PAGE福建省2011年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題6：函數(shù)的圖象與性質(zhì)選擇題1（福建龍巖4分）下列圖象中，能反映函數(shù)y隨x增大而減小的是【答案】D。【考點(diǎn)】一次、二次、反比例函數(shù)圖象的增減性?！痉治觥緼：直線y隨x增大而增大，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B：拋物線在對(duì)稱軸左邊y隨x增大而減小，右邊y隨x增大而增大，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：雙曲線分別在兩個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、直線y隨x增大而減小，選項(xiàng)正確。故選D。2.（福建福州4分）如圖是我們學(xué)過的反比例函數(shù)圖象，它的函數(shù)解析式可能是 A、 B、QUOTEy=4x C、QUOTEy=﹣3x D、QUOTEy=12x【答案】B。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象。【分析】根據(jù)圖象可知：函數(shù)是反比例函數(shù)，且＞0，選項(xiàng)B的=4＞0，符合條件。故選B。3.（福建漳州3分）如圖，P(x，y)是反比例函數(shù)y＝eq\f(3,x)的圖象在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，隨著自變量x的增大，矩形OAPB的面積A．不變 B．增大 C．減小 D．無法確定【答案】A?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?！痉治觥恳?yàn)檫^雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S=|k|，所以隨著x的逐漸增大，矩形OAPB的面積將不變。故選A。4.（福建三明4分）下列4個(gè)點(diǎn)，不在反比例函數(shù)y＝－eq\f(6,x)圖象上的是 A、（2，﹣3） B、（﹣3，2） C、（3，﹣2） D、（3，2）【答案】D?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】原式可化為：xy=﹣6，所以只要點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于﹣6，就在函數(shù)圖象上：A、2×（﹣3）=﹣6，符合條件；B、（﹣3）×2=﹣6，符合條件；C、3×（﹣2）=﹣6，符合條件；D、3×2=6，不符合條件。故選D。二、填空題1.（福建泉州4分）已知函數(shù)，當(dāng)=▲時(shí)，函數(shù)取得最大值為_▲【答案】2，4?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值?！痉治觥坑蓲佄锞€的頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），又=－3＜0，拋物線的開口向下，于是=2時(shí)，函數(shù)有最大值為4。2.（福建廈門4分）如圖，一系列“黑色梯形”是由x軸、直線y=x和過x軸上的正奇數(shù)1、3、5、7、9、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)且與y軸平行的直線圍成的．從左到右，將其面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn、…．則S1=▲，Sn=▲．【答案】4；4（2n﹣1）?！究键c(diǎn)】分類歸納，一次函數(shù)綜合題?！痉治觥坑蓤D可得，S1，S2，S3，…，∴Sn=4（2n﹣1）。3.（福建南平3分）已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，5)，則k＝_▲．【答案】10?！究键c(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥繉Ⅻc(diǎn)（2，5）代入即可得出k即可：∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，5），∴k=10。又∠MBC＝∠ODC，∠BCM＝∠DCO，∴△BMC∽△DOC?！鄀q\f(BM,DO)＝eq\f(BC,DC)即eq\f(BM,2)＝eq\f(1,\r(5))∴BM＝eq\f(2,5)eq\r(,5)。（3）存在。分兩種情況討論：①以BM為腰時(shí)，BP＝BM?！連M＝eq\f(2,5)eq\r(,5)，又點(diǎn)P在y軸上，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，它們是P1(0，2＋eq\f(2,5)eq\r(,5))、P2(0，2－eq\f(2,5)eq\r(,5))。②以BM為腰時(shí)，MP＝MB。過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∵∠BMC＝90°，則△BME∽△BCM?！鄀q\f(BE,BM)＝eq\f(BM,BC)?！郆E＝eq\f(BM2,BC)＝eq\f(4,5)。又∵M(jìn)P＝MB，∴PE＝BE＝eq\f(4,5)?！郆P＝eq\f(8,5)?！郞P＝2－eq\f(8,5)＝eq\f(2,5)。此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P3(0，eq\f(2,5))。③以BM為底時(shí)，即PB＝PM，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，由（2）得∠BMC＝90°，∴PF∥CM。∵F是BM的中點(diǎn)，∴BP＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)?！