大題01三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

》明考情-笈方向品?

根據(jù)近幾年的高考情況，三角函數(shù)、三角恒變換與解三角形是高考必考點(diǎn).雖然八省聯(lián)考中調(diào)整了試題順序，

但今年高考仍然會(huì)考.在高考中，解答題主考考察解三角形，利用正弦余弦定理去解決三角行中一些綜合問

題.三角函數(shù)及其性質(zhì)一般會(huì)考查小題.預(yù)計(jì)2025年高考中三角函數(shù)余解三角形必然會(huì)出現(xiàn)，解答題也會(huì)一

常規(guī)形式出現(xiàn).

短研大題-梃能力4

題型一：三角恒等變形與三角函數(shù)圖象問題

(2025?上海?模擬預(yù)測(cè))已知&>>0,/(x)=sinox+2A/5cos2g.

⑴若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀，求。的值；

(2)當(dāng)°=1時(shí)，設(shè)。40,2對(duì).若函數(shù)y=f(x)和y=f(x+a)在［0,可上有相同的最大值，求。的取值范圍.

【思路分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式可求得正數(shù)。的

值；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求出函數(shù)“X)在區(qū)間［0,可上的最大值，可知，當(dāng)x+a+g=g+2析,eZ)時(shí)，函數(shù)

y=/(x+a)在［0,兀］內(nèi)取得最大值，可得出x=>2析-咱0,可，然后對(duì)整數(shù)上的取值進(jìn)行分類討論，可

得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，求解后結(jié)合ae［0,2兀］,即得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【規(guī)范答題】(1)=sina>x+2石cos??=sina>x+2用「+°”

A/3=2sin60X+—+5

因?yàn)椤?gt;0且函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，故。=曰=2.

(2)當(dāng)。=1時(shí),/(%)=2sinx+—+6.

若xe[0,7t]時(shí)，|-<x+-1<^,

當(dāng)x+m=g時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最大值,即/(-)皿=2sing+4=2+6

而函數(shù)y=/(x+a)與y=〃x)存在相同的最大值，

故當(dāng)x+a+；=]+2析化eZ)時(shí)，函數(shù)y=/(x+a)在[0,對(duì)內(nèi)取得最大值，

777T

①當(dāng)人。時(shí),可得％-四。,可，貝用乙心兀，解得所。%

6

0<a<2TI

②當(dāng)E時(shí),可得等-夜。,小則有些―解得敢2,2兀

----a<7i

6

0<a<27i

當(dāng)上22時(shí)，x=—+2kn-?>—+4K-2TI>,止匕時(shí)，x=—+2kn-ae[0,兀],

6666

當(dāng)左W—1時(shí)，x=—+2hc-a<--2Tt=,止匕時(shí)，x=—+2lai-a^\0,7i\.

6666

TT77r

綜上所述，a的取值范圍為0,-u—,2^.

6」L6

瞎M此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多.

1、首先要通過降累公式降暴，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a=2sinacosa(S2a)；cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a(Cia)

1+cos2a1-cos2a

(2)降幕公式：cos2ot=2，sin2a=2，

2、再通過輔助角公式“化一”，化為y=Asin(8+0)+6

_____b

3、輔助角公式：asina+bcosa=yja2+Z?2sin(a+(p),其中tan9=〃.

4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計(jì)算:

「二酸落溢罕仃著福二不鎏底「莉甫熊完漏i藪誨答缸電悲麗E三菌菌藪箱至的芳斑箍訪商賴7萋黃;

II

;問題），通常通過函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，再借助圖象進(jìn)行分析.

虐1.（24-25高三下?天津南開?階段練習(xí)）己知VA3C的內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為。、

6、c_1.^2a-A/3cjcosB=A/3Z?cosC.

（1）求角B的大小;

(2)若°=有，a+b=2,求VABC的面積;

（3）若b=缶,求sin（2A+8）的值.

【答案】⑴Y⑵手⑶曾

【詳解】（1）由（2〃一石c）cos3=J^Z?cosC結(jié)合正弦定理得：（2sinA-J^sinC^cosBuJ5sin3cosc,

=^>2sinAcosB=y/3sinCcosB+^3sinBcosC=A/3sin(B+C)=>/3sinA,

因?yàn)锳e(O,?i),貝iJsinAwO,貝ijcos2=1.

