第21課時全等三角形

考點精講1

重難點分層練2

內(nèi)蒙古中考真題及拓展3考點精講

【對接教材】北師：七下第四章P92～P104、P108～P109，

八下第一章P19～P20；

人教：八上第十二章P30～P56.全等三角形的性質(zhì)及判定考點1.性質(zhì)概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形性質(zhì)1.全等三角形的對應(yīng)邊_____，對應(yīng)角_____；2.全等三角形的周長_____，面積_____；3.全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都_____.相等相等相等相等相等2.判定圖形方法SSS(邊邊邊)__________________________SAS(邊角邊)_____________________________________ASA(角邊角)______________________________________三邊相等的兩個三角形全等兩邊和它們的夾角相等的兩個三角形全等兩角和它們的夾邊相等的兩個三角形全等圖形方法AAS(角角邊)_____________________________________________HL(斜邊、直角邊)_________________________________________兩個角和其中一個角的對邊相等的兩個三角形全等斜邊和一條直角邊相等的兩個直角三角形全等【滿分技法】全等三角形的判定思路：(1)已知兩組邊對應(yīng)相等找夾角→SAS找直角→HL或SAS找第三邊→SSS(2)已知一組邊和一組角對應(yīng)相等邊為角的對邊→找另外一個角→AAS找夾邊→ASA找其中一角的對邊→AAS(3)已知兩組角對應(yīng)相等邊為角的鄰邊找夾角的另一邊→SAS找夾邊的另一角→ASA找邊的對角→AAS針對訓(xùn)練1.如圖，△ABC≌△AEF，則下列結(jié)論中正確的是(

)①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC.A.①②

B.①③④C.①②③④D.①③第1題圖B針對訓(xùn)練2.已知：如圖，∠B＝∠DEF，BC＝EF，補充條件．求證：△ABC≌△DEF.(1)若要以“SAS”為依據(jù)，需補充條件_________；(2)若要以“ASA”為依據(jù)，需補充條件_______________________；(3)若要以“AAS”為依據(jù)，需補充條件_________；(4)若要以“SSS”為依據(jù)，需補充條件___________________；(5)若∠B＝∠DEF＝90°，要以“HL”為依據(jù)，需補充條件_________．第2題圖AB＝DE∠ACB＝∠F(或AC∥DF)∠A＝∠DAB＝DE，AC＝DFAC＝DF題圖證明：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.【自主作答】證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據(jù)勾股定理，得BC＝

，B′C＝

，又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．

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重難點分層練模型一平移型模型分析模型展示模型特點沿同一直線(BC)平移可得兩三角形重合(BE＝CF)解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)加(減)共線部分CE得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等第1題圖模型應(yīng)用1.已知A、D、C、F在一條直線上，BC與DE交于點G，AD＝CF，BC∥EF，且BC＝EF，求證：AB＝DE.證明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF.∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，第1題圖∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AB＝DE.模型二翻折(對稱)型模型分析模型展示有公共邊有公共頂點模型特點所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過公共頂點的某條直線折疊，兩個三角形完全重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應(yīng)角相等；(2)找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應(yīng)邊相等模型應(yīng)用2.(2023菏澤)如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN.第2題圖證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.在△AMD和△CND中，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，∴BM＝BN.第2題圖模型分析模型三共頂點旋轉(zhuǎn)型模型展示

模型特點繞該頂點旋轉(zhuǎn)可得兩三角形重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：加(減)共頂點的角的共角部分得一組對應(yīng)角相等模型應(yīng)用3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，交AD于點H，AD＝BD，求證：BH＝AC.第3題圖證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠DAC＋∠C＝90°，∠DBH＋∠C＝90°，∴∠DAC＝∠DBH，∴△BDH≌△ADC(ASA)，∴BH＝AC.在△BDH和△ADC中，第3題圖4.如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE與BD交于點F.(1)求證：AE＝BD；第4題圖(1)證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)求∠AFD的度數(shù)．第4題圖(2)解：如解圖，設(shè)BC與AE交于點N，N∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°.由(1)知△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B.∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.模型分析模型四不共頂點旋轉(zhuǎn)型模型展示模型特點繞某一點旋轉(zhuǎn)后，再平移可得兩三角形重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)利用線段和差關(guān)系可得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等模型應(yīng)用5.如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求證：CF＝DE.第5題圖證明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE.在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.第5題圖模型分析模型五半角模型情況一：含60°半角模型展示如圖，等腰三角形BDC中，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°.結(jié)論①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF解題方法延長AC至點G，使CG＝BE，證明△BDE≌△CDG，再證明△DEF≌△DGF，從而得到線段的數(shù)量關(guān)系(也可將△BDE進行旋轉(zhuǎn)，使BD與CD重合，此時需證明點F、C、G三點共線)情況二：含45°半角模型展示等腰直角三角形中含半角：如圖①，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.結(jié)論①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2圖①模型展示正方形含半角：如圖②，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.結(jié)論①△AEF≌△AEG；②△AGF為等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF解題方法將陰影部分進行旋轉(zhuǎn)或延長一邊，與半角構(gòu)成直角三角形，證明三角形全等，從而得到線段的數(shù)量關(guān)系(旋轉(zhuǎn)時需證明三點共線)圖②模型應(yīng)用6.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點，點F是邊CD上的點，連接AE、AF、EF，且∠EAF＝45°，若△CEF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為___．第6題圖2全等三角形的性質(zhì)及判定(包頭6考，呼和浩特7考)內(nèi)蒙古中考真題及拓展命題點1.(2022呼和浩特12題3分)下面三個命題①底邊和頂角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等；②兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，其中正確的命題序號為_____．①②拓展訓(xùn)練第2題圖2.(2023蘭州)如圖，點E，C在線段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求證：AC＝DF.證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC＝DF.第3題圖3.(2023福建)如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF.求證：∠B＝∠C.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC＝∠DFB＝90°.在△DEC和△DFB中，∴△DEC≌△DFB(SAS)，∴∠B＝∠C.第4題圖4.(2023北京)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE.(1)比較∠BAE與∠CAD的大??；用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；解：(1)∠BAE＝∠CAD，BM＝BE＋MD.證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD.∵M是BC的中點，∴BM＝CM＝CD＋MD＝BE＋MD；第4題圖(2)過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)NE＝ND.證明：如解圖，連接AM、AN，∟N∵AB＝AC，M是BC的中點，∴AM⊥BC，即