專題04密度的計(jì)算相關(guān)模型

目錄

題型一密度的簡(jiǎn)單計(jì)算..........................................................................1

類型lm-V圖像問題........................................................................2

類型2密度的比值計(jì)算......................................................................3

類型3氣體密度的計(jì)算......................................................................3

題型二密度的綜合計(jì)算.........................................................................4

類型1物質(zhì)的鑒別計(jì)算......................................................................5

類型2空心物質(zhì)的密度計(jì)算..................................................................6

類型3混合物質(zhì)的密度計(jì)算..................................................................7

模型講解

題型一密度的簡(jiǎn)單計(jì)算

【解題指導(dǎo)】

1、計(jì)算過程要注意各量之間的關(guān)系時(shí)要仔細(xì)，容易上下顛倒。

2、利用密度公式計(jì)算時(shí)要注意單位的統(tǒng)一。

質(zhì)量用kg,則體積用n?,密度單位為kg/n?。

質(zhì)量用g,則體積用cm:密度單位為g/cn?。

3、氣體不同于固體和液體，氣體沒有固定的體積和形狀，所以瓶?jī)?nèi)氧氣用去一部分后，質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化,

但體積沒有變，密度減小。

4、方法:復(fù)雜的速度計(jì)算題可以借助動(dòng)行程線段圖進(jìn)行分析,從而找到物理量之間的關(guān)系。

【必備知識(shí)與關(guān)鍵能力】

密度的公式：P=—（P表示密度、m表示質(zhì)量、V表示體積），公式變化：m=pV、V=-o

VP

（1）同種物質(zhì)，在一定狀態(tài)下密度是定值，它不隨質(zhì)量大小或體積大小的改變而改變.當(dāng)其質(zhì)量（或體積）

增大幾倍時(shí)，其體積（或質(zhì)量）也隨著增大幾倍，而比值是不變的.因此，不能認(rèn)為物質(zhì)的密度與質(zhì)量成

正比，與體積成反比；

（2）具有同種物質(zhì)的物體，在同一狀態(tài)下，體積大的質(zhì)量也大，物體的體積跟它的質(zhì)量成正比；

（3）不同物質(zhì)的物體，在體積相同的情況下，密度大的質(zhì)量也大，物體的質(zhì)量跟它的密度成正比型=包。

Pl

（4）不同物質(zhì)的物體，在質(zhì)量相同的條件下,密度大的體積反而小，物體的體積跟它的密度成反比3=包。

類型1m-V圖像問題

1、理解m-V圖像中，坐標(biāo)軸與曲線的物理含義；m-V圖像中過原點(diǎn)的直線斜率代表物質(zhì)的密度，越靠近m

軸物質(zhì)的密度越大，通過這一點(diǎn)可以判斷物質(zhì)密度的大小。

（1）橫坐標(biāo)表示體積、縱坐標(biāo)表示質(zhì)量時(shí)，比較密度時(shí)，畫一條豎線，交點(diǎn)在上面的密度大。

（2）橫坐標(biāo)表示質(zhì)量，縱坐標(biāo)表示體積時(shí)，比較密度時(shí)，畫一條橫線，交點(diǎn)在右邊的密度大。

2、利用m-V圖像進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。

［例1］為了測(cè)量某種液體密度，小明利用天平測(cè)量液體和量杯的總質(zhì)量機(jī)及液體的體積V,得到了幾組數(shù)

據(jù)并繪出山-V圖像。則此實(shí)驗(yàn)中使用的量杯質(zhì)量為g,所測(cè)液體密度是g/cm3,若某次總質(zhì)

量為37g時(shí)，量杯中液體的體積為cm3o

【變式演練1】向兩個(gè)相同的容積為100mL的容器中分別裝入甲、乙兩種液體。液體與容器的總質(zhì)量?jī)?yōu)與

液體的體積V之間關(guān)系如圖所示。由圖象可知（）

A.甲液體的密度為0.5g/cm3B.甲、乙液體的密度之比為2:5

C.該容器最多能裝25g甲液體D.該容器裝滿乙液體的質(zhì)量為100g

【變式演練2】如圖所示是服6、c三種不同物質(zhì)的體積和質(zhì)量的關(guān)系圖像，其中（選填%"、》“或％”）

物質(zhì)的密度最大。若用。物質(zhì)做成一個(gè)體積為lOOcn?的實(shí)心球，則該球的質(zhì)量為..g=

【變式演練3】在測(cè)量橄欖油密度的實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得橄欖油與燒杯的總質(zhì)量機(jī)和橄欖油體積V的關(guān)系如圖所

小：

（1）橄欖油的密度;

（2）當(dāng)油與燒杯總質(zhì)量為根2時(shí)，油的體積是多少?

