第5章代數(shù)結(jié)構(gòu)(AlgebraicStructure)

5?1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

5?2二元運(yùn)算(BinaryOperation)

5?3半群(Semigroups)

5?4群與子群(GroupsandSubgroups)

5.5阿貝爾1￡(AbeHan(commutative)

GroupsandCyclicGroups)

5.6代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)

5.7環(huán)和域

這，大號(hào)J

[■第5章代數(shù)結(jié)構(gòu)(AlgebraicStructure)

，■本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研

究更為復(fù)雜的對(duì)象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)

的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間

的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較

為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點(diǎn)。它們將

集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合

在一起進(jìn)行研究。

前兩章內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，熟練地掌握集合、

關(guān)系、函數(shù)等概念和性質(zhì)是理解本章內(nèi)容的關(guān)鍵。

第5章代數(shù)結(jié)構(gòu)(AlgebraicStructure)

5」代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

5.1.1n元運(yùn)算(n-aryoperations)

5.1.2代數(shù)系統(tǒng)的概念(AlgebraicSystems)

(曲)

5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

5?1?1n元運(yùn)算(n-aryoperations)

先考察下面的例子:

【例（1）在Z集合上（或?或火），則

於）=?式是將*映為它的相反數(shù)。4是由X唯一確定的，

它是對(duì)一個(gè)數(shù)施行求相反數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。

/：Z—Z是函數(shù)。

^卜5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

(2)在力={0,1}集合上，加尸F(xiàn),

—?表示否定。則加尸F(xiàn)是將p映為它的否定。

F是由?唯一確定的，它是對(duì)Z中的一個(gè)元素

施行否定運(yùn)算的結(jié)果。是函數(shù)。

5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

（3）在A+集合上，則/任尸1A是將*映為它的

倒數(shù)。1A是由x唯一確定的，它是對(duì)A+中的一個(gè)數(shù)

施行倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。（但在火上，倒數(shù)不是一元運(yùn)

算，因?yàn)?無(wú)像）。/：甯一叱是函數(shù)。

（4）設(shè)凡則仙乃）=〃+以4也〃X力）是將兩個(gè)數(shù)用

〃映為火中的唯一的一個(gè)數(shù)，它是對(duì)火中的兩個(gè)數(shù)施行

加（減，乘）法運(yùn)算的結(jié)果。/：火2一火是函數(shù)。

、j.l代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

(5)設(shè)偈4貝!1/3仇c)=a+〃Xc是將R中

的三個(gè)數(shù)。亂c映為K中的唯一的一個(gè)數(shù)。

了:爐一&是函數(shù)。

上述例子都是我們熟悉的數(shù)與數(shù)的運(yùn)算,

它們有一個(gè)共同特征，就是其運(yùn)算結(jié)果都在

原來(lái)的集合中且運(yùn)算結(jié)果是唯一的，它們都

是函數(shù)。

.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

我們把這種數(shù)集中的代數(shù)運(yùn)算,抽象概括推廣，可

得到一般集合上代數(shù)運(yùn)算的概念。集合中的代數(shù)運(yùn)算

實(shí)質(zhì)上是集合中的一類函數(shù)。

定義5.1.1設(shè)4人是集合，函數(shù)r力〃一上稱為

集合力上的H元運(yùn)算(n-aryoperation),整數(shù)〃

稱為運(yùn)算的階(order)。若￡⑦或5=4則稱該

n元運(yùn)算是封閉的，封閉的〃元運(yùn)算又稱為〃元代

數(shù)運(yùn)算。

代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

當(dāng)〃=1時(shí)，/：/?稱為集合力中的一元代數(shù)運(yùn)算。

當(dāng)〃=2時(shí)，稱為集合力中的二元代數(shù)

運(yùn)算。

一般地，二元運(yùn)算用符號(hào)“?！?，

“*”66."66A”

嚎等援示：并將其寫(xiě)于兩個(gè)元素之間，如

ZXZ—Z的力口法：

代〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5

通常我們將A〈2,3〉)寫(xiě)成/(2,3)或2+3.

代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

從〃元代數(shù)運(yùn)算的定義可知它有三點(diǎn)涵義:

(1/中任意〃個(gè)元素都有運(yùn)算結(jié)果；

(2)運(yùn)算是封閉的，即運(yùn)算結(jié)果仍在/中；

(3)結(jié)果是唯一的。

.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

?5.1.2］下面均是二元運(yùn)算的例子。

(1)4為集合，2.為其塞集。/:2，X2，T2/。

/可以是n、U、-o

(2)4={0,1}。/:力義/一力。/可以是八、V、一、一。

A4

(3)A={f\f:A-^A}9“。”(復(fù)合)是4上的二元運(yùn)算。

當(dāng)力是有窮集合時(shí)，運(yùn)算可以用運(yùn)算表給出。

如/={01234,5},二元運(yùn)算。的定義見(jiàn)表5.1?1。

5」代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

表5.1.1

o012345

0000000

1012012

2021021

3000000

4012012

5021021

、澄J；卜留和利?堂匕拈大，

，、丫,，、r1JFp*J/L3'*|J~U’1、

代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

表5.1.2

*01

000

101

事實(shí)上，對(duì)于表5.1.1,我們可觀察看出其運(yùn)算為

(〈W〉)=xp(mod3)

其中"?"是普通乘法。

代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

而對(duì)于表5.1.2,此時(shí)的“*”運(yùn)算應(yīng)是在集合｛0,1｝上

的八(邏輯合取運(yùn)算符)。

下面是非代數(shù)運(yùn)算的例子。

【例5.1?3】

(1)A中的普通除法不是代數(shù)運(yùn)算.

(2)N中的普通減法不是代數(shù)運(yùn)算.

