專題09圓錐曲線目錄題型一：圓錐曲線方程易錯(cuò)點(diǎn)01忽略圓錐曲線定義中的限制條件易錯(cuò)點(diǎn)02忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置易錯(cuò)點(diǎn)03求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍易錯(cuò)點(diǎn)04求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)06混淆“焦點(diǎn)弦”和“非焦點(diǎn)弦”易錯(cuò)點(diǎn)07恒成立意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤題型一：圓錐曲線方程易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件典例4（24-25高三上·陜西榆林·期中）已知、是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”；若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【易錯(cuò)剖析】在解題時(shí)容易雙曲線中定義中這一限制條件而錯(cuò)選C.【避錯(cuò)攻略】1、橢圓的定義(1)定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|．【解讀】在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，務(wù)必注意這一隱含的條件．2、雙曲線的定義（1）定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(2a＜|F1F2|)．【解讀】(1)常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．(2)如果沒有絕對值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn))．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．3.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【解讀】(1)“一動(dòng)三定”：一動(dòng)點(diǎn)M；一定點(diǎn)F(即焦點(diǎn))；一定直線l(即準(zhǔn)線)；一定值1(即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)F不在定直線l上．當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時(shí)，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如橢圓要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和是大于焦距的常數(shù)；雙曲線要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值是小于焦距的常數(shù)；二拋物線則要滿足定點(diǎn)不在定直線上.1．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓②動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線③動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比M到軸的距離大3，則動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程為.1．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知圓和，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切，同時(shí)與圓外切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在4．（24-25高三下·全國·課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（24-25高二上·黑龍江·期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B．若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡為直線D．若，則點(diǎn)的軌跡為圓6．（2024·河北·模擬預(yù)測）（多選）已知平面內(nèi)點(diǎn)，，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．，點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．，點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．，點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．，點(diǎn)的軌跡為圓7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為，則的方程為.8．（24-25高三下·湖北荊州·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置典例（24-25高三上·江蘇無錫·期中）求長軸長是短軸長的倍，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略對橢圓焦點(diǎn)位置的討論而漏解.【避錯(cuò)攻略】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2＋y2by2a2＋x2b焦點(diǎn)(－c，0)與(c，0)(0，－c)與(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2【解讀】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的方程，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸．(2)兩種橢圓x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同點(diǎn)是：它們的形狀、大小都相同，都有a(3)x2項(xiàng)和y2項(xiàng)誰的分母大，焦點(diǎn)就在誰的軸上.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2by2a2－x2b焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2【解讀】(1)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上，即x2，y2的系數(shù)異號(hào)．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)Fpx＝－py2＝－2px(p>0)F?x＝px2＝2py(p>0)F0，y＝－px2＝－2py(p>0)F0，?y＝p【解讀】(1)只有拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號(hào)的一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一個(gè)變量的一次單項(xiàng)式．(3)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(4)焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．易錯(cuò)提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點(diǎn)在x,y軸兩種情況，二拋物線則有四種方程，故我們在處理圓錐曲線方程相關(guān)問題時(shí)，一定要先定位，即分析焦點(diǎn)位置，不確定要討論，在定量，即求或的值．1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實(shí)軸長為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（24-25高三上·四川雅安·診斷測試）已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或23．（24-25高三上·陜西寶雞·期末）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)P（－5，4），Q（0，6），則橢圓的方程為（）A．1 B．1C．1 D．12．（24-25高二上·河北衡水·期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山西太原·階段練習(xí)）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高三上·上海楊浦·階段練習(xí)）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．7．（23-24高二上·江蘇南通·期末）寫出符合下列兩個(gè)條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.①實(shí)軸長為4；②漸近線方程為8．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.9．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）分別求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)．(2)經(jīng)過兩點(diǎn)，．易錯(cuò)點(diǎn)03：求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍典例（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【分析】探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，找出滿足的不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為離心率解之即可.【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以在以為直徑的圓上.又因?yàn)樵跈E圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略橢圓的離心率滿足這一范圍而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】求離心率范圍的方法技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.1．