等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、等比數(shù)列的定義：-^=?(^^0)(n>2,>ne2V*)-4稱為公比

an-\

2、通項(xiàng)公式：

a=an1nn

niQ——q-A-B(ax-0,A-By：0),首項(xiàng)：％;公比：q

q

lm

推廣：a”=amq'-o/一"'=&o"="

%Vam

3、等比中項(xiàng)：

(1)假如a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做。與方的等差中項(xiàng)，即：發(fā)二口人或A=±疝

注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(

(2)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列=?！?

4、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”公式：

(1)當(dāng)q=1時(shí)，Sn=nax

(2)當(dāng)q/l時(shí)，s“=巫⑴=幺二型

“\-q1-q

=-^----塵/=A-AW=AE-A'(A,3,A⑷為常數(shù))

1-q1-q

5、等比數(shù)列的鑒定方法：

(1)用定義：對(duì)任意的〃，都有。用=餌或—=q(q為常數(shù)，。，尸0)。｛?！ǎ秊榈缺葦?shù)列

(2)等比中項(xiàng):=4+1%(4+避,1/0)。｛q｝為等比數(shù)列

(3)通項(xiàng)公式：見(jiàn)=A?(A5w0)o｛%｝為等比數(shù)列

6、等比數(shù)列的證明方法：

依據(jù)定義：若烏-=4(4/0乂〃22,且〃€曠)或4+1=qanu>｛4｝為等比數(shù)列

an-\

7、等比數(shù)列的性質(zhì)：

(2)對(duì)任何辦“eN*,在等比數(shù)列｛”“｝中,有%=414fo

(3)若/〃+〃=s+《/〃,”,sJeN*),則。特別的，當(dāng)加+〃=2左時(shí)，得

2

a屋am=ak注：％?an=4-=%4筌…

等差和等比數(shù)列比較:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義??+1~an=d也=M#0)

an

遞推公

-~八

aan—m

a?=^,_1+d;an=a,n_n+mdn=n-\Q；a=c1q

式nm

通項(xiàng)公

an=ax+(n—l)dan=。1夕〃-1(a/wO)

式

G——ylan-kan+k^an-kan+k>°)

A入產(chǎn).?.\

中項(xiàng)A=-^-n----k--+---°-n-+--k-I(n.kj,nAkA0)

2Qn,kGN*,n>k>4)

Sn=/(。1+?！?na、(q=1)

前"項(xiàng)和S"=<a「aq,、

一n\q—

S"=叫+2d\-q1-q

重要〃aaaaa

%+%="+qm'n=p'q

性質(zhì)(m,n,p,qwN”,m+n=p+q)(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)

經(jīng)典例題透析

類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1.等比數(shù)列｛4｝中,%=64,/+%=20,求知.

思緒點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)已知條件可列出關(guān)于％和q的二元方程組，解出生

和“，可得a”；或注意到下標(biāo)1+9=3+7,可以運(yùn)用性質(zhì)可求出的、%,再求知.

解析：

法一：設(shè)此數(shù)列公比為勿則卜%=4.儂8=6：(1)

1%+%=4夕+%q-20(2)

由(2)得：//("/)=20...........(3)

??>0.

由(1)得：(％/)2=64,qq4=8……(4)

(3)+(4)得：電L胃斗

qo2

2/_5q2+2=0,解得/=2或/=；

當(dāng)/=2時(shí)，%=2,a”=%?一°=64；

當(dāng)d=；時(shí)，%=32,%]=%?=1.

法二：4?%=%,%=64，又％+%-20,

???%、出為方程--20%+64=0的兩實(shí)數(shù)根,

?=16或=4

%=4%=16

2

*.*〃3?41=%2,0n=，-=1或4=64.

〃3

總結(jié)升華：

①列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)運(yùn)用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；

②解題過(guò)程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，經(jīng)常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用

除法（除式不為零）.