*5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

5.1.2代數(shù)系統(tǒng)的概念(AlgebraicSystems)

定義5.1.2一個(gè)非空集合S和定義在該集合上的一個(gè)或

多個(gè)代數(shù)運(yùn)算。1，。2/一，?！ㄋM成的系統(tǒng)稱為代數(shù)

系統(tǒng)。用記號(hào)(S；。］,。2,…，?！ā当硎?，其中

腌為該代數(shù)系統(tǒng)的基集。各運(yùn)算組成的集合成為

運(yùn)算集，代數(shù)系統(tǒng)也稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)。

匕【例5.1.41

(1)以實(shí)數(shù)集R為基集，加法運(yùn)算”+”為二

元，運(yùn)算組成一代數(shù)系統(tǒng)，記為〈X,+〉。

(2)以全體〃X〃實(shí)數(shù)矩陣組成的集合拉為基

集，矩陣加“+”為二元運(yùn)算，組成一代數(shù)系統(tǒng)，

記為〈陷+〉o

(3)設(shè)邑={"力是集合A上的關(guān)系},’6"

是求復(fù)合關(guān)系的運(yùn)算。它們構(gòu)成代數(shù)卷/,?！?/p>

統(tǒng)。

Q.5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

(4)以集合力的塞集2%為基集，以集合并、交、補(bǔ)

為其二元運(yùn)算和一元運(yùn)算，組成一代數(shù)系統(tǒng)，記為

〈2",U,n,-〉。有時(shí)為了突出全集/及空集。在2"中

的特殊地位，也可將這一代數(shù)系統(tǒng)記為〈2",u,n,-,

A,)o這個(gè)系統(tǒng)就是常說(shuō)的募集代數(shù)系統(tǒng)。以上

的(1),(2),(3),(4)均稱為具體代數(shù)系統(tǒng)。

5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

(5)設(shè)S為一非空集合，*為S上滿足結(jié)合律、交

換律的二元運(yùn)算，那么〈S,*〉為代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱為一個(gè)

抽象代數(shù)系統(tǒng)，即一類具體代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象。例如

〈A,+〉，<M,+>,〈24,U〉,〈2”,n〉都是

〈5,*〉的具體例子。

(6)</?,+,-,X>,<Z,+,-,X>均是代數(shù)系統(tǒng)，但

〈Z,+〉，〈R,+〉，〈N,-〉不是代數(shù)系統(tǒng)，它們的運(yùn)

算不封閉。

54代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

定義5.1.3設(shè)*是S上的〃元運(yùn)算(〃=1,2,...),

7GS,如果對(duì)任意元素a，x2,xn"

*(a，x2,xn)GT,稱*運(yùn)算對(duì)T封閉(closed)

或T關(guān)于*運(yùn)算封閉。

【例5.1.5】設(shè)E為非負(fù)偶數(shù)集，M為非負(fù)奇數(shù)集，那

么定義于N上的通常數(shù)的加法運(yùn)算對(duì)E封閉，對(duì)M不

封閉，乘法運(yùn)算對(duì)E和M都封閉。

5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

尾義5.2.3設(shè)〈S,*〉是代數(shù)系統(tǒng)，如果有非空集合

磁足：

(1)I

(2)運(yùn)算*對(duì)T封閉

則稱〈丁,*〉為代數(shù)系統(tǒng)〈S,*〉的子代數(shù)系統(tǒng)，或

子代數(shù)(subalgebra)。

根據(jù)定義，子代數(shù)必為一代數(shù)系統(tǒng)，*運(yùn)算所

滿足的性質(zhì)顯然在子代數(shù)中仍能得到滿足。

5.1代數(shù)系統(tǒng)(AlgebraicSystems)

【例5.1.6】在例5.1?5中,對(duì)〈N,+〉而言,

〈E,+〉為其子代數(shù)，〈N,+〉，＜{0},+〉

為其平凡子代數(shù)，〈M,十〉不構(gòu)成其子代數(shù)。

小結(jié)：本節(jié)介紹了n元運(yùn)算、n元代數(shù)運(yùn)算及代數(shù)

系統(tǒng)的概念。

作業(yè)：Pgl34：1,2,5,6

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5.2二元運(yùn)算(BinaryOperation)

5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

(Specialelementsinasetwithbinaryoperation)

5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

TOT

J漆球?大考二

15.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

定義521設(shè)“*”，“?！本鶠榧蟂上的二元運(yùn)

打。VVV

(1)若xyzxj,z￡Sfc*(p*z)=(B7)*NI則稱

運(yùn)算滿是結(jié)合律(associativity)。

(2)若xyx^yGS^x^y=y*x,則稱運(yùn)算

滿足交換律(commutativity)。

5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

(3)若vA：vyvz

Xy,z)=(x*j)o(x*z),

則稱“*”運(yùn)算對(duì)“?！边\(yùn)算滿足左分配律；

若V*”VZ

MMzWS-&。z)*x=(j*x)o(z*x),

則稱運(yùn)算對(duì)“?！边\(yùn)算滿足右分配律。

若二者均成立，則稱運(yùn)算對(duì)“?！边\(yùn)算滿足分

配律_______

(distributivity)。

二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

囁)設(shè)…,”均可交捻若V*，*4

有

x*(xoy)=x

Xo(**7)=x

則稱運(yùn)算“*”和“?！ㄟ\(yùn)算滿足吸收律

(absorptive)o

(5)若X^A9廿l雙則稱運(yùn)算滿足幕等律

(idempotence)。

[5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

【例5.2.1】加法、乘法運(yùn)算是自然數(shù)集上的

二元代數(shù)運(yùn)算，減法和除法便不是。但是減法是

有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算，除法卻仍不是。

加法、乘法滿足結(jié)合律、交換律，乘法對(duì)加法、

減法滿足分配律，但減法不滿足這些定律。加法

對(duì)乘法“。“運(yùn)算不滿足分配律。

.5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

【例5.2.2】設(shè)/是集合，在N的募集2%上的二元代

數(shù)運(yùn)算并U、交n滿足交換律、結(jié)合律、吸收律、

幕等律且彼此滿足分配律。

【例5.2.3］設(shè)/={a/},月上的運(yùn)算“*”、

分別如表5.2.1、5.2.2所示。

表5.2.1

*ab

aab

bba

從運(yùn)算表可知，是可交換的。因?yàn)?/p>

(a*d)*b=a*b=ba女(a女b)=a女b=b

(a*b)*b=b*b=aa*(b佻b)=a*a=a

所以是可結(jié)合的。

從“?！边\(yùn)算表可知，”是可交換的。因?yàn)?/p>

（4。a）Qb=aQb=aao（a。b）=aoa=a

（a。b）。b=aQb=aao（bob）=aob=a

所以“。”是可結(jié)合的。

5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

(1)bo(a*b)=bob=b(boa)*(bob)=a*b=b

(2)Uo(4*〃尸4。b=a,(a。a)*(aob)=a*a=a

bo(a*d)-boa=a,(boa)*(boa)=a*a=a

bo(b女b)=b。a=a,(boby(bob)=b"=a

Uo(a*a)=aoa=a,(aoa)*(aoa)=a*a=a

ao(b*b)=aoa=a,(a。b)*(aob)=a*a=a

所以”對(duì)是可分配的。（由于“?！边\(yùn)

