2025年中考押題預測卷（南京卷02）

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題給出的四個選項中，恰有一

項是符合題目要求的）

1.下列各數(shù)中，負數(shù)的是（）

A.|—5|B.+（T）C.0D.-（-3）

【答案】B

【知識點】正負數(shù)的定義、有理數(shù)的分類、化簡多重符號、求一個數(shù)的絕對值

【分析】此題考查了有理數(shù)的分類，絕對值求值，相反數(shù)等知識點，解題的關鍵是掌握負數(shù)的概念.

先將各數(shù)化簡，再由負數(shù)的定義，即可得出答案.

【詳解】解：A.卜5|=5>0,該選項結果為正數(shù)，不符合題意；

B.+（T）=T<0,該選項結果為負數(shù)，符合題意；

C.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，不符合題意；

D.-3）=3>0,該選項結果為正數(shù)，不符合題意.

故選：B.

2.下列運算正確的是（）

225222

A.屈-母=氓B.a-a-a=aC.D（a+b）=a+b

【答案】B

【知識點】同底數(shù)嘉相乘、幕的乘方運算、運用完全平方公式進行運算、二次根式的加減運算

【分析】本題考查二次根式的減法，同底數(shù)幕乘法運算，塞的乘方，完全平方公式，熟練掌握相關運算法

則是解題的關鍵.根據(jù)運算法則逐一計算進行判斷即可.

【詳解】解：A、而與&不是同類二次根式，不能合并，故此選項不符合題意；

B、a2-a-a2=a5,正確，故此選項符合題意；

C、（04丫=32,原式錯誤，故此選項不符合題意；

D、（a+Z?）2=a2+2ab+b2,原式錯誤，故此選項不符合題意；

故選：B.

3.估計+g的運算結果應在（）

A.4到5之間B.5到6之間C.6到7之間D.7到8之間

【答案】D

【知識點】無理數(shù)的大小估算、二次根式的混合運算、不等式的性質

【分析】本題考查了根據(jù)二次根式的性質化簡求值，二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，不等式的性質.解

題的關鍵在于對知識的熟練掌握并明確=由題意知底'xj；+舊=4+2若，

1.5=VI25<V3<2,然后根據(jù)不等式的性質進行求解判斷即可.

【詳解】解：+疵=4+2石，

V1.5=A^25<V3<2,

,3<26<4,

/.7<273+4<8,

的運算結果在7到之間,

AV48x/1+A/128

故選：D.

4.如圖，四邊形ABC。，已知AB=5C=6,AD=CD=4,且點。在VABC外部，則民。之間的距離可能是

B

A.4B.4.4C.9D.11

【答案】C

【知識點】三角形三邊關系的應用、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了三角形三邊數(shù)量關系，全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，掌握全等形的判

定和性質，勾股定理，三角形三邊數(shù)量關系的計算是關鍵.

如圖所示，連接AC,8。，由三角形三邊數(shù)量關系得到2<3。<10,0<AC<8,證明aW/一CBD(SSS),

ZABD=NCBD,ABO^^CBO(SAS),ZAOB=NCOB,AO^CO,在MAOB中，

BONAB?-AO2=抬-42=a=4&，點。在VABC外部，即班>>30，結合圖形即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,即，交于點0

在，ABD中，AB-AD<BD<AB+AD,

：.6-4<BD<6+4,即2<BD<10,

在，ACD中，AD—CD<AC<AD<CD,

：.0<AC<8,

在,ABD和CBD中，

AB=CB

<AD=CD,

BD=BD

沿

：.tABDACBD(SSS),

：.ZABD=NCBD,

在,ASO和CBO中，

AB=CB

<NABO=NCBO,

BO=BO

—ABO空C3O(S4S),

:.ZAOB=NCOB,AO=CO,

又ZAOB+ZCOB=180°,

ZAOB="03=90°,

8。垂直平分AC,

0<AO<4,

在RfAO3中，BO>\lAB2-AO2=V62-42=720=4A/5-

點。在VABC外部，即flD>30,

/.4^/5<BD<10,

故選：C.

5.如圖，將正六邊形紙片的空白部分剪下，得到三部分圖形，記I,II,III部分的面積分別為加，Sn,Sm.給

出以下結論：

①I和II合在一起能拼成一個菱形；②m中最大的內角是150。；③/=2（岳+S”）.

