2025北京重點校初三（上）期末數(shù)學匯編

圓（下）章節(jié)綜合（京改版）（非解答題）

一、單選題

1.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，PA,分別與。。相切于A,B兩點,/尸=70。，則/C為

2.（2025北京昌平初三上期末）如圖，00是AABC的內切圓，切點分別是。，及尸,AB=3,CE=2,則

VABC的周長為（）

3.（2025北京門頭溝初三上期末）根據(jù)下圖中圓規(guī)的作圖痕跡，只用直尺就可確定AABC內心的是（）

4.（2025北京密云初三上期末）如圖，A,8是平面內兩定點，C,。是平面內兩動點，且滿足A8

//CD,AB=CD.下列說法中，①A,B,C,。四點一定在同一個圓上；②若AC=BD,則A,B,C,D

四點一定在同一個圓上；③若AC1BD,則四邊形ABC。的各邊一定都與某一個圓相切；④存在四邊形

ABCD既有外接圓，又有內切圓.所有正確說法的序號是（）

DC

.1B

A.①②B.②④C.②③④D.①②③④

5.（2025北京通州初三上期末）如圖，是。。的直徑,點。在48的延長線上，DC切OO于點C,如

D.3

6.（2025北京東城初三上期末）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點。，AB所在圓的圓心C恰好

是AMO的中心.若43=若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（）

7.（2025北京豐臺初三上期末）勾股容圓記載于《九章算術》，是關于直角三角形的三邊與其內切圓的直

徑的數(shù)量關系的研究.劉徽用出入相補原理證明了勾股容圓公式，其方法是將4個如圖1所示的全等的直

角三角形（直角邊分別為a,b,斜邊為c）沿其內內切圓心與頂點、切點的連線裁開，拼成如圖2所示的

矩形（無縫隙、不重疊），再根據(jù)面積的關系可求出直角三角形的內切圓的直徑d（用含a,b,。的式子表

示）為（）

2c

D.d=

a+b+c

8.（2025北京房山初三上期末）已知圓的半徑為9,那么160。的圓心角所對的弧長是（）

A.4B.8C.4萬D.8萬

9.（2025北京東城初三上期末）如圖，尸A形與OO分別相切于點A,B,PA=2,/P=60。，貝的

長度為（）

A

O'P

A.73B.2C.3D.2A/3

10.（2025北京通州初三上期末）如圖，已知。。及00外一定點P,嘉嘉進行了如下操作后，得出了四個

①點A是尸O的中點；

②直線P。，PR都是。。的切線；

③點P到點。、點R的距離相等；

④連接PQ，QA，PR>RO，°Q>則=g$四邊形PRO。?

o

對上述結論描述正確的是（）

A.只有①正確B.只有②正確C.①②③正確D.①②③④都正確

二、填空題

11.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，從一張邊長為2cm的正方形紙片上剪出一個扇形，將剪下來的扇

形圍成一個圓錐，此圓錐的底面圓的半徑為cm.

12.（2025北京朝陽初三上期末）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學家，他首創(chuàng)了“地理學”這個詞，被

尊稱為“地理學之父”.他的名著《對地球大小的修正》中提出了一種測量地球周長的設想，如圖，塞伊尼

（點A）和亞歷山大（點3）是幾乎在同一條經(jīng)線上的兩座城市，兩地相距約800km,在塞伊尼城有一口垂直

于地面的水井，夏至日中午12點太陽光可直射井底，同一時刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木

棍，利用影子測出太陽光線與木棍所在直線的夾角。約為7.2。，據(jù)此可以估算地球的周長約為km.

13.（2025北京朝陽初三上期末）請舉一個反例說明命題“各角相等的圓內接多邊形是正多邊形”是錯誤

的：.

14.（2025北京大興初三上期末）半徑為4的正六邊形的周長是.

15.（2025北京房山初三上期末）下面是“過圓外一點作圓的切線”的作圖過程.

已知：0。和。。外一點尸.

求作：過點尸的。。的切線.