算滿足交換律成立,因此右分配也成立。）

5.2.1二元運(yùn)算的性質(zhì)(PropertiesofOperations)

(3)b*(aob)=b*a=b(b*a)o(b*b)=boa=a

故“*”對(duì)”是不可分配的。

又由〃*(〃?！ㄊ?”=“可知"和“*”不

滿足吸收律。由運(yùn)算表可知，“。〃滿足幕等

律，而不滿足塞等律。

下面我們來(lái)定義與集合力中的二元運(yùn)算有關(guān)

的集合力中的特異元素。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

1.單位元(或幺元)

定義5.2.2設(shè)4”是集合S中的一種二元代數(shù)運(yùn)算，對(duì)任意

元素

⑴如果存在元素昨5使e*x=x,則稱元素。/為S關(guān)于運(yùn)算

的左幺元或左單位元。

(2)如果存在元素,VS使Be尸，則稱元素”為S關(guān)于運(yùn)算

的右幺元或右單位元。

(3)如果存在元素使x*e=e*x=x,則稱元素。為S關(guān)于運(yùn)算

“*”的幺元或單位元(identityelement)。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

~~---------------

定理5.2.1設(shè)*是S中的二元代數(shù)運(yùn)算，且4.與分別是S對(duì)于的

右

幺元和左幺元，則/=e/=e,使對(duì)任意元素x￡S^x*e=e*x=x9

即元素。為S關(guān)于運(yùn)算的幺元且S關(guān)于運(yùn)算的幺元是唯一

的。

證明因?yàn)?和g分等整*用右幺元和左幺元，故有

e^e=ePe^e=er9所以e=eP

令其為有，x*e=e*x=x

設(shè)另有一幺元為一,那么

e=e*ef=ef

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

【例5.2.4］在實(shí)數(shù)集A中，對(duì)加法運(yùn)算,0是幺元;

在實(shí)數(shù)集A中，對(duì)乘法"X”運(yùn)算，1是幺元；

對(duì)于全集E的子集的并“U，，運(yùn)算，0是幺元；

對(duì)于全集E的子集的交W運(yùn)算，E是幺元；

在命題集合中，對(duì)于吸取"V"運(yùn)算，矛盾式是幺元；

在命題集合中，對(duì)于合取"A"運(yùn)算，重言式是幺元；

在/'=，1/：力—/｝中，對(duì)于復(fù)合明“運(yùn)算，〃是幺元。

強(qiáng)調(diào):幺元是針對(duì)于哪個(gè)運(yùn)算的。

2.零元

鳧義5.2.3設(shè)是集合S中的一種二元代數(shù)運(yùn)算，對(duì)任

息兀素

⑴如果存在元素，/使，/*x=d,則稱元素，/為S關(guān)于

運(yùn)算的左零元。

(2)如果存在元素么￡S,使,則稱元素，，為S關(guān)于

運(yùn)算的右零元。

⑶如果存在元素，WS使x*〃=，*x=〃，則稱元素，為S關(guān)于

運(yùn)算的零元(zeroelement)。

區(qū)迫設(shè)*是S中的二元代數(shù)運(yùn)算且%與%分別是S關(guān)于

;零元和左零元，則4=，尸仇使對(duì)任意元素X￡S有

%*，=，噓=仇即元素，是S中關(guān)于運(yùn)算*的零元且是唯一的。

證明因?yàn)椋?，和?分別是S關(guān)于的右零元和左零元，故有

，/*玲=，〃夕所以外=為。

令其為仇有廿，=，噓=仇所以，為S關(guān)于的零元.

設(shè)另有一零元夕，那么

夕=，*夕=夕

故夕是S關(guān)于運(yùn)算的唯一零元。證畢

同樣，需強(qiáng)調(diào)零元是針對(duì)于哪個(gè)運(yùn)算的。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

【例5.2.51

在實(shí)數(shù)集A中，對(duì)加法“+”運(yùn)算，沒(méi)有零元；

在實(shí)數(shù)集A中，對(duì)乘法“X“運(yùn)算，。是零元；

對(duì)于全集石的子集的并“U“運(yùn)算，石是零元；

對(duì)于全集E的子集的交“n”運(yùn)算，0是零元；

在命題集合中，對(duì)于吸取“V”運(yùn)算，重言式是零元;

在命題集合中，對(duì)于合取“人”運(yùn)算，矛盾式是零元。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

