專題09立體幾何

題型01幾何體表面積和體積

1.（2024下?廣東湛江?高三一模）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對(duì)世界文明的偉

大貢獻(xiàn).下圖是明清時(shí)期的一件圓臺(tái)形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm,下底直徑為18cm,

高為24cm,則其容積約為（）

A.14487rcm3B.166871cm34C.2168?rcm3D.32527rcm3

2.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在各棱長都為2的正四棱錐中，側(cè)棱以

在平面EBC上的射影長度為（）

3.（2024下?廣東?省一模）分別以銳角三角形45C的邊N3,BC,/C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到

的幾何體體積之比為C：指：2,貝ijcos8=（）

5A/3D5V2

A.b.----c3V1V6

IT12'丁~12

4.（2024下?廣東廣州市一模）已知正四棱臺(tái)4BCQ-48CQ1的上、下底面邊長分別為1和2,且

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BBXLDDX,則該棱臺(tái)的體積為（）

A哼B咚"

5.（2024下?廣東?梅州市一模）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面圓心，母線眼與SB互相垂直,

△S45的面積為8,皮與圓錐底面所成的角為30°，則（）

A.圓錐的高為1B.圓錐的體積為24兀

C.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為迪E

3

D.二面角S—48-。的大小為45°

6.（2024下?廣東?珠海模擬）（多選）對(duì)于棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略

不計(jì)），下列說法正確的是（）

A.底面半徑為1m,高為2m的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體

B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為注

2

C.該正方體內(nèi)能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為0.5m,高為0.7m的圓錐

D.該正方體內(nèi)能整體放入一個(gè)體積為典n?的圓錐

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7.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)正四棱臺(tái)48CD-44G〃，已知正四棱臺(tái)

的上、下底面的邊長分別為2和6,體積為竺生旦，則側(cè)面積為

3

8.（2024下?廣東?江門一模）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)相

同的四面體得到的（如圖），則該幾何體共有個(gè)面；若被截正方體的棱長是60cm,那

么該幾何體的表面積是cm2.

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題型02球外接球和內(nèi)切球

1.（2024下?廣東?深圳市一模）己知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為大々，且弓=2。，若半徑為

2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）

287r40兀56兀112兀

A------B.------C.——D.--------

,3333

2.（2024下?廣東湛江?高三一模）（多選）在直三棱柱48C-44cl中，ABIBC,AB=2BBX=4,

BC=3,分別為Bq和CG的中點(diǎn)，尸為棱用C上的一點(diǎn)，且則下列選項(xiàng)中正

確的有（）

A,三棱柱45C-存在內(nèi)切球

B.直線跖V被三棱柱48C-4月G的外接球截得的線段長為加

C.點(diǎn)尸在棱片G上的位置唯一確定

D.四面體ZCW的外接球的表面積為26兀

3.（2024下?廣東珠海?模擬）（多選）如圖，已知正三棱臺(tái)ABC-4/1的的上、下底面邊長分別為2

和6,側(cè)棱長為4,點(diǎn)P在側(cè)面BCCiBi內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面BCCiBi所成角的正切值為

2近，點(diǎn)Q為CCi上一點(diǎn)，且&=3朝，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.正三棱臺(tái)/BC—4i/Ci的高為芋

B.點(diǎn)P的軌跡長度為舊兀

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C.高為包，底面圓的半徑為它的圓柱可以放在棱臺(tái)內(nèi)

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D.過點(diǎn)4B,Q的平面截該棱臺(tái)內(nèi)最大的球所得的截面面積為多

4.（2024下?廣東?深圳市一模）（多選）如圖，八面體。的每一個(gè)面都是邊長為4的正三角形，

且頂點(diǎn)5,C,D,E在同一個(gè)平面內(nèi).若點(diǎn)〃在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，N為NE的中

F

A.當(dāng)M為DE的中點(diǎn)時(shí)，異面直線上W與C9所成角為§

B.當(dāng)上W〃平面/CD時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為2J5

C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)〃■到5C的距離可能為百

D.存在一個(gè)體積為竺的圓柱體可整體放入。內(nèi)

3

5.（2024下?廣東?番禺）三棱錐A-BCD中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60°?BC=BD=2,點(diǎn)、E

為CA中點(diǎn)，AZBE的面積為2&，則與平面〃所成角的正弦值為，此三棱錐外接

球的體積為.