其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【知識點】等邊三角形的判定和性質、證明四邊形是菱形、利用弧、弦、圓心角的關系求解、正多邊形和

圓的綜合

62xl8

【分析】由六邊形ABCDEF是正六邊形，^AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（~）0=l20°,

6

從而I和H合在一起能拼成一個菱形，故①正確；由/AFE=/3DE=90。，ZDBF=60°,故III中最大的內

角是120°,故②說法錯誤；證明“BAF也DEF^DOF^DOB^BOF嗎BCD,得/=4、=2（S1+5口）,

故③說法正確.

【詳解】解：如圖所示:

六邊形ABCDEF是正六邊形,

62xl8

:,AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（-）°=12o°,

6

；?AB=BC=CD=DE=EF=AF，I和H合在一起能拼成一個菱形，故①正確；

136001360°

??.ZAFE=NBDE=—x——x3=90°,ZDBF=-x——x2=60°,

2626

???in中最大的內角是120。，故②說法錯誤；

???六邊形ABCDEF是正六邊形，

AAB=BC=CD=DE=EF=AFfNBAF=NBCD=126。,OA=OB=OF,ZAOB=ZAOF=6Q0,

：.BAF^BCD,AOB和AO/都是等邊三角形，

AB=OB=OF=FA，

BF=BF,

；?-BAF沿JBOF,

同理可證，.BAF-DEF"DOF—DOBaBOFWBCD,

Sm=45=26+5n）,故③說法正確;

故選B.

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的含義，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質，弧、

弦的關系，熟練的把正六邊形分割為6個全等三角形是解本題的關鍵.

6.定義：在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)圖象上到一條坐標軸的距離等于“（。20）,到另一條坐標軸的距

離不大于。的點叫做該函數(shù)圖象的方內點

對于下列四個結論：

①點（1,2）是一次函數(shù)y=2x圖象的“2方內點”；

3

②函數(shù)＞=-一圖象上不存在“2方內點”；

x

③若直線＞=履+左+!的"5方內點”有兩個，則-2〈人＜0；

2乙

④當函數(shù)丫二口-、11+；-2a-1的“。方內點''恰有3個時，符合條件的。的值也有3個.其中正確的序

號為（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【知識點】求點到坐標軸的距離、求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值、y=ax2+bx+c的圖象與性質、求反比例函數(shù)

值

【分析】本題為新定義題型，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)圖象上點的坐

標特征.根據(jù)、方內點”的定義，逐一判斷即可.

【詳解】解：①點(L2)到x軸距離為2,到y(tǒng)軸的距離等于1,不大于2,

故(1,2)是一次函數(shù)y=2x圖像的“2方內點”；故①正確;

3貝"點［一2，m)至Uy軸的距離為2,到X軸的距離為T，不大于2,即點［-2,|］是函數(shù)

②當天=—2時，＞=5

3

y=-三圖像上的“2方內點”；故②錯誤;

x

③若直線曠=履+k+(的方內點”有兩個,

由題意知，函數(shù)圖象的方內點”是指函數(shù)圖象上點落在以原點為中心，邊長為1且相鄰兩邊分別與X軸、

y軸平行的正方形邊上，

如圖，當x=-l時，y=；,即直線過定點尸1T,￡|,

當左=0時，直線y=履+4+:與AD有無數(shù)個”;方內點”，

對于直線PB,把點小-；,-］代入＞=履+左+；中，-/+左+；=-；，

角畢得：k=-2f

當-2〈左＜0時，直線、=丘+左+(與正方形ABCD的邊有兩個交點，表明有兩個‘《方內點”，故③正確;

22

④拋物線y=［x的方內點”是函數(shù)圖象上落在以原點為中心，邊長為2a且相鄰兩邊分

別平行于無軸與y軸的正方形上的點，如下圖；

當拋物線頂點在直線上時，拋物線恰有三個“。方內點”,

止匕時：■—2a—1=—a,解得：a=1+A/3,a=1-6(舍去)；

當拋物線經(jīng)過點B(-a-a)時,拋物線恰有三個“〃方內點”，

止匕時(一。―一1+y-2?-l=-a,整理得：ll〃+2q_3=0,

解得：Zl±^4,(舍去)；

1111

當拋物線經(jīng)過點cm,-。)時，拋物線恰有三個“。方內點”，

2

此時,一苫1)+^-2a-l=-a,整理得：a-2a-l=0,

解得：%=1+垃,a2=1-^2(舍去);

綜上，。的值恰有三個，分別為1+61+0,二1彳咨

故④正確;

故正確的有①③④,

故選：C.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.)

