機(jī)電傳動(dòng)控制第五章免費(fèi)第1頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一5-1穩(wěn)定性5-2勞斯穩(wěn)定性判據(jù)5-3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5-4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第2頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一1、穩(wěn)定性的概念

5-1穩(wěn)定性第3頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺第4頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一1940年11月7日，一陣風(fēng)引起了橋的晃動(dòng)，而且晃動(dòng)越來越大，直到整座橋斷裂。跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。第5頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一控制系統(tǒng)在外部攏動(dòng)作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)攏動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)仍能自動(dòng)恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。(a)外加擾動(dòng)注意：以上定義只適用于線形定常系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義第6頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。第7頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一大范圍穩(wěn)定:不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定第8頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。注意：對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。第9頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一(a)不穩(wěn)定第10頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。原因：(1)分析時(shí)依賴的模型通常是簡(jiǎn)化或線性化；

(2)實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性；

(3)系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。第11頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(hào)δ(t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t→∞時(shí)，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。

穩(wěn)定的條件：穩(wěn)定的充要條件第12頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一理想脈沖函數(shù)作用下

R(s)=1。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng),t

時(shí),輸出量

c(t)=0。第13頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一由上式知：如果pi和i均為負(fù)值,

當(dāng)t時(shí),c(t)0。第14頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一自動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。注意：穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)S平面系統(tǒng)特征方程第15頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。第16頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)特征各項(xiàng)系數(shù)具有相同的符號(hào)，且無零系數(shù)。設(shè)系統(tǒng)特征根為p1、p2、…、pn-1、pn各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積全部根具有負(fù)實(shí)部第17頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為被控對(duì)象水箱的傳遞函數(shù)； 為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)；K1為進(jìn)水閥門的傳遞系數(shù)；Kp為杠桿比；H0為希望水位高；H為實(shí)際水位高。第18頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

第19頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一令 ,為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，則特征方程展開寫為為三階系統(tǒng),但缺少s項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)校正裝置第20頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一2、判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原則對(duì)于一般的反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

設(shè)輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)，則有：<1>第21頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一從<1>式可看出，要想系統(tǒng)穩(wěn)定，只有當(dāng)系統(tǒng)的特征根s，全部具有負(fù)實(shí)部。

綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s平面的左半平面。第22頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一一般情況下，確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：1直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根。2確定特征方程的根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域。應(yīng)用第一種類型的兩種方法是：(1)直接對(duì)系統(tǒng)特征方程求解；(2)根軌跡法應(yīng)用第二種類型的兩種方法是：(1)勞斯判據(jù);(2)奈氏判據(jù)第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性第23頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一5-2勞斯穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)是基于方程根與系數(shù)的關(guān)系建立的，通過對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得出全部根具有負(fù)實(shí)部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種判據(jù)稱為代數(shù)判據(jù)。將系統(tǒng)的特征方程式寫成：第24頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件： 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai的符號(hào)相同，且不缺項(xiàng)。

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：第25頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一勞斯判據(jù)步驟如下：1）列出系統(tǒng)特征方程：檢查各項(xiàng)系數(shù)是否大于0，若是，進(jìn)行第二步。可見ai>0(i=0,1,2,…,n)是滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。2）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表

第26頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一1.Routh表

sn an an-2 an-4 an-6 … sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 … sn-2 A1 A2 A3 A4 … sn-3 B1 B2 B3 B4 … s2 D1 D2 s1 E1 s0 F1第27頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一其中的一行與第二行可由特征方程的系數(shù)直接列出，第三行各行元素Ai由下式計(jì)算:

A1=an-1an-2－anan-3an-1A2=an-1an-4－anan-5an-1A3=an-1an-6－anan-7an-1一直計(jì)算到其余的Ai值全部等于零為止。第28頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一第四行各行元素Bi由下式計(jì)算:A1an-3－an-1A2A1B2=A1an-5－an-1A3A1B3=A1an-7－an-1A4A1B1=一直計(jì)算到其余的Bi值全部等于零為止。第29頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

用同樣的方法，遞推計(jì)算第五行及以后各行，這一計(jì)算過程一直進(jìn)行到s1行為止。第n+1行僅有一項(xiàng)，并等與特征方程常數(shù)項(xiàng)a0。為簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)。第30頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一…第31頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一2.Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

Routh表中第一列各元素符號(hào)均為正，且不為零。

Routh判據(jù)還指出，Routh表中第一列各元素符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。第32頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一 例如：根的情況為：

+++++沒有不穩(wěn)定根（穩(wěn)定）

++---有一個(gè)不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）

+-+++有兩個(gè)不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）第33頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一3）考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、……的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。第34頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例401423103.25.380103.25.4105171×-×SSSS第35頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一解：列勞斯表

由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值?？傻茫豪阎痴{(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS++-′+?íì>+>+-0)1(16700)1(2.40517KK9.111<<-\K第36頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一※勞斯判據(jù)特殊情況2.勞斯表中出現(xiàn)全零行則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。

