2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與線段相交．則直線l傾斜角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為（

）A．-17 B．-15 C．17 D．154．已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則（

）A．7 B．9 C．15 D．305．已知滿足對(duì)一切正整數(shù)均有且恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，且數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．?dāng)?shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和.記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題（共3小題，每題6分，共18分）9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（），公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D．當(dāng)時(shí)，的最大值為2110．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，則（

）A．?dāng)?shù)列一定為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列一定為等差數(shù)列 D．若有最大值，則必有11．已知數(shù)列中，，，.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可能為（

）A．－4 B．－2 C．0 D．2三．填空題（共3小題，每題5分，共15分）12．已知數(shù)列滿足，若，則.13．已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的斜率為.14．已知函數(shù)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，則.四．解答題（共5小題，共77分）15．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為的前項(xiàng)和，求的最小值．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．17．銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬(wàn)元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比上年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年向銀行貸款1萬(wàn)元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），乙方案第n年的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），請(qǐng)寫出、的表達(dá)式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計(jì)算，試問(wèn)該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤(rùn)-本息和）（參考數(shù)據(jù)，18．在數(shù)列，中，，為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為9.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和.19．如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?②若，且，求的最小值.1．A【分析】把數(shù)列變形為，，，，???，由此可得它的通項(xiàng)公式．【詳解】數(shù)列，，，，…，即數(shù)列，，，，???，故它的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故選：．2．B【分析】結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】根據(jù)題意，畫出圖象如圖所示;

直線的斜率，則直線的傾斜角為；直線的斜率，則直線的傾斜角為，結(jié)合圖象由條件可得直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B.3．D【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列，的公差分別為，又，，且，則，即，所以，故選：D.4．C【分析】設(shè)公比為，根據(jù)條件列出方程求解，再由求和公式得解.【詳解】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，(如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，可得，解得，即或，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．沒(méi)有選項(xiàng)．故選：C．5．C【分析】根據(jù)題意整理可得對(duì)一切正整數(shù)恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題分析求解.【詳解】因?yàn)闈M足對(duì)一切正整數(shù)均有且恒成立，即恒成立，化為，可知對(duì)一切正整數(shù)恒成立，所以，故選：C.6．B【分析】利用充分必要條件的判定及等比數(shù)列通項(xiàng)公式驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，因?yàn)椴坏扔?，所以，若時(shí)，無(wú)法得出，所以“”不是“”的充分條件；若“”，則，所以“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7．D【分析】將取倒數(shù)結(jié)合累加法求得，再利用數(shù)列單調(diào)遞減列不等式并分離參數(shù)，求出新數(shù)列的最大值即可求得答案【詳解】由題意，，兩邊取倒數(shù)可化為，所以，，，由累加法可得，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，故，即，整理可得，，因?yàn)椋?，所以，?故選:D.8．B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系采用疊加法即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，，…，，，則，，…，，，將上述各式兩邊相加得，，所以.故選：B．9．BC【分析】分別運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷，；由配方法，結(jié)合為正整數(shù)，可判斷；由解不等式可判斷．【詳解】解：由公差，，可得，即，①由是與的等比中項(xiàng)，可得，即，化簡(jiǎn)得，②由①②解得，，故A錯(cuò)，B對(duì)；由因?yàn)?，可得?1時(shí)，取最大值110，C對(duì)；由，解得，可得的最大值為20，D錯(cuò)；故選：BC．10．AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可以判斷A,B,C，再結(jié)合C，通過(guò)特殊值法可以判斷D.【詳解】設(shè)的公比為，.對(duì)A，，則，恒為定值，則A正確；對(duì)B，，所以，不恒為定值，則B錯(cuò)誤；對(duì)C，易知，，恒為定值，由等差數(shù)列的定義可知，一定為等差數(shù)列，則C正確；對(duì)D，結(jié)合C，一定為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，若，則有最大值0，此時(shí)，則D錯(cuò)誤.故選：AC.11．AB由題意可得，利用裂項(xiàng)相相消法求和求出，只需對(duì)于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對(duì)于任意的恒成立，整理得對(duì)于任意的恒成立，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故D錯(cuò)誤，故選：AB.本題考查了裂項(xiàng)相消法、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.12．2【分析】由遞推關(guān)系式依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得出數(shù)列的周期，由周期性得結(jié)論．【詳解】因?yàn)閿?shù)列an滿足，且，所以，所以數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，所以.故2.13．【分析】根據(jù)直線方向與直線斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，所以直線l的斜率為，故14．2【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析可知：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，結(jié)合數(shù)列周期性分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，即，可知為定義在上的奇函數(shù)；且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).因?yàn)?，則，可得，即，由可知：3為數(shù)列的周期，則，且，所以.故2.易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題分析的奇偶性的同時(shí)，必須分析的單調(diào)性，若沒(méi)有單調(diào)性，由無(wú)法得出.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算即可；（2）先根據(jù)基本量運(yùn)算得出前n項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)求出最值即可.【詳解】（1）設(shè)an的公差為，則，依題意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．16．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由得到，兩式相減得到，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）得，進(jìn)而得到，利用放縮法得，再利用等比數(shù)列前n和公式求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減并整理得，即，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）可得：，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，∴，所以.17．(1)，,(2)采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多【分析】（1）根據(jù)已知條件，分別求解1年，2年后，….，進(jìn)而歸納后的利潤(rùn)，即可求解．（2）分別求出兩種方案的凈收益，再通過(guò)比較，即可求解．【詳解】（1）對(duì)于甲方案，1年后，利潤(rùn)為1（萬(wàn)元）．2年后，利潤(rùn)為，3年后，利潤(rùn)為（萬(wàn)元），……故年后，利潤(rùn)為（萬(wàn)元），因此，對(duì)于乙方案，1年后，利潤(rùn)為1（萬(wàn)元）．2年后，利潤(rùn)為，3年后，利潤(rùn)為（萬(wàn)元），……故年后，利潤(rùn)為（萬(wàn)元），因此，（2）甲方案十年共獲利（萬(wàn)元），10年后，到期時(shí)銀行貸款本息為（萬(wàn)元），故甲方案的凈收益為（萬(wàn)元），乙方案十年共獲利（萬(wàn)元），貸款本息為（萬(wàn)元），故乙方案的凈收益為（萬(wàn)元），由，故采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多18．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{bn}因?yàn)閿?shù)列{bn}的前三項(xiàng)和為，所以或舍去，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榍叭?xiàng)和為9，所以有，所以，因?yàn)?，所以；?）由（1）可知：，所以，，，得，，所以.19．(1)1，3，5，7，5，3，1(2)①1012；②2025【分析】（1）根據(jù)新定義“對(duì)稱數(shù)列”的定義和已知條件可求得公比，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①根據(jù)對(duì)稱數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解；②由條件得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系，并結(jié)合定義求得的取值范圍，然后結(jié)合已知條件確定出最后的結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，所以，