7.因式分解：a3-4a=.

【答案】a(a+2)(a-2)

【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式

【分析】本題考查了分解因式，先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進行二次分解即可求得答案.

【詳解】解：?3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).

故答案為：a(a+2)(a-2).

8.若三在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是____.

x-3

【答案】XH3

【知識點】分式有意義的條件

【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不為零是解題的關鍵.

根據(jù)分式有意義，分母不為零得到x-3wO,即可求解.

【詳解】解：若三在實數(shù)范圍內有意義，

則％-3。0,

解得：xw3,

故答案為：xw3.

9.已知b是關于x的一元二次方程V-5x-2=0的兩個實數(shù)根，貝U(a-2)2-《1-6)的值為.

【答案】4

【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、由一元二次方程的解求參數(shù)

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解及代數(shù)式求值.根據(jù)一元二次方程

的根與系數(shù)的關系可得必=一2,a2-5a=2,再將(。一？)?一。(1一6)變形為5a+"+4,最后整體代入計

算即可求解.

【詳解】解：b是一元二次方程d-5x-2=0的兩個實數(shù)根，

ab=-2,a2—5a—2=0,

??a"-5a=2,

*.*(a-2)—

=—4a+4—a+ab

—a2—5a+cib+4

=2-2+4

=4.

故答案為：4.

10.定義：若點C把線段AB分成兩部分，且滿足較長線段是較短線段的收倍，則稱點C為線段A5的青銅

分割點.已知點C是線段A8的青銅分割點，且AB=4,貝UAC=.

【答案】40-4或8-4應

【知識點】二次根式的混合運算、兩點間的距離

【分析】本題考查了線段上兩點間的距離，二次根式的計算，分類討論并根據(jù)題意正確列式是解題的關鍵.由

已知條件不能確定點C在線段A8上的位置，故要分情況討論：當時，及當AC>3C時，然后進行

求解即可.

【詳解】解：分兩種情況考慮，

①當AC<BC時，

根據(jù)題意設AC=a,則=

---AC+BC=AB=4,

a+\/2a=4，

解得a=4a-4，

即AC=4y/2-4;

②當AC>BC時，

同理可得AC=8-4立，

故答案為：4虛-4或8-40.

31

11.代數(shù)式上和代數(shù)式小的值相等，貝也=_________.

5x+l2x

【答案】1

【知識點】解分式方程（化為一元一次）

【分析】本題主要考查了代數(shù)式值相等問題，熟練掌握相等關系，列出方程，解方程，分式方程檢驗，是

解決本題的關鍵.通過題目中的等量關系列方程，解方程，檢驗，即可.

【詳解】解：由題可得：二三=白，

5x+l2x

去分母得，3x2x=5x+l,

解得，x=l,

檢驗：當x=l時,2x（5x+l）w。,

=l是所列方程的根，

故答案為：1.

12.某種LED燈能提供4000（流明）的光通量.把它安裝在某房間時，房間的光照強度/（單位：勒克斯）

與房間面積S（單位：平方米）滿足關系式/=用.若要求房間的光照強度/不低于200勒克斯，則房間

的最大面積為平方米.

【答案】20

【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、實際問題與反比例函數(shù)

【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)值，解一元一次不等式,

將/2200代入得用2200,求出解集可得答案.

kJ

【詳解】解：：/=用，且/N200,

RO。.

解得SW20.

所以房間的最大面積是20平方米.

13.如圖，四邊形是平行四邊形，AC為對角線，3ELAC于點E,〃BE,g==，則：“皿

DF2

的值為

【答案】1:9

【知識點】根據(jù)平行線判定與性質證明、利用平行四邊形的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定與性質，根據(jù)平行四邊形的性

質及5=：'得出岑=3'再判定'CES4B'即可求解’掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

BCAD,AD^BC,

：.ZBCE=ZFAC,

'DF~2'

：.DF=2BC,

：.AF=AD+DF=BC+2BC=3BC,

?8cl

??—―，

AF3

?:CF〃BE,

，NBEC=NFCA,

又：ZBCE=ZFAC,

cBCEsJCF,

2

?uBCEBC|>即S^BCE''S/iACF=1：9,

~AF

°ACFI

故答案為：1:9.

