人教高中數(shù)學(xué)必修2平面與平面垂直的判定2-3-2人教高中數(shù)學(xué)必修2平面與平面垂直的判定2-3-2人教高中數(shù)學(xué)必修2平面與平面垂直的判定2-3-2一、閱讀教材P67～69，回答：1．從一條直線出發(fā)的兩個

所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做

，這兩個半平面叫做

．棱為l，面分別為α、β的二面角記作：

.2．在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以O(shè)為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作

，則

叫做二面角的平面角．二面角的大小用其

來度量．其取值范圍為

．半平面棱二面角的面α－l－β垂直于棱l的射線OA和OB射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB平面角[0°，180°]3．平面角是

的二面角叫做直二面角．如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，就稱這兩個平面

．4．二面垂直的判定①平面角是直角②判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條

，則這兩個平面互相垂直．直角互相垂直垂線二、解答下列問題1．過平面α外一點P，作與α垂直的平面可以作出

個，所作的垂直于α的平面有什么共同特點？

．無數(shù)都經(jīng)過過P與α垂直的直線2．直線l?平面α，過l能否作出平面β⊥α？若能作出，可作幾個？(1)l⊥α?xí)r，能作無數(shù)個．(2)l與α斜交時，只能作一個．3．已知空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，且E是CD的中點，求證：(1)平面ABE⊥平面BCD；(2)平面ABE⊥平面ACD.[解析]如圖．∵AC＝AD，BC＝BD，E是CD的中點．∴AE⊥CD，BE⊥CD，∴CD⊥平面ABE，∵CD?平面BCD，CD?平面ACD，∴平面ABE⊥平面BCD，平面ABE⊥平面ACD.本節(jié)學(xué)習(xí)重點：二面角的概念和面面垂直的判定．本節(jié)學(xué)習(xí)難點：①二面角的找法．②綜合應(yīng)用．1．二面角的概念是平面幾何中角的概念的擴(kuò)展和延伸，現(xiàn)將二者比較如下表.角二面角圖形定義從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形表示法由射線——點(頂點)——射線構(gòu)成，表示為∠AOB由半平面——線(棱)——半平面構(gòu)成，表示為二面角α－a－β2.由定義可知，一個平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且與兩個半平面的交線分別是射線OA、OB，O為垂足，則∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．二面角的平面角的大小與棱上一點位置的選取無關(guān)．3．計算二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定義，即在棱上任取一點，然后分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，則兩垂線所成的角為二面角的平面角．(2)利用棱的垂面，即棱的垂面與兩個半平面的交線所成的角是二面角的平面角．4．求二面角的思路是“一作、二證、三算”．[例1]如圖所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA＝PB＝PC.求證平面PAC⊥平面ABC.[分析]設(shè)P在平面ABC內(nèi)射影為O，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O為Rt△ABC的外心，即AC中點．[證明]取AC中點O，連接PO，OB.因為AO＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC.因為∠ABC＝90°，所以O(shè)B＝OA.又PB＝PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA，即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因為PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕將△ABD折起，使∠BDC成直角．求證：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.[證明]

(1)如圖(1)，∵AD⊥BC，∴折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC.∵平面ABD和平面ACD都經(jīng)過AD，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.[例2]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，O為AC與BD的交點，求證：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H；(3)A1O⊥平面BDF；(4)平面BDF⊥平面AA1C.(2)B1D1∥BD，且B1D1與BD分別為平面BDF外與平面BDF內(nèi)的直線，∴B1D1∥平面BDF，又由O1H∥AC1，OF∥AC1，∴O1H∥OF，而OF?平面BDF，O1H?平面BDF，∴O1H∥平面BDF，又B1D1交O1H于O1點，∴平面BDF∥平面B1D1H.(4)由(3)知，A1O⊥平面BDF，而A1O在平面AA1C上，∴平面BDF⊥平面AA1C.[點評]線線、線面、面面三者之間的關(guān)系如下所示：近幾年高考立體幾何題注重融推理與運(yùn)算于一體，論證中有運(yùn)算，運(yùn)算中有概念的準(zhǔn)確理解和定理的正確運(yùn)用，推理與運(yùn)算交互為用，相輔相成．本題第(3)問就是一典型范例.[例3]三棱錐A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，對角線AC＝a，BD＝a，求二面角A－BD－C的大?。甗分析]據(jù)二面角的平面角定義，應(yīng)在兩個面ABD與BCD內(nèi)過棱BD上一點作棱BD的垂線，據(jù)題設(shè)條件AB＝AD，BC＝CD，只要取BD中點O，即可得到垂線，然后通過解三角形求出角的大?。甗解析]取BD的中點為O，分別連AO、CO∵AB＝AD，BC＝CD∴AO⊥BD，CO⊥BD∴∠AOC為二面角A－BD－C的平面角∴OA2＋OC2＝AC2∴∠AOC＝90°即二面角A－BD－C的大小為90°.