定理523設(shè)*是S上的二元代數(shù)運(yùn)算,e為幺元,

，為零元，并且|S|22,那么分

證明:用反證法.設(shè)Qe,則對(duì)任意〃￡S,有

0=O*a=e*a=a

與|$之2矛盾，故分《得證。

【例526］設(shè)5={%兒c},S上*運(yùn)算由運(yùn)算表

|（如表5.2.3所示）確定，那么〃是右零元，a是幺元。

'我們注意到，關(guān)于同一運(yùn)算可能同時(shí)有幺元和零元，甚

至可能有這樣的元素，它關(guān)于同一運(yùn)算既是左（右）幺元，

又是右（左）零元，例如表5.2.3第一行（不計(jì)表頭）改為三

個(gè)。時(shí)，那么運(yùn)算有左零元。和右幺元服

表5.2.3

*abc

aabc

bbbc

ccbb

3.元素的逆元

定義5.2.4設(shè)*是集合S中的一種二元代數(shù)運(yùn)算，且e為S關(guān)于

的幺元，對(duì)S中的元素2

⑴如果存在元素。尸￡￡使*a=e,則稱a關(guān)于是左

可逆的，且稱元素ar為〃(關(guān)于運(yùn)算的)左逆元。

⑵如果存在元素叫"WS,使〃*〃丁=?,則稱〃關(guān)于是右

可逆的，且稱元素〃/為以關(guān)于運(yùn)算的)右逆元。

(3)如果存在元素aIWS,使a*a1=a1*a=e,則稱。關(guān)于

是可逆的，且稱元素J為以關(guān)于運(yùn)算的)逆元(inverse

element)。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

顯然對(duì)于二元代數(shù)運(yùn)算若是可交換的,

貝！1

任何左（右）可逆的元素均可逆。G的逆元通常

記為、七但當(dāng)運(yùn)算被稱為“加法運(yùn)算（記為+）時(shí),

硬瓣元-由〃利〃/不一定都存在，若存在不

一定唯一，且不一定有。例如，在P182例9

=7

中，，〃不存在，P>6均為丫的右逆元；6Z-=Y，

6/=po

&522集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

定理5.2.4設(shè)是集合S中的一個(gè)可結(jié)合的二元代數(shù)運(yùn)

算，e為S關(guān)于“*”的幺元，若S的每一個(gè)元素都左可逆,

貝好的任何一個(gè)元素”的左逆元必定也是該元素的右逆

元，并且“是可逆的，"尸=且元素”對(duì)運(yùn)算

的逆元是唯一的。

證明：

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

證明:對(duì)任意〃《S,存在〃￡S，使〃而對(duì)于存

在c《S,使c*力=4則由于*可結(jié)合，于是

k

a*b=e'a*b=c^b俁a*b=c*(A女研女b=c*e*b=c*A=e

故〃也是Q的右逆元，從而〃是”的逆元.

設(shè)瓦。是”的任意兩個(gè)逆元，那么

b=b*e=b女(a女c)=(b女研女c=e*c=c

故〃對(duì)運(yùn)算的逆元是唯一的。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

定理525設(shè)*是集合S中的一個(gè)可結(jié)合的二元運(yùn)算,

且《為S關(guān)于的幺元，x有逆元廠1,則

(XJ)-1=Xo

證明：住“)-1=住“)”

k

=(?￥/)/*(x“*x)=((x/)”快x"yx=e'x=xQ

A

注意：(1)e=eo

(2)并非每個(gè)元素均可逆。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

【例5.2.71

(1)在自然數(shù)集合N上，對(duì)于乘法“?“運(yùn)算，只有數(shù)

1有逆元1,對(duì)于數(shù)加“+”運(yùn)算，只有數(shù)0有逆元0?？?/p>

之，任何代數(shù)結(jié)構(gòu)其幺元恒有逆元，逆元為其自身。

(2)在整數(shù)集合/上(+,?的定義同上)，/上每個(gè)

元素均有加法逆元，對(duì)任意x的逆元是-x。但除

1以外的數(shù)都沒(méi)有乘法逆元。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

II

?（3）在有理數(shù)集合Q上（+,?的定義同上），。上每個(gè)

元素X,都有加法逆元文,除0以外的每個(gè)元素X都有乘法逆

TUx"1=l/xo

（4）在2/中，對(duì)于U運(yùn)算，其幺元為0,每個(gè)元素5

（B豐0）均無(wú)逆元；對(duì)于n運(yùn)算，其幺元為4每個(gè)元素5

（為以）均無(wú)逆元。

（5）在集合上（其中4={/|/：A^A}）中，”

為函數(shù)的合成運(yùn)算，恒等函數(shù)右為幺元，從而力中所有雙

射函數(shù)都有逆元，所有單射函數(shù)都有左逆元，所有滿射函

數(shù)都有右逆元。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

定理526設(shè)*是S上的二元運(yùn)算遂為幺元，，為零

元，并且|5佇2,那么，無(wú)左（右）逆元。

證明首先，由定理523知，偽他

再用反證法證。無(wú)左（右）逆元，即可設(shè)夕有左

（右）逆元X,那么

O=x^0=e（O=e*x=e）

與存e矛盾，故步￡左（右）逆元。得證。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

【例528】有理數(shù)集合。上的加法運(yùn)算與乘法

，，?，，運(yùn)算J0的加法逆元是-10,乘法逆元是1/10;

而-10的加法逆元是10,乘法逆元是-1/10。

當(dāng)一個(gè)集合中每一元素都有逆元時(shí)，可以認(rèn)

為該集合上定義了一個(gè)一元求逆運(yùn)算。與逆元概

念密切相關(guān)的是可約性概念。

定義525設(shè)*是集合S中的一個(gè)二元運(yùn)算，存仇

|如果a滿足:對(duì)任意均有

1(1)a*x=a*y^x=y

(2)x*a=y'ka^x=y

則稱元素a對(duì)*是可約(可消去)的(cancelable),當(dāng)a滿

足⑴式時(shí)，也稱a是左可約(左可消去)的，當(dāng)僅滿足(2)

式時(shí)，也稱〃是右可約(右可消去)的。

特別地，若對(duì)任意有

(x*y=x*z)/\x^3產(chǎn)z

(y*x=z*x)j^z

則稱運(yùn)算*滿足消去律(可約律)。

5.2.2集合中關(guān)于二元代數(shù)運(yùn)算的特殊元素

定理527若*是S中滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算，且元素〃

有逆元(左逆元，右逆元)，則4必定是可約的(左可約的,

右可約的)。

證明設(shè)4的逆元為小,對(duì)任意元素XJ￡S,設(shè)4**=〃*7

及可得

a1^(a*x)=a-1(**〃)*〃“=(y*a)*〃“

-1

即(a-i*〃)*x=(4i*〃)*7x女(a女a(chǎn)/)

均可推得k可。因此，〃是可約的。

523利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

a-----------

當(dāng)S是有窮集合時(shí),其上的二元運(yùn)算?？捎眠\(yùn)算

表給出，運(yùn)算的一些性質(zhì)可直接由運(yùn)算表看出。

⑴二元運(yùn)算滿足可交換性的充分必要條件是

運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱。

⑵二元運(yùn)算滿足塞等性的充分必要條件是運(yùn)