14.如圖，在RtAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8.按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半

徑畫弧，分別交AB,AC于點M,N；②分別以N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在/BAC

內交于點E;③作射線AE交于點④以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交48的延長線于點H,連

接則△或歸的周長為.

【答案】12

【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、作角平分線（尺規(guī)作圖）、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖.熟練掌握勾股定理，角平分線定義，全等三角形的判定和性質，三角形周

長，是解題的關鍵.

根據(jù)勾股定理得3C=10,根據(jù)角平分線定義得NB4D=NC4D,可得—ACD義AHD(SAS),得

CD=HD,AH=AC=8,得BH=2,BD+DH=BC,即得△3?！钡闹荛L.

【詳解】解：?.?在RtAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

BC=y/AC2+AB2=10，

由作圖知，AH^AC,AO平分/BAC,

ABAD=ACAD,

?；AD^AD,

.ACZ^AHD(SAS),

CD=HD,AH=AC=8,

BH=AH—AB=2,

ABDH的周長為：BD+DH+BH=BD+CD+BH=BC+BH=12.

故答案為：12.

15.如圖是由全等的含60。角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個小菱形的頂點叫做格點，其中點A,B,C在格點

上，則tanNACB的值為.

【答案】空

3

【知識點】等邊三角形的判定和性質、利用菱形的性質求角度、求角的正切值

【分析】本題考查菱形的性質，解直角三角形，連接3”,則設小菱形的邊長是。，由是

等邊三角形，得至UBH=BE=2a,由ZCDH=120°,CD=DH,得到CH=屆,于是tanZACB=里=空.

CH3

【詳解】解：連接3”,則3HLAC,

???菱形的銳角是60。，

A3團是等邊三角形,

BH=BE=2a,

過點。作。GLC”,

VZCDH=120°,CD=DH,

NDCH=ZDHC=1(180°-120°)=30°,

/.CG=a-cos30°=^-a,

2

：.CH=2CG=出a,

CH#1a3

故答案為：巫.

3

16.我們定義：在平面直角坐標系中，如果一點的橫、縱坐標都為整數(shù)，則稱這個點為“整點”.在平面直

角坐標系中，點4(-3,1),3(0,2),點C在線段42上運動，過C點作與x軸平行的直線/與拋物線

y=-/-4x+b始終有交點.設直線/與拋物線所圍成的封閉圖形(包括邊界)中的“整點”個數(shù)為"，若〃滿

足0<〃V15,貝昉的取值范圍為.

【答案】-2<b<2

【知識點】一元一次不等式組的其他應用、y=ax2+bx+c的圖象與性質

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵.先

由拋物線、=-*2-4丫+6=-(％+2)2+力+4得出拋物線的對稱軸為直線》=—2,頂點坐標為(-2,6+4),畫出

圖形，然后根據(jù)/與拋物線>=-/-?+8始終有交點，直線/與拋物線所圍成的封閉圖形(包括邊界)中的

b+4>2

“整點”個數(shù)為"，滿足?？傻貌坏仁浇M2。+4<6,然后解不等式組即可諄

【詳解】解：由拋物線>=一/一4》+6=—(X+2Y+6+4,

拋物線的對稱軸為直線x=-2,頂點坐標為(-22+4),

畫出圖形如下：

?.?/與拋物線y=-犬-4x+6始終有交點,

."+422,

...如圖，直線/與拋物線所圍成的封閉圖形(包括邊界)中的“整點”個數(shù)為“，滿足0<〃V15,

/7+4>2

聯(lián)立:

2</?+4<6

解得-2V6<2,

的取值范圍為-2W6<2,

故答案為：-2<b<2.

三、解答題（本大題共11小題，共88分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

2%—1<—X+2

17.（7分）解不等式組x-l1+2%.