類型2密度的比值計(jì)算

VV1

1、根據(jù)公式Q（有時(shí)需要對(duì)公式進(jìn)行變形），將題干的比值關(guān)系代入即可，注意計(jì)算不要錯(cuò)誤。

【例2】在一架放在水平面上、已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡的托盤天平的兩個(gè)天平盤里，分別放入正方體A、B兩個(gè)實(shí)心

物體，天平仍然保持平衡。A、B兩個(gè)正方體棱長之比為2：1,則可知叫機(jī)B（選填

2

或“<"），幺A;如果把A物體截去一半，B截去：，則密度之比為0

【變式演練1】由不同物質(zhì)組成的甲、乙兩個(gè)實(shí)心正方體，其質(zhì)量之比是3：4,體積之比是1：2,這兩種

物質(zhì)的密度之比是（）

A.3：1B.3：2C.2：3D.6：1

【變式演練2】一個(gè)實(shí)心圓球分內(nèi)外兩層，分別由甲乙兩種不同的物質(zhì)構(gòu)成，其中內(nèi)層甲物質(zhì)的半徑恰為整

球半徑的一半。已知內(nèi)層的質(zhì)量比外層的少20%,則甲乙兩種物質(zhì)的密度之比為：（）

A.7：5B.8：5C.32：5D.28：5

【變式演練3】甲、乙兩液體體積比為3：2,質(zhì)量比為1：2,則它們的密度比為；如果將甲液體倒去

3_

一半，乙液體倒去了，則它們剩余的液體密度比為____O

4

類型3氣體密度的計(jì)算

1、要知道氣體沒有固定的體積和形狀，裝入瓶子后，質(zhì)量變化，體積保持不變。

【例3】某瓶氧氣的密度是5kg/m3,給人供氧用去了氧氣質(zhì)量的一半，則瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的密度是kg/m3；

容積是10L的瓶子裝滿了煤油，已知煤油的密度是0.8xl03kg/m3,則瓶?jī)?nèi)煤油的質(zhì)量是kg,將煤

油倒去一半后，瓶?jī)?nèi)剩余煤油的密度是g/cm3。

【變式演練1】一只總質(zhì)量為70kg的氧氣瓶，瓶?jī)?nèi)氧氣密度為外，使用半小時(shí)質(zhì)量變?yōu)?0kg,瓶?jī)?nèi)氧氣的

密度為g。。；再使用一段時(shí)間，質(zhì)量變?yōu)?0kg,此時(shí)瓶?jī)?nèi)的氧氣密度應(yīng)為（）

A.B.C./oD.［夕0

【變式演練2】裝在燒杯中的水被倒出一部分后，燒杯中剩余水的密度（選填“變大”、“變小”或“不

變”)；密封在鋼罐中的密度為6kg/m3的氣體被抽出一半后，容器中剩余氣體的密度為kg/m3?

【變式演練3】低海拔地區(qū)的人員進(jìn)入西藏，容易患上高原病，吸氧是最有效緩解高原病癥狀的治療手段。

如圖是西藏生產(chǎn)的一種容量為lOOOcn?的吸氧瓶，裝有14g氧氣，可供人吸氧200次，求：

(1)一個(gè)還未使用過的吸氧瓶?jī)?nèi)氧氣的密度是多少？

(2)若每次吸取的氧氣量是一樣的，則吸取50次后，瓶?jī)?nèi)大約還剩下多少g的氧氣？剩余氧氣的密

度是多少？

題型二密度的綜合計(jì)算

【解題指導(dǎo)】

1、利用物質(zhì)的密度來鑒別物質(zhì)的不確定性。由于不同物質(zhì)的密度可能是相同的，例如冰和蠟都是固體，它

們的密度相同，因此，僅通過密度是不能確定是哪種物質(zhì)的，但通過軟硬程度可以區(qū)分它們，硬的是冰，

軟的是蠟，可見，要準(zhǔn)確地鑒別物質(zhì)，常常需要多種方法并用。

2、判斷球是空心還是實(shí)心及鑒別物質(zhì)的組成有三種方法：有密度比較法、質(zhì)量比較法、體積比較法三種。

3、混合物質(zhì)的密度計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是用總質(zhì)量除以總體積，而不是兩種密度加起來除以2,需牢記。

【必備知識(shí)與關(guān)鍵能力】

密度公式的應(yīng)用

rn17]

(1)根據(jù)公式夕="來鑒別物質(zhì)。測(cè)出物體的質(zhì)量和體積，運(yùn)用公式夕="求出物質(zhì)的密度，然后對(duì)照

密度表就可以知道該物質(zhì)的種類。

(2)利用公式丫=一計(jì)算不便測(cè)量的物體的體積。測(cè)出物體的質(zhì)量，利用密度表查出該種物質(zhì)的密度，利

P

用公式v=一就可以計(jì)算出物體的體積。

P

(3)利用!H=PV計(jì)算不便測(cè)量的物體的質(zhì)量。測(cè)出物體的體積，利用密度表查出該種物質(zhì)的密度，利用公

式m=PV就可以計(jì)算出物體的質(zhì)量。

(4)空、實(shí)心的判斷：通過對(duì)物體的密度、質(zhì)量、體積的比較，可判斷物體時(shí)空心的還是實(shí)心的，即當(dāng)P

物=P為實(shí)心，P物＜P為空心；m物=m為實(shí)心，m物＜m為空心；V物=丫為實(shí)心，V物＞丫為空心。

(5)判斷球是空心還是實(shí)心有密度比較法、質(zhì)量比較法、體積比較法三種。

類型1物質(zhì)的鑒別計(jì)算

1、鑒別的原理。密度是物質(zhì)的基本性質(zhì)之一，每種物質(zhì)都有自己的密度，不同物質(zhì)的密度一般不同。因此

根據(jù)物質(zhì)的密度可以鑒別物質(zhì)。例如鑒定牛奶、酒的品質(zhì)；農(nóng)業(yè)選種配制鹽水等。

2、鑒別的方法。測(cè)量出物質(zhì)的質(zhì)量和體積，根據(jù)公式夕=g求出其密度，再查密度表進(jìn)行對(duì)照，就可以判

斷出物質(zhì)的密度。

【例1】把一塊金屬塊放入盛滿酒精的燒杯中，從燒杯中溢出8g酒精，再將該金屬塊放入盛滿水的燒杯中。

求：(〃次=1。g/cm3)