郞P＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)。此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P4(0，eq\f(3,2))。綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，它們是：P1(0，2＋eq\f(2,5)eq\r(,5))、P2(0，2－eq\f(2,5)eq\r(,5))、P3(0，eq\f(2,5))、P4(0，eq\f(3,2))?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，坐標(biāo)與圖形旋轉(zhuǎn)變化，勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）把=0，=0分別代入解析式求出A、B的坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出C、D的坐標(biāo)。（2）根據(jù)勾股定理求出CD，證△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案。（3）分三種情況：①以BM為腰時(shí)，BP＝BM，②以BM為腰時(shí)，MP＝MB，③以BM為底時(shí)，即PB＝PM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可。5.（福建廈門8分）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(－1，m)、B(－4，n)．OxOxy4－44－4(2)在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？【答案】解：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，。把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，?！郃（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），代入一次函數(shù)得，，解得QUOTE&﹣4=﹣k+b&﹣1=﹣∴一次函數(shù)的關(guān)系式為：。（2）如圖所示：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)＜﹣4或﹣1＜＜0時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，∴當(dāng)＜﹣4或﹣1＜＜0時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）先把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出、的值，可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可求出、的值，從而得出其關(guān)系式。（2）利用描點(diǎn)法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可。6.（福建龍巖12分）周六上午8：O0小明從家出發(fā)，乘車1小時(shí)到郊外某基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在基地活動(dòng)2.2小時(shí)后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/時(shí)的平均速度步行返回．同時(shí)爸爸開車從家出發(fā)沿同一路線接他，在離家28千米處與小明相遇。接到小明后保持車速不變，立即按原路返回．設(shè)小明離開家的時(shí)間為x小時(shí)，小名離家的路程y(干米)與x(小時(shí))之間的函致圖象如圖所示，(1)小明去基地乘車的平均速度是________千米/小時(shí)，爸爸開車的平均速度應(yīng)是________千米/小時(shí)；(2)求線段CD所表示的函斂關(guān)系式；(3)問小明能否在12：00前回到家？若能，請(qǐng)說明理由：若不能，請(qǐng)算出12：00時(shí)他離家的路程，【答案】解：（1）30，56。

（2）∵C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1+2.2+2÷4=3.7，∴C（3.7，28）?！逥點(diǎn)橫坐標(biāo)是：1+2.2+2÷4×2=4.2，∴D（4.2，0）。設(shè)線段CD所表示的函數(shù)關(guān)系式為y=kx＋b（3.7≤x≤4.2），將C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，，得，解得?！嗑€段CD的表達(dá)式：y=－56x＋235.2（3.7≤x≤4.2）。（3）不能。理由如下：∵小明從家出發(fā)到回家一共需要時(shí)間：1+2.2+2÷4×2=4.2（小時(shí)），從8：00經(jīng)過4.2小時(shí)已經(jīng)過了12：00，∴小明不能在12：00前回家，此時(shí)離家的距離：56×0.2=11.2（千米）?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用（工程問題）?！痉治觥浚?）仔細(xì)觀察圖象可知：小明去基地乘車1小時(shí)后離基地的距離為30千米，因此小明去基地乘車的平均速度是30千米/小時(shí)；在返回時(shí)小明以4千米/時(shí)的平均速度步行，行駛2千米后遇到爸爸，故他爸爸在0.5小時(shí)內(nèi)行駛了28千米，故爸爸開車的平均速度應(yīng)是56千米/小時(shí)，（2）先設(shè)一次函數(shù)的解析式，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可得出線段CD所表示的函斂關(guān)系式。