------<-------

123

【答案】-5<x<l

【知識點】求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

【詳解】解：解不等式2x—1<—x+2,得x<l,

ETgjX-ll+2x_

角牛不等式H<---，得x>-5,

23

/.不等式組的解集是-5〈尤<1.

（?!x+1I

18.（7分）先化簡，再求值：卜+石卜了"7r其中-KT

【答案】x-i,收

【知識點】分式化簡求值、分母有理化

【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化.原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計

算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把X的值代入計算即可求出值.

x+1（X-1）"

x-1無+1

—X1,

1y/2+1rr

當x=H=產(chǎn)ip旬=迎+1時,原式=應+1-1=夜?

19.(8分)在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)、=辰+6(女中0)的圖象由函數(shù)y=2x的圖象向下平移1個

單位得到.

(1)求該一次函數(shù)的解析式；

(2)對于x的每一個值，函數(shù)y=7砒+〃的值都大于一次函數(shù)y=kx+b(k*0)的值且小于y=2x的值，直接寫

出相和”的取值范圍.

【答案】(i)y=2x-i

(2)m=2,—1<n<0

【知識點】一次函數(shù)圖象平移問題、比較一次函數(shù)值的大小

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移和函數(shù)性質，熟練掌握函數(shù)圖象平移的技巧和結合圖像分析

函數(shù)值大小是解題的關鍵.

(1)根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移法則進行求解即可；

(2)從函數(shù)位置關系入手，根據(jù)y=2x-l的圖象和y=2x的圖象平行即可確定相的值，再結合與y軸交點

即可確定”的范圍.

【詳解】(1)解：：一次函數(shù)丫="+6(左/0)的圖象由函數(shù)y=2尤的圖象向下平移1個單位得到，

y=2尤一1.

(2)解：???對于元的每一個值，函數(shù)丁=如+〃的值都大于一次函數(shù),=履十6(左w0)的值且小于y=2x的值,

，函數(shù)，=儂+"的圖象在y=2x-l的圖象和y=2x的圖象之間，

?.?y=2x-l的圖象和y=2尤的圖象平行，且與y軸交點分別為-1和0,

m=2,—1<^<0.

20.(8分)如圖，VABC內接于1O,BC是。的直徑，D是劣弧AB的中點，連接CD、OD,過點A作。

的切線交OD的延長線于點P.

⑴求證：ZP=ZB-,

(2)連接AD,當=時，求證：四邊形ACOD是菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【知識點】等邊三角形的判定和性質、證明四邊形是菱形、圓周角定理、切線的性質定理

【分析】(1)連接則。得到N&1C=NQ4P=9O。，然后根據(jù)圓周角定理ZAOD^ZACB,而

ZP=90°-ZAOD,ZB=90°-ZACB,即可證明；

(2)先證明aAOPZACB(AAS),證明力是等邊三角形，則NACB=60。，再證明△Q4D是等邊三角

形即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。4,則。4LAP,

4P=90°,

VBC>.。的直徑，

/.ZBAC=ZOAP=90°,

：.ZACB+ZB=90°,

丁。是劣弧A3的中點，

.?.ZACD=/BCD=-ZACB,

2

?.?ZACD=-ZAOD,

2

???ZAOD=ZACBf

?：ZP=90°-ZAOD,ZB=90°-ZACB,

:.ZP=ZB；

(2)證明：?.?N尸=N5,NAOP=NACB,AP=AB,

.?.AOP^ACB(AAS),

???AO=AC,

VOC=OAf：.OC=OA=AC,

*,?工。。是等邊三角形，

???ZACB=6Q°,

：.ZAOD=ZACB=60°f

OA=OD,

??.△OAD是等邊三角形，

??.AD=OA=OD,

???AD=OD=OC=AC,

???四邊形ACOD是菱形.

21.(8分)七巧板、九連環(huán)、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具.現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)和1個魯

班鎖分別裝在4個不透明的盒子中(每個盒子裝1個)，所有盒子除里面的玩具外均相同.

⑴從這4個盒子中隨機選取1個盒子，選中魯班鎖的概率是；

(2)從這4個盒子中隨機選取2個盒子,請用畫樹狀圖或列表的方法求選中的2個盒子里都是九連環(huán)的概率、

【答案】⑴；;(2)：.