舉一反三：

【變式1]{an}為等比數(shù)列，ai=3,a9=768,求a6。

【答案】±96

法一:設(shè)公比為q,則768=aiq%q8=256,q=±2,.,.a6=±96；

法二：a5?=aia9na5=±48nq=±2,.*.a6=±96o

【變式2]{an}為等比數(shù)列,an>0,且aia89=16,求a44a45a46的值。

【答案】64；

?%Ogg=。45=16,3^an0,??345=4

??a44a45a46=<745=640

【變式3]已知等比數(shù)列{a“},若卬+%+。3=7,0102a3=8,求。

【答案】a“=2"T或冊(cè)=23-"；

法一：?=。2，?,0102a3~〃2=8,??。之=2

...CLi+Qq=5,、..__p

從而\,解之得％=1,q=4或4=4,%=1

。1。3=4

當(dāng)q=l時(shí)，q=2；當(dāng)％=4時(shí)，Q=~°

故為=2〃一1或4=23-〃。

法二：由等比數(shù)列的定義知4=a\Q，%=*

代入已知得］…悶+砥2=7

Jq(l+9+，)=7,Jq(l+4+q2)=7,(1)

〃W=8［a^=2(2)

2

將〃］二—代入(1)得2d—5g+2=0,

q

解得q=2或q=g

--i%=4

由(2)得%=或i,以下同方法一。

u=2ri

類型二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

例2.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.

解析：若q=l,則有S3=3ai,Se=6ai,S9=9ai.

因a#0,得S3+S6先S9,顯然q=l與題設(shè)矛盾，故/L

由S3+$6=2s9得>——―~|―—―~——■——~,

1-<7l-q1-q

整理得q3(2q6-q3-1)=0,

由q/),得2q6-q3-l=0,從而(2q3+l)(q3-l)=0,

因q3?,故八―；，所以好―當(dāng)。

舉一反三：

【變式11求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和。

39

【答案】箸

%=1,q=g,〃=6

【變式2】已知：⑶｝為等比數(shù)列，aia2a3=27,S3=13,求S5.

【答案】121或方；

【變式3】在等比數(shù)列｛4｝中，6+4=66,gq_］=128,S〃=126,求幾和9。

【答案】q=工或2,〃=6；

2

*.*a2-an_1=%?冊(cè),/.a｛an=128

—、/口(。

解方程組％CLa〃=128，得］1=64或_^^］=2一

［%+為=66K=2［an=64

①將卜代入s〃=幺"，得q」,

［?！?21-q2

nx

由%=axq~,解得〃=6；

②將H=2代入s“=&Z5d,得q=2,

%=641-q

由=a?",解得n—6o

.??4=；或2,n=6。

類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)

62+…+1°§3

例3?等比數(shù)列｛?｝中，若名?〃=9,求log3%+log3。%0.

解析:

10=〃29=3,“8=〃4.%=〃5.“6

V｛an｝是等比數(shù)列，:?4?〃?。。=9

55

/.log3ax+log3a2+—i-log3aio=log3(q-a2-a3aw)=log3(^5-a6)=log39=10

舉一反三:

［變式1］正項(xiàng)等比數(shù)列｛。〃｝中，若ai-aioo=lOO;則lgai+lga2+.......+lgaioo=

【答案】100；

VIgai+lga2+lga3+.......+Igaioo=lg(ai-a2-a3-........-aioo)

而ai-aioo=a2-a99=a3-a98=........=a50-a5i

原式=lg(ai?aioo嚴(yán)=501g(ai?aioo)=5Oxlg100=100。

【變式2】在|和孑之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為

【答案】216；

法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為｛q,｝,其公比為q,

法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為｛4｝,公比為q,則q=|,生=§，

加入的三項(xiàng)分別為內(nèi)，。3，

Q27

由題意q,a?,%也成等比數(shù)列，，徭=§*至=36，故％=6，

??a、'=216。

類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)

例4.在等比數(shù)列｛4｝中,已知5“=48,$2“=60,求必。

思緒點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中

前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，……，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。

解析：

法一：令bl=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n

觀測(cè)bi=ai+a2+...+an,

n

b2=an+i+an+2+....+a2n=q(ai+a2+....+an),

2n

b3=a2n+i+a2n+2+...+a3n=q(ai+a2+....+an)

h1i92

易知bi,b2,b3成等比數(shù)列，4=工=--=3,

3

bx48

，S3n=b3+S2n=3+60=63.