密度密度

物質(zhì)物質(zhì)

(xlO3kg/m3)(xl03kg/m3)

酒精0.8銅8.9

鉛11.3鋼、鐵7.9

(1)金屬塊的體積；

(2)從燒杯中溢出的水的質(zhì)量；

(3)若該金屬塊的質(zhì)量為89g,請(qǐng)根據(jù)密度表判定最有可能是哪種金屬。

【變式演練1】有一件實(shí)心金屬工藝品，其質(zhì)量是96.5g,體積是5cm3,請(qǐng)通過計(jì)算判斷，它是什么金屬制

成的(p金=19.3x1(Pkg/nP,p^F11.3xl03kg/m3,p^=7.9xl03kg/m3)()

A.是金做的B.是鐵做的C.是鉛做的D.不能確定

【變式演練2】小寧參加全市心算比賽榮獲銅牌，他想知道這塊獎(jiǎng)牌是否是純銅制成的。于是他用天平和量

筒分別測(cè)出獎(jiǎng)牌的質(zhì)量為28.8g、體積為4cm3,并算出獎(jiǎng)牌的密度為g/cm3,通過查密度表知道，

銅的密度為8.9xl03kg/m3,由此他判斷該獎(jiǎng)牌不是由純銅制成的。他的判斷是（選填“正確”、“錯(cuò)

誤”）的，理由是。

【變式演練3】在物理實(shí)驗(yàn)課上，小明測(cè)得學(xué)校飯?zhí)媚撤N湯匙的質(zhì)量是10.8g,體積是4cm3,如圖。請(qǐng)計(jì)算：

物質(zhì)銀銅鐵（鋼）鋁ABS塑料

10.58.97.92.71.05

密度夕/g?cm"

（1）根據(jù)上表，推測(cè)這把湯匙可能是什么材料制成的？

（2）小明想借用學(xué)校的3D打印設(shè)備用ABS塑料做材料，打印出了一把等體積的湯匙，他至少需要準(zhǔn)

備多少g的ABS塑料？

類型2空心物質(zhì)的密度計(jì)算

1、判斷物體的空心和實(shí)心。

（1）比較質(zhì)量法：把物體看成是實(shí)心的，用組成這種物體的物質(zhì)的密度乘以這個(gè)物體的體積，可得實(shí)心物

體的質(zhì)量，如果實(shí)心物體的質(zhì)量大于物體本身的質(zhì)量，物體就是空心的。

（2）比較體積法：用物體的質(zhì)量除以組成這種物體的物質(zhì)的密度，可得實(shí)心部分的體積，如果實(shí)心部分的

體積小于物體的體積，物體就是空心的。

（3）比較密度法：用物體的質(zhì)量除以物體的體積，可得這個(gè)物體的密度，如果物體的密度小于組成這個(gè)物

體的物質(zhì)的密度，物體就是空心的。

【例2】一個(gè)銅球的質(zhì)量為89g,體積為15cm3,銅的密度為8.9g/cm3。求：

（1）試判斷該球空心的還是實(shí)心的？

（2）如果空心的，求空心部分的體積多大？

【變式演練1】a、b是兩個(gè)由同種材料制成的金屬球，它們的質(zhì)量分別為60g和128g,體積分別為12cm3和

16cm3。在這兩個(gè)金屬球中，如果有一個(gè)是實(shí)心的，那么（）

A.a是實(shí)心球，金屬密度是gg/cn?B.a是實(shí)心球，金屬密度是5g/cn?

C.b是實(shí)心球，金屬密度是8g/cn?D.b是實(shí)心球，金屬密度是Sg/cn?

【變式演練2】a、b是兩個(gè)由同種材料制成的金屬球,a的質(zhì)量120g,體積40cm3,b的質(zhì)量60g,體積25cm3,

如果其中有一個(gè)球是實(shí)心的，那么，這個(gè)空心球應(yīng)該是（選填Z"或?"），這種金屬的密度是

g/cm3,空心球空心部分的體積是cm3o

【變式演練3】小明媽媽過生日的前一天，媽媽故意在脖子上用筆畫一個(gè)吊墜讓他爸爸看。爸爸頓悟，就在

地?cái)偵辖o媽媽買了一只金吊墜,測(cè)得這只金免吊墜的質(zhì)量為13.51g,體積為L5cm3。(0折19.3xlO3kg/m3；

p^^8.9xlO3kg/m3)

(1)該吊墜的密度為多少？

(2)判斷該金吊墜是否為空心，空心體積為多少cnP?