算表主對(duì)角線上的每個(gè)元素與它所在行、列的表

頭元素相同。

5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

(3)二元運(yùn)算有幺元的充分必要條件是該元素

對(duì)應(yīng)的行和列依次與該表表頭的行、列相一致。

(4)二元運(yùn)算有零元的充分必要條件是運(yùn)算表

中該元素所對(duì)應(yīng)的行、列元素均與該元素相同。

(5)二元運(yùn)算中"與〃互為逆元素的充分必要條

件是運(yùn)算表中位于“所在行、〃所在列的元素及〃

所在行、”所在列的元素都是幺元。

n.5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

【例5.2.9】e是整數(shù)中模4同余關(guān)系產(chǎn)生的等價(jià)類

集合,N4={[0],[1],[2],[3]},

M上運(yùn)算+4,X’定義為

\_m_\+4\_n~\=L(/w+n)mod41

\_m~\X4[n]=[(m-n)mod41

其中{0J23},運(yùn)算表如表5.2.4、5.2.5所示。

5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

表5.2.4

大

5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

表5.2.5

X，[0]Ell⑵⑶

Lo][。][03[0][0]

[0]⑴⑵[3]

[0][2ZC0]⑵

[0]二3]⑵[1]

TOT

5.2.3利用運(yùn)算表判斷代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

解由表524可知，[0]為幺元，

[1]4=[3],[2]/=[2],無(wú)零元。

由表5.2.5可知，[1]為幺元，

⑶“=[3],[0],[2]無(wú)逆元，[0]為零元。

5.2二元運(yùn)算(BinaryOperation)

小結(jié)：本節(jié)介紹了二元（代數(shù)）運(yùn)算的性質(zhì)（交換、結(jié)

合性、分配、吸收、塞等性等），集合A關(guān)于二元

運(yùn)算的特異性元素。重點(diǎn)理解和掌握吸收律、塞等

律和（左、右）幺元，（左、右）零元，（左、右）逆元及

其性質(zhì)。

作業(yè)：Pgl44:1,2,57

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TOT

一大.以，火屏二

5.3半群(semigroups)

5.3.1半群及其性質(zhì)(semigroupanditsproperties)

5.3.2含幺半群及其性質(zhì)(monoidanditsproperties)

TOT

計(jì)算機(jī)矛

.5?3半群(semigroups)

半群與群都是具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，群是半群的

特殊例子。事實(shí)上，群是歷史上最早研究的代數(shù)系統(tǒng)，它比

半群復(fù)雜一些，而半群概念是在群的理論發(fā)展之后才引進(jìn)的。

群論在各種不同的領(lǐng)域(如量子力學(xué)、結(jié)晶學(xué))中都有應(yīng)用。

它有半群、含幺半群與群三個(gè)基本類型。在計(jì)算機(jī)科學(xué)的不

同領(lǐng)域，它們的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

半群和含幺半群，在自動(dòng)機(jī)理論、形式語(yǔ)言等方面的應(yīng)用

已卓有成效。

群的概念在自動(dòng)機(jī)理論、編碼理論和快速加法器的設(shè)計(jì)等

方面都有廣泛的應(yīng)用。它們的邏輯關(guān)系見(jiàn)圖531。

含幺半群

半群

圖

5.3.1半群及其性質(zhì)(semigroupanditsproperties)

下L半群的概念

定義531設(shè)〈S,*〉是代數(shù)系統(tǒng)，S#0,*是5

上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果*運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱〈S,

*〉為半群(semigroups)。

換言之，非空集合S及其上的二元運(yùn)算*構(gòu)成半群

必須滿足：

(1)*是S上的封閉運(yùn)算；

5.3半群(semigroups)

許多代數(shù)系統(tǒng)都是半群。例如，〈N,+〉，〈Z,X〉，

〈2%|J>,3°>(SS={/|/:SfS),。是復(fù)合運(yùn)

算)均是半群。但〈ZQ不是半群。

再如，設(shè)N是有限字母表，》是力中的字母

串?={乃U型，其中幺是不含字母的空串，運(yùn)算

工是字母串的“連接”運(yùn)算，則〈二戶〉是半群。

如Com￡E*,puter￡2*,經(jīng)工運(yùn)算后，得

Computer仍是字母串。

\(ab\

【例5.3.1]S=1a/w凡awO，

.K0°Jf—

則〈凡?〉是半群。這里?代表普通的矩陣乘法運(yùn)算。

證明對(duì)任意的

%勺￡邑卜2

因?yàn)?/p>

0000

4。2“2a{a2。也

oo0000且4次2#°，所以

22

axa2

e5，因此“?”運(yùn)算封閉。

00

(a

【例5.3.2]S={\a.beR.a^O}

!■_______——'I。oJ.

，則〈叢+〉不是半群。這里+代表普通的矩陣加法運(yùn)算。

證明對(duì)任意的彳jeS,￡”S取畋=4則

b[+b

2且僅1+〃2=0,所以

0

a+2h+4

xes因此*運(yùn)算不封閉。

00

所以〈叢+〉不是半群。

(ab、

|【例5.3.3]S={a.b.c￡&

c

則〈￡?〉不是半群。這里?代表普通的矩陣乘法運(yùn)算。

證明：取

(\1A(\1V11A(2n

￡S,￡S，則—

U°)人」U°川oju1)

(2

所以]]",

因此*運(yùn)算不封閉。

所以〈凡?〉不是半群。

【例5.3.4】設(shè)3=｛虢"｝上的二元運(yùn)算如下表:

*ab

aba

bab

則〈■*〉為半群。

證：只需驗(yàn)證滿足結(jié)合律，由于"滿足交換律

所以僅需要考慮以下兩種情況：

(a*d)*b=b*b=b=a*a=a*(a*b)

(a*b)*b=a*b=a=a女b=a女(b女b)

故〈s,*〉為半群。

【例5.3.5］設(shè)S為任意非空集合,對(duì)任意

〃乃WS,規(guī)定〃則〈￡*〉為半群。

證明：Pa,b,cGS,有

=4*c=6q*(b*c)=a*b=a

所以(〃*力)*c=.

故〈S,*〉為半群。

【例5.3.6】對(duì)任意〃乃￡凡規(guī)定〃?=（〃+方）/2,則〈R產(chǎn)）

「是半群。

證明：對(duì)于1,2,3￡尺有

~+3

「小。1+2。29

(1*2)*3=-----*3=—-----

224

15

—、12+31+?7

1*(2*3)=1*------=———=—

224

所以不滿足結(jié)合律.