又Be(O,兀)，故3==.

6

(2)因?yàn)?=：,c=^3,

6

由余弦定理可得cosB="一+0"="一+7=—,整理可得Y_廿+3=3”,

2ac2XQXJ32

又a+Z?=2,解得a=b=l,

所以VABC的面積為S=—<2csinB=—x1x^/3x-=^-.

ABC2224

I

(3)由正弦定理得：sinB=\/2sinA，則切口人=sin3=2=◎，

~V2-V2-4

因?yàn)樨?缶，即則故A為銳角，

貝1!cosA=Vl-sin2A=11-——=-----，

\l4J4

所以sin2A=2sinAcosA=2xx,

444

3

cos2A=2cos2A-l=2x一，

4

sin2Acos—+cos2Asin—=旦Ji+%L回3

所以sin(2A+B)=

6642428

2.（24-25高三下?北京?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=2sin（?r-x）sing+x,g(x)=cos2x+—

I6

（D求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵直線了=（04/4）與曲線y=〃x）、產(chǎn)g（x）分別交于點(diǎn)M、N,求|MN|的最大值.

兀37r

【答案】（1）最小正周期為兀，遞減區(qū)間為kR+—,kn-\-——（左wZ）

44、/

27r

(2)百【詳解】(1)H/(x)=2sin(7i-x)cosx=2sinxcosx=sin2x則〃x）的最小正周期為萬=n.

jr-sjrjr-SIT

由2版+萬W2x<2^7i+—GZ)可得%兀+^<%<E+彳(％￡Z),

兀3TT

所以，函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k7i+-,kK+—(左eZ).

（2）由題意可知，M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為。,/（，））、（r,g（0）,

則阿N|,gp|MAf|=sin2/-cosf2r+^,

故MM=sin2/-cos2t+—sin2t-cos2^--sin2t

(62

3sm2一走cos2,

22

71兀_g，當(dāng),所以J5sind一?]w-

因?yàn)?w0,—所以21-二￡

2666<o；

所以|MN|在fe0.1時(shí)的最大值為百.

題型二：三角形中邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)問題

1.（2025?山東臨沂?一模）已知a,b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

A/3GCOSC+csinA一^3b=0.

⑴求A；

（2）若0=3,公由5=26，求1.

【思路分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得tanA=有，由此即可得解;

（2）由正弦定理得6=4,再由余弦定理即可求解.

【規(guī)范答題】（1）由正弦定理邊化角可得gsinAcosC+sinCsinA-百sinB=0,

即V3sinAcosC+sinCsinA=gsin=gsin(A+C)=也sinAcosC+^3cosAsinC,

所以sinCsinA=V^cosAsinC,因?yàn)閟in。>0,cosA==—=^>0,

所以tanA=若，又A￡(0,7i),解得A=］；

(2)若c=3,asin5=2百，則asinB=2RsinAsin3=Z?sinA=——b=2>/3，這里H是三角形ABC外接圓的半

2

徑，

解得b=4,

由余弦定理可得〃=yjb1+c2-2bccosA=^42+32-2x4x3x-^-=.

（24-25高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）在VABC中，角4昆。所對(duì)的邊分別為名"c,

已知（2a-6°cos5=6bcosC.

（1）求角與的大?。?/p>

（2）若。=石，a+b=2,求VABC的面積；

（3）若〃=2,且VABC為銳角三角形，求VABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【思路分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到cosB,即可得解；

（2）利用余弦定理求出。，再由面積公式計(jì)算可得；

（3）利用正弦定理將b+c轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)，結(jié)合三角形為銳角三角形求出A的范圍，即可求出b+c

的取值范圍.

