/湖南長(zhǎng)沙2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期第二階段考試模擬試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．4．水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購(gòu)了個(gè)頭大且均勻的橘子若干個(gè)，設(shè)原有橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，該顧客選購(gòu)的橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．5．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．26．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為（

）A． B． C． D．7．一個(gè)高為的直三棱柱容器內(nèi)裝有水，將側(cè)面水平放置如圖（1），水面恰好經(jīng)過棱，，，的中點(diǎn)，現(xiàn)將底面水平放置如圖（2），則容器中水面的高度是（

）.A． B． C． D．8．給定函數(shù)，用表示中的最大者，記作，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．B．C．若，則是鈍角三角形D．（為外接圓的半徑）10．已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值是2，經(jīng)過點(diǎn)的直線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的準(zhǔn)線方程為C． D．滿足條件的直線有2條11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若與均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．4是的一個(gè)周期C． D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱三、填空題12．在數(shù)列中，，，若，則．13．甲、乙、丙、丁四支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)輸一場(chǎng)且積分超過其余每支球隊(duì)積分的概率為．14．已知，，其中，則.四、解答題15．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，．(1)求及的面積S；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．16．如圖，多面體中，直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直，，．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得直線和平面所成的角大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.18．某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話．聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為，當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問題，聊天機(jī)器人棋型的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這7個(gè)問題中抽取4個(gè)，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為，若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．19．如圖，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為，，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限.連接與雙曲線左支交于點(diǎn)C，連接分別與x，y軸交于D，E兩點(diǎn).(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最小值.湖南省長(zhǎng)沙市周南中學(xué)2025屆高三第二階段考試模擬試卷參考答案：題號(hào)1235678910答案DAAABCBABDBC題號(hào)11答案ABD1．D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再代入模的公式，即可求解.【詳解】由題知，，所以.故選：D.2．A【分析】利用充分、必要條件的概念計(jì)算即可.【詳解】由可以得出，滿足充分性，而可得，不滿足必要性，即A正確.故選：A3．A【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，即可求解.【詳解】由，得，又，所以.故選：A4．C【分析】根據(jù)方差和平均數(shù)的意義，結(jié)合題設(shè)的實(shí)際場(chǎng)景即可判斷.【詳解】水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購(gòu)了個(gè)頭大且均勻的橘子若干個(gè)，所以該顧客選購(gòu)橘子的質(zhì)量平均數(shù)>原有橘子的質(zhì)量的平均數(shù)，該顧客選購(gòu)的橘子的質(zhì)量的方差<原有橘子的質(zhì)量的方差.故選：C5．A【分析】先求出圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由垂徑定理，得點(diǎn)到直線距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，知圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)可得，解得.故選：A.6．B【分析】求出變換后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)式，再利用驗(yàn)證法求得結(jié)果.【詳解】依題意，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，，B是；對(duì)于C，，C不是；對(duì)于D，，D不是.故選：B7．C【分析】設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖和圖中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】記棱，，，的中點(diǎn)依次為，設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，在圖中，幾何體為直四棱柱，因?yàn)榉謩e為棱，，，的中點(diǎn)，所以，則水的體積為，解得.故選：C.8．B【分析】根據(jù)題干條件，得出恒成立，作差構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求構(gòu)造函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】由題意可得，，等價(jià)于恒成立，設(shè)恒成立，設(shè)，令，則，解得，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，.，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為1.故選：B.9．ABD【分析】根據(jù)正弦定理可判斷A，由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可判斷B，由余弦定理可判斷C，根據(jù)面積公式及正弦定理可判斷D.【詳解】由正弦定理，可得，故A正確；，故B正確；因?yàn)椋荒苷f明C為銳角，不一定是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；由正弦定理得，（為外接圓的半徑），所以，所以，故D正確.故選：ABD10．BC【分析】根據(jù)題意求出p的值，判斷A；根據(jù)準(zhǔn)線方程，判斷B；設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合應(yīng)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷C；設(shè)直線聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷直線個(gè)數(shù)及特殊斜率不存在直線結(jié)合即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意拋物線的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值是2，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B正確；對(duì)于C，由題設(shè),為，聯(lián)立，可得，則，故，

C正確.對(duì)于D，因?yàn)樵谕?，令過P的直線與相切，所以，若，，可得有兩個(gè)根故與相切直線有兩條，又與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以過與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有三條，D錯(cuò)誤；故選：BC11．ABD【分析】注意到為偶函數(shù)則，由兩邊求導(dǎo)，令可判斷A；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可判斷B；利用的周期性和奇偶性可判斷C；根據(jù)和可判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，而，故，故，又為偶函數(shù)，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正確.對(duì)A，由兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，A正確；對(duì)C，由上知，所以，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，故，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵在于原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)數(shù)的奇偶性關(guān)系，以及對(duì)兩邊求導(dǎo)，通過代換求導(dǎo)函數(shù)的周期.12．506【分析】由題意可得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，4為公差，則，故令，解得.故答案為：.13．【分析】不妨先考慮甲輸丙，再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊(duì)在輸了一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分，三隊(duì)中選一隊(duì)與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場(chǎng)比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則甲只得4分，這時(shí)，丙乙、丙丁兩場(chǎng)比賽中丙只能輸，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時(shí)，甲得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)丙乙，丙丁兩場(chǎng)比賽中丙不能贏，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率；②若丙兩場(chǎng)均平，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽無論結(jié)論如何均符合題意；③若兩場(chǎng)丙都輸，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是；綜上概率為．故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于比較復(fù)雜的概率的計(jì)算，注意根據(jù)問題的特征合理分類，盡量不重不漏，必要時(shí)利用表格或枚舉等方法.14．【分析】利用兩角差的余弦可求的值，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案為?5．(1)，(2)【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而由三角形面積公式求出答案；（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.【詳解】（1）由余弦定理得，即，故，解得或（舍去），；（2）因?yàn)?，，所以，故，在中，由余弦定理得，，?16．(1)(2)存在，.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，求證平面，即可由求出該多面體的體積.（2）先求證兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)已知條件求出和平面的法向量，再依據(jù)即可計(jì)算求解，進(jìn)而得解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則由為正三角形得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又由題意，所以該多面體的體積.（2）連接，由題意以及（1）可知且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以由平面可知兩兩垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，，設(shè)，則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，即，取，則，所以直線和平面所成的角的正弦值為，整理得，解得（舍去）或，所以在棱上存在點(diǎn)P，使得直線和平面所成的角大小為，此時(shí).17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算法則求出在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即得切線斜率，點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.（2）要證明的不等式含參時(shí)，且規(guī)定了參數(shù)的范圍時(shí)，可以考慮先使用滿參放縮，將含參的不等式轉(zhuǎn)化為不含參的不等式來證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，有，所以，因?yàn)椋?令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.故.18．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）求出隨機(jī)變量的所有取值以及每一個(gè)值發(fā)生的概率即可得的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式即可計(jì)算得解的數(shù)學(xué)期望.（2）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進(jìn)而由已知以及全概率公式即可求解.【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，，，，故的分布列為：234則．（2）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，由已知得，，，，，，所以由全概率公式得，解得．19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知求出，然后根據(jù)離心率得出，根據(jù)的關(guān)系求出的值，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得，，設(shè)，，求出直線的方程.與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出點(diǎn)B坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)C的坐標(biāo).表示出直線的方程，求出的坐標(biāo)，得出直線的方程.進(jìn)而表示出面積，換元，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，所以.又，所以，.所以，雙曲線方程是.（2）由（1）可知，，設(shè)，，則直線的方程為.將直線的方程與