6.（2024下?廣東?茂名市一模）如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化

而努力奮斗的真實(shí)寫照.被托舉的四個(gè)球堆砌兩層放在平臺(tái)上，下層3個(gè)，上層1個(gè)，兩兩相切.若球

的半徑都為。，則上層的最高點(diǎn)離平臺(tái)的距離為.

題型03點(diǎn)、線、面位置關(guān)系

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1.（2024下?廣東?番禺）已知直線///平面a,平面夕，平面a,則以下關(guān)于直線/與平面6的位

置關(guān)系的表述（）

A./與月不平行B./與月不相交

C./不在平面4上D./在月上，與月平行，與尸相交都有可能

2.（2024下?廣東深圳?聯(lián)考）設(shè)“力為兩條不同的直線，d"為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是

（）

A.若a//a,6//a,貝！|。//6B.若與々所成的角相等，則。//6

C.若a_L/7,a//〃用，則2_1_否D.若a_L_L_1_6，則々,石

3.（2024下廣東廣州?模擬）設(shè)私〃，/是三條不同的直線，名?是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正

確的是（）

A.若ILm,l1n,mu0,nu。,貝|/_L￡B.若機(jī)〃/%〃〃，貝

C,若m〃n,n1（3,mucc,則《;_1_尸D.若機(jī)〃〃民機(jī)ua,"ua,則a〃￡

4.（2024下?廣東惠州?模擬）已知/,根是兩條不同的直線，a為平面，機(jī)ua,下列說法中正確的

是（）

A.若/與a不平行，貝心與根一定是異面直線

B.若/〃a,貝！1/與"z可能垂直

C.若/rie=/,且/危加，貝U/與加可能平行

D.若/r）a=N,且/與1不垂直，則/與加一定不垂直

5.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）（多選）已知加，〃是不同的直線，生尸是不重合的平面，則下

列命題為真命題的是（）

A,若加//?,?<=?,則加//n

B.若加民加//〃，則a//6

C.若a//夕,加ua,則加//6

D.若a11/3,mua,nu/3,則加//〃

6.（2024下?廣東?梅州市一模）（多選）已知直線加，〃和平面a,（3,且〃ua,則下列條件

中，。是的充分不必要條件的是（）

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Ap\m//a,q\m//nB.p:mLa,q:mLn

C.p,.a//（3,q\n//（3D.p:n,L/3,q\aL/3

題型04空間直線、平面的平行

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）（多選）如圖，在長方體488—4B1GA中，45=80=2,"4=4,

E是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)/在棱°烏上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若4，C,E,E四點(diǎn)共面，則8E=￡>E

B.存在點(diǎn)E,使得//平面&CE

C.若4，C,E,廠四點(diǎn)共面，則四棱錐G-&ECR的體積為定值

D.若E為8耳的中點(diǎn)，則三棱錐￡-4。。的外接球的表面積是32兀

2.（2024下?廣東?省一模）（多選）己知正方體48CD-44GR的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3兀的

球面上，點(diǎn)尸為該球面上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.有無數(shù)個(gè)點(diǎn)尸，使得4P//平面AD。

B.有無數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得4Pl平面AD。

C.若點(diǎn)Pe平面BCG四，則四棱錐P-45CD的體積的最大值為立衛(wèi)

6

D.若點(diǎn)尸e平面BCC.B,,則AP+尸。的最大值為76

3.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）如圖，在四棱錐P一/BCD中，底面ABCD為矩形，4,平面ABCD,

E,尸分別為棱Z。，的中點(diǎn)，PA=AD=2AB.

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p

(1)證明：EF//平面PAB.

（2）求平面BEE與平面CE戶所成角的余弦值.

3.（2024下?廣東?江門一模）如圖，四邊形45CD是圓柱底面的內(nèi)接矩形,尸/是圓柱的母線.

（1）證明：在側(cè)棱尸。上存在點(diǎn)E,使必〃平面NEC；

（2）在（1）的條件下，設(shè)二面角?！猌E—C為60°,AP=1,AD=43,求三棱錐的

體積.

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題型05空間直線、平面的垂直

1.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）如圖，在三棱柱48C-44G中，側(cè)面ZCG4是菱形，且與

平面Z/C垂直，BC1AC,AAX=AtC=4,BC=2.