【規(guī)范答題】

（1）因?yàn)椋?Q-04cos5二百AcosC,

由正弦定理可得（2sinA-百sinC^cosB=道sinBcosC,

2sinAcosB=y/3（sinBcosC+cosBsinC）=A/3sin（B+C）=V3sinA,

AG（0,71）,jjjljsinA>0,/.cosB=,又5￡（0,兀），3=看；

（2）因?yàn)閏=VLa+b=2,

由余弦定理廿=a2+c2—2accos3,BPa2+3-2axy/3x^-=b2,

4+3—3a=(2—々J,解得〃=1,

=

??SARC-acsinB=-x1xy[3x-=；

ABC2224

（3）在VABC中，由正弦定理三=b_c

sinBsinC

2_b_c_b+c

sinA1.14兀、1.（人兀、，

2I6j2I6）

1+2sin]A+：1+2sinA+-cosA

2

b+c=7

sinAsinA

2cos2—

A/3sinA+1+cosA=抬+匕321

sinAsinA「AAA

2sin—cos—tan—

222

?.71

0<A<—

2兀4兀

又VABC為銳角三角形，；=>—<A<—,

?.717132

0<7l-A——<—

62

.?.qtan”,

62432

tanA，*,?A/3+1<b+c<2^/3,3+^/3<Q+Z?+C<2+2^/3,

故VABC周長(zhǎng)的取值范圍為（3+退,2+2道）

利用正、余弦定理求解三角形的邊長(zhǎng)周長(zhǎng)問題，對(duì)于求邊長(zhǎng)問題，主要是把未知邊或者角度通過正弦余弦

定理用已知邊或者是已知角度表示出來.

對(duì)于周長(zhǎng)問題通常牽涉到兩種題型，周長(zhǎng)或者是周長(zhǎng)范圍問題，

類型一：一般來說如果求周長(zhǎng)或者是邊長(zhǎng)的最值問題可采用基本不等式+余弦定理求解決.

類型二：常規(guī)三角形的周長(zhǎng)范圍問題也可采用余弦定理+基本不等式解決，或者是通過正弦定理把邊裝化成

角度，利用輔助角公式從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題

類型三：銳角三角形中周長(zhǎng)或者是邊長(zhǎng)以及其他的范圍問題，則一般采用邊角轉(zhuǎn)化，把邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成角度，

從而利用輔助角公式，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題去解決，但是因注意角度的取值范圍問題

（24-25高三下?北京?階段練習(xí)）在VA3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、6、c,

ccosA-（3b-a）cosC.

⑴求cosC；

⑵若VABC的面積為3及，且〃+6=而，求VABC的周長(zhǎng).

【答案】⑴COSC=；（2）6+2G

【詳解】（1）解法1：因?yàn)椤osA=（3b—a）cosC,由正弦定理得5111（無054=（35111^-5104）85。,

即3sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin（兀一B）=sin_B,

因?yàn)锽￡（0,兀），貝iJsin5〉O,故cosC=；；

解法2：因?yàn)閏cos4=（36-a）cosC,由余弦定理得ex/十廠一寸=（36—a）x"+“一廠，

2bclab

2

整理得2H=34+3從-3c2,可得片+尸一。？=1仍，

由余弦定理可得cosC==1

2ab3

（2）因?yàn)閏osC=§,且Cw（0,兀），則sin。=yjl-cos?C=2y,

S^ABC=—absinC=ab=3^2,所以ab=9,

因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼?abcosC=a2+b2-c2,

于是（。+匕）2—c2=a2+b2—c2+2ab=2aZ?（cosC+l）=24,

因?yàn)镼+b=A，貝1」（。+"2一。2=2，=24,所以c二2百，

因止匕。+Z?==6,于是VABC的周長(zhǎng)Q+/?+C=6+2V§\

h—c

2.（2025?福建?模擬預(yù)測(cè)）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosA=——.

2c

（1）證明：A=2C；

（2）若a=2,且VA3C為銳角三角形，求VABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析（2）（20+2,2百+2）

【詳解】（1）由正弦定理，cosA=」n3―sing,所以2sinCcos4=sinB-sinC.

2sinC

又A+5+C=TI,所以2sinCcosA=sin（A+C）-sinC,

所以sinAcosC-cosAsinC=sinC,所以sinC=sin（A—C）,

因A,Ce（0,冗），所以C=A—C,即A=2C.

（2）因?yàn)?，?上=，，所以=_=

sinAsinBsinCsin2CsinC

1

因?yàn)?1112。=25111。8$。，所以。二

cosC

因?yàn)锳=2C,所以5=兀一3。,

。<2。苫

7T

???VABC為銳角三角形，0<7t-3C<-,/.Ce儀1正］

2［三力

。<。苫

b—「人2?_2_1

因?yàn)閏osA=——，由余弦定理cos4=，兩式聯(lián)立得/一°2=兒，

2c2bc

441（7J3

又因?yàn)椤?2,代入上式/-02=A，得到6=—一。，貝|b+c=2,且。=--e三一,立

cccosC（3J

所以de（2忘,2百），即）+cw（20,2石）.