作法：如圖，

（1）連接。尸；

（2）作線段OP的中點A,以A為圓心，以49為半徑作。A,與。。交于兩點。和R；

（3）作直線尸。，PR.

直線和直線PR是00的兩條切線.

證明：連接OQ,OR.

???O尸是。A直徑，點。在。A上，

ZOQP=°,

AOQVPQ.

又,??點。在0。上，

二直線PQ是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

同理可證直線PR是。。的切線.

16.（2025北京密云初三上期末）如圖，毋是00的內接正六邊形，AB=2cm,則該正六邊形的邊

心距為.

E，-------

A^---------C

17.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形、則地基的周長為.

18.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，PA,PC是00的切線，A,C為切點.若/APC=60°,

PO=5框,則直徑AB的長是.

19.（2025北京西城初三上期末）如圖，A3是0。的直徑，PA,PC是。。的切線，切點分別為A,

C.若AB=2,ZABC=60°,則R4的長是.

20.（2025北京西城初三上期末）如圖1,將筆記本電腦平放在桌子上，當電腦閉合時，與08重合；

當電腦打開時，點A運動的過程形成AB.如圖2,若。4=264mm,ZAOB=120°,則A8的長是mm

（結果保留兀）.

21.（2025北京三帆中學初三上期末）如圖所示，A8是。。的直徑，AB=4,ZA=30°,。。的切線

8E與直線AD交于點E,點M是。O上一個動點.過M作垂足為N,則NM+E2V的最

22.（2025北京房山初三上期末）如圖，AB,AC,BO是。。的切線，P,C,。為切點，若AB=10,

AC=7,則5D的長為.

23.（2025北京三帆中學初三上期末）如圖，48是的直徑，PA,PC是0。的切線，A,C為切

點，NB4c=30。，PA=6,則A8的長為—

24.（2025北京燕山初三上期末）在下圖中，A3是00的直徑，要使得直線AT是0。的切線，需要添加

的一個條件是.（寫一個條件即可）

25.（2025北京門頭溝初三上期末）若一個正多邊形的邊長等于它的外接圓的半徑，則這個正多邊形是正

邊形.

26.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，尸428是0。的切線，是切點.若/尸=50。，貝|

ZAOB=

27.（2025北京三帆中學初三上期末）已知一個扇形的弧長為5兀。加，圓心角是150。，則它的半徑長

為,扇形的面積為

參考答案

1.A

【分析】本題主要考查切線的性質、四邊形的內角和、圓周角定理，關鍵在于熟練運用切線的性質，通過

作輔助線構建四邊形，最后通過圓周角定理即可推出結果.連接。4、03,根據(jù)切線的性質定理，結合四

邊形A03P的內角和為360。，即可推出203的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理，即可推出NC的度數(shù).

【詳解】解：連接。4、OB,

???直線PA.PB分別與Q0相切于點A、B,

:.OA±PA,OBLPB,

?.?/尸=70°,

ZAOB=110°,

是。。上一點，

ZACB=55°.

故選A.

2.D

【分析】此題重點考查三角形的內切圓與內心、切線長定理等知識，推導出CF=CE=2,AF+BE=AB=3

是解題的關鍵.

由切線長定理得AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,則+=AT>+5￡>=AB=3,求得

AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=10,于是得到問題的答案.

【詳解】解：：。。與AB、BC、AC分別相切于點。、E、F,AB=3,CE=2,

:.AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,

:.AF+BE=AD+BD=AB=3,

:.AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=2+3+2+3=10,

.1△ABC的周長為10,

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了三角形內心的定義，熟知三角形內心是三角形三條角平分線的交點和角平分線的

尺規(guī)作圖方法是解題的關鍵.根據(jù)三角形內心是三角形三條角平分線的交點進行求解即可.

【詳解】解：：三角形內心是三角形三條角平分線的交點，

???四個選項中只有D選項作圖方法是角平分線的尺規(guī)作圖，

故選：D.