（24-25高三上·北京·期中）橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左、右頂點(diǎn)為A，B，若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）設(shè)橢圓與雙曲線，若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則橢圓的離心率的范圍是.1．（2021·黑龍江哈爾濱·三模）雙曲線：（，）右焦點(diǎn)為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，則雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，P?Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M?N分別是PF?QF的中點(diǎn)，若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的范圍是.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則離心率的范圍為．5．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．6．（23-24高二上·江西南昌·期中）設(shè)，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線，在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.7．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，其中原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為．易錯(cuò)點(diǎn)04：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍典例（24-25高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】如圖，設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為，則有，所以.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即，又，所以，所以方程為.故選：B.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò)而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】求軌跡方程的方法1.直接法利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．2.定義法根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程．3.相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．4.交軌法在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．1．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．3．（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，且周長為16，求頂點(diǎn)的軌跡方程．1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知橢圓，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C． D．3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)和分別位于正半軸和負(fù)半軸上，若，則和的交點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）（多選）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之積為定值，且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則（

）A．曲線的方程為B．點(diǎn)在曲線上C．D．6．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)）已知，過點(diǎn)且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，則；點(diǎn)的軌跡方程為．7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程為．8．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎矫嬷苯亲鴺?biāo)系中B?2,0、．若A為動(dòng)點(diǎn)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．9．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，軸，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，且，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為．題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)05：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)典例(2024·四川南部縣模擬)過點(diǎn)P(3,1)作直線l與拋物線y2＝－4x只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線l有________條()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l：x＝3，與拋物線無交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線l斜率為零時(shí)，l：y＝1，與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線l斜率不為零時(shí)，x－3＝eq\f(1,k)(y－1)，即x＝eq\f(1,k)(y－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，則Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13),6)，∴滿足題意的直線l有兩條；綜上所述，過點(diǎn)P(3,1)與拋物線y2＝－4x只有一個(gè)交點(diǎn)的直線l有3條．【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略對斜率不存在、二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論.【避錯(cuò)攻略】1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無交點(diǎn)．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線Ceq\o(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離．②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的eq\o(□,\s\up1(8))對稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.易錯(cuò)提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形．1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）若直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的所有可能值為.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）（多選）已知直線：，雙曲線：.以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)B．直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或C．當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）過點(diǎn)且與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，線段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·廣西北?！て谥校ǘ噙x）若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的方程可以是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·北京·期末）直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為.5．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）雙曲線與直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；6．（24-25高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓E經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l的方程．7．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試求當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．8．對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)？為什么？易錯(cuò)點(diǎn)06：混淆“焦點(diǎn)弦”和“非焦點(diǎn)弦”典例（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且截直線所得弦長為的拋物線方程為【答案】或【詳解】設(shè)所求拋物線方程為①，直線方程變形為②．設(shè)直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，將②代入①整理得，則．解得或．故所求拋物線方程為或．【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略斜率不存在的情況而造成漏解.【避錯(cuò)攻略】斜率為直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若求弦的長.（1）一般弦長公式：．（2）焦點(diǎn)弦長：設(shè)AB是拋物線的一條過焦點(diǎn)F的弦，，，則弦長．易錯(cuò)提醒：求拋物線弦長的時(shí)候，應(yīng)該首先確認(rèn)直線是否通過拋物線的焦點(diǎn)，如果通過焦點(diǎn)就用焦點(diǎn)弦公式，否則只能用一般弦長公式.1．（24-25高二上·吉林·期末）設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則（