故6*〉不是半群。

【例537】S力也**運(yùn)算的定義如表5.3.1

*所示，判斷〈￡*〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)?

解⑴是S上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)?運(yùn)算

關(guān)于S集合封閉。

(2)從運(yùn)算表中可看出見(jiàn)仇c均為左幺元

X*(F*Z)=**Z=Z

(x^y)*z=y*z=z

故*運(yùn)算滿足結(jié)合律，從而〈S*〉為一半群.

5.3半群(semigroups)

表5.3.1

*abc

aabc

?4

babc

cabc

大

5?3半群(semigroups)

2.半群的性質(zhì)

定義5.3.2設(shè)〈S,*〉為一半群，若51S,*在￡中封閉，

則〈￡,*〉也是一個(gè)半群，稱之為〈S,*〉的子半群。

例如，如果?表示乘法，代數(shù)系統(tǒng)〈［0,1］,?〉、

〈［0,1),?〉和〈2?〉都是半群,且都是〈凡?〉的子半

群。

5.3半群(semigroups)

對(duì)于半群中的元素，我們有一種簡(jiǎn)便的記法。

設(shè)半群〈S,*〉中元素〃(簡(jiǎn)記為的〃次然記

為遞歸定義如下：

a1=a僅"+1=。"*〃1Z+

即半群中的元素有時(shí)可用某些元素的事表示出來(lái)。

因?yàn)榘肴簼M足結(jié)合律，所以可用數(shù)學(xué)歸納法證明

mnm+nmnmn

a*a=a9(a)=ao

普通乘法的塞、關(guān)系的塞、矩陣乘法的塞等具體

的代數(shù)系統(tǒng)都滿足這個(gè)塞運(yùn)算規(guī)則。如果有。2=心則

稱。為半群中的等塞元。

定理5.3.1若〈S,*〉是半群，S是有限集合，貝！JS中

必含有等塞元。

*證明因?yàn)棰?〉是半群，V?！陞灿?爐,

因?yàn)镾是有限集合，所以必定存在/＞北使得浦=〃。

令P=/乜便有所以對(duì)任意qR有

〃q=/*妙,=qP女@女qq"=qP女a(chǎn)40

因?yàn)橄Πl(fā),所以可找到后1,使得切R

akp=ap*akp—ap女（礎(chǔ)*qkp）

=〃20*〃仞=〃2A*。3）==4切*4切

即在S中存在元素〃使得〃*〃=瓦

?.5.3.2含幺半群及其性質(zhì)(monoidanditsproperties)

口下面介紹一些特殊半群。

1.含幺半群的概念

定義5.3.3如果半群〈S,*〉中二元運(yùn)算*是可交換的，則稱〈SJ

是可交換半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉，

<Z,X,〉，〈25,十〉均是可交換半群。但S,?！担葱土?/p>

不是可交換半群。

定義5.3.4含有關(guān)于*運(yùn)算的幺元的半群(S,*〉，稱它為獨(dú)異

點(diǎn)(monoid),或含幺半群，常記為(°是幺元)。

【例5.3?8】

〈Z,+〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是0,〈片+,0〉；

<Z,X>是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是1,〈Z,XJ〉；

〈25,十〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是（p,〈25,①（p〉；

（卒而是獨(dú)異點(diǎn)，幺元南（空串），〈2*開(kāi)工〉；

（SS,〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是人，〈SS，4〉；

但〈ZE，X〉不是獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)闊o(wú)幺無(wú)，

E

（IZE,Z：偶數(shù)集）。

史

12.含幺半群的性質(zhì)

定義5.3?5

設(shè)〈S,*〉為一獨(dú)異點(diǎn)，若T在7中封閉，

且幺元?jiǎng)t〈T,*?〉也是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，稱之

為〈S,*〉的子獨(dú)異點(diǎn)。

我們前面提過(guò)，對(duì)于有窮集合的二元運(yùn)算,

可用運(yùn)算表來(lái)給出

?5.3半群(semigroups)

%理5.3.2一個(gè)有限獨(dú)異點(diǎn)〈S,*,e〉的運(yùn)算表中任

何兩行或兩列元素都不會(huì)相同。

證明設(shè)S中關(guān)于運(yùn)算*的幺元是e。因?yàn)閷?duì)于任意

的心力es且斫幼時(shí)，總有

e*a=a*b=e*b和心e=a*b=b*e。所以，在*的運(yùn)算

表中不可能有兩行或兩列是相同的。

該定理容易理解，因?yàn)殓墼诘男?、列?/p>

與表頭相同，所以不會(huì)出現(xiàn)兩行(列)元素完全

相同的情況。

I5.3半群(semigroups)

W5.3.9]<Z4,+4>24={[0],[1],[2],[3]}=Z/A(A是

Z上的模4同余關(guān)系)，上運(yùn)算+"定義為V[陽(yáng)],

\_m~\+4[〃]=L(/w+H)(/wod4)],它由表5.3.2給出。判

斷〈ZQ+4〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

表5.3.2

+4m[2]

[0]工⑵

工[2][3]Lo]

[2][3]Eo]［口

[3][0]工⑵

］■解：⑴+4運(yùn)算顯然封閉。

「■.(2)由+4的定義可知+4可結(jié)合。

(3)從運(yùn)算表中可知［0］是幺元，所以〈24，+4〉

是獨(dú)異點(diǎn)。但在該表中沒(méi)有兩行(列)元素完全相同。

定理5.3.3設(shè)〈區(qū)*H〉是獨(dú)異點(diǎn)，對(duì)Va,beS,且見(jiàn)〃均

有逆元，則

(a)(a/)/=〃

(b)(〃*b)-i=bA*a'1

證明：

5.3半群(semigroups)

證明：

(1)(a1)1=(a-i)“*e

=(〃-i)-i*(〃/*〃)=((〃-i)/*a/)*〃=?*〃=%得證。

1

(2))=a*(b*b")*〃"=a女e*a』a*a=e

11

(b^a)*(〃*〃)=b"女(a"女a(chǎn))女b=b*e*b=b"*b=e

1AA

故(a*b)'=b*a。

5.3半群(semigroups)