4.C

【分析】由A8〃CD,AB=8,證明四邊形438是平行四邊形，可知A,B,C,。四點不一定在同一個圓

上，可判斷①錯誤；由四邊形是平行四邊形，AC=BD,證明四邊形ABCD是矩形，則四

點都在AC為直徑的同一個圓上，可判斷②正確；由四邊形A3。是平行四邊形，AC1BD,證明四邊形

A5CD是菱形，設AC8D交于點/,過點/分別作各邊的垂線，垂足分別為點G,H,尸,E,可證明

ZBAI=ZDAI,貝”G=/H,同理由=ZF,ZF=/E,可知以點/為圓心，以/G長為半徑的圓與菱形A5CD

的各邊都相切，可判斷③正確；當四邊形ABCD是正方形時，該四邊形既有外接圓，又有內切圓，可判斷

④正確，于是得到問題的答案.

【詳解】解：：AB〃CD,AB=CD,

.??四邊形ABCD是平行四邊形，

:平行四邊形的對角不一定互補，

.?.A,瓦C,。四點不一定在同一個圓上，故①錯誤；

??,四邊形ABC。是平行四邊形，AC=BD,

四邊形ABCD是矩形，

.?.A,民C,。四點都在AC為直徑的同一個圓上，故②正確；

:四邊形ABCD是平行四邊形，ACJ.BD,

.,.四邊形ABCD是菱形，

如圖，設AC3。交于點/,過點/分別作各邊的垂線，垂足分別為點G,H,￡E,

AB=AD,ACLBD,

:.ZBAI=ZDAI,

：.IG=IH,

同理田=/F,3=ZE,

：.IG=IH=IF=IE,

.??以點/為圓心，以/G長為半徑的圓與菱形ABCD的各邊都相切，

.??四邊形ABCD的各邊一定都與某一個圓相切，故③正確；

A,B是平面內兩定點，是平面內兩動點，且四邊形ABCD是平行四邊形，

.??四邊形A5CD可能是正方形，

:正方形既有外接圓，又有內切圓，

存在四邊形ABC。既有外接圓，又有內切圓，故④正確，

故選：C.

【點睛】此題重點考查平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定與性質，與圓有關的

位置關系等知識，正確理解平行四邊形與特殊平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關鍵.

5.C

【分析】本題考查了切線的性質，含30。的直角三角形的性質，勾股定理等知識，連接OC,由切線的性質

得NOCE>=90。，根據(jù)等腰三角形的性質得NOC4=NA=30°,通過外角性質可得

NDOC=NOC4+NA=60。，則NO=30。，最后由勾股定理即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：連接OC,

ZOCD=90°,

,/OC=OA,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.NDOC=Z.OCA+ZA=60。，

ND=30。，

OC=-OD=2,

2

?*-DC=ylODr-OC2=V42-22=2A/3>

故選：C.

6.D

【分析】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形，求弧長，過點C作CE1AB,根據(jù)正多邊形的性質得出

VA03為等邊三角形，再由內心的性質確定/G4O=，C4E=/CBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

Ap

得出AC=，嚓=2,再求弧長即可求解.

cos30

六條弧所對應的弦構成一個正六邊形,

ZAOB=60°,OA=OB,

AAOB為等邊三角形，

,/圓心C恰好是AABO的內心,

"40=NCAE=ZCBE=30°,

???ZACB=120°,

*.*AB=6

/.AE=BE

2

120xlx7i2

??AB的長為:=—719

1803

?,?花窗的周長為:-nx6=47i

3;

故選：D.

7.A

【分析】本題考查了三角形內切圓半徑求法，根據(jù)矩形面積不同的表示表示方法得出等式即可求解.

【詳解】解：設由圖可知：如圖1所示的直角三角形面積為;油,

圖2所示的矩形面積為：2d(a+b+c),而圖2所示的矩形面積為如圖1所示的面積的4倍

/.2xd(Q+b+c)=4x；Q人,

.72ab

..d=

a+b+c

故選：A.

8.D

【分析】本題考查弧長的計算，掌握弧長計算公式是正確解決問題的關鍵.

根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：罷義2a9=8萬,

360

故選：D.

9.B

【分析】本題考查了切線長定理，等邊三角形的判定與性質；由切線長定理得以=尸5=2,由4=60。得

△R仍是等邊三角形，由等邊三角形的性質即可求得結果.