）A．10 B．8 C．6 D．2．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知拋物線：，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．的最小值為16D．若點(diǎn)是的外心，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率的最大值為1．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)分別為，若，則的值為（

）A．2或 B．1或C．2或 D．1或3．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線的斜率為，且與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與有關(guān) D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則4．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別是，，下列說法正確的是(

).A．直線過拋物線的焦點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為5C．當(dāng)時(shí)，直線截拋物線所得的弦長為8D．以為直徑的圓與直線相切5．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，若直線為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線：，若第一象限的A，B兩點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為F，，，，則直線的斜率k的值為．7．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則的面積為．8．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求的值；(2)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.易錯(cuò)點(diǎn)07：恒成立意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤典例已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條相互垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為，．求證：直線恒過定點(diǎn)．【解析】設(shè)，，．由題意，知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，其方程為，代入，得，得，又，故．設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以．同理，可得．所以直線的方程為，化簡整理，得，該方程對任意恒成立，故解得故不論為何值，直線恒過定點(diǎn)．【易錯(cuò)剖析】本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè)：一是在用參數(shù)表示直線的方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤；二是在得到了直線系的方程后，對直線恒過定點(diǎn)的意義不明，找錯(cuò)方程的常數(shù)解．【避錯(cuò)攻略】1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解．解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．1．（2024·廣西·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，則直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點(diǎn)．3．（24-25高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且，直線與拋物線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸.(1)求拋物線的方程；(2)若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線的方程；(3)求證：直線經(jīng)過原點(diǎn).1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）雙曲線，過定點(diǎn)的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點(diǎn)，直恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·天津靜?！るA段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其右頂點(diǎn)，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不與左、右頂點(diǎn)重合），且．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（24-25高三上·北京朝陽·期末）已知橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過原點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為．證明：直線過定點(diǎn)．4．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，分別是橢圓的左右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)、為橢圓上異于的兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.(1)直線與圓相切于點(diǎn)Q，求的值；(2)求曲線C的方程；(3)過點(diǎn)的直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).6．（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線：，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，已知拋物線上一點(diǎn)，且(1)求該拋物線的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點(diǎn)分別為P，Q，求證:直線恒過一個(gè)定點(diǎn).專題09圓錐曲線目錄題型一：圓錐曲線方程易錯(cuò)點(diǎn)01忽略圓錐曲線定義中的限制條件易錯(cuò)點(diǎn)02忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置易錯(cuò)點(diǎn)03求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍易錯(cuò)點(diǎn)04求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)06混淆“焦點(diǎn)弦”和“非焦點(diǎn)弦”易錯(cuò)點(diǎn)07恒成立意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤題型一：圓錐曲線方程易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件典例4（24-25高三上·陜西榆林·期中）已知、是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”；若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【易錯(cuò)剖析】在解題時(shí)容易雙曲線中定義中這一限制條件而錯(cuò)選C.【避錯(cuò)攻略】1、橢圓的定義(1)定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|．【解讀】在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個(gè)條件；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，務(wù)必注意這一隱含的條件．2、雙曲線的定義（1）定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(2a＜|F1F2|)．【解讀】(1)常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．(2)如果沒有絕對值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn))．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．3.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【解讀】(1)“一動(dòng)三定”：一動(dòng)點(diǎn)M；一定點(diǎn)F(即焦點(diǎn))；一定直線l(即準(zhǔn)線)；一定值1(即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)F不在定直線l上．當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時(shí)，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如橢圓要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和是大于焦距的常數(shù)；雙曲線要滿足曲線上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值是小于焦距的常數(shù)；二拋物線則要滿足定點(diǎn)不在定直線上.1．