課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十三)數(shù)列的求和(習(xí)題課)

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.己知a=(-1)",數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,則&與S。的值分別是.

解析：S)=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

So=W+&0=-1+1=0.

答案：一1,0

2.數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式是a,,=w個(gè)而彳，若前〃項(xiàng)和為10,則〃=一.

解析：?9，=赤了扁="—3，

Sn=劭+@2+…+/

=(-^2—1)+(力一/)+…+(yjn+1—yfn)

=>J/?+l—1,

令.〃+1—1=10,得〃=120.

答案：120

3.已知數(shù)列｛a｝,51=2,2a=0,b〃=log2a,則數(shù)列⑹的前10項(xiàng)和等于.

解析：在數(shù)列｛a.｝中，4=2,am—2a0=0,即色三=2,所以數(shù)列｛a｝是以2為首項(xiàng)，2

a?

為公比的等比數(shù)列.

所以d=2X2”T=2".

所以b?—1ogsS"—n.

則數(shù)列數(shù).｝的前10項(xiàng)和為1+2+…+10=55.

答案：55

4.在數(shù)列｛在中,已知S?—1—5+9—13+17—2H--F(—1)"1(4z?-3),則Ss+樂

->Si.

解析：???Ss=(-4)X7+(—1)“(4X15-3)=29.

Si2=(—4)Xll=-44.

a=(一4)X15+(-1)30(4X31—3)=61.

，,

..515+&-S<1=29-44-61=-76.

答案：-76

5.數(shù)列1,1+2,1+2+2，…，1+2+2?+…+2"-',…,的前99項(xiàng)和為.

1—9n

解析：由數(shù)列可知為=1+2+2?+…+2〃T==7=2〃-1,所以前99項(xiàng)的和為息=(2

1—乙

21—9"

-1)+(22-l)H----F(2"-l)=2+2?+…+2皿-99=―:~;--------99=2‘°°一101.

1—Z

答案：2,00-101

6.已知等比數(shù)列｛劣｝的公比qWl,且a=l,3a=2全+d,則數(shù)列1一'—1的前4項(xiàng)和為

I演d+11

解析：?.?等比數(shù)列｛a｝中，4=1,3桀=2/+功，.??3q'=2g+/.又,「oWl,:.q=2,/.

&=2匕.?.」-=仔門，即［9］是首項(xiàng)為公比為;的等比數(shù)列，

?,?數(shù)歹MET的前4項(xiàng)和為J1口1‘=蕊iZo?

1-y

4

.85

口木：128

7.等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S”若5=3,則搟=

>3136

解析：仔=3,故。W1,

U3

.小1一5x"-3=1+/=3,

''1一g

即q=2.

1—"1~Q

所以X

&1~Q511-Q

1-237

==m=亍

7

答案：

8.對(duì)于數(shù)列伯3定義數(shù)列｛品+LftJ為數(shù)列｛a.｝的“差數(shù)列”,若d=2,｛&｝的“差

數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2〃，則數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和S產(chǎn)

解析：?.?品+i—a=2",

/.an—(品-a〃-i)+(an-i-an-2)H-----F(念一囪)+4

=2/―…+2?+2+2

2—2”

=+2=2-2+2=2".

2-2,,+1

.??￡「三-

答案：2"+'-2

9.已知｛&｝是遞增的等差數(shù)列，團(tuán)=2,。=&+8.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

⑵若，〃=&,+2為，求數(shù)歹U｛4｝的前n項(xiàng)和S.

解：(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為"，心0.由題意得(2+42=2+3升8,解得d=2.

故&=國(guó)+(〃-1)?〃=2+(〃-1)，2=2〃.

(2)???乩=a+2&=2〃+2,%

Sn=b\-\-bl-\------Vbn

=(2+2?)+(4+2，)+???+(2〃+22〃)

=(2+4+…+2〃)+(22+2,+-+22n)

2+2/7?n4?1-4"

=2+

,Li

=〃(〃+1)+---?