C

所以周長(zhǎng)的取值范圍為（20+2,2g+2）.

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在VABC中，。為BC邊上一點(diǎn)，已知C=23,ACAD=2ABAD,AD=2.

（D若BD=L求sinB的值；

（2）若巖=|,求邊8c的長(zhǎng).

【答案】（Dsin8=@（2）8C=3

74

JT

【詳解】（1）設(shè)=貝！J/C4D=2a,因?yàn)镃=25,所以3。+35=兀，即a+3=—,

3

2冗

所以/ADB=C+2a=2（B+c）=《-,

在VABC中，由余弦定理AB2=Ar>2+8D2-2AZ>BOcos/=4+l-2x2><l><1-g］=7,

所以A2=a，

AB_AD.2n在

再由正弦定理一^一Sing，所以彳_萬.

3AB幣1

（2）在△河中，由正弦定理幽=右，即幽=三，同理

sinasmBsmasinBsin2asin2B

因?yàn)槟?|,所以2sin2a_sin284sinacosa_2sinBcosB

,即

3sincrsinB3sin。sin5

22

化解得3cosa=cosB,于是5cos1=cosB,

-f-c1osB+

即cosB=sinB,HP2cosB=-J3sinB,

3122

7

2cos3=A/3sinB

所以sinB=^,cosB=^~

因?yàn)椋約in2B+cos2B=1,

77

sinB>0

3「_3回

從而COS6Z=一cos8--------,sina=A/1-COS2a-,

21414

BD_2

BDAD

理.得力一^7T,

smasinB

147

所以335

=g,CD二=-BD=“故口?

2

題型三：三角形中面積問題

典母I、1.(2025?江西?一模)設(shè)向量仇=(石sin%,sinx+cosx),n=(2cosx,sinx-cosx),

于⑺=m?n.

⑴求“X)的單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵在銳角VABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若/(A)=l,。=2,sin3+sinC=告，求VA3C

的面積

【思路分析】(1)應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡(jiǎn)求得〃x)=2sin(2x-J),再利用正弦型

0

函數(shù)的性質(zhì)求遞減區(qū)間;

(2)由/(A)=l得A=g,結(jié)合正弦定理可得6+c=2#,結(jié)合余弦定理有〃+一百兒=4,聯(lián)立求得

O

be=20(2-4),最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.

【規(guī)范答題】(1)由題意得/(%)=機(jī)?〃=26sinxcosx+(sin%+cosx)(sinx-cosx)=^3sin2x-cos2x

冗

-2sin(2x----),

6

令+gV2x-彳V2E+；(左eZ),解得E+；<x<kit+^^(keZ),

所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為E++*（kwZ）.

（2）因?yàn)閂A5c為銳角三角形，由/（A）=l得25m（24-弓）=1,

由Ae1°，?可侍源一片（-1

所以2A-故4=2，

666

在VABC中，由正弦定理得二^y=2R=4,所以Z?+c=」Y(sin5+sinC)=2",

SinAsinA

所以廿+。2+2歷=24①，

由余弦定理得。2+c2—6/2=2灰;cosA,得〃+/-百歷=4②，

由①②解得A=20(2—6),

所以7ABe的面積為S鉆。=g^csinA=10-56.

（2025?陜西漢中?二模）在VABC中，ab,c分別是角的對(duì)邊，已知2B=A+C.

⑴若加歐=。2+/—52,求實(shí)數(shù)加的值;

Q）若b=M，求VABC面積的最大值.

【思路分析】（1）首先求出3=1,再利用余弦定理即可得到加；

（2）根據(jù)余弦定理和基本不等式以及三角形面積公式即可求出最值.

TT

【規(guī)范答題】（1）由23=A+C,§LA+B+C=7T,得B=§,

.=-2可變形為/+°2一［2二竺

2ac2

依據(jù)余弦定理，可知COST』2"=',即?=:.

2ac222

所以根=1.