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓②動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線③動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、直線和圓的知識(shí)對四個(gè)說法進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離和為，而兩點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)間的線段，①錯(cuò)誤.②，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離和為，而兩點(diǎn)的距離為，，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，②錯(cuò)誤.③，動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，當(dāng)點(diǎn)在y軸左側(cè)或在y軸上時(shí)則動(dòng)點(diǎn)滿足到直線的距離和到的距離相等，則P的軌跡是拋物線；當(dāng)點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，此時(shí)P的軌跡是射線，③不正確.④，動(dòng)點(diǎn)滿足，則或，表示的是直線在圓外和圓上的部分；表示一個(gè)圓，所以P的軌跡是圓和兩條射線，④錯(cuò)誤.所以正確的有0個(gè).故選：A2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中為定值，故先化簡再分析滿足的距離關(guān)系即可.【詳解】設(shè)Mx,y，因?yàn)?，故，?故點(diǎn)Mx,y的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且，故.所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.3．（2024·陜西西安·一模）平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比M到軸的距離大3，則動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程為.【答案】或【分析】考慮和兩種情況，時(shí)確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到，得到答案.【詳解】動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比M到軸的距離大3，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為，則，即，所以；當(dāng)時(shí)，滿足條件.綜上所述：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：時(shí)，；時(shí)，.故答案為：或1．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知圓和，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切，同時(shí)與圓外切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可知，結(jié)合橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】由已知圓和，可知，，，，且，又動(dòng)圓與圓內(nèi)切，同時(shí)與圓外切，則，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和為定值，即滿足橢圓的定義，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長度，焦距，即，，所以，橢圓方程為，故選：C2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】C【分析】先證明當(dāng)時(shí)，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切，從而A和B錯(cuò)誤；然后當(dāng)時(shí)，將條件變?yōu)?，從而根?jù)橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為橢圓，C正確；當(dāng)時(shí)，將條件變?yōu)?，從而根?jù)雙曲線定義知點(diǎn)的軌跡為雙曲線的左支，D錯(cuò)誤.【詳解】我們分別記的中點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，故，.當(dāng)時(shí)，在圓內(nèi)，此時(shí)，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價(jià)于，即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，即和，即和.所以，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價(jià)于和.下面考慮四個(gè)選項(xiàng)（我們沒有考慮的情況，因?yàn)椴恍枰治龃朔N情況也可判斷所有選項(xiàng)的正確性）：由于當(dāng)時(shí)，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.這分別構(gòu)成A選項(xiàng)和B選項(xiàng)的反例，故A和B錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價(jià)于，而根據(jù)橢圓定義，對應(yīng)的軌跡即為，C正確；若，則，此時(shí)“圓與圓外切”等價(jià)于，而根據(jù)雙曲線定義，對應(yīng)的軌跡為，僅僅是雙曲線的半支，D錯(cuò)誤.故選：C.3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在【答案】D【分析】根據(jù)與的關(guān)系判斷點(diǎn)的軌跡.【詳解】由題設(shè)知，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在．故選：D4．（24-25高三下·全國·課后作業(yè)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.5．（24-25高二上·黑龍江·期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B．若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡為直線D．若，則點(diǎn)的軌跡為圓【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，根據(jù)雙曲線的定義判斷B，可得，即可判斷C，設(shè)，由距離公式推出軌跡方程，即可判斷D.【詳解】對于A：，則點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；對于B：，則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)雙曲線的右支，故B錯(cuò)誤；對于：由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)，由，則，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓，故D正確.故選：AD.6．（2024·河北·模擬預(yù)測）（多選）已知平面內(nèi)點(diǎn)，，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．，點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．，點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．，點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．，點(diǎn)的軌跡為圓【答案】AD【分析】利用橢圓的定義判斷A；利用雙曲線的定義判斷B；求得軌跡與軸的交點(diǎn)判斷C；求得軌跡方程判斷D.【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)點(diǎn)，，所以，又，所以由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡為橢圓，故A正確；線段的長度與線段的長度的差為，則點(diǎn)的軌跡應(yīng)為雙曲線靠近點(diǎn)的一支，故B錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，由得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，得或，故曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)，軌跡不為拋物線，故C錯(cuò)誤；由，得，整理得，即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選：AD.7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為，則的方程為.【答案】【分析】先由雙曲線定義得的軌跡和的值，再求出即可求出的方程.【詳解】因?yàn)?，所以軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，，可得，，所以軌跡的方程為.故答案為：.8．（24-25高三下·湖北荊州·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】，（注：也算對）【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為幾何語言，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言后再化簡即可.【詳解】由題意，若時(shí)，問題等價(jià)于，則，化簡得，若，也滿足題意.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得：.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：，（注：也算對）易錯(cuò)點(diǎn)02：忽略圓錐曲線焦點(diǎn)的位置典例（24-25高三上·江蘇無錫·期中）求長軸長是短軸長的倍，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略對橢圓焦點(diǎn)位置的討論而漏解.【避錯(cuò)攻略】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2＋y2by2a2＋x2b焦點(diǎn)(－c，0)與(c，0)(0，－c)與(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2【解讀】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)的方程，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸．(2)兩種橢圓x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同點(diǎn)是：它們的形狀、大小都相同，都有a(3)x2項(xiàng)和y2項(xiàng)誰的分母大，焦點(diǎn)就在誰的軸上.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2by2a2－x2b焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2【解讀】(1)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上，即x2，y2的系數(shù)異號(hào)．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)Fpx＝－py2＝－2px(p>0)F?x＝px2＝2py(p>0)F0，y＝－px2＝－2py(p>0)F0，?y＝p【解讀】(1)只有拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號(hào)的一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一個(gè)變量的一次單項(xiàng)式．(3)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(4)焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．易錯(cuò)提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點(diǎn)在x,y軸兩種情況，二拋物線則有四種方程，故我們在處理圓錐曲線方程相關(guān)問題時(shí)，一定要先定位，即分析焦點(diǎn)位置，不確定要討論，在定量，即求或的值．1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實(shí)軸長為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)的不同位置和漸近線方程，列出的關(guān)系式，求解即得.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其方程可設(shè)為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其方程可設(shè)為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：，即.故選：D.2．（24-25高三上·四川雅安·診斷測試）已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或2【答案】C【分析】由橢圓方程可知對和進(jìn)行分類討論，再由離心率公式代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，當(dāng)時(shí)，可得，所以離心率，解得；當(dāng)時(shí)，可得，所以離心率，解得，所以；所以或4.故選：C3．（24-25高三上·陜西寶雞·期末）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】或【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【詳解】依題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為和，將代入分別解得和，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：或.1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn)P（－5，4），Q（0，6），則橢圓的方程為（）A．1 B．1C．1 D．1【答案】A【詳解】解析：這里焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，且A≠B）.把點(diǎn)P（－5，4），Q（0，6）代入，得解得故橢圓的方程為＋＝1.【考查意圖】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求橢圓方程．2．（24-25高二上·河北衡水·期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)解方程組可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以焦點(diǎn)在y軸上，且．設(shè)雙曲線的方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為．故選：D．3．（23-24高三下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率為，可得或，即可由充分不必要條件求解.【詳解】的離心率為時(shí)，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，，解得，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，，解得，故“”是“雙曲線的離心率為”的充分不必要條件，故選：B4．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)拋物線方程為，將代入得，則，所以所求拋物線方程為.故選：C.5．（24-25高三上·山西太原·階段練習(xí)）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可得橢圓，此時(shí)離心率為，此時(shí)充分性成立；若橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：B.6．（24-25高三上·上海楊浦·階段練習(xí)）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】或【分析】根據(jù)圓的一般方程得出其圓心坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，即其圓心為，因?yàn)闄E圓的焦距為，所以與該橢圓等焦距的橢圓的焦點(diǎn)為或，若焦點(diǎn)為，則圓心到兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以相應(yīng)橢圓方程為；若焦點(diǎn)為，則圓心到兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以相應(yīng)橢圓方程為.故答案為：或.7．（23-24高二上·江蘇南通·期末）寫出符合下列兩個(gè)條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.①實(shí)軸長為4；②漸近線方程為【答案】或【分析】根據(jù)題意可求出a，然后在根據(jù)漸近線方程求出b，由于題目沒有告訴雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，所以需要分類討論.【詳解】當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意可知:，此時(shí)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意可知：，此時(shí)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：或8．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】依題意可得的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為或，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：（答案不唯一）.9．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）分別求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)．(2)經(jīng)過兩點(diǎn)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）由共焦點(diǎn)求得，再通過點(diǎn)在橢圓上，列出方程即可求解；（2）通過待定系數(shù)法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗蟮臋E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在軸上，且．設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)樗髾E圓過點(diǎn)，所以有①又，②由①②解得．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程.易錯(cuò)點(diǎn)03：求離心率范圍時(shí)忽略離心率本身范圍典例（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【分析】探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，找出滿足的不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為離心率解之即可.【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以在以為直徑的圓上.又因?yàn)樵跈E圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，至少有兩個(gè)位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略橢圓的離心率滿足這一范圍而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】求離心率范圍的方法技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.1．（24-25高三上·北京·期中）橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)點(diǎn)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，要使橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，只要最大時(shí)大于等于即可，從而可得出答案.【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，要使橢圓上存在一點(diǎn)P滿足，只要最大時(shí)大于等于即可，即當(dāng)點(diǎn)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，，所以，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的范圍是.