小結(jié)：本結(jié)介紹了半群與獨(dú)異點(diǎn)的概念及其性質(zhì)。

Pgl49:126,7,12

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TOT

一大.以，火屏二

^色群與子群(groupsandsubgroups)

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

5.4.2群的基本'性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

5.4.3子群(Subgroups)

TOT

J漆球?大考二

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

獨(dú)異點(diǎn)中含有幺元。前面曾提到，對(duì)于含有幺元的

運(yùn)算可考慮元素的逆元，并不是每個(gè)元素均有逆元的，

這一點(diǎn)引出了一個(gè)特殊的獨(dú)異點(diǎn)群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

定義5.4.1如果代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉滿足

(1)〈G,*〉為一半群；

(2)〈G,*〉中有幺元e；

(3)〈G,*〉中每一元素都有逆元xL

則稱代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉為群(groups)?；蛘哒f(shuō)，

群是每個(gè)元素都可逆的獨(dú)異點(diǎn)。群的基集常用字

母G表示，因而字母G也常用于表示群。

.【例541】

I)〈z,+〉，〈0+〉，〈凡+〉，C+〉均為群(加群)，數(shù)o

為其幺元。

(2)〈凡?〉，〈Z,?〉，〈0?〉都不是群。因?yàn)?沒(méi)有逆元。

(3)5?{0},?〉，〈。-{0},?〉，〈Q+U〉(正有理數(shù)與數(shù)乘)

均為群，1為其么元。但＜z-{o},-＞不是群。

(4)〈NQ+P為一4階群，數(shù)0為其么元。

⑸A#0(2A,U)是半群，幺元為0,非空集合無(wú)逆元,

所以不是群。

]5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

(6)A#0,<2A,n>是半群，幺元為任意A的真子集無(wú)逆

元，所以不是群。

⑺A#0,〈23④的幺元為0\/Se2AySe2A.

S十①二(S—①)u(①—S)=①十S)，s的逆元

是s(S十S=(S—S)u(S—S)=①)，所以

〈2%十〉是群。

因?yàn)榱阍獰o(wú)逆元，所以含有零元的代數(shù)系統(tǒng)(除，〈｛**〉

外)就不會(huì)是群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

【例5.4.21設(shè)且={〃也c/}/為G上的二元運(yùn)算,

它由表541給出，不難證明G是一個(gè)群。且e是G

中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，

在見(jiàn)仇c三個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果

都等于另一個(gè)元素，這個(gè)群稱為左加加四元群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.1

*eabc

e1eabc

aaecb

bjb.cea

ccbae

大

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

B--------------

【例546】設(shè)尹{見(jiàn)仇c/},*為G上的二元運(yùn)算，它由

表5.4.2給出，不難證明G是一個(gè)群，且e是G中的幺元;

G中元素力的逆元就是它自己，。與c互逆。在見(jiàn)仇c三

個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)

元素，這是除了A加加四元群外的另一個(gè)四階群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.2

*eabc

eeabc

aabce

bbcea

cceab

大

【例543】設(shè)〈G*)是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，并且每個(gè)

*元素都有右逆元，證明〈a*〉為群。

證明設(shè)e是〈&*〉中的幺元。每個(gè)元素都有右

逆元，即3y￡G使得**y=?,而對(duì)于

此了，又使得y*z=e。由于均有

x女。=e女x=e,因此

即x*y=e=y*z=y*x=e

丁既是*的右逆兀，又是x的左逆兀，故

均有逆元，〈&*〉為群。

■5.4.2群的基本性質(zhì)（Thepropertiesofgroups）

?對(duì)群〈G,*〉的任意元素”,我們可以同半

群一樣來(lái)定義它的塞：

n1=n

a°=e,對(duì)任何正整數(shù)"a^a^a9群的幕

運(yùn)算有下列性質(zhì)：

定理5.4.1對(duì)群（G,*〉的任意元素a,〃，有

（1）（優(yōu)1尸=4

（2）（4*。尸=。-1*〃/

（3）⑷尸=（/）〃（記為叱）（〃為整數(shù)）

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

一

(1)因?yàn)椤ā钡哪嬖羌此?/p>

(4"尸=4。

(2)因?yàn)?/p>

(b-i*屋)*(a女b)=b-i*(屋*a)*b=e

所以4*〃的逆元為尸*4“，即（〃*力尸=尸*4-1

(3)對(duì)〃進(jìn)行歸納。群首先是獨(dú)異點(diǎn)，所以

n+in〃

=a*aQ=1時(shí)命題顯然真。設(shè)〃=4時(shí)(a")”是/

的逆元為真，即(/尸=(〃")3那么

4*+1*(〃-1)九+1=/*(4*〃-1)*(4-1)〃

=/*(〃")"=?

=(aA)k*ak=e

故/+i的逆元為(a,)A+i,即(〃A+i)-i=(〃")A+io歸

納完成，得證。

5.4.2群的基本性質(zhì)（Thepropertiesofgroups）

題5.4.2當(dāng)Gr{e}時(shí)，群〈G,*〉中不可能有零元.

證明：由GW{e}知，|G}1,反設(shè)〈G,*〉中有零元，，則對(duì)

（見(jiàn)定理5.1.3）.

故夕無(wú)逆元，與〈G,*〉是群矛盾.

