0,-1)或(0,-3),

9.在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ADF為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由。

解：由A(-3,0),D(-1,-4)

得:AD=2V5,AD2=20,

設(shè)F(0,t),貝！=12+%

DF2=(t+4尸+1=產(chǎn)+8t+17,

①若AD=AF,貝[]t2+9=20nt=±V1T,

②若DA=DF廁

t2+8t+17=20=>t=一4±V19,

③若FA=FD,則

產(chǎn)+9=產(chǎn)+8t+170t=-1,

綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(0,V1T),

(0--VT1),(0--4+V19),(0,-1),或((0,-4-V19).

10.在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得SAABN=SAABC,若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:由C(0,-3),得OC=3^!UABC中,AB邊上的高為OC=3,又SAABN=SAABC,

則拋物線上到AB距離為3的點(diǎn)均滿足條件，

設(shè)N(m,n)由AB在x軸上.則n=±3,①n=3時(shí)，

m2+2m-3=3=>m=—1±V7,

②n=-3時(shí)，

m2+2m-3=-3^m=-2或m=0(舍)，綜上所述，N點(diǎn)坐標(biāo)為(-1+V7-3),(-1-V7-3)或((一2,一3)。

11在拋物線上是否存在一點(diǎn)H，使得SABCH=SAABC,若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

解:由BC為KBCH和4ABC的共邊，且SABCH=SAABC,

則點(diǎn)H在過點(diǎn)A且與BC平行的直線1上,

由B(1,0),C(0,-3),

得BC:y=3x—3,

又A(-3,0),則1:y=3x+9,

聯(lián)"{y=3x+9今0=21或{y=0(舍)，

故H(4.21)

解題方案

“共邊且面積相等”的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)分布在與共邊平行且等距離的兩條直線上。

12.在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得SAAOQ=SACOQ,‘若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由。

解:由A(-3,0),C(0,-3),

得AC:y=-x-3,

右SMOQ=S&COQ,

則Q點(diǎn)在NAOC的角平分線上或過點(diǎn)O且且與AC平行的直線上,

①由NAOC=90。,則其角平分線為:y=x,

產(chǎn)H._-1±713

LT+5,―一L

②過O且與AC平行的直線為:y=-x,

=x

\y~△__3士歷

10H----------o------，

,j=x2+2x-3

故Q坐標(biāo)為(匚誓，匚誓)，

^-1-V13-1-V13j

^-3+V21^3-VHj

(一3一3+V^I]

13.在拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使BE平分△ABC的面積，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

解:由A（-3,0）,C（0,-3）,

則AC的中點(diǎn)F（—|，—|）,

連接BF與拋物線交于點(diǎn)E,

由AF=CF,則S&B4F—S^BCF.

即BF平分△ABC的面積，

由B（l,0）,F（一|，一|）,

得.BF:y=|無一|,

_33%=_絲

聯(lián)」（幻A

4二:（與B重合，舍去），

故MT—H）

右A（X],yi）,B（X2,、2）

則AB中點(diǎn)。（衛(wèi)產(chǎn)，華）

14.在拋物線上找一點(diǎn)F,作FM±x軸使得AC平分△AFM的面積。

解：由A(-3,0),C(0,-3),得AC:y=-x-3,

如圖，作FM±x軸于M,交AC于E,設(shè)F(t-t2+2t-3),則E(t,-1-3),若AC平分AAFM,則E為FM中點(diǎn)如0

—Q?+2t-3)=2[0—(—t—3)]彳導(dǎo)/+4t+3=0,

則t=-l或t=-3(與A重合,舍去)，故F(-l,-4)

備注：坐標(biāo)和線段之間的轉(zhuǎn)化。

當(dāng)兩點(diǎn)在y軸上或在與y軸平行的直線上，上面點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下面點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

當(dāng)兩點(diǎn)在x軸上或在與x軸平行的直線上，右面點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左面點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

15.在拋物線對稱軸上有一點(diǎn)K,在拋物線上有一點(diǎn)L,若使A、B、K、L為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求