（2）因?yàn)閟in3=sin工,

32

根據(jù)余弦定理得廿=a2+c2-2accosB=a2c2-ac,

^^ac=a2+c2-b2>2ac-b\即“eV/,當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等式成立,

故S^ABC=—sinB<—?當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=等號(hào)成立，

△Me2224

即所求VABC面積的最大值是延.

4

利用正、余弦定理求解三角形的面積問題，兩種題型，一種十求面積：另外一種是求面積范圍.一般思路是:

1、選定理.對(duì)于求面積問題，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面積公式即可解決.

2、面積范圍問題：第一為求面積最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二類為銳角三角形中的面積范圍

問題.則一般采用邊角轉(zhuǎn)化，把邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成角度，從而利用輔助角公式，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題去解決，但是

因注意角度的取值范圍問題

磨1.(24-25高三下?浙江?開學(xué)考試)在VABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為,已知

(sinA+sinB)(b-a)=c(sinB-sinC).

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若BC邊上的高為3,求VA2C面積的最小值.

【答案】⑴?

(2)3A/3

【分析】(1)由正弦定理角化邊，再由余弦定理即可求解；

(2)由面積公式得到瓦'=2后，再由=兒得到屹-。)2=/一26。20,求得。的范圍即可求解；

【詳解】(1)因?yàn)?sinA+sin3)(Z?—a)=c(sin3—sinC),

由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(b-c),整理得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理可得COSA=,

2bc2

又Ae(O,7i),所以A=(

3

(2)因?yàn)?C邊上的高為3,所以工的=5〃，

又因?yàn)镾Me=；bcsinA==，所以be=.

由(1)知〃+°2一/=歷，所以(/?一°)2=1一/7c=一26。n0,得aN

所以工枷236?

2.(24-25高三下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試)在VABC中，學(xué)=gsinC+3cosc

b

⑴求角4；

(2)若2b2=2c2+ac?

(i)求cosC的值；

(ii)若a+c=5后，求VA5C的面積S.

【答案】(1)B=[(2)(i)迫；(ii)373

37

【詳解】(1)因?yàn)楫?dāng)=J5sinC+3cosC,即〃二避^sinC+bcos。，

b3

由正弦定理可得sinA=^-sinBsinC+sinBcosC,

3

sinA=sin(萬一5—C)=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

BPsinBcosC+cosBsinC=——sinBsinC+sinBcosC，可得cosBsinC=——sinBsinC，

33

且。?0,兀)，則sinCwO,可得tanB=J,

IT

又因?yàn)?<8<兀，所以8=§.

JT1

(2)(i)*.*B=—,由余弦定理，b2=a2+c2—2ac?—,又,:2b2=2c2+ac(*),

整理得：：ac=a；即a=」c,代入(*)可得6=也C,

222

92722

萬a2+b2-c2不+不一二幣

由余弦定理'C°SC=FT-3V7

2--C---c

22

3

(ii),?*a+c=5>/2，由(i)得：ci~~c?

解得c二2萬，

S=-tzcsinB=3^^c1—3-^/3?

28

題型四：解三角形中三線問題

(2025?吉林長(zhǎng)春?二模)在VABC中，。力，。分別為角A,B,C所對(duì)的邊，且

^c=b-acosC,角A的平分線交BC于。，S.BD=2DC.

⑴求角A;

(2)若AC=3,求AD的長(zhǎng).

【思路分析】(1)由正弦定理與和角公式化邊為角，求得cosA,即得角A；

(2)利用三角形角平分線定理求出A8,再根據(jù)面積相等列方程，求解即得AD的長(zhǎng).

【規(guī)范答題】

(1)由二b—QCOsC和正弦定理，可得工sinC=sinB-sinA-cosC,

22

因sin3=sin(7i—A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

貝I—sinC=sinAcosC+sinC-cosA-sinA-cosC,

2

即—sinC=sinCcosA,

2

因?yàn)閟inCwO,則得cosA=」，

2

兀

因OVAVTI,則4=一.

3

(2)如圖，因AD是ZC4B的平分線，貝1］絲=絲=2,解得AB=6,

17rljr1IT

則一ABACsin—=—A3AOsin—+—ACAOsin—,

232626

即3x6x"=6-Ar>2+3-Ar)，,解得陋=26.

222

（24-25高三下?山東?開學(xué)考試）在VABC中，角A,B,C,所對(duì)邊分別為a,b,

c,已知如0$24+英11124=灰\)5_8+戾1115,且〃wb.