(3)若空心部分用銅填滿，總質(zhì)量為多少？

類型3混合物質(zhì)的密度計(jì)算

1、求解混合物的問題，要注意以下幾點(diǎn)

(1)混合前后總質(zhì)量不變。

(2)混合前后總體積不變(一般情況)。

(3)混合物的密度等于總質(zhì)量除以總體積；此類問題難度較大，正確把握上述三點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵。

【例3】文文同學(xué)對(duì)合金制成的機(jī)器零件進(jìn)行探究。她用天平測(cè)出一個(gè)合金構(gòu)件的質(zhì)量為748g,用量杯測(cè)

出該構(gòu)件的體積是200cm3,她查閱了該構(gòu)件說明書，得知該合金構(gòu)件由鋁與鋼兩種材料合成，鋼的體

積占比為20%,且鋁的密度為2.7xl03kg/m3,如果構(gòu)件的體積等于兩種金屬體積之和。求：

(1)該合金材料的平均密度是多少kg/m3?

(2)該合金構(gòu)件中鋼的密度是多少kg/irf?

(3)若用該合金材料去替換機(jī)器的某一鋼制零件，質(zhì)量比鋼制零件減少了832g,求該鋼制零件的質(zhì)量

是多少g?

【變式演練1】已知水的密度是L0xl()3kg/m3,酒精的密度0.8xl()3kg/m3。把100mL的水和200mL的酒精混

9

合在一起，混合后的體積為原來總體積的工。則()

A.混合液體的總質(zhì)量為0.27kg

B.混合液體的總質(zhì)量為0.18kg

C.混合液體的密度為0.96xl（）3kg/m3

D.混合液體的密度為OgxlOlg/n?

【變式演練2】白酒的主要成分是水和酒精。目前中國使用白酒的度數(shù)表示法稱為標(biāo)準(zhǔn)酒度，是指在溫度為

20℃的條件下，每100mL白酒中所含酒精的毫升數(shù)，酒廠為得到相應(yīng)的酒度，需將高度白酒與低度白

酒進(jìn)行勾兌（混合）?，F(xiàn)有60度高度白酒和20度低度白酒若干（已知p??=0.8xl03kg/m3,p水=

1.0xl03kg/m3,不考慮白酒混合前后體積變化），則100mL的60度白酒中所含酒精體積是mL,60

度白酒的平均密度是g/cnP；20度白酒密度（大于/等于/小于）60度白酒密度；如果用60度

和20度這兩種白酒進(jìn)行勾兌，獲得1000mL52度的白酒，那么所用60度白酒的質(zhì)量是kg。

【變式演練3】房縣酒文化源遠(yuǎn)流長，白酒的主要成分是水和酒精，之外還有極少量的微量元素，目前我國

使用酒液的度數(shù)表示法稱為標(biāo)準(zhǔn)酒度，是指在溫度為20℃的條件下，每100mL白酒中所含酒精的毫升

數(shù)，酒廠為得到相應(yīng)的酒度，當(dāng)酒液蒸儲(chǔ)出來后，需組織專業(yè)的勾兌師進(jìn)行勾兌，勾兌一方面可以調(diào)

整酒的度數(shù)，另一方面還可保障酒的品質(zhì)，現(xiàn)有60度和20度的酒液若干，酒液中的微量元素忽略不

計(jì)。（已知"酒產(chǎn)OBxlCPkg/n?,p^=1.0xl03kg/m3,不考慮酒液混合后體積的變化）

（1）100mL的20度酒液中所含酒精體積是多少？

（2）現(xiàn)有100mL45度的白酒，求該白酒的平均密度是多少？

（3）如果用60度和20度這兩種酒液進(jìn)行勾兌，獲得1000mL的53度白酒，則所用60度和20度酒液

各多少mL?

綜合應(yīng)用

1.很多同學(xué)知道自己的身高和體重，卻不知道自己的體積。小軍身高170cm,質(zhì)量60kg,他的體積約為

（）

A.170cm3B.0.06m3C.0.6m3D.60m3

2.（23-24八年級(jí)上?北京?期中）甲、乙兩球的質(zhì)量相等，兩球中有一個(gè)是空心的，另一個(gè)是實(shí)心的。甲球

是由鋁制成的，乙球是由某種銅合金制成的。甲球的體積為40cm3,乙球的體積為lOcn?,已知2斫2.7g/cm3,

p#^=8.1g/cm3o下列說法正確的是（）

A.甲球的質(zhì)量為100gB.乙球的質(zhì)量為81g

C.甲球?qū)嵭牟糠值捏w積為lOcirPD.乙球空心部分的體積為4cm3

3.（2024.江蘇徐州?二模）一只質(zhì)量為60kg的醫(yī)用氧氣瓶，剛啟用時(shí)瓶?jī)?nèi)氧氣密度為夕。使用半小時(shí)，氧

氣瓶的質(zhì)量變?yōu)?5kg,瓶?jī)?nèi)氧氣的密度為0.5/，再使用一段時(shí)間，氧氣瓶的質(zhì)量變?yōu)?0kg,此時(shí)瓶?jī)?nèi)

的氧氣密度應(yīng)為（）

A.O.lpB.0.2pC.0.3pD.0.4/?