（1）證明：工平面ZCC/1；

（2）棱CG上是否存在一點(diǎn)。，使得直線4。與平面4s44所成角為30。？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)。

的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2024下?廣東?省一模）如圖，已知圓柱的軸截面/BCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)尸是

圓0上異于點(diǎn)C,。的任意一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)。到平面/CP的距離為證明：0^1CD.

3

（2）求0c與平面ZCT所成角的正弦值的取值范圍.

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3.（2024下?廣東?深圳市一模）如圖，在四棱錐P-/BCD中，四邊形/BCD是菱形，平面

48C。1平面P/。，點(diǎn)M在。尸上，且。M=2〃P,/r>=4P,NR4r>=120。.

MP

（1）求證：平面/CM；

（2）若N4DC=60°,求平面/CM與平面45P夾角的余弦值.

4.（2024下?廣東?梅州市一模）已知三棱柱48。-44G中，AB=AC=2,ABAC=120°,

且BC=2B3],ZCBB{=60°,側(cè)面BCC內(nèi)，底面NBC,。是5C的中點(diǎn).

B

（1）求證：平面C/。，平面B/D；

（2）在棱Z4上是否存在點(diǎn)。，使得8。與平面ZCC/1的所成角為60°.如果存在，請(qǐng)求出費(fèi);

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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5.(2024下,廣東?廣州市二中模擬)已知在多面體PQ48CD中，平面PADQ1平面ABCD,四邊形A8CD

為梯形，且2D〃BC,四邊形P4DQ為矩形，其中M和N分別為力。和4P的中點(diǎn)，AB=6BC=

5,4D=DC=2.

(1)證明：平面BMN1平面QDC；

⑵若二面角N—BM—C的余弦值為—個(gè)，求直線BQ與平面BMN所成角的正弦值.

6.(2024下?廣東?廣州市一模)如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面Z5CO是邊長為2的菱形，ADCP

jr

是等邊三角形，/￡>C8=/PC8=—，點(diǎn)分別為。尸和N8的中點(diǎn)

4

(1)求證：上W〃平面必C；

(2)求證：平面PBC_L平面45c。；

(3)求CW與平面尸/。所成角的正弦值.

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題型06空間角、空間距離

1.（2024下?廣東?廣州市二中模擬）如圖，在四棱柱4BCD-&81的。1中，底面ABCD為正方形,

48=4,AiB=BJ,BB-BDi，且二面角當(dāng)一-的的正切值為魚.若點(diǎn)P在底面ABCD上

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在四棱柱力BCD—4/1的。1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，DiQ=f,則P/+PQ的最小值為

2.（2024下?廣東?梅州市一模）如圖，在正方體488—44。〃中，E是棱CG的中點(diǎn)，記

平面與平面/BCD的交線為平面NQE與平面48及4的交線為心若直線48分別與

4、12所成的角為a、尸，則tana=,tan（tz+0）=.

3.（2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模）如圖，一塊面積為定值的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這

些陰影部分裁下來，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，當(dāng)容器的容

積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.

4.（2024下?廣東?茂名市一模）（多選）在棱長為2的正方體4BCD—44G。中，E,E分

別為棱,5C的中點(diǎn)，則（）

A.直線E尸與3G所成的角為60。

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B.過空間中一點(diǎn)有且僅有兩條直線與4名,42所成的角都是60。

C.過4，E,尸三點(diǎn)的平面截該正方體，所得截面圖形的周長為3亞+2途

D.過直線￡尸的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形

5.（2024下?廣東湛江?高三一模）如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面/BCD為菱形，APAD是

邊長為2的等邊三角形，PC=PB=2y[2-

（1）證明：平面尸4D_L平面48cD；

（2）若點(diǎn)￡為棱PC的中點(diǎn)，求平面ZE5與平面CE8夾角的余弦值.

6.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐S0中，若軸截面”8是正三角形，c為

底面圓周上一點(diǎn)，下為線段04上一點(diǎn)，。（不與S重合）為母線上一點(diǎn)，過。作DE垂直底面于E,

連接OE,EF,DF,CF,CD且ZCOF=NEFO.

（1）求證：平面SC。//平面QEE；

（2）若△￡/%）為正三角形，且尸為4。的中點(diǎn)，求平面CD歹與平面。所夾角的余弦值.

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7.(2024下?廣東■番禺)在三棱錐S-NBC中，是邊長為4的正三角形，平面S/C，平面

ABC,SA=SC=273，分別為48,S3的中點(diǎn).

(1)證明：AC1SB；

(2)求二面角N-CM-8的正