故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左、右頂點(diǎn)為A，B，若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得與雙曲線有公共點(diǎn)，據(jù)此可得答案.【詳解】易知，設(shè)，則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點(diǎn).聯(lián)立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使.故選：D3．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）設(shè)橢圓與雙曲線，若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則橢圓的離心率的范圍是.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程確定其漸近線方程，可得不等式，再由橢圓方程的關(guān)系確定離心率取值范圍即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得：，則，設(shè)橢圓的半焦距為又橢圓中，則，整理得，所以離心率，又橢圓離心率，故橢圓的離心率的范圍是.故答案為：.1．（2021·黑龍江哈爾濱·三模）雙曲線：（，）右焦點(diǎn)為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，則雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)過的直線的傾斜角為，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，由求解.【詳解】因?yàn)檫^的直線的傾斜角為，所以直線斜率，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，如圖所示：由圖象知：，所以，又，所以.故選：A.2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)為直角三角形分三類討論，利用橢圓的對稱性可分析出以點(diǎn)、和為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；再利用余弦定理及判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)的方法得出；最后根據(jù)離心率的求法及橢圓離心率的范圍即可求解.【詳解】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).由橢圓的對稱性可知：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)，則要使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，須使以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形有4個(gè).由橢圓的對稱性可得在軸上方有兩個(gè)點(diǎn)滿足以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).則，即，所以，解得即，所以，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.故選：C.3．（24-25高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，P?Q是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，M?N分別是PF?QF的中點(diǎn)，若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的范圍是.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用條件可知得到關(guān)于的方程，再聯(lián)立，用含的式子表示出，再利用的取值范圍，即得出離心率的范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，又點(diǎn)，∴，又以為直徑的圓過原點(diǎn)，則有,所以，即，∴，又，所以，得，∴，整理得：，解得，又，所以.故答案為：.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則離心率的范圍為．【答案】【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求出m的范圍，再利用離心率公式求出的范圍.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，將雙曲線方程化為所以，解得，即.離心率，因?yàn)?，所以，所以，從?故答案為：5．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，然后根據(jù)的關(guān)系和離心率的公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，則，解得.故答案為：.6．（23-24高二上·江西南昌·期中）設(shè)，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線，在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.【答案】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理可得與關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得：，，即，，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，故答案為?7．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，其中原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】由題可得，，然后由點(diǎn)差法結(jié)合是的重心可得答案.【詳解】點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)A在橢圓上，∴可知，由對稱性可取，.直線的傾斜角為，.設(shè)，，BC中點(diǎn)為N，作差得，可得，即，因是的重心，則N，O，A三點(diǎn)共線，則，，解得．橢圓的離心率為．故答案為：易錯(cuò)點(diǎn)04：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍典例（24-25高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】如圖，設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為，則有，所以.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即，又，所以，所以方程為.故選：B.【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò)而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】求軌跡方程的方法1.直接法利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．2.定義法根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程．3.相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．4.交軌法在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．1．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖象利用雙曲線的定義判斷動(dòng)圓圓心的軌跡，然后再求方程即可.【詳解】圓與圓外切，如圖，，即，，由雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線的左支，其中，，．故所求軌方程為：．故選：C．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，整理即可得解.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A.3．（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，且周長為16，求頂點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】應(yīng)用橢圓定義可判斷頂點(diǎn)C的軌跡，應(yīng)用待定系數(shù)法求軌跡方程，要注意排除三點(diǎn)共線情況.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)榈闹荛L為16，所以，并且.所以頂點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用兩圓外切的判定方法列出方程，推出，即得動(dòng)圓圓心的軌跡和軌跡方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則，，則，故動(dòng)圓圓心的軌跡是以為兩焦點(diǎn)的雙曲線的左支.又因，解得，故其軌跡方程為.故選：D.2．（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知橢圓，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)Mx,y【詳解】設(shè)點(diǎn)Mx,y，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得，代入橢圓方程得，其中.故選：B3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)和分別位于正半軸和負(fù)半軸上，若，則和的交點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用、、、的坐標(biāo)關(guān)系以及已知條件來建立等式，從而求出的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，.因?yàn)?，所?

已知，，根據(jù)直線的截距式方程（為軸上的截距，為軸上的截距），可得直線的方程：.已知，，則直線的方程為.

因?yàn)槭呛偷慕稽c(diǎn)，所以的坐標(biāo)滿足和的方程.對于直線的方程，可得.對于直線的方程，可得.又因?yàn)?，所以，?

