第第頁13.2.3直線與平面的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能從直線與平面平行的定義出發(fā)，借助長方體等，猜想直線與平面平行的充分條件，并通過具體實例進行驗證，歸納出直線與平面平行的判定定理；會用定義和判定定理判定直線與平面平行．（2）能用自己的語言解釋直線與平面平行的性質(zhì)定理；能用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決問題．（3）能夠通過觀察實物、模型、圖片等抽象出幾何的研究對象，說出直線與平面垂直的定義，發(fā)現(xiàn)其判定定理并做出解釋．（4）能利用直線和平面所成角的定義，確定直線與平面所成角的范圍，能在圖形中畫出并求出直線和平面所成的角．（1）掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題.（2）掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行．（3）了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成的角的概念.（4）掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.（5）掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會用定理證明相關(guān)問題．知識點01直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點【即學(xué)即練1】（2024·高二·上海青浦·期末）若一直線上有兩點到一個平面的距離都等于1，則該直線與這個平面的位置關(guān)系是（

）．A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交或平行C．直線與平面相交 D．直線平行平面【答案】B【解析】結(jié)合題意：要使一條直線的兩點到一個平面的距離為1，則由線面位置關(guān)系可得：當(dāng)時，可滿足題意；當(dāng)與相交時，在面的異側(cè)各有一個點可滿足題意；當(dāng)時，無法滿足題意.故直線與平面相交或平行.故選：B.知識點02直線和平面平行的判定文字語言：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．簡記為：線線平行，則線面平行．圖形語言：符號語言：、，．知識點詮釋：（1）用該定理判斷直線a與平面平行時，必須具備三個條件：①直線a在平面外，即；②直線b在平面內(nèi)，即；③直線a，b平行，即a∥b．這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立．【即學(xué)即練2】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（

）①若，且，則；②若相交且都在平面外，，則；③若，則；④若，且，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】對于①，若，且，則或相交，故①錯誤；對于③和④，與也可能相交，均錯誤；對于②，設(shè)相交確定平面，根據(jù)線面平行的判定定理知，根據(jù)平行平面的傳遞性得知．故選：A．知識點03直線和平面平行的性質(zhì)文字語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．簡記為：線面平行則線線平行．符號語言：若，，，則．圖形語言：知識點詮釋：直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行，則線線平行”．可以用符號表示：若a∥，，，則a∥b．這個性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理，用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：（1）直線a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直線a在平面內(nèi)，即．三個條件缺一不可，在應(yīng)用這個定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)一切直線”的錯誤．【即學(xué)即練3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側(cè)棱均相等，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.【解析】因為平面，平面，且平面平面，所以，同理可證，因此.知識點04直線與直線垂直的定義兩條直線垂直的定義：如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．知識點詮釋：空間中兩直線垂直可能是相交垂直，也可能是異面垂直，即兩條直線互相垂直時可能沒有垂足．【即學(xué)即練4】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖；在直三棱柱中，，，．求證；

