/重慶2025屆高三數(shù)學第一學期開學考試試卷注意事項：1．答題前，將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題專上指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別解對數(shù),指數(shù)不等式，求出，再求并集即可.【詳解】由于,即，即，解得.則.由于，即，則，則.則.故選：C.2.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義和單調(diào)性求參數(shù)即可.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義和單調(diào)性,知道，解得，則.故選：D3.子曰：“工欲善其事，必先利其器．”這句名言最早出自于《論語·衛(wèi)靈公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合題意得到答案.【詳解】從邏輯上講，工匠把活作好了，必然有銳利的工具，但有了銳利的工具，不一定能把活做好，“善其事”是“利其器”的充分不必要條件.故選：A4.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線斜率為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出切點和切線的斜率即得解.【詳解】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，.故選：C5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由定義域排除D，由函數(shù)在時函數(shù)值正負排除B，由函數(shù)的奇偶性排除C，即得正確選項．【詳解】有，而由函數(shù)的部分圖象得出定義域內(nèi)有0，不合題意排除D選項；函數(shù)的部分圖象關(guān)于y軸對稱是偶函數(shù)，而,不合題意排除B選項；當時，，，由圖可知有正有負，不合題意排除C選項；故選：A.6.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，則原問題轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分離參數(shù)得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其奇偶性以及利用導數(shù)求其最值，即可求得答案.【詳解】由于，故，函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，故在R上恒成立，即恒成立，令，為偶函數(shù)，故考慮時，，令，即在上單調(diào)遞增，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，實數(shù)的取值范圍是，故選：B7.已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于直線對稱，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用已知條件得到關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，進而得到周期4.再用賦值法，得到.進而得到.【詳解】的圖象關(guān)于直線對稱，則.即，令，則，則也關(guān)于對稱.是奇函數(shù)，則，，令，則，則也關(guān)于對稱.且令，得.由前面知道，且令，則且，令，則，故周期為4.則.，，都不確定是否為0．故選：B.8.若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意把不等式變形后將問題轉(zhuǎn)化為的最小值大于的最大值，再利用導數(shù)討論單調(diào)性即可求出結(jié)果；【詳解】因，所以不等式可變形為，令，由題意可得函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線的上方，一個在直線的下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值.由求導可得，令，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，由求導可得，令，可得或，當時，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；所以有最大值，無最小值，不符合題意，當時，時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；此時，所以，即，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是能夠由已知對不等式兩邊同時除以后變形，再設(shè)出，然后把問題等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，求導分析即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為 D.有最大值為【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的條件即可求解D.【詳解】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，對于D：因為，當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，故選：ABC．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增BC.若，，，則D.函數(shù)有唯一零點【答案】AC【解析】【分析】對于，求出導函數(shù)，由導函數(shù)的正負即可判斷單調(diào)性；對于B，證明，再賦值，結(jié)合對數(shù)性質(zhì)即可計算；對于C，變形，由，的范圍即可證.對于D，由的單調(diào)性大概得到函數(shù)圖像趨勢，結(jié)合零點存在性定理可判斷.【詳解】的定義域為，在定義域上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故正確；當趨近于0時，趨于，當趨近于1，且在1的左側(cè)時，趨于.當趨近于1，且在1的右側(cè)時，趨于,當趨近于，趨于.故在和都有1個零點，共2個零點，故D錯誤.，所以，又，所以，故B錯誤；，因，所以，又，所以，即，故C正確.故選：AC.11.定義在上的可導函數(shù)滿足，若，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在處取得極大值B.C.過原點可以作2條直線與曲線相切D.若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的求導法則可得，即可利用導數(shù)求解A，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式可判斷B，求切點處的切線方程，代入原點坐標，即可求解C，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導，結(jié)合零點存在性定理可得函數(shù)的最小值，根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)可得，即可代入求解D.【詳解】由可得，又，故，其中為常數(shù)，由于，故，所以，因此，故，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故在處取得極大值，A正確，由于，結(jié)合，故，由于函數(shù)在時，單調(diào)遞增，故，B錯誤，對于C，設(shè)切點為，則切線方程為，將代入可得，解得，故過原點可以作1條直線與曲線相切，C錯誤，對于D，由可得，記，則，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且恒為正，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在為遞增函數(shù)，，故存在唯一的，使得，即，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，故由得，令則，故，因此，則，故，D正確，故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：①根據(jù)得，②對于有唯一的實數(shù)根，令由，根據(jù)唯一性可得是求解D的關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)，則______．