K、L的坐標(biāo)。

解:設(shè)K(-l,m),由A(-3,0),B(l,0),得AB=4,

①若以AB為邊，貝UKL〃AB且KL=AB,

yK=yL,

i)若K在L的右側(cè)，則久K一孔=4得XL=-5,

又L在拋物線上，得.yL=12,則m=12,故K(-1,12),L(-5,12)

ii)若K在L的左側(cè)，則XL—“=4,得xL=3,

又L在拋物線上，得%=12,則m=12,故K(-1,12),L(3,12)

②若以AB為對角線，由AB中點(diǎn)為對稱軸與x軸中點(diǎn)，

則K、L關(guān)于x軸對稱，且在對稱軸上，又L在拋物線上，

故L即為定點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-4),則K(-1,4)

⑹拋物線對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)M,在坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)E,若使以A、M、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

解：由y=/+2x—3=(無+一4得對稱軸

x=-l,頂點(diǎn)D(-1,-4),

又AC:y=-x-3得M(-l,-2)

設(shè)E(xE,yE),

①以AM為對角線，則

/4+xM=XD+xExE=-3

M=y。+/VE=2'

故E(-3,2)

②以AD為對角線，則

產(chǎn)4+XD=xM+xExE=-3

6+yD^yM+yEyE=一2

故E(-3,-2)

③以MD為對角線，則

(XM++XgXg=1

v

RM+y。=X4+yEyE=

故E(1,-6)

17.在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得/POC=/PCO?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

解:若NPOC=NPCO,PO=PC,即P在0C的中垂線上，

由C(0,-3),則OC的中點(diǎn)Q(0,—|),

3

ry=一國

{2%=-1±—,

y=x29+2x—3

V103

22.

18.點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PHLx軸H,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得△PAH和4OBC相似?若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:由B(1,0),C(0,—3),得OC=3OB,

設(shè)P(t,t2+2t-3),H(t,0),則PH=\t2+2t-3\,AH=\t+3I,又APAH和AOBC均為直角三角形且相似，

①PH=3AH,則|t2+2t-3|=3|t+3|,i)t2+2t-3=-3(t+3),t=-2或t=-3(舍);

ii)t2+2t-3=3(t+3),t=4或t=-3(舍);

②AH=3PH,則|t+3|=3|/+2t-3I,i)t+3=3(t2+2t—3),t=1或t=--3(舍);

綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3),(4,21),(瀉),(|一芳)

19.在線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使得△AOM和4ABC相似？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由。

解:若AAOM和^ABC相似,

由A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),

得AB=4,AC=3V2,BC=V10,AO=3,

AC:y=-x-3,BC:y=3x-3,

①當(dāng)OM〃BC時(shí),△AOM^AABC,

AOAM3AM4〃972

茄=就即an彳=適得4時(shí)=了,

作MNLx軸于點(diǎn)N,

由OA=OC=3,彳導(dǎo)/OAC=45。,

則AN=MN=—AM0AN=2,

24

得ON=*即xM=

由M在直線AC上，得=-孑,故M3

4~1

②當(dāng)△AMO^AABC時(shí),

冷賽喘=竽得”M=2反

作MN，x軸于點(diǎn)N,

同理AN=2,ON=1,

則xM=-l,yM=-2,

故M(-1,-2),

綜上所述,M的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-京-?

20.若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，以相同的速

度沿OC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△OPQ的面積為S,求出S與t

之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。

解：由AP=t,OP=3-t,OQ=t,

且0<t<3,

故SAOPQ

=|?(3-t)-t

則當(dāng)”次寸,SAOPQ：有最大值|

21.點(diǎn)E是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E、F,使得A、D、E、F構(gòu)成矩形。若

存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：由第8題可知，

E的坐標(biāo)為(0,-1),(0,-3),(0,|或(0,一9，

①當(dāng)ZADE=90°,AE為對角線E(0--1),

“+”=知+曰卜F=R、

②當(dāng)ZDAE=90°,DE為對角線lE(o,|

③當(dāng)NAED=90。,AD為對角線E(0,-1),

JHA+HD=HF+HEJ±F=-4

￡)

1"+加=加+”3=—3

F(-4,-3),

F(-4,-1),

E(。,+)坪,1)

綜上所述,

F（T，V（2,_5.