【詳解】解：總與。。分別相切,

，PA=PB=2；

VZP=60°,

:?△R46是等邊二角形,

***AB=PA=2；

故選：B.

10.C

【分析】由第一步作圖痕跡可知直線W是尸。的垂直平分線，由此可判斷①正確；根據(jù)直徑所對的圓周

角等于90。，可判斷②正確；根據(jù)切線長定理可判斷③正確；先證明△尸OQ0WOR,由此可得

S/OQ-S*OR,進而可得S/s=；S四邊形PR3,因此可判斷④錯誤.

【詳解】

由第一步作圖痕跡可知直線是P。的垂直平分線，因此點A是尸。的中點，

故①正確；

*/PO是。A的直徑，

NPQO=NPRO=90°,

:.PQX.OQ,PR_LOR,

二直線PQ,尸R都是。0的切線，

故②正確；

直線PQ,用都是0。的切線，根據(jù)切線長定理，可知PQ=PR,

故③正確；

:PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

.-.APOQ^^OR,

?C—c

??axPOQ_Q*OR，

=

?"Afoe5S四邊形PRO。?

丁點A是尸O的中點，

-S/QA=5S*OQ=-S四邊形PR。。,

故④錯誤.

故選：c

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖法、圓周角定理、切線的判定以及切線長定理.熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

11.—/0.5

2

【分析】本題考查圓錐的計算，先求出扇形的弧長，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面半

徑.

【詳解】解：.??弧8。的長為笠；1=萬，即圓錐底面周長為萬，

180

設圓錐的底面半徑為wm,

則丫=71,

：.r=—1,

2

圓錐的底面圓的半徑為;cm.

故答案為：y.

12.40000

【分析】本題考查弧長的計算.根據(jù)所給條件得到門的值是解決本題的關鍵.易得A8的長度為800km,

A8所對的圓心角為7.2。，根據(jù)弧長公式可得萬廣的值，進而可求得地球的周長.

【詳解】解：如圖，

A8的長度為800km,

:.ZAOB=1.2°,

設地球的半徑為rkm,

常=8。。,

解得：萬r=20000,

地球的周長為2s=40000（km）,

故答案為：40000.

13.矩形

【分析】本題考查的是命題與定理，任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、

論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.根據(jù)矩形的性質、正多邊形的概念解答即可.

【詳解】解：矩形的各角都是90。，即各角相等，但矩形不一定是正多邊形,

則命題“各角相等的圓內接多邊形是正多邊形”是錯誤的,

故答案為：矩形.

14.24

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓的有關計算，正六邊形的半徑與邊長相等是需要熟記的內容.根據(jù)

正六邊形的半徑可求出其邊長為4,進而可求出它的周長.

【詳解】解：正六邊形的半徑為4,則邊長是4,因而周長是4x6=24.

故答案為：24.

15.90經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查作圖一復雜作圖、圓周角定理、切線的判定，根據(jù)圓周角定理、切線的判定定理填空即

可.

【詳解】證明：連接OQ,OR.

???O尸是04直徑，點。在0A上，

:.^OQP=90°.

OQLPQ.

又,?,點。在。。上，

，直線P。是。。的切線（經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

同理可證直線尸R是0。的切線.

故答案為：90；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

16.6

【分析】過點。作加，9交于點連接。4,QB,證明△OAB是等邊三角形，得出

AB=OA=2cm,由垂徑定理求出AM,再由勾股定理求出即可.

【詳解】解：過點。作。暇，交于點連接OAO5，

"/六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

ZAOB=——=60°,

6

?：OA=OB,

???△Q4B是等邊三角形，

:.AB=OA=2cm,

?.-OM1AB,

：.AM=BM=-AB=lcm,

2

OM=M-f=6cm>

即邊心距為J§cm,

故答案為：6

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定與性質,

解題的關鍵是掌握以上知識點.

17.24

【分析】本題考查了正多邊形與圓的關系，根據(jù)正六邊形的性質，把面積轉化為6個等邊三角形的面積和

計算即可.