4.（2024?貴州畢節(jié)?一模）向兩個(gè)相同的燒杯中分別裝入甲、乙兩種液體。液體與燒杯的總質(zhì)量機(jī)與液體的

體積V之間關(guān)系如圖所示。由圖象可知（）

A.甲液體的密度為0.5g/cm3

B.甲、乙兩種液體的密度之比P甲：夕乙=1：4

C.燒杯中裝滿液體時(shí)、甲液體的體積比乙液體的體積大

D.甲、乙兩液體質(zhì)量相同，乙的體積比甲大

5.（2024.安徽池州.三模）小明利用天平、量筒和小燒杯測(cè)量某種液體的密度，根據(jù)數(shù)據(jù)繪出燒杯和液體的

總質(zhì)量隨液體體積的變化關(guān)系如圖所示，則下列說法中不正確的是（）

才jw/g/

40卜一/

20

020406080F/cirP

A.小燒杯的質(zhì)量是20gB.液體的密度是L0xl（）3kg/m3

C.隨著液體體積的增加，液體的密度不變D.若祛碼生銹則會(huì)導(dǎo)致質(zhì)量測(cè)量值偏大

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）3D打印是一種快速、靈活的制造技術(shù)，使用3D打印技術(shù)可以縮短牙齒治療

的時(shí)間。如圖，先打印出塑料牙齒的大致模樣，接著手工打磨得到形狀完美的塑料牙齒，再根據(jù)塑料牙

齒鑄造得到形狀、大小都相同的烤瓷牙齒。打磨過程中塑料牙齒的密度（選填“變大”“變小”或“不

變”）。從塑料牙齒到烤瓷牙齒，若質(zhì)量增加1g,則牙齒的體積為cm3（P鯽=0.9xK）3kg/m3,

33

^^2.9xl0kg/m）o烤瓷可用于制作牙齒，是由于它具有硬度（選填“大”或“小”）的特性。

7.（2024?江蘇泰州?一模）一包A4型號(hào)的復(fù)印紙共500張，厚度為5cm,質(zhì)量規(guī)格是gOg/n?（每張復(fù)印紙

3

紙的質(zhì)量是80g）。則一張紙的厚度是cm,該復(fù)印紙的密度是kg/mo

8.（2024.山東聊城?二模）俗話說“冬吃蘿卜夏吃姜，不勞醫(yī)生開藥方”，可是蘿卜很容易出現(xiàn)如圖所示的糠

心，為保持蘿卜新鮮持久，應(yīng)把蘿卜儲(chǔ)藏在溫度不宜過高、濕度較大的環(huán)境中。小明買了6kg的新鮮青

蘿卜，總體積為5000cm3,準(zhǔn)備曬干。若青蘿卜的含水率為80%（含水率指物質(zhì)中水的質(zhì)量占總質(zhì)量的

百分比）。求：

（1）新鮮青蘿卜的密度為kg/m3；

（2）將6kg的新鮮青蘿卜哂干后，蘿卜干的質(zhì)量為kg。（蘿卜干中剩余水分忽略不計(jì)）

9.（2024.江蘇常州.一模）某同學(xué)研究液體密度時(shí)，用兩個(gè)完全相同的容器分別裝入A、B兩種液體，并繪

制出總質(zhì)量機(jī)與液體體積V的關(guān)系圖像（如圖所示）。由圖像可知：A液體的密度為—kg/m3；若容器

裝入密度為0.8xl（）3kg/m3的煤油，繪制出的圖像應(yīng)在_區(qū)（I/11/IIDo

10.（23-24八年級(jí)上.山東青島?期末）小明在實(shí)驗(yàn)室找到一只玻璃瓶，稱得其質(zhì)量為0.1kg,將瓶子裝滿水,

測(cè)得瓶子和水總質(zhì)量為0.4kgo

Cl）瓶子的容積多大？

（2）若在該瓶中裝了一些金屬顆粒，稱得瓶子和金屬顆?？傎|(zhì)量為0.8kg,再往瓶中加滿水，稱得其

總質(zhì)量為1kg,則這些金屬顆粒的總體積多大？

（3）將1750g的該金屬顆粒熔化，澆筑成金屬工件，該工件的體積為300cm3,工件是空心還是實(shí)心?

空心體積多大？

11.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?模擬預(yù)測(cè)）有一鐵球的質(zhì)量為395g,體積是55cm3。（=7.9xl03kg/m3）求:

（1）通過計(jì)算空心部分的體積是多大？

（3）如果給空心部分灌滿水，則球的總質(zhì)量是多大？

12.（2024?山東濟(jì)南?三模）小明生日收到一個(gè)禮物——俄羅斯套娃，它是由一樣圖案的七個(gè)木娃娃一個(gè)套

一個(gè)組成的，只有最小的一個(gè)是實(shí)心的，其他的全是空心的，如圖所示。小明測(cè)出最大套娃的質(zhì)量為30g、

體積為450cm3,最小套娃的質(zhì)量為6g、體積為7.5cm3。求制作套娃木材的密度為多少kg/nP?

專題04密度的計(jì)算相關(guān)模型

目錄

題型一密度的簡(jiǎn)單計(jì)算..........................................................................1

類型1m-V圖像問題.....................................................................13

類型2密度的比值計(jì)算.....................................................................16

類型3氣體密度的計(jì)算.....................................................................18

題型二密度的綜合計(jì)算........................................................................20

類型1物質(zhì)的鑒別計(jì)算.....................................................................21

類型2空心物質(zhì)的密度計(jì)算................................................................23

類型3混合物質(zhì)的密度計(jì)算................................................................25