46

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，簡單的概率公式，掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)直接用簡單的概率公式求解即可；

(2)畫出表格，得出共有12種等可能情況，其中選中的2個盒子里都是九連環(huán)的結果數(shù)為2,即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得，選中魯班鎖的概率是:，

故答案為：!；

(2)解：1個七巧板和1個魯班鎖分別用A、C表示，2個九連環(huán)分別用耳，層表示，列表如下:

A耳B2c

AAB]AB2AC

昌4A4B2耳C

鳥B2A紇B]B2c

CCACBtcB2

共有12種等可能情況，其中選中的2個盒子里都是九連環(huán)的結果數(shù)為2,

21

二選中的2個盒子里都是九連環(huán)的概率為：—

126

22.(8分)為激發(fā)學生興趣，提高學生素質，促進學生全面發(fā)展，某校在課后延時服務期間開展了豐富多

彩的選修課，艾老師為大家開展了《我是小小理財家》的選修課，在這節(jié)選修課后，同學們?yōu)榱私馊?400

名學生平均每天使用零花錢的情況，他們隨機調查了部分學生平均每天使用零花錢的金額，并用得到的數(shù)

據(jù)繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖：

圖①圖②

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)本次接受隨機調查的學生有人，圖①中加的值是;

(2)本次調查獲取樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為元，中位數(shù)為元；

(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校平均每天使用零花錢的金額大于15元的學生人數(shù).

【答案】(1)50,32

(2)10,15

（3）864人

【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)、求中位數(shù)、求眾數(shù)

【分析】本題主要考查了抽樣調查.熟練掌握條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的互補性，中位數(shù)，眾數(shù)，樣本容

量的定義和確定，用樣本估計總體，是解題的關鍵.

（1）以5元組的4人占8%求出調查的總人數(shù)；（2）根據(jù)從小到大排列，第25個，第26個數(shù)落在15元組，

得中位數(shù)為15元，10元組16人，人數(shù)最多，得眾數(shù)為10元；（3）2400乘20元和30元總人數(shù)占比，即

得.

【詳解】（1）解：???4+8%=50（人），m%=||xl00%=32%,

,本次接受隨機調查的學生有50人，圖①中機的值是32.

故答案為：50,32.

（2）：10元組16人，人數(shù)最多，

.??眾數(shù)為10元,

?；4元的4人，10元的16人,15元的12人,且4+16<25,4+16+12>26,

...從小到大排列,第25個，第26個數(shù)落在15元組，

二中位數(shù)為15元.

故答案為：10,15.

（3）2400x^^=864（人），

故該校平均每天使用零花錢的金額大于15元的學生約864人.

23.（8分）中國的探月工程激發(fā)了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點尸恰好看到一

顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離3。=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達點，透過點P恰好看

到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面時的距離=CD=L6m,點尸到8。的

距離PQ=2.6m,AC的延長線交尸。于點E.（注：圖中所有點均在同一平面）

（1）求夕的大小及tane的值；

（2）求CP的長及sinZAPC的值.

【答案】（1）45。，；

⑵&m,

34

【知識點】用勾股定理解三角形、仰角俯角問題（解直角三角形的應用）

【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關鍵；

（1）根據(jù)題意先求解CE=PE=lm,再結合等腰三角形的性質與正切的定義可得答案；

一「H1

（2）利用勾股定理先求解CP=0m,如圖，過C作CHLAP于結合tana=tan/PAE===：,設

AH4

CH^xm,則AH=4xm,再建立方程求解x,即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意可得：PQrAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,

AE=BQ=4(m),AC=BD=3(m),

CE=4-3=l(m),PE=2.6-1.6=l(m),ZCEP=90°,

：.CE=PE,

PE1

P=ZPCE=45°,tana=tan/PAE=二—；

AE4

(2)解：CE=PE=lmfNCEP=90。,

CP=JF+F=&m，

如圖，過C作CHLAP于a,

CH]

Vtan6r=tanZPAE=-----=-,設CH=xm,則AH=4%m,

AH4

Z.x2+(4.r)2=AC2=9,

解得：x=晅,

17

17

3歷

17_35/34.

,esinZAPC=—

CPV2-34

24.(8分)如圖1,矩形ABCD中，AB=4g,BC=4,動點E,尸分別從點8,。同時出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿3A0c向終點A,C運動，過點A作直線的垂線，垂足為G.