（注意，G={e}時(shí),e既是幺元，又是零元。）

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.3對(duì)群〈G,*〉的任意元素及任

何整數(shù)股，?有

(1)amMn=am+n

(2)(am)n=amn

證明留給讀者。

群的下列性質(zhì)是明顯的。

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.4設(shè)〈G,*〉為群，則對(duì)任意的

方程a*x=〃，都有解且有唯一解。

.證明：

免證小力是方程4氣=〃的解。將小林代入方程左邊

的心得

a*(a4*b)=(a*a")*b=e*b=b

所以小*方是該方程的解。下面證明唯一性。

假設(shè)C是方程=〃的解，必有4*c=〃,從而有

c=e*c=(4?i*a)*c=〃-i*(a*c)=4-i*A

唯一^性得證。同理可證〃是方程=〃的唯一k

解。

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.5設(shè)〈G,*〉為群，則G的所有元素都

是可約的。因此，群〈G,*〉滿足消去律，

即對(duì)任意即￥JWS

a*x=a*yQx=y

x*a=y*a=>x=y

注:上述蘊(yùn)涵式等價(jià)于對(duì)任意“Kj￡S,若xWy

則有心x*心y

x*a*y快a

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

飛義5.4.2設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，

(1)若G是一個(gè)有限集合，則稱〈G,*〉為一個(gè)有限

群(finitegroup)，且稱\G\為群〈G,*〉的階

(order)。

(2)若G是一個(gè)無(wú)限集合，則稱〈G,*〉為一個(gè)無(wú)限

群(infinitegroup)。

例如，〈Z,+〉，〈凡+〉是無(wú)限群I加加四元群是

有限群。

]|_5.4.2群的基本'性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

由定理5.4.5可知，特別地，當(dāng)G為有限群時(shí),

*運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一

個(gè)全排列。對(duì)于有限群，運(yùn)算可用表給出,稱為群

表。從而有限群〈G,*〉的運(yùn)算表中沒(méi)有一行

（列）上有兩個(gè)元素是相同的。因此，當(dāng)G分別為

L2,3階群時(shí)「運(yùn)算都只有一個(gè)定義方式（即不計(jì)

元素記號(hào)的不同，只有一張定義*運(yùn)算的運(yùn)算表，分

別如表543、544和5.4.5所示），于是可以說(shuō),1,2,3階

的群都只有一個(gè)。

表5.4.5

*:eab

eeab

aabe

bbea

【例5.4.4］在下表的空白處填入適當(dāng)?shù)脑?，?/p>

〈{見(jiàn)仇c},*〉構(gòu)成群。

【例544】在下表的空白處填入適當(dāng)?shù)脑?，?/p>

〈｛〃?**〉構(gòu)成群。

*

abc

aca_b

bab_c

cbca

K例545】設(shè)〈G,*〉為有限獨(dú)異點(diǎn)，適合消去律，證

'■明〈G,*〉為群。

證明設(shè)《是〈a*〉中的幺元。由〈G,*〉適合消去律，

即W%b,c￡G均有

a女b=a*c=b=c

b*a=c*a^/)-c

又由于〈G,*〉為有限獨(dú)異點(diǎn)，所以

3正整數(shù)〃使得

an=e,^a'kanA=e=anA*a

故V"￡G,三型-l￡G是4的逆元，故〈G,*〉為群。

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.6設(shè)〈G,*〉為群，則幺元是G的

唯一的等塞元素。

證明：設(shè)G中有等塞元r,那么廿又

x=x*e9所以

由定理5.4.5得x=e。故得證。

設(shè)〈G,*〉為群，如果我們用“G和G”分別表

示下列集合

aG={a^g\g￡G}Ga={g^a\g￡G}

那么我們有以下定理。

I5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

置理5.4.7設(shè)〈G,*〉為一群，”為G中任意元素，

那么aG=G=G〃。

特別地，當(dāng)G為有限群時(shí)，*運(yùn)算的運(yùn)算表

的每一行(列)都是G中元素的一個(gè)全排列。

證明：aG是顯然的。

設(shè)那么從而

即因此G=〃G?！℅=G得證。

G〃=G同理可證。

5.4.2群的基本性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

對(duì)群還可以引入元素的階的概念。

為群，滿足等式

a1l=e的最小正整數(shù)"稱為a的階(order),記作同。

若不存在這樣的正整數(shù)名稱〃是無(wú)限階。

【例547】

⑴任何群G的幺元e的階為1,且只有幺元e的階為1。

(2)〈Z,+〉中幺元0的階為1,而整數(shù)Q=10時(shí),“有無(wú)限階。

(3)<Z4,+4>中［口的階是4,［2］的階是2,［3］的階

TIITA是4。

關(guān)于元素的階有以下性質(zhì):

定理5.4.8有限群G的每個(gè)元素都有有限階，且

其階數(shù)不超過(guò)群G的階數(shù)|G|。

證明：設(shè)。為G的任一元素，考慮斫劭八%…/?這13+1個(gè)

G中元素，由于G中只有|G|個(gè)元素，它們中至少有兩個(gè)

是相同的,不妨設(shè)

m=相0<s<t<|(7|

于是，-s=G因此僅有有限階，且其階數(shù)至多是靜，不超過(guò)群

G的階數(shù)|G|。

5.4.2群的基本'性質(zhì)(Thepropertiesofgroups)

*定理5?4.9設(shè)〈G,*〉為群,G中元素。的階為r,那

么M〃=e當(dāng)且僅當(dāng)r整除〃。

證明先證充分性。

設(shè)歹整除〃，那么設(shè)〃=切（A為整數(shù)），因?yàn)樯?/p>

=e,所以a〃=i="）"=M=e。再證必要性。

設(shè)=n=mr+k,其中陽(yáng)為〃除以r的商，A為余數(shù)，

因此OWAVr。于是

nmr+k

e=a=a=冊(cè)女qk=ak

因此，由，的最小性得仁0,一整除〃。

i定理5.4.10設(shè)〈G,*〉為群，。為G中任一元素,

?個(gè)口么同=依1|。

證明設(shè)。的階為/由他”)〃=便尸=/1=6可知4”的階

是存在的。只要證。具有階〃當(dāng)且僅當(dāng)小具有階〃。由

于逆元是相互的，即(。-1尸=%因此只需證：當(dāng)〃具有

階〃時(shí)，也具有階〃。

設(shè)4的階是〃，小的階是，。由于

Ann11

(a)=(a)-=e=e9故也〃。又因?yàn)?/p>

■=(“1力1=/1=?,故舊。因此，

〃=，，即同=依1|。

【例5.4.8】設(shè)G是〃階有限群，證明:

*(1)G中階大于2的元素個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；

(2)若〃是偶數(shù)，則G中階等于2的元素個(gè)數(shù)一定

是奇數(shù)。

證明

(1)設(shè)，={x|x￡G,x的階大于2},則

ar'*a,否則解=?與a^A矛盾。

因?yàn)?與小的階相同，且小相對(duì)于〃是唯一的，所

以小與〃成對(duì)出現(xiàn)，故G中階大于2的元素個(gè)

數(shù)一定是偶數(shù)。

.5.4.2群的基本性質(zhì)(Th