模型講解

題型一密度的簡(jiǎn)單計(jì)算

【解題指導(dǎo)】

1、計(jì)算過程要注意各量之間的關(guān)系時(shí)要仔細(xì)，容易上下顛倒。

2、利用密度公式計(jì)算時(shí)要注意單位的統(tǒng)一。

質(zhì)量用kg,則體積用n?,密度單位為kg/n?。

質(zhì)量用g,則體積用cm）密度單位為g/cm3a

3、氣體不同于固體和液體，氣體沒有固定的體積和形狀，所以瓶?jī)?nèi)氧氣用去一部分后，質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化,

但體積沒有變，密度減小。

4、方法:復(fù)雜的速度計(jì)算題可以借助動(dòng)行程線段圖進(jìn)行分析,從而找到物理量之間的關(guān)系。

【必備知識(shí)與關(guān)鍵能力】

密度的公式：p=~（P表示密度、m表示質(zhì)量、V表示體積），公式變化：m=pV、V=-o

VP

（1）同種物質(zhì)，在一定狀態(tài)下密度是定值，它不隨質(zhì)量大小或體積大小的改變而改變.當(dāng)其質(zhì)量（或體積）

增大幾倍時(shí)，其體積（或質(zhì)量）也隨著增大幾倍，而比值是不變的.因此，不能認(rèn)為物質(zhì)的密度與質(zhì)量成

正比，與體積成反比；

（2）具有同種物質(zhì)的物體，在同一狀態(tài)下，體積大的質(zhì)量也大，物體的體積跟它的質(zhì)量成正比；

（3）不同物質(zhì)的物體，在體積相同的情況下，密度大的質(zhì)量也大，物體的質(zhì)量跟它的密度成正比色=包。

Pl

（4）不同物質(zhì)的物體，在質(zhì)量相同的條件下,密度大的體積反而小，物體的體積跟它的密度成反比3=包。

V2Pl

類型1m-V圖像問題

1、理解m-V圖像中，坐標(biāo)軸與曲線的物理含義；m-V圖像中過原點(diǎn)的直線斜率代表物質(zhì)的密度，越靠近m

軸物質(zhì)的密度越大，通過這一點(diǎn)可以判斷物質(zhì)密度的大小。

（1）橫坐標(biāo)表示體積、縱坐標(biāo)表示質(zhì)量時(shí)，比較密度時(shí)，畫一條豎線，交點(diǎn)在上面的密度大。

（2）橫坐標(biāo)表示質(zhì)量，縱坐標(biāo)表示體積時(shí)，比較密度時(shí)，畫一條橫線，交點(diǎn)在右邊的密度大。

2、利用m-V圖像進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。

［例1］為了測(cè)量某種液體密度，小明利用天平測(cè)量液體和量杯的總質(zhì)量機(jī)及液體的體積V,得到了幾組數(shù)

據(jù)并繪出機(jī)-V圖像。則此實(shí)驗(yàn)中使用的量杯質(zhì)量為g,所測(cè)液體密度是g/cn?,若某次總質(zhì)

量為37g時(shí)，量杯中液體的體積為cm3?

【答案】100.930

【詳解】山⑵設(shè)量杯的質(zhì)量為小配液體的密度為"，讀圖可知，當(dāng)液體體積為％=20cm3時(shí)，液體和量

杯的總質(zhì)量

mi=m行28g

px20cm3+m#=28g①

當(dāng)液體體積為V2=50cm3時(shí)，液體和量杯的總質(zhì)量

m2=m茨2+機(jī)#=55g

/?x50cm3+m行55g②

②-①得

px50cm3-px20cm3=55g-28g=27g

解得液體的密度/>=0.9g/cm3,將片0.9g/cm3代入①得

0.9g/cm3x20cm3+m行28g

解得加斯二10g。

[3]若某次總質(zhì)量

mss+m行37g

pVs+m行37g

0.9g/cm3xV3+10g=37g

3

解得液體的體積V3=30cmo

【變式演練1】向兩個(gè)相同的容積為100mL的容器中分別裝入甲、乙兩種液體。液體與容器的總質(zhì)量?jī)?yōu)與

液體的體積V之間關(guān)系如圖所示。由圖象可知（）

100

80

60

40

O20406080

A.甲液體的密度為0.5g/cm3B.甲、乙液體的密度之比為2:5

C.該容器最多能裝25g甲液體D.該容器裝滿乙液體的質(zhì)量為100g

【答案】C

【詳解】AB.據(jù)圖可知，當(dāng)甲液體的質(zhì)量為20g,體積為80cm3；乙液體的質(zhì)量為80g,體積為80cm3,

則甲乙兩液體的密度分別為

=*=甲、乙液體的密度之比為

夕甲_0.25g/cm3_1

.乙lg/cm34

故AB不符合題意;

C.已知容器的容積是100mL,則該容器最多能裝甲液體的質(zhì)量為

=7甲V=0.25g/cmx100cm=25g

故C符合題意;