【解析】證明：在中，因為，可得，所以為直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以．知識點05直線與平面垂直的定義與判定1、直線和平面垂直的定義如果直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作．直線叫平面的垂線；平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點叫垂足．垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段．垂線段的長度叫做這個點到平面的距離．知識點詮釋：（1）定義中的“任何直線”與“所有直線”是同義語，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直．（2）直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式．（3）如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直，簡述之，即“線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時經(jīng)常使用的一種重要方法．畫直線和平面垂直時，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示．符號語言描述：．（4）在平面幾何中，我們有命題：經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，在本節(jié)中，也有類似的命題．命題1：過一點有且只有一條直線和已知平面垂直．命題2：過一點有且只有一個平面和已知直線垂直．2、直線和平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．圖形語言：符號語言：特征：線線垂直線面垂直知識點詮釋：（1）判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視．（2）要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則無關(guān)緊要．相關(guān)的重要結(jié)論①過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條．②如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直，那么另一條也與這個平面垂直．③如果兩個平行平面中的一個與一條直線垂直，那么另一個也與這條直線垂直．【即學(xué)即練5】47．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點.證明：平面.【解析】因為四邊形是菱形，所以.因為，，平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為，所以，即.因為，平面，且，所以平面.知識點06直線與平面所成的角（1）如圖，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是直角；一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行，稱它們所成的角是的角，于是，直線與平面所成的角的范圍是．【即學(xué)即練6】52．（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是與的交點，，平面是的中點．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．【解析】（1）連接，在平行四邊形中，為與的交點，為的中點，又為的中點，，又平面平面平面；（2）取的中點，連接，為的中點，，且，由平面，得平面，是直線與平面所成的角，，在中，，，從而，在中，，直線與平面所成角的正切值為．知識點07直線與平面垂直的性質(zhì)1、基本性質(zhì)文字語言：一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線．符號語言：圖形語言：2、性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．符號語言：圖形語言：【即學(xué)即練7】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2．，分別為與上的點，且，．求證：；【解析】證明：如圖，連接，．∵平面，平面，∴．∵四邊形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．知識點08距離（1）直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離．（2）平面與平面的距離：兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離．【即學(xué)即練8】（2024·高二·上海楊浦·期中）如圖,為菱形外一點,平面,,為棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,求到平面的距離.【解析】（1）連接,如圖:因為,四邊形為菱形,所以,又為棱的中點,所以,因為,所以,因為平面,平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）因為平面,平面,所以平面,則到平面的距離即為點到平面的距離,設(shè)點到平面的距離為,因為,,平面,,四邊形為菱形,所以,解得,即到平面的距離為.題型一：直線與平面的位置關(guān)系【典例1-1】（2024·高三·寧夏·期中）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關(guān)系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能【答案】D【解析】在長方體中，平面視為平面，直線為直線a，點E，F(xiàn)分別為棱的中點，如圖，顯然有平面，當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時；因，平面，平面，則，當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時；當(dāng)直線b為直線時，直線是異面直線，此時與相交，所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi).故選：D.【典例1-2】（2024·高二·遼寧·階段練習(xí)）已知平面平面，直線，直線，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．平行或異面 C．異面 D．異面或相交【答案】B【解析】因為平面平面，直線，直線，所以與沒有交點，即與可能平行，也可能異面．故選：B.【變式1-1】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）若直線a不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（

）．A．內(nèi)的所有直線與a是異面直線 B．內(nèi)不存在與a平行的直線C．內(nèi)存在唯一一條直線與a平行 D．內(nèi)的所有直線與a都相交【答案】B【解析】設(shè)，A選項，內(nèi)過點的直線與共面，所以A選項錯誤.D選項，內(nèi)，不過點的直線與異面，所以D選項錯誤.BC，若存在，則由于，所以，這與已知矛盾，所以B選項正確，C選項錯誤.故選：B【變式1-2】（2024·高一·陜西西安·期中）如圖，，，，且a，b為異面直線，則以下結(jié)論中正確的是（

）

A．a(chǎn)，b中至多有一條與平行 B．a(chǎn)，b都與平行C．a(chǎn)，b都與相交 D．a(chǎn)，b中至多有一條與相交【答案】A【解析】對于A、B，若直線，都平行于直線，那么直線，平行，與題意，為異面直線矛盾，故，中至多有一條與平行，故A正確；B錯誤.對于C，若，b與l相交，也滿足a，b為異面直線，故C錯誤；對于D，若a，b均與l相交，但交點不同，也滿足a，b為異面直線，故D錯誤.故選：A.【變式1-3】（2024·高一·山東聊城·期末）若直線在平面外，則（