7

E(0,-1)[E(0,-3)

,F(-4,-3)lF(-4,-1)

22.點(diǎn)E是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)E、F，使得A、D、E、F構(gòu)成菱

形。若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：由第9題可知，

E點(diǎn)坐標(biāo)為0VT1）,（o>-VT1）,（0,-4+V19）,（0,-4-舊）,或（o,-i）o

①AD=AE時(shí),.E（0,VTT）,（0,-VH）,AD、AE為菱形兩條鄰邊時(shí)，

(XA+ZF=%D+%E

1%+?=加+”

故吐10++++10)或｛(0,

(2,-4-VTT)

@DA=DF時(shí),.F(0--4+V19),

(0--4-V19),

DA、DF為菱形兩條鄰邊時(shí)，

(xA+xE=xD+xFyA+yE^yD+yF,

故*-4+㈤f(O,-4-719)

1(-2,yi9)k-2,-yi9)

?EA=ED時(shí),E(0,-1),

EA、ED為菱形兩條鄰邊時(shí)，

產(chǎn)4+xD=xE+xF

6+yD^yE+yF

產(chǎn)(0,-1)

—3)

23.點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得IPA-PC的值最大，若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出|PA-

PC的最大值；若不存在，請說明理由。

解:連接AC,在4PAC中,|PA-PC|<AC,此時(shí)五最大值，此時(shí)無最大值，那么最大值存在嗎？

連接PB,BC,

根據(jù)拋物線對稱性，有PA=PB,

在4PBC中,|PB—PC|<BC,

BP|PA-PC|=|PB-PC|<BC,

當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，有PB-PC=BC,

故IPB-PC區(qū)BC,

即|PA-PC的最大值為BC,

由B(1,0),C(0,-3),

得BC:y=3x-3,BC=V10,

又點(diǎn)P在y=3x-3的圖像上，

且橫坐標(biāo)x=-l,

故P(-1,-6)

24.在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線AC的距離最大。若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:由A(-3,0),C(0,-3),得AC=3V2,AC:y=-x-3,作PH±AC于H,

貝'Ac=豺C?PH=學(xué)PH,

故SAPAC面積最大時(shí)，PH取最大值，

前面經(jīng)典第6問，可得PAC最大值為9

O

故叫“言送=￥

解題方案

作輔助線，構(gòu)造直角三角形；

學(xué)會轉(zhuǎn)化，線段最大轉(zhuǎn)化為面積最大。

拓展：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得產(chǎn)=￡或/=m(m為實(shí)數(shù))。

34ABC§'△ABC

25.在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線AC的距離為V2,若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:在y軸上取點(diǎn)E(0,-5),作EFXAC于F,則CE=2,

又OA=OC,

貝!]ZOAC=ZOCA=ZECF=45°,

故EF=V2,

過點(diǎn)E作1〃AC,則直線1上所有點(diǎn)到AC距離均為V2,

由AC:y=-x-3,則1:y=-x-5,

聯(lián)以=x2+2%-3行0=-4'0=-3

故P(-1,-4)或(-2,-3)

解題方案

作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形；

聯(lián)立方程，解決問題。

拓展：在直線AC上方也存在一條直線到AC的距離為V2

26.在直線AC上是否存在一點(diǎn)P,使得BP+OP最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值；若不存在,

請說明理由。

解：作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B',連接BB，交AC于M,

則PB=PB',

由AC:y=-x-3,OA=OC,

貝!J乙BAC=AB'AC=45°,Z5X5,=90°,

由AB=AB'=4,4(—3,0),

則B1(-3,-4),

貝(].BP+OP=B'P+OP=B'O=5,

故OB'-.y=-x,

聯(lián)立

即所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（-予-￡）

27.在直線AC上是否存在一點(diǎn)P,使得BP+巳4。的值最小。若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值；若不

存在，請說明理由。

解：如圖，作直線1與AC的夾角為30。,作PM±1,則PM=\AP,

故BP+.P=BP+PM,

作BNL于N交AC于點(diǎn)P,

此即為所求P點(diǎn)，BP+|aP最小值為BN,

BN=AB?sin75°=4x恒厘=V6+V2,

4

sin75。的幾何推導(dǎo)

如圖，在RtAABC中，乙4=75。,NC=90°,

在BC取一點(diǎn)D,連接AD,使得AD=BD,則Z.DAB=LB,

由Z.BAC=75°,NB=15°,

貝！I^ADC=4DAB+NB=30°,

設(shè)AC=1,

則AD=BD=2,CD=V3,

BC=CD+BD=2+V3,

AB=y/AC2+BC2

=Jl2+(2+V3)2

=V8+4V3

=V6+V2

2+V3_迎+低

故sin75°=—V6+V2-4

28.點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，PE//BC,是否存在這樣一點(diǎn)P,使得△PEC的面積