法二：?:"2Sn，

《"”=48

①

由已知得＜i-q

區(qū)5=60

②

i—q

②，①得“今即心③

③代入①得衛(wèi)=64,

i-q

???$3〃=%(],)=64(1-1)=63。

〃

法三：?.?｛%｝為等比數(shù)列，...S"，S2n-Sn，$3-$2.也成等比數(shù)列，

2

(S2n-Sn)=Sn(S3n-S2n),

?F=—+s「明普+6。=63。

舉一反三：

【變式1】等比數(shù)列｛%｝中，公比q=2,S4=l,則S8=.

【答案】17；

Ss=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(ai+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(l+q4)=lx(l+24)=17

【變式2]已知等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,且SIO=1O,S2O=4O,求:S3o=?

【答案】130；

法一'：S10,S20-S10,S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-S10)2=S10-(S30-S20)

即3O2=1O(S3O-4O),AS3O=13O.

法二：,.?2SI(#S20,：.q^l,

???510=**=10,邑。="二冷=40,

1-ql-q

=〃。=3,—5

1-q41-q

530=^=(-5)(1-33)=13°-

【變式3】等比數(shù)列｛4｝的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80,S2n=6560,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54,求

n.

【答案】梟否則

S”=4(1H=80...(1)

1-q

q(l-f)A"。。

S2n=e----=6560...(2),

i-q

(2):(1)得：l+qn=82,/.qn=81……(3)

???該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，...由(3)知q>l

.??｛an｝為遞增數(shù)列，...an為最大項(xiàng)54.

n-1n

/.an=aiq=54,aiq=54q,

A81ai=54q....(4)

5429

*>?a——q=—q代入⑴得一q(l—81)=80(1—q),

x8133

??q=3,??n—4.

【變式4］等比數(shù)列｛a“｝中，若ai+a2=324,as+a4=36,則as+a6=.

【答案】4；

令bi=ai+a2=ai(l+q),b2=a3+a4=aiq2(l+q),b3=a5+a6=aiq4(l+q),

>2

易知：bi,b2,b3成等比數(shù)列，---=4,即as+a6=4.

bi324

【變式5】等比數(shù)列｛a,｝中,若ai+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。

【答案】448；

｛an｝是等比數(shù)歹U，(a4+as+a6)=(ai+a2+a3)q3,**.q3=8,

a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56x8=448.

類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

例5.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列.若再將此等

差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4,則又成等比數(shù)列.求本來(lái)的三個(gè)數(shù).

思緒點(diǎn)撥：恰本地設(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，

并將其設(shè)為整式形式.

解析：

法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d,a,a+d.

則a-d,a,a+d+32成等比數(shù)列，a-d,a-4,a+d成等比數(shù)列.

.a?=(〃-d)(a+d+32)........(1)

(〃-4)2=(〃-d)(〃+d).........(2)

由(2)得2=日學(xué).....⑶

O

由(1)得32a=d2+32d.........(4)

Q

(3)代(4)消a,解得d=§或d=8.

.?.當(dāng)1=§時(shí),。=型；當(dāng)d=8時(shí),a=10

39

???本來(lái)三個(gè)數(shù)為|■耳，等或2,10,50.

2

法二：設(shè)本來(lái)三個(gè)數(shù)為a,aq,叫2,則a?aq,aq-32成等差數(shù)列，a,叫-4,叫2.32成等比數(shù)列

.2aq=a+aq1-32........。

(〃[-4『二a{aq2-32)......Q)

2

由(2)得。=——，代入⑴解得q=5或q=13

q-4

2

當(dāng)口=5時(shí)a=2；當(dāng)用3時(shí)ay.

???本來(lái)三個(gè)數(shù)為2,10,50或2,—.