）A．平面內(nèi)存在唯一的直線與平行 B．平面內(nèi)存在唯一的直線與垂直C．平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與異面 D．平面內(nèi)的所有直線與都不相交【答案】C【解析】因為直線在平面外，所以直線與平面相交或平行，當(dāng)時，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平行，故A錯誤；當(dāng)時，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與垂直，故B錯誤；無論直線與平面相交或平行，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與異面，故C正確；當(dāng)直線與平面相交時，平面內(nèi)有無數(shù)條直線與相交，故D錯誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】（直線與平面位置關(guān)系的解題思路）解決此類問題首先要搞清楚直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用其定義作出判斷，要有畫圖意識，并借助空間想象能力進行細(xì)致的分析．題型二：直線與平面平行的判斷定理的理解【典例2-1】（2024·高三·江蘇南京·階段練習(xí)）在空間中，直線平面的一個充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．任意一條與垂直的直線都垂直于 D．存在一個與平行的平面經(jīng)過【答案】D【解析】對于A，B，C，直線都可能在內(nèi)，故選:D．【典例2-2】（2024·高一·上海嘉定·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若兩直線、互相平行，則平行于經(jīng)過的任何平面B．若直線與平面平行，則平行于內(nèi)的任何直線C．若兩直線、都與平面平行，則D．若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則或者與為異面直線【答案】D【解析】對于A選項，記經(jīng)過直線的平面為，若兩直線、互相平行，則或，A錯；對于B選項，若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面，B錯；對于C選項，若兩直線、都與平面平行，則、平行、相交或異面，C錯；對于D選項，若直線平行于平面，直線在平面內(nèi)，則或者與為異面直線，D對.故選：D.【變式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】對于A，如圖，連接，則，因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，所以，因為平面，平面，所以平面；對于B，如圖連接，因為，分別為，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面；對于C，如圖，連接，則，因為，分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，所以，因為平面，平面，所以平面，對于D，如圖取底面中心，連接，由于為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得，因為與平面相交，所以與平面相交，故選：D．【變式2-2】（2024·高一·陜西西安·期中）若，表示直線，表示平面，則以下命題中真命題是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則或與異面【答案】D【解析】對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，，則或與相交或與異面，故B錯誤；對于C：若，，則或，故C錯誤；對于D：若，，則或與異面，故D正確.故選：D【方法技巧與總結(jié)】（判定定理理解的注意事項）（1）明確判定定理的關(guān)鍵條件．（2）充分考慮各種可能的情況．（3）特殊的情況注意舉反例來說明．題型三：直線與平面平行的判定【典例3-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；【解析】連接交于，連接，因為四邊形是正方形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；【典例3-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．求證：∥平面.【解析】由題意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．【變式3-1】（2024·高一·江西宜春·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為上的點，且，為中點．

(1)證明：平面.(2)在上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．【解析】（1）連交于，因為為中點，所以是中位線，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．（2）上存在點，且，使得平面，證明：上取點，且，因為為上的點，且，所以在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．【變式3-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

【解析】因為直四棱柱中，又，且平面，平面，平面，平面而，平面,平面平面，又平面平面【變式3-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

【解析】證明：如圖所示：取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以且，因為為的中點，所以且，因為、分別為、的中點，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面．【方法技巧與總結(jié)】：（判定定理應(yīng)用的注意事項）（1）欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決．（2）判斷定理中有三個條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求．常常利用平行四邊形、三角形中位線、等比例線段、相似三角形．題型四：補全直線與平面平行的條件【典例4-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.點在線段上，且平面，試確定點的位置.【解析】點為線段上靠近點的三等分點，證明如下：在取點，連接，，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點為線段上靠近點的三等分點.【典例4-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中點，E是AB上一點，且．將沿著DE折起，形成四棱錐，其中A點對應(yīng)的點為P．在線段PB上是否存在一點F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并證明；若不存在，說明理由.【解析】當(dāng)時，平面PDE，證明如下：過點C作，交的延長線于，在PE上取一點M，使得，連接HM，F(xiàn)M，因為，，所以且，因為D是AC的中點，且，所以且，所以且，所以四邊形CFMH是平行四邊形，即，又因為平面PDE，平面PDE，所以平面.【變式4-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，正四棱錐的側(cè)棱長和底面邊長均為13，M為側(cè)棱PA上的點，且．在線段BD上是否存在一點N，使直線平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由.【解析】存在，；理由如下：假設(shè)存在，連接并延長，交于E，連接．因為平面，平面平面，平面，所以，則，因為正方形中，，所以，假設(shè)成立.則此時..【變式4-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知直角梯形中，，，，，，為的中點，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一點，使得平面？【解析】當(dāng)點為的中點時，平面，證明如下：由已知，所以四邊形為矩形，所以，，已知，點為的中點，則，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以在上存在一點，使得平面.’【變式4-3】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點．在棱上是否存在一點，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