D.該容器裝滿乙液體，則乙液體的質(zhì)量為

=0乙V=lg/cm3x100cm3=100g

該容器的總質(zhì)量為

m'=m容+=20g+100g=120g

故D不符合題意。

故選C。

【變式演練2】如圖所示是服從c三種不同物質(zhì)的體積和質(zhì)量的關(guān)系圖像，其中（選填%"、%"或％”）

物質(zhì)的密度最大。若用。物質(zhì)做成一個(gè)體積為lOOcn?的實(shí)心球，則該球的質(zhì)量為go

【答案】c50

【詳解】口］由圖象可知，當(dāng)三種物質(zhì)的質(zhì)量都為1kg時(shí)，a物質(zhì)的體積最大，c物質(zhì)的體積最小，由

公式。=/知，a物質(zhì)的密度最小，c物質(zhì)的密度最大。

⑵有圖象可知，a的質(zhì)量為1kg時(shí)，它的體積為故a的密度

p-----生^-r=0.5x103kg/m3=0.5g/cm3

V2xl0-3m3

體積為100cm3的實(shí)心球質(zhì)量為

m=pV=O.5g/cm3x100cm3=50g

【變式演練3】在測(cè)量橄欖油密度的實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得橄欖油與燒杯的總質(zhì)量機(jī)和橄欖油體積V的關(guān)系如圖所

示:

（1）橄欖油的密度；

（2）當(dāng)油與燒杯總質(zhì)量為牝時(shí)，油的體積是多少？

【詳解】（1）由圖像知道，空燒杯的質(zhì)量為優(yōu)o,橄欖油體積為Vo時(shí)，橄欖油的質(zhì)量

加油=叫一/

由夕=￡知道，橄欖油的密度

_加油_班-優(yōu)0

一元_/

（2）當(dāng)油與燒杯總質(zhì)量為%時(shí)，橄欖油的質(zhì)量

m.^=m2-m0

油的體積是

y,=取=一一—=m2-m0v

Pg一外叫一/°

%

類型2密度的比值計(jì)算

rn

1、根據(jù)公式Q="（有時(shí)需要對(duì)公式進(jìn)行變形），將題干的比值關(guān)系代入即可，注意計(jì)算不要錯(cuò)誤。

【例2】在一架放在水平面上、已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡的托盤天平的兩個(gè)天平盤里，分別放入正方體A、B兩個(gè)實(shí)心

物體，天平仍然保持平衡。A、B兩個(gè)正方體棱長之比為2：1,則可知叫,%（選填

2

或“<”），幺PB；如果把A物體截去一半，B截去則密度之比為o

【答案】=<1：8

【詳解】口］放入A、B物體后，天平仍然保持平衡，說明A和B的質(zhì)量相等，則

mA=mB

［2］由于A、B兩個(gè)正方體棱長之比為2：1,所以A正方體的體積大于B正方體的體積，由密度公式可

得

由于密度是物質(zhì)的屬性，所以把A物體截去一半，B截去|,剩余部分的密度不變，所以剩余

部分的密度之比

m

A33

==-x（1Y=1

31

PB維人匕（ZA）%UAJuj8

【變式演練1】由不同物質(zhì)組成的甲、乙兩個(gè)實(shí)心正方體，其質(zhì)量之比是3：4,體積之比是1：2,這兩種

物質(zhì)的密度之比是（）

A.3：1B.3：2C.2：3D.6：1

【答案】B

【詳解】物體密度之比為

啊

丹_/_叫*吟_32_3

。乙吆%%412

故選B。

【變式演練2】一個(gè)實(shí)心圓球分內(nèi)外兩層，分別由甲乙兩種不同的物質(zhì)構(gòu)成，其中內(nèi)層甲物質(zhì)的半徑恰為整

球半徑的一半。已知內(nèi)層的質(zhì)量比外層的少20%,則甲乙兩種物質(zhì)的密度之比為：（

A.7：5B.8：5C.32：5D.28：5

【答案】D

【詳解】設(shè)球的半徑為R；則整個(gè)球的體積為

4°

%=/R

甲物質(zhì)的體積為

乙物質(zhì)的體積為

V=-7rR3--7TR3=-7TR3

7乙366

則

Y^=6=]_

吃1次7

6

質(zhì)量之比

型=（I"。%）叱=2則甲乙兩種物質(zhì)的密度之比

m乙5

強(qiáng)

一中_墉_叫、，吃_4、,7_28

至一反一至T-T

吃

故ABC不符合題意，D符合題意。

故選D。

【變式演練3】甲、乙兩液體體積比為3：2,質(zhì)量比為1：2,則它們的密度比為；如果將甲液體倒去

一半，乙液體倒去;，則它們剩余的液體密度比為____o

4

【答案】1：31：3

【詳解】口]兩種液體的密度之比

3

［2］密度是物質(zhì)本身的一種特性，與物質(zhì)的質(zhì)量無關(guān)，如果將甲液體倒去一半，乙液體倒去二，兩液體

4

密度不變，它們的密度之比不變，仍為1：3。

類型3氣體密度的計(jì)算

1、要知道氣體沒有固定的體積和形狀，裝入瓶子后，質(zhì)量變化，體積保持不變。

【例3】某瓶氧氣的密度是5kg/m3,給人供氧用去了氧氣質(zhì)量的一半，則瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的密度是kg/m3；

容積是10L的瓶子裝滿了煤油，已知煤油的密度是O.8xlO3kg/m3,則瓶?jī)?nèi)煤油的質(zhì)量是kg,將煤

油倒去一半后，瓶?jī)?nèi)剩余煤油的密度是g/cm3。

【答案】2.580.8

【詳解】［1］由題知，瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的質(zhì)量為原來瓶中氧氣的質(zhì)量的一半，而氧氣的體積不變，由0=亍