（3）根據(jù)圖象和解析式可知小明從出發(fā)到回家一共需要4.2小時(shí)，故12：00前不能回到家。12：00時(shí)他離家的路程=速度×?xí)r間=56×0.2=11.2。7.（福建龍巖13分）如圖，已知拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，且與x軸交于點(diǎn)D，AO=1．(1)填空：=_______。=_______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(_______，_______)：(2)若線段BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)F．求FC的長(zhǎng)；(3)探究：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與軸、直線BC都相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。【答案】解：（1），，5，0。

（2）由（1）得拋物線的解析式為，化為頂點(diǎn)式為?！郈（2，4）?！逧為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得E的坐標(biāo)為（3.5，2），設(shè)直線BC的表達(dá)式為，則，解得?！嘀本€BC的表達(dá)式為。設(shè)直線EF的表達(dá)式為，∵EF為BC的中垂線，∴EF⊥BC?！嘤上嗨瓶傻茫粗本€EF的表達(dá)式為。把E（3.5，2）代入得，解得?！嘀本€EF的表達(dá)式為。在中，令=0，得，解得?！郌（，0）。∴FC=FB=5－。答：FC的長(zhǎng)是。（3）存在。作∠OBC的平分線交DC于點(diǎn)P，則P滿足條件。設(shè)P（2，），則P到軸的距離等于P到直線BC的距離，都是||。∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，0），∴CD=4，DB=5－2=3?！郆C=。∴sin∠BCD=。當(dāng)點(diǎn)P在軸上方時(shí)，得，解得。點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，）。當(dāng)點(diǎn)P在軸下方時(shí)，得，解得。點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，－6）。∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使⊙P與x軸、直線BC都相切，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，），（2，－6）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組、一元二次方程和分式方程，二次函數(shù)的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）根據(jù)對(duì)稱軸和OA=1求出A、B的坐標(biāo)，代入解析式得二元一次方程組，即可求出，，從而求得拋物線的解析式為，令0，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）由拋物線的項(xiàng)點(diǎn)式求得C（2，4），從而求得E的坐標(biāo)為（3.5，2）和直線BC的表達(dá)式，設(shè)直線EF的表達(dá)式為，根據(jù)EF為BC的中垂線推出直線EF的表達(dá)式為，令=0，得F（，0）。即可求出答案。（3）作∠OBC的平分線交DC于點(diǎn)P，設(shè)P（2，），根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解。8.（福建莆田10分）如圖，將—矩形OABC放在直角坐際系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸正半軸上．點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、N重合)，過點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F。（1）(4分)若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2．且S1＋S2=2，求的值：（2）(6分)若OA=2．0C=4．問當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少?【答案】解：（1）∵點(diǎn)E、F在函數(shù)的圖象上，∴設(shè)E（，），F(xiàn)（，），＞0，＞0，∴S1=，S2=。∵S1＋S2=2，∴?！?。

（2）∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，∴設(shè)E(，2)，F(xiàn)(4，)。∴BE=4－，BF=2－?！郤△BEF=，S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，∴S四邊形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=8－()－=。∴當(dāng)=4時(shí)，S四邊形OAEF=5?！郃E=2?！喈?dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）設(shè)E（，），F(xiàn)（，），＞0，＞0，根據(jù)三角形的面積公式得到S1=S2=，利用S1＋S2=2即可求出。（2）設(shè)E(，2)，F(xiàn)(4，)，利用S四邊形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得到當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5。9.