【解析】存在，且，理由如下：連接，，連接，因為是矩形，且為的中點，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以．【方法技巧與總結(jié)】：（判斷或證明線面平行的常用方法）（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α），其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言的敘述.題型五：直線與平面平行的性質(zhì)【典例5-1】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.【解析】∵四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.【典例5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：．【解析】（1）連接交于，連接，因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，又因為為中點，所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面平面，平面，所以.【變式5-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．求證：.【解析】證明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.【方法技巧與總結(jié)】（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項）（1）欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決，常與判定定理結(jié)合使用．（2）性質(zhì)定理中有三個條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求．常利用中位線性質(zhì)．題型六：由線面平行的性質(zhì)判斷比例關(guān)系或點的位置關(guān)系【典例6-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設(shè)．當(dāng)平面時，求實數(shù)的值.【解析】如圖，連接，交于點，連接，為的中點，且平面平面，平面，平面，，為的中點，即實數(shù)的值為．【典例6-2】（2024·高二·山西朔州·期中）如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若四邊形EFGH為平行四邊形.(1)求證：平面；(2)若，，求四邊形周長的取值范圍.【解析】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴；∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴；又∵平面，平面，平面；（2）設(shè)，，由（1）可知，同理有，∴，，∴，又∵，，∴，∴，且；∴四邊形的周長為，∴；∴四邊形周長的取值范圍是.【變式6-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．【解析】因為∥，平面，平面，所以∥平面.因為平面，平面平面，所以∥，又因為點是的中點，所以點是的中點.【變式6-2】（2024·高一·陜西渭南·期中）如圖所示正四棱錐，，，P為側(cè)棱SD上一動點.

(1)若直線面ACP，求證：P為棱SD的中點；(2)若，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，試說明理由.【解析】（1）連接與交于點，則為的中點，因為直線面ACP，平面，平面平面，所以，又為的中點，所以P為棱SD的中點.（2）在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足．理由如下：取中點，連接，因為，則，又為的中點，在中，有，又平面，平面，平面，過作，交于，連接，又平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面，平面，由，則，由，為的中點，則，所以，所以側(cè)棱上存在一點，當(dāng)滿足時，平面.題型七：由線面平行的性質(zhì)求長度問題【典例7-1】（2024·高一·吉林通化·階段練習(xí)）如圖所示，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形．

(1)求證：平面(2)若且，為其所在棱的中點，求四邊形面積.【解析】（1）證明：因為截面是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，，因為平面，且平面平面，所以，又因為平面，EH在面EFGH內(nèi)，所以平面.（2）因為分別為的中點，且，可得且，且，因為，可得，所以四邊形為矩形，所以四邊形的面積為.【典例7-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱上的動點，點P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

【解析】因為長方體的底面ABCD是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，所以，，如圖所示，連接與交于點，連接，在棱上取，連接，，則，且，因為平面PBD，且平面，平面平面，所以，所以，又因為，所以四邊形QEFC是平行四邊形，所以，在直角中，，，所以，所以.【變式7-1】（2024·高一·全國·課時練習(xí)）在空間四邊形中，，與直線都平行的平面分別交于點E，F(xiàn)，G，H．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求四邊形的周長．【解析】（1）證明：因為直線平面平面，平面平面，所以．同理得，所以．同理得，所以四邊形是平行四邊形，（2）由（1）可知，兩式相加得，所以四邊形的周長為．【變式7-2】（2024·高二·全國·課時練習(xí)）如圖所示，直線平面，點A在另一側(cè)，點B，C，，線段AB，AC，AD分別交于點E，F(xiàn)，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的長．【解析】因為，所以點與直線a可以確定一個平面，即平面．因為，且平面，平面，所以，即，所以．于是．【變式7-3】（2024·高一·福建龍巖·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，E是線段PD上的點，且，PA=PD=AD=3，，，∠ADC=45°．(1)求證：平面PAB；(2)若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點N，使平面PAB？若存在，求出MN的最小值；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：如圖1，在PA上取點F使，連接EF，BF．∵，∴且，又，且，∴，EF=AD，∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴，而平面PAB，平面PAB，則平面PAB．（2）線段AD上存在點N且，使得平面PAB．理由如下：如圖2，在AD上取點N使，連接CN，EN．∵，，∴．∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB．由（1）知平面PAB，又，∴平面平面PAB，又M是CE上的動點，平面CEN，∴平面PAB，∴線段AD上存在點N，使得平面PAB．∵，BC=AN，∴ND=2．在中，∠ADC=45°，，由余弦定理知CN=2．在中，CN=NE=2，，∴由余弦定理知∠CNE=120°，∴MN的最小值為，∴線段AD上存在點N，使平面PAB，且MN的最小值為1．題型八：證明兩直線垂直【典例8-1】（2024·高一·陜西渭南·期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；(2)．【解析】（1）四棱錐的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分別是，的中點，，平面，又平面，.【典例8-2】（2024·高一·陜西延安·期末）在正方體中，E為棱的中點，底面對角線AC與BD相交于點O.求證：