J

10.在等差數(shù)列｛4｝中，主=4,37=8.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式區(qū);

⑵令b產(chǎn)券,求數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和T...

解：⑴因?yàn)檎剂?1,

所以為=&+(4一3)d=n+\.

.、Qnn+i

(2)h>=

Tn=b\+b2-\-----1-&,=2+|+^H------l--7=T.①

〃+l

②

由①一②得

T北=2+^+最+…4+1

=(1+段+…+止)+1〃+1

~27~

力+3〃+3

所以

=3一-FZ,=6-2”

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.己知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”a=l,5=2a+1,則S=_______.

解析：因?yàn)閍〃+i=S+i—S”所以由S=2a〃+i,得S=2(S+]—S),整理得3s=2S+1,

所以號(hào)=|,所以數(shù)列｛￡｝是以S=a=l為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，故S=(|)i.

答案:鈔T

121231234

…，那么數(shù)歹IJ｛4｝=七:一|前n

2.已知數(shù)列｛a｝：3-4-4-5-5-5-5-

I3/)an+11

項(xiàng)的和為.3-4-

n〃+1

1+2+3+…+〃2_n

解析:

n+1z?+l2'

1

+

一

〃

3.某廠去年的總產(chǎn)值是a億元，假設(shè)今后五年的年產(chǎn)值平均增長(zhǎng)率是10%,則從今年

起到第5年年末該廠的總產(chǎn)值是億元.

解析：由題意可知，今年年末的總產(chǎn)值為1.la,從今年起每年年末的總產(chǎn)值構(gòu)成一個(gè)

11O1—115

等比數(shù)列，首項(xiàng)為1.la,公比為1.1.所以其前5項(xiàng)和為￡=—=11X(1.I5

."1—1?.1；

—l)a億元.

答案：11X(1.15-1)5

4.設(shè)數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等

比數(shù)列，則ab\+abz-\---FaOio等于.

解析：由已知可得a=〃+1,

于是abn=bn+1,

因此—以+…+a6io=(Z?i+1)+(&+1)+,,,+(Aio+1)=Z?i+&+,,,+Z?io+lO=2o+

1-210

2'+-+29+10=---+10=1033.

1—L

答案：1033

5.求和：5,=1++1++----)-

解析：被求和式的第4項(xiàng)為:

a=1+/+（+???

所以S7=2

=2n—打產(chǎn)

1

/21/

-

2

答案：2〃+止一2

6.已知等比數(shù)列｛4｝及等差數(shù)列｛&｝,其中4=0,公差掙0.將這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)

相加，得一新數(shù)列1,1,2,…，則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)和為.

解析：設(shè)數(shù)列｛2｝的公比為g,則｛a〃｝的前三項(xiàng)分別為1,q,/,｛4｝的前三項(xiàng)分別為0,

q+d=\,[7=0,q=2,

4于是晨。解得」（舍去）或,=一］,于是新數(shù)列的前1。項(xiàng)和為

{+2d=2,<7=1

1—210

（團(tuán)+仇）+（全+幻+…+（&。+%）=（&+生+“-+&。）+"+慶+???+兒）==+10乂0

10X10—1

X（-1）=978.

2

答案:978

7.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，伍｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,

且4=打=1,&+/%=21,恁+63=13.

⑴求｛a｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列［目

的前〃項(xiàng)和的

解：（1）設(shè)｛&｝的公差為d,｛4｝的公比為0，則依題意有g(shù)>0且

l+2d+g'=21,[d=2,

l+4d+/=13,解得[=2.

所以4=1+（/?—1）d=2n—l,bn=qT'=2"''

2〃一1

五=

c.3.5,.2〃一3.2刀一1

S=l+/+了H12=+-2='①

八八..5..2/7—3?2/j—l/

2s=2+3+,+…+-2"-3-I-2n-2?②

②一①,得S=2+2+|+多+…+島一^^

=2+2X(1+；+/+???2/7