總結(jié)評述：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠AOC為二面角A－BD－C的平面角，通過解∠AOC所在的三角形求得∠AOC，其解題過程為：作∠AOC→證∠AOC是二面角的平面角→計算∠AOC，簡記為“作、證、算”．平面P內(nèi)有一個圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面P，C為 上任意一點，連結(jié)SB、SC，(1)求證：平面SAC⊥平面SBC；(2)若A在SB、SC上的射影分別為E、F，求證：∠AEF為二面角C－SB－A的平面角．[解析]

(1)∵SA⊥平面P，BC?平面P，∴SA⊥BC.又AB為圓的直徑，故BC⊥AC，因此BC⊥平面SAC，可得平面SAC⊥平面SBC.(2)∵BC⊥平面SAC，AF?平面SAC，∴BC⊥AF，又∵AF⊥SC，SC∩BC＝C，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥SB.又AE⊥SB，∴SB⊥平面AEF.∴∠AEF為二面角C－SB－A的平面角．[例4]如圖：一山坡的坡面與水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡腳的水平線成30°的角，沿這山路行走20米后升高了多少米？[解析]如圖，作BH⊥水平面，垂足為H，過H作HC⊥坡腳線，垂足為C，連BC，則∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC知，AC⊥平面BHC，從而BC⊥AC∴∠BCH為坡面與水平面所成二面角的平面角∴∠BCH＝30°在Rt△ABC中和Rt△BCH中，∵AB＝20∴BC＝10，∴BH＝5(米)，答：升高了5米．[例5]如圖，過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設(shè)PA＝AB＝a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大?。甗分析]由CD∥AB可知，CD∥平面PAB，設(shè)平面PCD∩平面PAB＝l，則CD∥l，∴AB∥l，故只須在平面PAB內(nèi)過P作PQ∥AB，則PQ為二面角的棱，由PA⊥平面ABCD知PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，即知PQ⊥平面PAD，∴∠APD為二面角的平面角．[解析]過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PQ∴PQ為平面PCD與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，又∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面PAD，∴∠APD為二面角D－PQ－A的平面角．∵AD＝AB＝PA，∠PAD＝Rt∠，∴∠APD＝45°，即平面PAB與平面PCD所成二面角大小為45°.

總結(jié)評述：此題易證AB⊥平面APD，∵PQ∥AB，∴PQ⊥平面APD.PA與PD是垂直于二面角的棱PQ的平面與二面角的兩個面PAB和PDC的交線，這兩條交線所成的角，就是二面角的平面角．也就是說，作一個平面與二面角的棱垂直，這個平面與二面角的兩個面的兩條交線所成的角為二面角的平面角或其補(bǔ)角．解法探究：如下圖將原圖形補(bǔ)成正方體ABCD－PQRS，那么本例的解題途徑能更簡捷地得到，這種補(bǔ)形法是解決空間問題的一種重要方法．[例6]二面角α－l－β與γ－a－δ滿足平面α⊥平面γ，平面β⊥平面δ，且兩二面角大小分別為θ1和θ2，則θ1和θ2的關(guān)系為________．[錯解]在如圖(1)位置時，θ1與θ2互補(bǔ)；在如圖(2)位置時，θ1與θ2相等，故填θ1＝θ2或θ1與θ2互補(bǔ)．[辨析]將平面幾何中的命題(“如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”)錯誤類比到立體幾何中，事實上，它在立體幾何中是不成立的．滿足條件的平面位置關(guān)系還有其它情形．如圖(3)，只要直線a⊥平面α，且平面β⊥平面δ，過a任作一個平面γ均適合條件，由于二面角γ－a－δ的大小可隨意改變，因此，滿足題設(shè)條件的兩個二面角的平面角的大小關(guān)系是不確定的．[正解]

θ1與θ2的大小關(guān)系不能確定只要直線a⊥平面α，且直線l⊥平面δ，過a任作一個平面γ均適合條件，由于二面角γ－a－δ的大小可隨意改變，因此，滿足題設(shè)條件的兩個二面角的平面角的大小關(guān)系是不確定的．一、選擇題1．二面角是指(

)A．一個平面繞這個平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形B．一個半平面與另一個半平面組成的圖形C．從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形D．兩個相交平面組成的圖形[答案]

C2．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有(

)A．2對 B．3對C．4對 D．5對[答案]

D[解析]平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故選D.二、填空題3．下列四個命題中，正確的命題為________(填序號)．①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ②α∥β，β∥γ，則α∥γ③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ[答案]①②三