(1)平面；(2).【解析】（1）如圖，連結(jié)，在正方體中，因為，為棱的中點，所以為的中位線，所以，又因為平面，不在平面內(nèi)，所以平面.（2）在正方體中，由面，面，所以，又，面，面，，所以面，又由面，所以.【方法技巧與總結(jié)】（證明兩直線垂直的常用方法）（1）利用平面幾何的結(jié)論，如矩形，等腰三角形的三線合一，勾股定理；（2）定義法：即證明兩條直線夾角是；（3）利用一些事實：兩條平行直線，若其中一條直線垂直另一條直線，則其平行線也垂直此直線．題型九：線面垂直的概念與定理的理解【典例9-1】（2024·高二·上?！て谀┫铝嘘P(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（

）.A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直【答案】C【解析】直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直才可得直線與平面垂直，A、B不符，D中的無數(shù)條直線可能為無數(shù)條平行直線，不符，故A、B、D錯誤，C正確.故選：C.【典例9-2】（2024·高二·北京·學(xué)業(yè)考試）已知直線，和平面，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．是平面的斜線【答案】C【解析】因為，，所以，故選：C【變式9-1】（2024·高一·河南南陽·期末）已知a，b為兩條不同的直線，α為平面，則下列命題正確的是（

）A．若a⊥α，a⊥b，則b//α B．若a//α，a⊥b，則b⊥αC．若a//α，b//α，則a//b D．若a⊥α，a//b，則b⊥α【答案】D【解析】對于A，若a⊥α，a⊥b，則b//α或b?α，故A錯誤；對于B，若a//α，a⊥b，則b//α或b?α，或b與α相交，故B錯誤；對于C，若a//α，b//α，則a與b相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若a⊥α，a//b，則由直線與平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正確．故選：D．【變式9-2】（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，已知正方體，，分別是，的中點，則（

）

A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線垂直，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】C【解析】如圖，連接，則與互相平分，即是的中點，又由是的中點，則，而平面，平面，故平面，四邊形是正方形，則，又由，則平面，所以.故選：C.【變式9-3】（2024·高三·河南鄭州·期末）已知在正方體中，，交于點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】連接，作出圖形如圖所示，因為且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理可證，即可證明平面，又，平面，所以平面平面，故平面，故C正確；對于A，因為，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故A錯誤；對于B，同理可證平面，而與不平行，所以不垂直于平面，故B錯誤；對于D，易知，而，，共面且與不平行，所以不垂直于，故D錯誤．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】（判定定理理解的注意事項）線面垂直的判定定理中，直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，“相交”兩字必不可少，否則，就是換成無數(shù)條直線，這條直線也不一定與平面垂直．題型十：直線與平面垂直的判定【典例10-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．(1)求證：平面；(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，且，∴四邊形是菱形，且，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．與相交，平面，平面．（2）當(dāng)F為的中點時，平面．理由如下：取F為的中點，G為的中點，連接，則，且．∵底面為菱形，且E為的中點，，且．，且．∴四邊形是平行四邊形，．平面平面平面．【典例10-2】（2024·高二·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，為⊙O的直徑，垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，⊥，N為垂足.求證：⊥平面；【解析】∵為⊙O的直徑，∴⊥.又⊥平面，平面，∴⊥.又∵，平面，∴⊥平面.又平面，∴⊥.又⊥，且，平面，∴⊥平面.【變式10-1】（2024·高二·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，是的中點，且.