⑴求C

⑵若。為48邊的中點(diǎn)，且AB=1,CD=—,求VABC的面積.

2

【思路分析】（1）由正弦定理，將邊轉(zhuǎn)換成正弦，再利用倍角公式和輔助角公式，求出A,8的關(guān)系.

（2）把余弦定理方程和中線的向量性質(zhì)得到的方程，聯(lián)立，求出必=后，再利用面積公式即可求出面積.

【規(guī)范答題】

(1)因?yàn)閍cosA+asinA=bcosB+bsinB,由正弦定理得：sinAcosA+sin2A=sinBcosB+sin2B，

貝jj—sin2AH--------cos2A——sin25H--------cos25,

222222

所以sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,則sinf2A-j=sinf2B-

TTTCTTTCS77

所以2A=2B------卜2k?r,%eZ,或2A------F2B=TT+2kyr,keZ,則A=3,或A+B=—

44444

37r7T

又因?yàn)樗?小所以4+2=丁’故。=不

（2）在VABC中由余弦定理得：AB--AC2+BC2-2AC-BC-cosC,所以1=/十標(biāo)一缶匕①,

因?yàn)椤锳B邊的中點(diǎn)，所以2cZ）=C4+CB，

所以4(CD)2=(CA)2+(CB)2+2CACB，

所以5=52+/+億萬②,

②-①得：/=應(yīng)，

所以S^BC=|a^-sinC=|V2-sin^=1.

瞎＞三線問題指的是角平分線，中線，高線.

對(duì)于角平分線：一種是采用等面積法（面積分割），或者是角平分線定理去解決.

對(duì)于中線問題一般采用向量思想去解決.

高線問題，一般采用正弦定理或者是等面積法去解決.

1.（2025?河南鄭州?一模）記VABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊為a,6,c,已知萬2+一/=四,

2sin(C-A)=sinB.

⑴求sinC;

（2）設(shè)BC=10,求2C邊上的高.

【答案】（1）嚕（2）12

【分析】（1）先利用余弦定理求出&=再由2sin（C-A）=sinB,結(jié)合平方關(guān)系可求sinC的值;

（2）結(jié)合（1）可得sin2=sin（A+C）=竿，再利用三角形面積相等可求得BC邊上的高.

【詳解】（1）在VABC中,

b2+c2-a2_?c_正

b2+c2-a2=6bc，/.cosA=------------------------,

2bc2bc2

TT

而A為三角形內(nèi)角，

2sin(C-A)=sinB,

=sin^-C

5

整理得0(sinC-cosC)=飛-(cosC+sinC),得sinC=3cosC,

Xsin2C+cos2C=1,且sinC>0,sinC=

10

(2)由正弦定理得警=名，

sinAsmC

BC)103710,r-

/日AB=------xsinC=—^x-------=675

得sinAV210，

由3r\1、/7曰,s?inge--------,tanCc>、0八,cose「-_------

1010

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-

5

2x/5_]Q

設(shè)5C邊上的高為則/z=AB義sin5=6百x--------12,

5

BC邊上的高為12.

2.(24-25高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))在VABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為。，4c,滿足A=6(sinA+

A/3COSA).

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若VABC的面積為更，N3的平分線8。交AC于點(diǎn)。，且應(yīng)＞=1,求上的值.

2a

TT

【答案】(1)2=:；

(2)當(dāng)Q=5/3—l,c=5/3+1時(shí)，-=2+y/3；

a

當(dāng)a=^3+1,c=y/3-1時(shí)，—=2-^3.

a

【分析】⑴利用正弦定理化邊為角可得忘inC=sinBkinA+6cosA),結(jié)合內(nèi)角和公式和兩角和正弦公

式化簡(jiǎn)，解方程可求結(jié)論；

(2)結(jié)合關(guān)系Swc=S+$△小?及三角形面積公式可得且ac=L(a+c)=且，解方程求。，。，再求上可

44V72a

得結(jié)論.