999

總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)樸易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-

d,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為二，x,xy0但還要就問(wèn)題而言，這里解法二中

y

采用首項(xiàng)a,公比q來(lái)解決問(wèn)題反而簡(jiǎn)便。

舉一反三：

【變式11一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，假如把第二項(xiàng)加上4,,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)

列，假如再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求本來(lái)的

等比數(shù)列.

【答案】為2,6,18或士-3,衛(wèi)；

999

設(shè)所求的等比數(shù)列為a,aq,叫2；

則2(aq+4)=a+aq2,M(aq+4)2=a(aq2+32)；

,2

解得a=2,q=3或。=§,q=-5；

故所求的等比數(shù)列為2,6,18或2,—W,史.

999

【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為91,求這三個(gè)數(shù)。

【答案】1、3、9或—1、3、—9或9、3、1或—9、3、—1

設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為3。,組，

--a-aq=21

q

由已知得＜

?2(—+(72+1)=91

q-

得9/_82d+9=0,所以/=9或/=§,

故所求三個(gè)數(shù)為：1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。

【變式3］有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第

四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).

【答案】0，4,8,16或15,9,3,1；

設(shè)四個(gè)數(shù)分別是x,y,12-y,16-x

.J2y=x+12-y....()

…(12—y)2=y(16—x).……Q)

由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)

/.144-24y+y2=-3y2+28y,.\4y2-52y+144=0,

，y2-13y+36=0,I.y=4或9,

x=0或15,

，四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

類型六：等比數(shù)列的判斷與證明

例6.已知數(shù)列｛a“的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+l)=n(ngN+),求出數(shù)列｛a“的通項(xiàng)公式，并

判斷｛an｝是何種數(shù)列?

思緒點(diǎn)撥：由數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通項(xiàng)公式判斷｛an｝類型.

解析：log5(Sn+l)=n,Sn+l=5n,Sn=5n-1(n?N+),

.*.ai=Si=51-l=4,

nn1nn]n1n1

當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn-i=(5-l)-(5--l)=5-5-=5-(5-l)=4x5-

n111

而n=l時(shí)，4x5-=4x5-=4=ai,

.,.n?N+時(shí)，an=4x5n-1

由上述通項(xiàng)公式，可知｛an｝為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.

舉一反三：

【變式1]已知數(shù)列｛Cn｝,其中Cn=2n+3L且數(shù)列｛Cn+1-pCn｝為等比數(shù)列,求常數(shù)p。

【答案】p=2或p=3；

???｛Cn鏟pCn｝是等比數(shù)列,

對(duì)任意nWN且應(yīng)2,有(Cn+l-pCn)2=(Cn+2-pCn+l)(Cn-pCn-l)

VCn=2n+3n,A[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]-[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]

即[(2-p>2n+(3-p>3n]2=[(2-p).2n+l+(3-p>3n+l].[(2-p>2n-l+(3-p>3n-l]

整理得：」(2-p)(3-p>2"-3'=0,解得：p=2或p=3,

6

顯然Cn+l-pCn和，故p=2或p=3為所求.

【變式21設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列｛Cn｝不是等比數(shù)

列.

【證明】設(shè)數(shù)列｛an｝、｛bn｝的公比分別為p,q,且討q

為證｛Cn｝不是等比數(shù)列，只需證

*.*C；=(qp+如)2=a；p?+b；q?+2a/ipq,

C1C3=(%+bjap?+bd)=《p2+bjq?+帖[舊+q?)

?*.C1,C3—(p—q)-,

又,:p#q,ai#O,bi#O,

G?G-《片0即G?C3wcl

???數(shù)列｛Cn｝不是等比數(shù)列.

【變式3】判斷正誤：

(l)｛an｝為等比數(shù)列na7=a3a4；

(2)若b?=ac,則a,b,c為等比數(shù)列;

(3)｛an｝,｛bn｝均為等比數(shù)列，則｛anbn｝為等比數(shù)列;

(4)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則｛說(shuō)｝、[工]仍為等比數(shù)列；