(1)求證：平面；(2)若，求證：平面.【解析】（1）因為，是的中點，所以.在中，，由已知，所以，所以.又平面，所以平面.（2）因為，是的中點，所以.由(1)知.又因為平面，所以平面.【方法技巧與總結(jié)】（應(yīng)用判定定理的注意事項）利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個平面內(nèi)找到兩條相交直線，證明它們都和這條直線垂直．題型十一：直線與平面所成角【典例11-1】（2024·高一·黑龍江雙鴨山·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，交于點，，為中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角．【解析】（1）在正方形中，，因為，所以，又因為側(cè)面是正方形，所以，因為平面，所以平面，而平面，則，而，∴，而，又平面，∴平面（2）連接，如圖所示：∵為正方形，，∴，而平面，∴平面，∴為直線與平面所成的角，∵，∴，所以直線與平面所成的角為.【典例11-2】（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．設(shè)中點為，中點為．(1)求證：平面；(2)若，求直線與面所成的角的正弦值．【解析】（1）證明：取中點，連接，，則，且，又因為且為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）過點做垂直于，交于點，連接，因為底面，且底面，所以，又因為，且，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，令，則，，在直角中，，在中，可得，所以，在直角中，可得,所以在直角中，可得，直線與面所成的角的正弦值為.【變式11-1】（2024·高二·上?！て谀┤鐖D，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【解析】（1）因為為正方形，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，因為三角形是等邊三角形，則平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點，連接，平面，平面，則與平面所成的角為，設(shè)，則，則.【變式11-2】（2024·高二·上海黃浦·期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面ABCD，為的中點．(1)設(shè)平面與直線相交于點，求證：為的中點；(2)若，，直線與平面所成角的大小為，求PD的長．【解析】（1）過作交于，連接,由于,所以,因此平面即為平面，由于為的中點，所以為中點，（2）由于四邊形為菱形，且，，所以,取中點，連接,由于平面，平面，所以,又平面,所以平面,故即為直線與平面所成角，故，故，因此【方法技巧與總結(jié)】（求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟）（1）確定斜線與平面的交點（斜足）；（2）通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；（3）求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．題型十二：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例12-1】如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點，求證：∥平面BCE.【解析】因為平面ACD，平面ACD，則∥，取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且，由題意可得：∥，且，則∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.【典例12-2】（2024·高二·北京·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.【解析】（1）因為平面，平面，所以，又平面為菱形，所以，又平面，所以平面；（2）E為PD的中點，設(shè)AC與BD交于點O，連接OE，則，又平面，平面，所以平面.【方法技巧與總結(jié)】（證明兩條直線平行的常見方法）（1）公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；（2）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．題型十三：空間中的距離問題【典例13-1】（2024·高二·上?！て谀┤鐖D所示，正四面體的棱長為1，則點到平面的距離為.【答案】【解析】設(shè)是底面的中心，則平面，又因為平面，所以，正四面體的棱長為1，則，,故答案為：.【典例13-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，求：(1)異面直線與所成角的大小的正切值；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）連接，易知BC⊥，∵∥，∴即為異面直線與所成角，∵，則，故．（2）連接交于O，則，∵AB⊥平面，平面，∴，又∵，平面，∴面，∴線段OC為所求距離，∴點到平面的距離為．【變式13-1】（2024·高一·全國·課時練習(xí)）設(shè)正方體的棱長是2，求棱和平面的距離．【解析】連接BD、AC，為正方體，四邊形ABCD為正方形，，，，平面，到平面的距離為，平面，到平面的距離即A到平面的距離，棱和平面的距離為.【變式13-2】（2024·高二·上?！て谀┤鐖D，已知長方體中，棱，，為中點，則點到平面的距離是.【答案】/【解析】設(shè)點到平面的距離為，因為，，為中點，所以，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，所以，解得，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（空間中距離的轉(zhuǎn)化）（1）利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離．（2）利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點（等分點），轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．（3）通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴展（分割），以方便求底面積和高．一、單選題1．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（