(1)當=bG時，AO與AG的數(shù)量關系為

(2)如圖2,若AG平分運動時間為/秒，求砂的長及f的值;

(3)當運動時間t=有時，直接寫出AG的長.

【答案】(1)AD=AG

⑵EF=4尬,t=2拒-2

⑶〒

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質與判定求線段長、相似三角

形的判定與性質綜合

【分析】(1)連接"，證明RtADF^RtAGP(HL)可得結論；

(2)過￡作EPLOC于尸，則四邊形BEPC為矩形，可得PC=BE,EP=BC=4,證明為等腰直

角三角形.則磅=即=4,￡F=4A/2;由"。尸=尸。=：(。-尸尸)求解即可；

(3)如圖2,先根據(jù)勾股定理求得E歹=2夕，AE=3y/3,再證明AGE^EPF,利用相似三角形的性質

求解即可.

【詳解】(1)解：AD^AG.

證明：連接AF,

圖1

???四邊形ABCD是矩形，AGLEF,

.??/Q=/AGr=90。，

?:DF=FG,AF=AF,

ARtADF^RtAGF(HL),

???AD=AG；

(2)解：??,四邊形ABC。是矩形，

；?ZDAE=/C=/B=90。,AB//CD,CD=AB=A6

過E作于尸，則ZEPC=/B=NC=90。.

???四邊形BEPC為矩形，

APC=BE,EP=BC=4,

???AG平分/ZMB,

???NG4E=45。.

ZAGE=ZAGF=90°,

???ZAEG=9Q°-ZGAE=45°.

■:DC//AB,

；?NEFP=ZAEG=45。,

??.△EFP為等腰直角三角形.

EP=FP=4.

EF=y/EP2+PE2=A/42+42=4A/2；

由題意得：BE=DF=t.

：.DF=PC=g(CD-PF)=44j=2陋-2,

即/=2鳳2；

FP

DC

圖2

(3)解：如上圖2,則尸C=3E=O尸=JLPF=CD-2DF=2^，PE=BC=4,

：,EF=\/PF2+PE2=^(2^)2+42=2幣,AE=AB-BE=3^3,

'：DC//AB,

/.ZAEG=ZEFP,又ZAGE=NEPF=90°,

:.AGEAEPF,

.AGAEAG3A/3

..——=—,H即n——=T=，

PEEF42不

??.AG="

7

25.（8分）如圖拋物線y=f+bx+c與x軸交于點A（T,0）和點2,與y軸交于點。（0,-4）,其頂點為D

（1）求拋物線的表達式及頂點。的坐標；

（2）在y軸上是否存在一點使得的周長最小.若存在，求出點M的坐標；若\|/,

oH

不存在，請說明理由；\/

（3）若點E在以點P（3,0）為圓心，1為半徑的P上，連接AE,以AE為邊在AE的下方朱/

作等邊三角形AEF,連接求班■的取值范圍.?口

【答案】（1）拋物線的表達式為y=V-耳-4,頂點D的坐標為

⑵點Af的坐標為；

（3）M的取值范圍為尸VJ五+1.

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題（二次函數(shù)綜合）、其他問題（二次函數(shù)綜合）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）作點2關于原點的對稱點？，連接4D交》軸于點此時的周長最小，利用待定系數(shù)法求得

直線D9的解析式，據(jù)此求解即可；

(3)以AP為邊在TIP的下方作等邊三角形AP。，得到點尸在以Q(l,2石)為圓心，1為半徑的：P上，據(jù)此

求解即可.

【詳解】(1)解：由于拋物線y=Y+?+c經(jīng)過點4(-1,0)和點C(0,-4),

l-b+c=0

c=-4

二拋物線的表達式為y=x?—3x—4=[x—|]

.??頂點。的坐標為仁,-彳)

(2)解：?.?點4(-1,0),對稱軸為直線x=],

點8(4,0),

VB（4,0）,C（0,-4）,

/.BC長為定值,

貝U9(y,o),連接交y軸于點河,

ADM+BM=DM+B'M^DB',此時的周長最小,

設直線DB'的解析式為y=kx+n,

-4k十幾=0

則37:25，

—k+n=——

124

25750

解得一—,b=------

2211

???直線加的解析式為一方怖

令x=0,則y=一1^,

???點M的坐標為（0,一斗）；

（3）解：以AP為邊在AP的下方作等邊三角形AP。，作軸于點連接PE,QF,

?..等邊三角形AEF,

AE=AF,^PAE=60°-ZPAF=ZQAF,AP=AQ=4,

：..PAE^QAF（SAS）,

:.QF=PF=1,AH=^AQ=2,QH=^A^-AH2-273.

