1第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題參考解答(2024年9月21日9:00-12:00)一、(45分)(1)(1.1)記質(zhì)量為M的振子偏離平衡位置的位移為x(向左為正),單擺的偏轉(zhuǎn)角為θ(向左為正),擺臂上的張力為T(mén),按牛頓第二定律，擺錘在水平方向m(x+l?cosθ-lB2sinθ)=-Tsinm(-lsinθ?-LB2cosθ)=mg-Tcosθ②sinθ≈θ,cosθ≈1將③式代入①②式，并保留到小量θ的領(lǐng)頭階，得④【慣性力-mx,有角向運(yùn)動(dòng)方程ml?=-mgsinθ-m進(jìn)一步利用小擺幅條件，保留到小量θ的領(lǐng)頭階】由③④⑥式得lθ=Bcos(wt+φo)⑨其中φx、4日是穩(wěn)定振動(dòng)與所受強(qiáng)迫力之間的位相差。將⑧⑨式代入方程⑤⑦后，所得出的兩個(gè)方程對(duì)任⑩??其中?2(1.2)由?式可知，當(dāng)沒(méi)有阻尼器時(shí)(這時(shí)m=0),有即當(dāng)風(fēng)的頻率為為了調(diào)節(jié)阻尼器的參數(shù)m、l使得A最小，可取或m盡可能大。(2)若m=0(即沒(méi)有阻尼器),當(dāng),由?式可得?????加入阻尼器后，為了讓A減小到無(wú)阻尼器時(shí)的1%,將及?式代入?式，得(3)擺錘相對(duì)于油的速度的水平與豎直分量分別為3m(-I0sinθ-102cosθ)=mg-Tcosθ+??【慣性力-mx,有角向運(yùn)動(dòng)方程3】質(zhì)量為M的振子在水平方向上做一維運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得Mx=-kx+Tsinθ+γl0cosθ+Hcoswt阻尼是不可缺少的，首先是因?yàn)楫?dāng)?式成立時(shí)，僅有重物而無(wú)阻尼力的系統(tǒng)會(huì)發(fā)生共振，此時(shí)阻尼力可以有效地抑制振動(dòng)。7其次阻尼效應(yīng)會(huì)讓系統(tǒng)的機(jī)械能不斷衰減，當(dāng)風(fēng)停下來(lái)時(shí)高層建筑物也會(huì)在阻尼作用下逐漸停止晃動(dòng)。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題45分。第(1)問(wèn)31分，第(1.1)問(wèn)21分，①②③式各2分，④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分，??式各2分，?式4分；說(shuō)明：本題中振幅的表達(dá)式可能出現(xiàn)負(fù)值，此時(shí)將其絕對(duì)值理解為其振動(dòng)的實(shí)際振幅，負(fù)號(hào)歸入相位，也第(1.2)問(wèn)10分，?????式各2分；第(2)問(wèn)4分，②?②式各2分；第(3)問(wèn)10分，22各1分，④2⑥式各2分；?8式各1分。二.(50分)由于碰撞時(shí)間極短，因此可忽略碰撞過(guò)程中摩擦力(其最大值為μmg)的沖量和沖量矩；Q球和T球之間沒(méi)有摩擦，只有徑向的彈性力。因此在Q球和T球碰撞前后的瞬間，可認(rèn)為角動(dòng)量守恒，碰撞后的瞬間，對(duì)于Q球有彈性碰撞能量守恒，又由①式，轉(zhuǎn)動(dòng)能量不變，因此可列出質(zhì)心的動(dòng)量和能量守恒關(guān)系，分別取碰撞后T球運(yùn)動(dòng)方向和與它垂直的方向?yàn)樽鴺?biāo)基矢量'、x'方向，如題解圖2a。由動(dòng)量守恒得②v?=v2+v,+v2④由②③④式得即其中vr=0對(duì)應(yīng)沒(méi)有發(fā)生碰撞；因此碰撞發(fā)生后有因此即Q球碰撞后只有垂直T球運(yùn)動(dòng)的分量，題解圖2a題解圖2b4】(2)碰撞后不一定滿足純滾條件，即Q球上與桌面接觸點(diǎn)C的速度(相對(duì)于桌面)不一定為0,但由于有即(2.2)記接觸點(diǎn)C的速度方向單位矢量為ic,質(zhì)心速度為v,角速度為@,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定I@=R×(-μmg)c=-μmg(R×c)其中?ic=v+@×R5??式表明，對(duì)于接觸點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，摩擦力的作用是對(duì)其減速，并且沿著該點(diǎn)速度的反方向，因此C點(diǎn)速度由⑨式知C點(diǎn)的起始速度1vc=√7osinpcosφ-Rab)2+(vosin2?+Rao)2代入勻減速運(yùn)動(dòng)公式v=v?+at有(2.3)由于Vc接觸點(diǎn)的速度為勻減速?式，它的方向不變即：?