）A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線B．若，則l與m可能垂直C．若，且，則l與m可能平行D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直【答案】B【解析】對于選項A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；對于選項B：若，則l與m可能垂直，如圖所示：，可知：，故B正確；對于選項C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；對于選項D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取為平面，，符合題意，但，故D錯誤；故選：B.2．（2024·浙江·一模）已知直線和平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，則存在使得且，若且，則，又且，所以，充分性成立；設(shè)，，則有，但不平行，即必要性不成立.故選：A.3．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知是異面直線，是空間任意一點，存在過的平面（

）A．與都相交 B．與都平行C．與都垂直 D．與平行，與垂直【答案】A【解析】A選項，不論在何處，過點的平面，通過繞點適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，總存在平面，使得其與都相交，A正確；B選項，若點在直線上，則此時不存在過的平面，使得其與直線平行，B錯誤；C選項，若與垂直，此時過的平面假如與其中之一垂直，則與另一直線平行，或另一直線在該平面內(nèi)，故C錯誤；D選項，若與垂直，點在直線上，此時過點作一個平面與垂直，此時直線在平面內(nèi)，D錯誤；故選：A4．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，在等腰直角三角形中，，所以直線與平面所成的角為.故選：B.5．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，平面平面，直線平面，過點的直線分別交于點，過點的直線分別交于點．若，則（

）

A． B．6 C． D．5【答案】C【解析】①當(dāng)直線m，n共面時，因為平面平面，直線平面，面，面，，所以，根據(jù)平行線分割線段成比例可得，又，解得，②當(dāng)為異面直線時，連接，如圖由①證明可知，，所以，又，解得.故選：C.6．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）在各棱長都為2的正四棱錐中，側(cè)棱在平面上的射影長度為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】把正四棱錐放入正四棱柱中，則V是上底面的中心，取的中點E，的中點F，連接EF，BE，CF，過A作，垂足為G，在正四棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以側(cè)棱在平面上的射影為，由已知得，，，所以，所以，所以．故選：B．7．（2024·高二·上海寶山·階段練習(xí)）在三棱錐中，若頂點到底面三邊距離相等，則頂點在平面上的射影為的（

）A．外心 B．內(nèi)心或旁心 C．垂心 D．重心【答案】B【解析】如圖，在平面的射影為，連接，則平面，作，，，且分別交于，所以，連接，，，因為平面，所以，，，所以在，，中，，，，又因為，所以，由，，，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，，又因為，所以點到的三邊距離相等，為的內(nèi)心或旁心，故B正確.故選：B.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，有以下四個結(jié)論：①直線平面；

②直線平面；③直線平面；

④直線平面CDE.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①：如圖1，連接，交于點F，連接DF，則點F是的中點，又D是AB的中點，所以，因為平面，平面，所以直線平面，所以①正確.對于②：如圖2，取BC的中點F，連接DF，，因為D是AB的中點，所以，且，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面，故②正確.對于③：如圖3，取BC的中點F，連接DF，因為D是AB的中點，所以，且，又，，所以，，連接EF，所以四邊形是平行四邊形，所以，顯然EF與平面相交，則與平面相交，故③錯誤.對于④：如圖4，連接，交EC于點F，連接DF，則平面平面，若直線平面CDE，則，由于D是AB的中點，所以點F是的中點，而顯然點F不是的中點，矛盾，故④錯誤.故選：B.二、多選題9．（2024·高三·湖南衡陽·期末）若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（

）A．重合 B．相交于一點 C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行【答案】ABC【解析】如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有,因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.10．（2024·高三·江西南昌·開學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【解析】對于A，設(shè)為的中點，底面為平行四邊形，連接，則，而，,故，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，A正確；對于B，設(shè)為的中點，底面為平行四邊形，連接，則，而，,故，即四邊