故選：D.4．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）（多選）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分【答案】ABC【分析】設(shè)Mx,y，求出和，每個(gè)選項(xiàng)代入公式判斷.【詳解】設(shè)Mx,y，則，當(dāng)時(shí)，即，有，故A正確；當(dāng)時(shí)，有，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故C正確；當(dāng)時(shí)，，即顯然不是橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：ABC5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之積為定值，且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則（

）A．曲線的方程為B．點(diǎn)在曲線上C．D．【答案】BCD【分析】利用曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，利用兩點(diǎn)距離公式及條件化簡整理可判斷A；將點(diǎn)代入曲線方程可判斷B；利用的面積轉(zhuǎn)化得，通過檢驗(yàn)可判定C；根據(jù)已知條件利用平面向量基本定理及余弦定理可判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)榍€經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以．因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0所以，整理得，所以曲線的方程為，所以A選項(xiàng)不正確；對于B，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以B選項(xiàng)正確；對于C，的面積，所以，所以，當(dāng)時(shí)，易得，存在符合題意的點(diǎn)，又Px0,y0可以在軸上，所以對于D，因?yàn)?，則，即①，根據(jù)余弦定理可得，即②，聯(lián)立①②可得，即，即，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD．6．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)）已知，過點(diǎn)且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，則；點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，即可得，再根據(jù)橢圓定義可得軌跡方程.【詳解】

如圖所示，由的方程得圓心，半徑為，因?yàn)椋?，又，所以，則，所以，又，所以，又斜率不為，所以點(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且點(diǎn)不在軸上，則，，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為：，.7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求的軌跡方程.【詳解】由橢圓的定義可知，所以，因此點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支，故它的軌跡方程為．故答案為：.8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐標(biāo)系中B?2,0、．若A為動(dòng)點(diǎn)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，故的軌跡為雙曲線的右支（扣除頂點(diǎn)），且半焦距，實(shí)半軸長，故虛半軸長為，的軌跡方程為：.故答案為：.9．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，軸，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，且，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，可得，根據(jù)點(diǎn)在圓上即可求出．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，由題意可知，則由題可得，即，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，即點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)05：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯(cuò)典例(2024·四川南部縣模擬)過點(diǎn)P(3,1)作直線l與拋物線y2＝－4x只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線l有________條()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l：x＝3，與拋物線無交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線l斜率為零時(shí)，l：y＝1，與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線l斜率不為零時(shí)，x－3＝eq\f(1,k)(y－1)，即x＝eq\f(1,k)(y－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，則Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13),6)，∴滿足題意的直線l有兩條；綜上所述，過點(diǎn)P(3,1)與拋物線y2＝－4x只有一個(gè)交點(diǎn)的直線l有3條．【易錯(cuò)剖析】本題容易忽略對斜率不存在、二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論.【避錯(cuò)攻略】1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無交點(diǎn)．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線Ceq\o(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離．②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的eq\o(□,\s\up1(8))對稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.易錯(cuò)提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形．1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）若直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的所有可能值為.【答案】或【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，然后根據(jù)判別式來判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】將代入雙曲線方程中得到：，展開整理得.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程變?yōu)橐淮畏匠?，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)方程是二次方程，若直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則判別式，展開得到：.進(jìn)一步化簡為，則.解得.

綜上所得，直線的斜率的所有可能值或.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）（多選）已知直線：，雙曲線：.以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)B．直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或C．當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【分析】聯(lián)立直線與雙曲線得到關(guān)于x的一元二次方程，應(yīng)用判別式并結(jié)合雙曲線性質(zhì)判斷不同參數(shù)范圍對應(yīng)直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得答案.【詳解】由直線方程知，直線過，雙曲線的漸近線為，所以時(shí)一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線，得，則，當(dāng)，即時(shí)直線與雙曲線相切，當(dāng)，即或時(shí)沒有公共點(diǎn)，當(dāng)且，即或或時(shí)兩個(gè)公共點(diǎn).所以A、C對，B、D錯(cuò).故選：AC3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對稱關(guān)系，求得直線的方程，代入橢圓方程，利用，求得的范圍，再根據(jù)的關(guān)系即可求m的取值范圍.【詳解】設(shè)設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)為,根據(jù)對稱性可知線段被直線垂直平分，且的中點(diǎn)在直線上，且，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得:，所以，由，可得，解得，所以因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，所以，所以，故選:C.1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）過點(diǎn)且與拋物線恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，分當(dāng)直線與軸平行時(shí)，直線與軸垂直時(shí)，和直線與坐標(biāo)軸不平行時(shí)，三種情況，結(jié)合，即可求解.【詳解】當(dāng)直線過點(diǎn)，且與軸平行時(shí)，此時(shí)直線與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線過點(diǎn)，且與軸垂直時(shí)，此時(shí)直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線過點(diǎn)，斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線，代入拋物線，得：，因?yàn)?由，因?yàn)椋苑匠逃袃筛?，故過點(diǎn)可以作兩條直線與拋物線相切.綜上，過點(diǎn)共有3條直線，與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn).故選：D2．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，線段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通過聯(lián)立直線和橢圓方程，利用