質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程⑩式在x-y系下為簡(jiǎn)單的勻減速運(yùn)動(dòng)：x=-μg?cx,ü=-μgcy碰撞瞬間后質(zhì)心初始位置設(shè)為原點(diǎn)；初始速度由⑦式給出：??(2.4)達(dá)到純滾后，摩擦力必須消失，那么Q球質(zhì)心將是勻速直線運(yùn)動(dòng)。(*)其中vQ。為在碰撞后的瞬間Q球質(zhì)心的速度⑦式。由?②式得??(3)由于打擊時(shí)間極短，可忽略摩擦力在打擊瞬間內(nèi)的沖量6M=△P=m?3-(h-R)M=L=Ia將②2式和(4)(4.1)在第(3)問(wèn)中，無(wú)滑滾動(dòng)的Q球，與T球碰撞前：?在恒定，易得28式。】(4.2)將6式代入?式得：97φ中m=28.1°中m+10°中m-5°中m-10°33.1°(θy的數(shù)值在上列的±0.5°范圍都算對(duì))評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題50分。第(1)問(wèn)8分，①②③④⑤⑥式各1分，⑦式2分；第(2)問(wèn)27分(2.1)問(wèn)4分，⑧⑨式各2分；(2.2)問(wèn)6分，⑩?????式各1分；(2.4)問(wèn)4分，其中(*)1分；?②②式各1分；第(4)問(wèn)11分(4.1)問(wèn)3分，26②28式各1分；(4.2)問(wèn)2分，⑨式2分；(4.3)問(wèn)6分，表中有6個(gè)空，每空1分。三.(45分)(1)在混合物的等體變化過(guò)程中，其壓強(qiáng)的改變量dp與溫度的改變量dT之間的關(guān)系為dp=βdTp-Pi=β(T-T)其中T、p,分別為原參考狀態(tài)的溫度、壓強(qiáng)。依題意，Pi=βT由①②式得p=βT將③式代入題給的表面張力系數(shù)與溫度及壓強(qiáng)之間的關(guān)系σ/(10?3N/m)=60+0.065T/K-24.0p/bar+得σ/(10?3N/m)=60+0.065T/K-24.0βT/bar+3.將題給的β值代入④式得σ/(10?3N/m)=60-110×10-?3T/K+1①②③④⑤⑤式所示的σ-T關(guān)系曲線是一個(gè)開(kāi)口朝上的拋物線，存在溫度T?使石油的表面張力系數(shù)σ取極小值最容易流動(dòng)，以保證油井的產(chǎn)量。事實(shí)上，計(jì)算⑤式關(guān)于溫度的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得⑥8⑧由⑩式解得??所注入的混有表面活性物質(zhì)的水的溫度應(yīng)為約35℃。(2)記液體的任意兩個(gè)相鄰粒子之間的相互作用勢(shì)能為ε,液體內(nèi)部的每一個(gè)粒子有n個(gè)相鄰的粒子(即有n條相互作用鍵),故每個(gè)粒子的平均勢(shì)能為由題設(shè)，液體表面層內(nèi)每個(gè)粒子鄰近粒子數(shù)目是液體內(nèi)部每個(gè)粒子鄰近粒子數(shù)目的ζ倍，因而可知表面層中的每個(gè)粒子的平均勢(shì)能為液體表面層內(nèi)與液?記面積為△As的表面層中有Ns個(gè)粒子，由能量守恒原理知，在形成該表面的過(guò)程???記每個(gè)粒子所占空間的線度平均為D,有考察液體的汽化過(guò)程知，每個(gè)汽化出來(lái)的粒子都需要克服所有其它粒子的作用，這一部分能量通常被稱為汽化熱。由能量守恒，液體的摩爾汽化熱與其粒子間的相互作用勢(shì)能(或每個(gè)粒子與鄰近粒子之間的鍵數(shù))9???第(1)問(wèn)24分，①②③(④(⑤(⑥(⑦⑧⑨⑩?式各2分；四、(45分)①②④⑤由④⑤式有⑥將題給數(shù)據(jù)代入⑥式得⑦=√3.466×10-1?+6.721×10-2?-8.1981×1≈√3.466×10-18(1+9.696×10-10)-8.1981×10⑦≈1.86×10-?(1+9696×10-1?)-8.1981×10-14(J)=1.86×10-?(J)≈11所以，為對(duì)質(zhì)子做200層層析，所用入射電子的動(dòng)能至少應(yīng)該為約11.6GeV。由⑦式第二個(gè)等式的運(yùn)算可知，第二個(gè)等式右邊根號(hào)下的第一項(xiàng)遠(yuǎn)大于根號(hào)下的第二項(xiàng)和根號(hào)外面的項(xiàng)，這兩項(xiàng)中較小的項(xiàng)均反應(yīng)靜止質(zhì)量對(duì)總能量的貢獻(xiàn)，它們相當(dāng)于極端相對(duì)論項(xiàng)(第三個(gè)等號(hào)后邊的第一項(xiàng))的萬(wàn)分之一以下。由此可見(jiàn)，本問(wèn)題可以忽略靜止能量，也就是說(shuō)，此問(wèn)題滿足極端相對(duì)論條件。