hc

【詳解】(1)由正弦定理知，

sinBsinC

sinA+

所以V3sinC=sinB^sinA+6cosA),

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以\/3sinAcosB=sinBsinA,

因?yàn)锳?0㈤,Be(O,7i),故sinAwO,sinBwO,

所以V3cosB=sinB,故tanB=石，

TT

所以B

(2)因?yàn)?AABC-S^ABD+$△BCD，

即|acsin^ABC=gc.BDsm^ABD+m.BDsinNCBD,

所以避^碇=,

44V72

解得Q=A/3—l,c=y[3+1或a=A/3+l,c=y/3—1,

當(dāng)a=y/3-1,c=y/3+1時(shí)，一=2+y/3；

a

當(dāng)〃=石+1,o=百-1時(shí)，—=2-A/3.

a

3.(24-25高三上?湖北武漢?期末)在VABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,點(diǎn)。為線段AC的

中點(diǎn)，A,C滿足(sinA—sinC)?=sin2(A+C)-sinAsinC

⑴求&

(2)若VABC的面積為JLb=岳,求中線8。的長(zhǎng).

【答案】(l)B=60⑵且

2

【詳解】(1)因?yàn)锳+5+C=TI,所以，sin2A-2sinAsinC+sin2C=sin2(7c-B)-sinAsinC.

abc

又因?yàn)?--=----=----.

sinAsinBsinC

1222

所以，a—lac+c?=〃—，^b=a+c—acJ

所以，由余弦定理得cosB="-+c2-”=4=工,

2ac2ac2

又8為三角形內(nèi)角，

所以，B=60.

(2)因?yàn)閂ABC的面積為行，b=屈,8=60°,

所以，-acsinB=y/3,所以ac=4,Xa2+c2=b2+ac=l1，

2

因?yàn)闉閂ABC的中線，所以，BD=1（BA+BC）,

所以，|Br）|2=%2+a2+2acc0sB）=；17+2x4xgj=F，

所以,4=孚.

題型五：三角形中圖形類邊長(zhǎng)及范圍問題

（24-25高三下?河南?階段練習(xí)）在銳角三角形A3C中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別

為a、b、c,已知2asin3sinC=6/?sinA.

⑴求C;

b

（2）求士的取值范圍.

a

【思路分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)得出sinC的值，結(jié)合VA2C為銳角三角形可得出角C的值；

（2）求出角A的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出2=4—+▲,結(jié)合正切函數(shù)的基本

a2tanA2

b

性質(zhì)可求得2的取值范圍.

a

【規(guī)范答題】

(1)因?yàn)?〃51113$111。=6法11124,由正弦定理可得251口71511155111。=651115011124,

因?yàn)閂A5C為銳角三角形，貝lJsinA>0,sinB>0,

所以，2sinC=J§\即sinC=一■,所以，

八4兀

0<A<—

2

（2）因?yàn)閂ABC為銳角三角形，可得；解得2<A<9,

八八2兀，兀o2

0<B=A<—

[32

asinAsinAsinA2tanA2

因?yàn)獒躚,則tanA>^^,所以———e,可得，<————F—<2,

(62；3tanA')22tanA2

即:<2<2,所以2的取值范圍為(12]

2aa)

播2.（2025?陜西榆林?二模）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,J已知

2sinCcosA=sinA+2sinB.

⑴求角。的大小；

（2）求缺的取值范圍.

cosA

【思路分析】（1）解法1,將已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，再利用余弦定理

可求出角C；解法2,利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可求出角C；

（2）由（1）得8=則位=二（12”，化簡(jiǎn)后利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

cosAcosA

【規(guī)范答題】（1）解法1：在VA6C中，由2sinCcosA=sinA+2sinB及正弦定理得，2C?COSA=Q+2〃，

^22_2

再由余弦定理，得2c/°一?！?6,貝卜2=4+從+點(diǎn),

2bc

又因?yàn)?="+〃2—2"cosc,所以COSC=—1,

2

27r

因?yàn)?。￡?,兀），所以。=飛_.

解法2：因?yàn)?$111。8$24=$1114+281115,B=K-（A+C）,

所以2sinCcosA=sinA+2sin［7i—（A+C）］,

所以2sinCcosA=sinA+2sinAcosC+2cosAsinC,

所以（2cosC+1）sinA=0,

因?yàn)閟inAwO,所以2cosc+1=0,所以cosC=-』，

2

因?yàn)椤！辏?,兀），所以。=彳.

（2）因?yàn)镃=g,所以2=4一4,Ae］。,：

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