最大。若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PEC的面積的最大值；若不存在，請說明理由。

解:設(shè)P(t,0),AP=t+3,BP=l-t,AC:y=-x-3,BC:y=3x-3,由PE〃BC,設(shè)PE:y=3x+b,把P(t,0),代入y=3x+b,即PE:

y=3x-3t,

__3t-3

X=~T~

聯(lián)立-3t-91

，__r~

即E（等，誓）

S^PAE=\PA-IyE|=|(t+3)?(一誓)=|(t+3/

1R

SAPBC=?B-OC=Q1—T),

11

S^ABC=-OC=-x4x3=6,

故S^PEC=^LABC~S^PAE—S^PBC

當(dāng)t=-i時(shí),SAPBC最大值

29.點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PE±x軸交AC于點(diǎn)E,作PFXAC于點(diǎn)F,是否存在一點(diǎn)，使

得4PEF的周長最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PEF周長最大值；若不存在，請說明理由。

解:由OA=OC,得/OAC=45。,又PE_Lx,PF_LAC,

貝(]/PEF=NEPF=45。,PE=V2PF=&EF,

貝!JAPEF周長為PE+PF+EF=(2+V2)PF,

故PF取最大值時(shí)即可，

由第24題可知PF金虐=竽，

故△PEF周長最大值為電等

30.點(diǎn)E是坐標(biāo)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)E，使得△ACE是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:OA=OC=3,得/OAC=NOCA=45。,①當(dāng)/EAC=90。時(shí),NEAO=45。,貝(]OA=OE,故E(0,3);

②當(dāng)/ECA=90。時(shí),NECO=45。,則OC=OE,故E(3,0);

③當(dāng)NAEC=90。時(shí),E與O重合，故E(0,0);

31.點(diǎn)E是坐標(biāo)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)E、F,使得A、C、E、F構(gòu)成正方形。若存在，

求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：由第30題可知，

由OA=OC=3,得NOAC=NOCA=45。,①當(dāng)/EAC=90。時(shí),NEAO=45。,則OA=OE,故E(0,3),F(3,0);②當(dāng)NEC

A=90°時(shí),NECO=45。,則OC=OE,故E(3,0),F(0,3);③當(dāng)NAEC=90。時(shí),E與O重合，故E(0,0),F(0,0);

32.已知拋物線對稱軸交于x軸于點(diǎn)E,以E為圓心，半徑為字作圓E，試判斷直線BC與圓E的位置關(guān)

系，并說明理由。

解:如圖,連接EC,作EHXBC,

由B(l,。),C(0,-3),

得OB=1,0C=3,BC=VTU

又y=O—1)2—4得E(-1,O),

貝！IOE=1,BE=2,

11

S^BCE=lBE-0C=lBC-EH,

即2x3=V10xEH,EH=

故E到BC的距離等于半徑，直線BC與圓E相切關(guān)系。

33.已知點(diǎn)E是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，PE〃AB,是否存在點(diǎn)P,使得A、B、F、P

構(gòu)成平行四邊形。若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解:由A(-3,O).B(1,0),得AB=4,

又A(-3,0),C(0,-3),

AC:y=-x—3,

由PE〃AB廁P、E的縱坐標(biāo)相同，

設(shè)E(t,-t-3),

①若E在P的左側(cè)，

則xp=xE+4即xp=t+4,

得yp=(t+4尸+2(t+4)—3=產(chǎn)+10t+21,

貝！］t2+10t+21=-t—3,

得t=-8或t=-3(舍去),

故P(-4,5)

②若E在P的右側(cè)，

貝！jxE—xP+4即.xp=t-4,

得yp=(t-4)2+2(t—4)—3=/-6t+5,

貝！Jt2-6t+5=-t-3,

此方程無解，點(diǎn)P不存在。

綜上所述.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,5)

34.已知拋物線對稱軸交于x軸于點(diǎn)E,M為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PM//ED,是否存在

一點(diǎn)P,使得P、M、E、D構(gòu)成平行四邊形。若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由。

解：由y