將題給數(shù)據(jù)代入⑧式得⑧⑨由⑦⑨式可知，極端相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果與計(jì)入靜止能量的結(jié)果的差值比極端相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果至少小四個(gè)量級(jí)。因此，此問(wèn)題完全可以忽略靜止能量。(2)在非相對(duì)論情形下，質(zhì)量為m。的粒子的動(dòng)量p的動(dòng)能為帶電量為Z?e的入射粒子與帶電量為Z?e的靶粒子之間的相互作用勢(shì)能為?其中c?為真空的介電常量，e(e>0)為基本電荷的電量，r為靶粒子的質(zhì)心與粒子之間的距離，于是系??動(dòng)量p可以由粒子的質(zhì)量和速度表出p=m?0即對(duì)于本題考慮的速率為v的運(yùn)動(dòng)質(zhì)子與固定質(zhì)子之間的散射，利用有將題給數(shù)據(jù)代入②式得式中v取國(guó)際單位制下的數(shù)值(下同)。由題設(shè)于是有此即其中c為真空中的光速。入射質(zhì)子的速率v至少應(yīng)為約0.015c。???????3?評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題45分。第(1)問(wèn)20分，①②③(④(⑤(⑥(⑦⑧⑨⑩式各2分；五.(45分)(1)根據(jù)安培環(huán)路定理，一根通有電流I的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在距離該直導(dǎo)線r處產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為①式中μ?是真空磁導(dǎo)率，方向按右手定則沿圍繞直導(dǎo)線的圓(垂直于直導(dǎo)線、且以該直導(dǎo)線穿過(guò)圓面的點(diǎn)為中心)的切向。根據(jù)對(duì)稱性，四根導(dǎo)線在0對(duì)于P點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的z分量為0,而x分量和y分量分別為當(dāng)x<<a,y<<b時(shí)，②③式近似為②③④⑤⑥M=S×B⑦⑧⑨⑩可見(jiàn)受力方向與原子偏離○點(diǎn)的方向相反，因此原子可以被束縛(囚禁)在O點(diǎn)附近。??式中r為P點(diǎn)到0點(diǎn)的距離。設(shè)原子的面平均密度為n。在半徑為R?的區(qū)域內(nèi)，總原子數(shù)和原子團(tuán)總勢(shì)能分別為在半徑為R?的區(qū)域內(nèi)，原子的平均勢(shì)能為?由?式得，當(dāng)原子團(tuán)半徑收縮(冷卻)為,冷卻后，在半徑為R?的區(qū)域內(nèi)，總原子數(shù)，原子團(tuán)總評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題45分。第(1)問(wèn)14分，①式2分，*結(jié)論2分，②③④⑤⑥式各2分；第(2)問(wèn)5分，⑦式2分，⑧式3分；第(3)問(wèn)9分，⑨⑩?式各3分；六.(45分)此即和質(zhì)點(diǎn)m的軌道方程得①②③(2)系統(tǒng)的能量E(包括動(dòng)能和相互作用勢(shì)能)和相對(duì)于O點(diǎn)的軌道角動(dòng)量的大小L分別可以表示為④⑤⑤式平方得⑥⑥⑥式代入④式得⑦由⑥⑦式得⑧將兩邊對(duì)r微分得⑨⑨式即⑩由⑧⑩式得它對(duì)于任意的r都成立，因此有???L=mv?b有有?由②②式得將3式代入②式得(4)題干中已給?v?=c,b=R,?56常量C由初始條件決定。根據(jù)(3)(ii)中的題設(shè)條件：“可近似認(rèn)為瞄準(zhǔn)距離b等于太陽(yáng)半徑R?！?因此，可做題解圖6a,由此圖可知②由或6式與②式和題解圖6a得③將9③式代入5或⑥式，得由于,②式可近似為由⑩33式得它對(duì)于任意的r都成立，因此有由于,故因而評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題45分。3③第(1)問(wèn)3分，①②③式各1分；第(2)問(wèn)16分，④⑤各2分，⑥⑦⑧⑨⑩??式各1分，??式各2分；第(3)問(wèn)12分，(3.1)問(wèn)8分，?1??2②式各1分，②式2分；(3.2)問(wèn)4分，3④式各2分；第(4)問(wèn)14分，?2829③③③3333536③38式各1分，39式2分。七、(45分)①(1)一維圓環(huán)上電子的波函數(shù)應(yīng)滿足如下的單值條件①由題給波函數(shù)形式和①式有由②式得(2)磁矢勢(shì)的環(huán)路積分即為通過(guò)該環(huán)路的磁通量，故有①=2πRA已利用穿過(guò)圓環(huán)的磁通分布的軸對(duì)稱性。按按題干所述，在有磁場(chǎng)的情況下，由③④式得電子動(dòng)量按題干所述，由⑤式得電子能量其中1為整數(shù)。在接近絕對(duì)零度時(shí)，系統(tǒng)總能量為為使系