【詳解】解：如圖，

；（M=O3=4m,ZAOB=—=60°,

6

AB=OA-OB—4m,即正六邊形的邊長為4m,

地基的周長為6x4=24（m）,

故答案為：24.

18.573

【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質，含30。角的直角三角形的性質等知識，先根據(jù)切線長定

理，切線的性質，得出ZAPO=NbO=：ZAPC=30°,OA1AP,然后根據(jù)含30。角的直角三角形的性質求

出AO=|百，即可求解.

【詳解】解：：，PA,PC是。。的切線，ZAPC=6O°,

：.ZAPO=ZCPO=-ZAPC=30°,OA1,AP,

2

PO=5^/3,

：.AO=-PO=->/3,

22

.,.直徑AB=2AO=5/，

故答案為：573.

19.V3

【分析】本題主要考查圓的切線性質，圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的應用.通過連接

OC,利用切線性質得到垂直關系，證明得到NAOP=NCOP,再圓周角定理求出

ZAOC,最后在RtACMP中應用勾股定理求得R4的長.

【詳解】連接OC,OP,

PA,PC是。。的切線,

PA=PC,

又班OC1PC,OP=OP,

??.△Q4P四△OCP（HL定理），

ZAOP=ZCOP,

而N4OC=2NABC=120。（圓心角是圓周角的兩倍），

ZAOP=60。,

在R7XOAP中，ZAPO=30°,

48是0。的直徑，OA=^AB=1,

：.OA=-PO^1

2

P0=2

PO2=OA2+PA2

■■■PA=Jpo2—82=如，

故答案為：6

20.176萬

【分析】本題主要考查了弧長的計算，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵.根據(jù)弧長公式計算可得.

【詳解】解：AB的長為：12°：。；264=176萬（mm）,

lot）

故答案為：176乃.

21.述+20+1

3

【分析】在E4延長線取點P,使得NF=MN,則有MN+EN=NF+EF=EF,即求E尸的最大值，然后

求出NMFE=NMWF=45。，故有當平移MR至MR與。。相切時，有E尸最大值，延長MO交AE于點G,

證明△GMF為等腰直角三角形，再根據(jù)30。角所對直角邊是斜邊的一半，得OK=1,從而有

AK=yJo^-OK2=A/22-12=A/3-再通過等腰直角三角形的性質可得0G=0，所以MG=2+^，

GF=2及+2,最后由勾股定理和線段和差即可求解.

【詳解】解：在E4延長線取點尸，使得NF=MN,

：.MN+EN=NF+EF=EF,即求的最大值,

,?MN1AD,

/MNF=90。,

,隨著M的運動，/MFE=/WF=45。時，

當平移初尸至W與OO相切時，有所最大值，延長MO交A石于點G,

JNGMF=90。，

：.ZMFE=ZMGF=45°f

???△GMF為等腰直角三角形，

VOA=2fNO4G=30。，

JOK=1,

?,?由勾股定理得：AK=VQA2—OK2=V22—l2=y(3，

「ZOG4=45°,

JZOGA=ZGOK=45°,

:.GK=OK=\,

???由勾股定理得OG=后，

???MG=2+0，Gb=20+2，

NQ4G=30。，

BE=-AE,

2

J由勾股定理得AB2+BE2=AE2，

??A.E=---,

3

AG=6+1,

.”56?

??EG=---1,

3

sh

EF=EG+GF=—+2y/2+l,

3

ANM+EN的最大值為%8+2應+1,

3

故答案為：—+272+1.

3

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，直角三角形的性質，掌握知

識點的應用是解題的關鍵.

22.3；

【分析】本題考查切線長定理，根據(jù)圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等直接求解即可得到答案；

【詳解】解：：AB,AC,3。是。。的切線，P,C,。為切點，

AAC=AP,BD=BP,

VAB^IO,AC=1,

：.3尸=10—7=3,

故答案為：3.

23.4A/3

【分析】根據(jù)切線的性質及切線長定理可證明AE4C為等邊三角形，則/尸的大小可求；求得AB4c為等

邊三角形易知R4=AC,在放