OH^AH-AO^l,

.-.e（1,-273）,

.??點廠在以Q（l,-2君）為圓心，1為半徑的（。上，

%='（4-1）2+（2廚=國,

當點廠在線段8。上時，所有最小值為0T一1；

當點尸在射線8。上時，3斤有最大值為"F+1；

二8尸的取值范圍為與一+1.

26.（8分）如圖是由小正方形組成的6x9網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，VABC的三個頂點都是格

點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

(1)在圖1中，先畫將線段54繞點A逆時針旋轉90。后的線段ZM,再在AC上畫點E,使tanZA2E=g；

(2)在圖2中，先畫將線段CB繞點C順時針旋轉2NACB后的線段CP,再畫酬〃AB交AC于點H

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【知識點】等腰三角形的性質和判定、利用平行四邊形性質和判定證明、畫旋轉圖形、解直角三角形的相

關計算

【分析】(1)如圖所示，取格點。，連接AD,取AD與格線的交點尸，連接3P交AC于E,則線段D4和

點E即為所求；

(2)如圖所示，取格點7、L、S,連接BS,連接7L并延長交于尸，連接CP,取格點M、N連接MN交

AC于H,連接則線段CF,F”即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，取格點D連接AD,取AD與格線的交點尸，連接8P交AC于E,則線段ZM

和點E即為所求;

可證明=Z&4D=90°,則線段DA即為所求;

11Ap1

可證明4尸=彳4。=彳A2,貝lJtan/ABP=F=：,則點E即為所求;

22AB2

圖1

(2)解：如圖所示，取格點7、L、S,連接BS,連接7L并延長交3s于凡連接C/,取格點M、N連接MN

交AC于X,連接FH,則線段CF,即為所求;

可證明BbLRT,BC=CT,則BC=CF,

可證明AC,踮，則NACB=/ACF,則線段C尸即為所求；

可證明KR//BF//MN且直線KR到直線BF的距離等于直線MN到直線BF的矩形,

則所平分AC,又有AC平分8尸，則四邊形是平行四邊形，則切〃AB.

s

圖2

27.(10分)綜合與實踐

折疊在探究問題中，是極為重要的數(shù)學問題，在如下問題探究中，回答相關問題:

【問題情境】

如圖1,將矩形紙片A5CD先沿對角線8。折疊，展開后再折疊，使點8落在射線8。上，點8的對應點記為

B',折痕與邊AD,分別交于點E,F.

(1)【活動猜想】

如圖2,當點夕與點。重合時，那么四邊形3EDF是哪種特殊的四邊形？請說明理由.

(2)【問題解決】

在矩形紙片A3CD中，若邊AB=2,BC=273.

①請判斷AB'與對角線AC的位置關系并僅就圖3給出證明；

②當57)=1時，請求出此時AE的長度.

(3)【拓展提升】

如圖4,在正方形ABCD中，AB=4叵，對角線AC,8。相交于點。.點E是對角線AC上一點，連接BE,

過點E作EF工BE,分別交BD,C。于點尸，G,連接BG交AC于點將EG”沿EG翻折，點H的

對應點P恰好落在89上，得到△EPG.若點G為CD的中點，則△PPG的面積為.

【答案】(1)菱形，理由見解析

(2)①A?〃AC,證明見解析；②史或行

2

【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關

計算

【分析】(1)由折疊推出直線口垂直平分8。，得到助=BF=DF,然后結合矩形的性質，證明出

BE=DE=BF=DF,即可證明出四邊形BED/是菱形；

(2)①勾股定理求出3D=AC=4,證明出VA03是等邊三角形，進而求解即可；

②如圖3,點"在線段上，設AE交AD于點G,首先求出AG=4?-笈6=2-1=1,然后解直角三角

形求解即可；如圖4,點笈在線段8。的延長線上，延長A。、AE