可知瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的密度減半，為2.5kg/m3。

［2］瓶?jī)?nèi)煤油的質(zhì)量為

m=pV=0.8x103kg/m3x10x10-3m3=8kg

［3］密度是物質(zhì)的一種特性，與質(zhì)量和體積無關(guān)，所以，將煤油倒去一半后，瓶?jī)?nèi)剩余煤油的密度不變，

3

還是O.8xlO3kg/m3,Bp0.8g/cmo

【變式演練1】一只總質(zhì)量為70kg的氧氣瓶，瓶?jī)?nèi)氧氣密度為外，使用半小時(shí)質(zhì)量變?yōu)?0kg,瓶?jī)?nèi)氧氣的

密度為g。。；再使用一段時(shí)間，質(zhì)量變?yōu)?0kg,此時(shí)瓶?jī)?nèi)的氧氣密度應(yīng)為（）

A.B.C.,夕°D.--pQ

【答案】C

【詳解】設(shè)氧氣瓶的質(zhì)量為人），容積為匕且瓶?jī)?nèi)氧氣的體積始終等于瓶子的容積，則由

m

P=-

V

得原來氧氣的密度

70kg-m_

0,①

y一0。

使用半小時(shí)氧氣的密度

40kg-mQ_1

-V~2Po?②

由曾解得氧氣瓶的質(zhì)量

m0=10kg

質(zhì)量為70kg的氧氣瓶，瓶?jī)?nèi)氧氣的質(zhì)量為

70kg-10kg=60kg

瓶?jī)?nèi)氧氣的密度為夕0,再使用一段時(shí)間后，氧氣瓶的質(zhì)量變?yōu)?0kg,則瓶?jī)?nèi)氧氣的質(zhì)量為

20kg-10kg=10kg

氧氣的體積一定，根據(jù)

m=pV

可知，氧氣的密度和氧氣質(zhì)量成正比，所以，此時(shí)瓶?jī)?nèi)的氧氣密度應(yīng)為原來的

10kg1

60kg-6

即

1

P=NPo

6

故ABD不符合題意，C符合題意。

故選C。

【變式演練2】裝在燒杯中的水被倒出一部分后，燒杯中剩余水的密度（選填“變大”、“變小”或“不

變”）；密封在鋼罐中的密度為6kg/m3的氣體被抽出一半后，容器中剩余氣體的密度為kg/m3?

【答案】不變3

【詳解】口］燒杯中的水被倒出一部分后，燒杯中剩余水的密度不變，因?yàn)槊芏炔浑S物體的體積的變化

而變化。

［2］密封在鋼罐中的氣體被抽出一半后，質(zhì)量減半，但剩余氣體的體積始終等于鋼罐的容積不變，根據(jù)

〃可得，剩余氣體的密度為

生萼=3kg/n?

【變式演練3】低海拔地區(qū)的人員進(jìn)入西藏，容易患上高原病，吸氧是最有效緩解高原病癥狀的治療手段。

如圖是西藏生產(chǎn)的一種容量為lOOOcn?的吸氧瓶，裝有14g氧氣，可供人吸氧200次，求：

（1）一個(gè)還未使用過的吸氧瓶?jī)?nèi)氧氣的密度是多少？

（2）若每次吸取的氧氣量是一樣的，則吸取50次后，瓶?jī)?nèi)大約還剩下多少g的氧氣？剩余氧氣的密

度是多少？

【詳解】解：(1)瓶?jī)?nèi)氧氣的密度

m14g

p=—=0.014g/cm3

V1000cm3

(2)50次吸取的氧氣的質(zhì)量

,m14g—CL

m=—n=——x50=3.5g

N200

瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的質(zhì)量

m=m-mr=14g-3.5g=10.5g

瓶?jī)?nèi)剩余氧氣的體積等于瓶的容積為lOOOcn?,剩余氧氣的密度

p"=—=I"—、=0.0105g/cm3=10.5kg/m3

V1000cm3

答：(1)新瓶?jī)?nèi)氧氣的密度0O14g/cm3；

(2)若每次吸取的氧氣量是一樣的，則吸取50次后，瓶?jī)?nèi)大約還剩下10.5g的氧氣，剩余氧氣的密度

為10.5kg/m'

題型二密度的綜合計(jì)算

【解題指導(dǎo)】

1、利用物質(zhì)的密度來鑒別物質(zhì)的不確定性。由于不同物質(zhì)的密度可能是相同的，例如冰和蠟都是固體，它

們的密度相同，因此，僅通過密度是不能確定是哪種物質(zhì)的，但通過軟硬程度可以區(qū)分它們，硬的是冰，

軟的是蠟，可見，要準(zhǔn)確地鑒別物質(zhì)，常常需要多種方法并用。

2、判斷球是空心還是實(shí)心及鑒別物質(zhì)的組成有三種方法：有密度比較法、質(zhì)量比較法、體積比較法三種。

3、混合物質(zhì)的密度計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是用總質(zhì)量除以總體積，而不是兩種密度加起來除以2,需牢記。

【必備知識(shí)與關(guān)鍵能力】

密度公式的應(yīng)用

(1)根據(jù)公式夕="來鑒別物質(zhì)。測(cè)出物體的質(zhì)量和體積，運(yùn)用公式夕="求出物質(zhì)的密度，然后對(duì)照

密度表就可以知道該物質(zhì)的種類。

(2)利用公式丫=一計(jì)算不便測(cè)量的物體的體積。測(cè)出物體的質(zhì)量，利用密度表查出該種物質(zhì)的密度，利