（福建莆田10分）某高科技公司根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的醫(yī)療器械，其部分信息如下：信息一：A、B兩種型號(hào)的醫(yī)疔器械共生產(chǎn)80臺(tái)．信息二：該公司所籌生產(chǎn)醫(yī)療器械資金不少于1800萬元，但不超過1810萬元．且把所籌資金全部用于生產(chǎn)此兩種醫(yī)療器械．信息三：A、B兩種醫(yī)療器械的生產(chǎn)成本和售價(jià)如下表：型號(hào)AB成本（萬元/臺(tái)）2025售價(jià)（萬元/臺(tái)）2430根據(jù)上述信息．解答下列問題：（1）（6分）該公司對(duì)此兩種醫(yī)療器械有哪-幾種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案能獲得最大利潤(rùn)？（2）（4分）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，-每臺(tái)A型醫(yī)療器械的售價(jià)將會(huì)提高萬元（）．每臺(tái)A型醫(yī)療器械的售價(jià)不會(huì)改變．該公司應(yīng)該如何生產(chǎn)可以獲得最大利潤(rùn)？(注：利潤(rùn)=售價(jià)成本)【答案】解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)A鐘中醫(yī)療器械臺(tái)，則生產(chǎn)B鐘中醫(yī)療器械（80－）臺(tái)，依題意得，，解得38≤≤40。取整數(shù)得=38，39，40?！嘣摴居?鐘生產(chǎn)方案：方案一：生產(chǎn)A鐘器械38臺(tái)，B鐘器械42臺(tái)；方案二：生產(chǎn)A鐘器械39臺(tái)，B鐘器械41臺(tái)；方案三：生產(chǎn)A鐘器械40臺(tái)，B鐘器械40臺(tái)。公司獲得利潤(rùn)：W=（24－20）＋（30－25）（80－）=－+400。∵利潤(rùn)W隨的增大而減少，∴當(dāng)=38時(shí)，W有最大值。∴當(dāng)生產(chǎn)A鐘器械38臺(tái)，B鐘器械42臺(tái)時(shí)獲得最大利潤(rùn)。（2）依題意得，W=（4＋）＋5（80－）=（－1）＋400當(dāng)－1＞0，即＞1時(shí)，生產(chǎn)A鐘器械40臺(tái)，B鐘器械40臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)－1=0，即=1時(shí)，（1）中三種方案利潤(rùn)都為400萬元；當(dāng)－1＜0，即0＜＜1時(shí)，生產(chǎn)A鐘器械38臺(tái)，B鐘器械42臺(tái)，獲得最大利潤(rùn)。【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用?！痉治觥浚?）利用題目提供的信息列出有關(guān)的一元一次不等式組，解得有關(guān)醫(yī)療器械的取值范圍，得到方案即可。（2）求出利潤(rùn)函數(shù)，分類討論得到最大利潤(rùn)方案即可。10.（福建莆田12分）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與軸交于A、B兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)C．其中A(1，0)，C(0，)．（1）（3分）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）．①（4分）如圖l．當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②（5分）如圖2．當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式?！敬鸢浮拷猓海?）由題意，得，解得?！鄴佄锞€的解析式為。（2）①令，解得1=1，2=3，∴B（3，0）。當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時(shí)．它們同底等高。情形1：當(dāng)點(diǎn)P在軸上方時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P（圖中P1），由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線BC的解析式為，∴設(shè)直線AP的解析式為，∵直線AP過點(diǎn)A（1，0），代入求得。∴直線AP的解析式為。解方程組得，，?！帱c(diǎn)P1（2，1）。情形2：當(dāng)點(diǎn)P在軸下方時(shí)，如圖1（圖中P2，P3），易求直線AP1交y軸于點(diǎn)E（0，－1），CE=2，把直線BC向下平移2個(gè)單位，交拋物線于點(diǎn)P2，P3，得直線P2P3的解析式為，解方程組得，，。∴P2（，），P3（，）。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（2，1），P2（，），P3（，）。②∵B（3，0），C（0，－3）∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°。設(shè)直線CP的解析式為。如圖2，延長(zhǎng)CP交軸于點(diǎn)Q，設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°－α，∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°－α，∴∠OQC=∠OBC－∠PCB=45°－（45°－α）=α，∴∠OCA=∠OQC。又∵∠AOC=∠COQ=90°，∴Rt△AOC∽R(shí)t△COQ?！?，即，∴OQ=9，∴Q（9，0）?！咧本€CP過點(diǎn)Q（9，0），∴∴?！嘀本€CP的解析式為?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)