【答案】1【解析】【分析】求導，即可代入求解.【詳解】由可得，故，故答案為：113.已知某次數(shù)學期末試卷中有8道四選一的單選題，學生小萬能完整做對其中4道題，在剩下的4道題中，有3道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只能從4個選項中隨機選一個答案．若小萬從這8個題中任選1題，則他做對的概率為______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)小萬從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的4道題為事件B，選到有思路的三道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，利用全概率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小萬從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的4道題為事件B，選到有思路的三道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式得.故答案為：.14.已知函數(shù)，，用表示中較小者，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)的零點，可知必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，由條件列不等式求的取值范圍.【詳解】，因為函數(shù)有一個零點，函數(shù)至多有兩個零點，又有三個零點，所以必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，且函數(shù)與函數(shù)的零點均為函數(shù)的零點，由可得，，所以，所以為函數(shù)的零點，即，所以，令，可得，由已知有兩個根，設(shè)，則有兩個正根，所以，，所以，故，當時，有兩個根，設(shè)其根為，，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，，且，，所以當時，，所以當時，為函數(shù)的零點，又也為函數(shù)的零點，且與互不相等，所以當時，函數(shù)有三個零點.故答案為：.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖像交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.已知定義在上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值：（2）若在上的值域為，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，，求出的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，結(jié)合函數(shù)定義域得到.【小問1詳解】由于，故，，由為奇函數(shù)得，故，解得或(舍)，故；【小問2詳解】，故，又，解得，故.16.甲、乙兩名同學進行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局．首先獲得4分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率：（2）若甲以的比分領(lǐng)先時，記表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）分兩種情況甲勝或乙勝，如果第5局甲勝則前4局甲勝3局，若第5局乙勝則前4局乙勝3局，即可求出概率；（2）根據(jù)題意，分析接下去的對局數(shù)量，從而得到的可能取值，再利用獨立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和數(shù)學期望．【小問1詳解】第一種情況：比賽結(jié)束時恰好打了5局且甲獲勝，則概率為；第二種情況：比賽結(jié)束時恰好打了5局且乙獲勝，則概率為；所以比賽結(jié)束時恰好打了5局的概率為．【小問2詳解】甲隊以的比分領(lǐng)先，甲隊目前的戰(zhàn)績兩勝一負，接下去的比賽局數(shù)最少的情況是甲隊取得兩勝結(jié)束比賽，局數(shù)最多的情況是接下來的前三局甲隊一勝兩負，必須進行第四局才能結(jié)束比賽，的可能取值為2，3，4，又，，，隨機變量的分布列為：234，即的數(shù)學期望為．17.已知函數(shù)在時取得極值，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在實數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合題意列出方程，即可求得答案；（2）將原問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，，利用導數(shù)求解函數(shù)最值，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知定義域為，，由于函數(shù)在時取得極值，且滿足，故，且，解得，則，經(jīng)驗證函數(shù)在時取得極小值，適合題意故；【小問2詳解】由題意存在實數(shù)，使得成立，即恒成立；令，，則，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的使得，即，則當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，結(jié)合，得，故整數(shù)的最小值為5.18.已知橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求拋物線的方程：（2）已知為拋物線上一個動點，直線，，求點到直線的距離之和的最小值；（3）若點是拋物線上一點（不同于坐標原點），是的內(nèi)心，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用題意求出焦點坐標求解就可以了；（2）找到距離之間關(guān)系，利用幾何法求解即可；（3）利用內(nèi)心的性質(zhì)找到面積之間的關(guān)系，然后表示出面積，再利用函數(shù)關(guān)系求其范圍即可.【小問1詳解】由題可知，橢圓右焦點坐標為，拋物線焦點坐標為所以,所以拋物線方程為,【小問2詳解】由題可知，為拋物線準線，所以點到的距離等于點到焦點的距離；聯(lián)立，顯然無實數(shù)根，故直線與拋物線相離，記點到的距離為,所以的最小值為焦點到直線的距離為.【小問3詳解】設(shè)點，已知點所以的面積,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則有,所以,所以,因為點是拋物線上一點（不同于坐標原點）,所以，,所以,經(jīng)整理得：,構(gòu)造函數(shù),得,顯然單調(diào)增,令，解得,所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞増；所以,所以.【點睛】對于距離問題先用幾何法找到其中關(guān)系；對于內(nèi)心相關(guān)的面積問題，可以利用等面積法，得到不同部分面積之間的關(guān)系求解即可，當處理的式子比較復雜的時候，可以構(gòu)造函數(shù)求解.19.如果函數(shù)的導數(shù)，可記為．若，則表示曲線，，以及軸圍成的曲邊梯形”的面積（其中．（1）若，且，求；（2）當時，證明：；（3）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由基本函