1.勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)，這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無法繼續(xù)往下排列。解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)來代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。e第37頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)代之。特殊情況1：第一列出現(xiàn)0第38頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程。各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:例如：特殊情況2：某一行元素均為0第39頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對(duì)稱分布的根大小相等符號(hào)相反的實(shí)根共軛虛根對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根第40頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一1、奈氏穩(wěn)定判據(jù)考慮上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為要使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點(diǎn)要全部位于復(fù)平面的左半部。

奈氏判據(jù)正是將開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)聯(lián)系起來的判據(jù)?！獛缀闻袚?jù)5-3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)第41頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一推導(dǎo)：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：1+G(s)H(s)=0令F(s)=1+G(s)H(s),則有：第42頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)于GB(s)傳遞函數(shù)，系統(tǒng)GB(s)的極點(diǎn)就是1+G(s)H(s)=0的根。而要使1+G(s)H(s)=0，必有F(s)的分子為零。即為F(s)的零點(diǎn)。F(s)的零點(diǎn)正是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，特征根F(s)的極點(diǎn)正是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。第43頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一閉環(huán)傳遞函數(shù)

GB(S)開環(huán)傳遞函數(shù)

GK(S)F(S)零點(diǎn)零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)F(s)的零點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)F(s)的極點(diǎn)即開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)特征方程1+G(S)H(S)=0的全部實(shí)根具有負(fù)實(shí)部。第44頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：Z=P-N=0Z:閉環(huán)特征方程在S右半平面的極點(diǎn)數(shù)P:開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面的極點(diǎn)數(shù)N:當(dāng)自變量S沿包含虛軸及整個(gè)右半平面在內(nèi)的極大封閉曲線順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，開環(huán)奈氏圖繞（-1，J0)點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)第45頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的陳述（根據(jù)幅角原理）1.繪制ω從變化時(shí)的開環(huán)頻率特性曲線，即開環(huán)奈氏圖，并在曲線上標(biāo)出ω增加的方向。

2.根據(jù)曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)和方向，求出N的大小和正負(fù)。

ω從時(shí)，曲線對(duì)（-1，j0）點(diǎn)包圍的次數(shù)。

當(dāng)N>0時(shí)，按逆時(shí)針方向包圍的情況。當(dāng)N<0時(shí)，按順時(shí)針方向包圍的情況。當(dāng)N=0時(shí)，表示曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)。第46頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一4.由Z=P-2N確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Z為閉環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其為正整數(shù)或0.系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，Z=0，即P=2N5.若曲線剛好通過（-1，j0）點(diǎn)，表明閉環(huán)系統(tǒng)有極點(diǎn)位于虛軸上，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。3.由給定的開環(huán)傳遞函數(shù)確定開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P，P為正整數(shù)或0。

第47頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明：(1)Nyquist判據(jù)不是在[s]平面內(nèi)而是在[GH]平面內(nèi)判別其穩(wěn)定性。(2)Nyquist判據(jù)證明復(fù)雜，應(yīng)用簡(jiǎn)單。(3)P=0，開環(huán)穩(wěn)定。反之，開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不穩(wěn)定在實(shí)際中不能應(yīng)用。第48頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)有一復(fù)變函數(shù)，S為復(fù)變量，以[s]復(fù)平面上的s=表示。復(fù)變函數(shù)F(s)以[F(s)]復(fù)平面上的F(s)=u+jv表示。設(shè)F(s)在[s]平面內(nèi)為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè)[s]平面上的解析點(diǎn)s映射到[F(s)]平面上的點(diǎn)為點(diǎn)F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向映射點(diǎn)的向量F(s)。幅角定理——奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)依據(jù)第49頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱f(z)在z0解析。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析，那么稱f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)在D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。如果f(z)在z0不解析，但在z0的鄰域內(nèi)處處解析，那么稱z0為f(z)的奇點(diǎn)。如果f(z)在z0不解析，但在z0的某一去心鄰域內(nèi)處處解析，那么稱z0為f(z)的奇點(diǎn)。第50頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

若在s平面內(nèi)任意選定一封閉曲線Ls，只要此曲線不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)，則在[F(s)]平面內(nèi)必有一對(duì)應(yīng)的映射曲線LF也是一封閉曲線。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針方向沿Ls變化一周時(shí)，向量F(s)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N周。即F(s)以原點(diǎn)為中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N周。即曲線LF順時(shí)針包圍原點(diǎn)N次。第51頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一若令：Z為Ls內(nèi)包圍F(s)的零點(diǎn)數(shù)，P為Ls內(nèi)包圍F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則有：N=Z-P說明幅角定理：向量F(s)的相位為：假設(shè)Ls內(nèi)包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)zi，其它的零極點(diǎn)位于Ls之外。當(dāng)s沿Ls順時(shí)針方向移動(dòng)一圈時(shí)，向量(s-zi)的相位角變化-360度，而其它各向量的相位角變化為0。即向量F(s)的相位角變化-360度，或者說向量F(s)

在[F(s)]平面沿LF繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一周。

第52頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

因此，若Ls包含Z個(gè)零點(diǎn)，s沿Ls按順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，[F(s)]上的映射曲線LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)Z圈，同理可知，Ls包含P個(gè)極點(diǎn)，LF將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P圈.所以，若Ls包含Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)N=Z-P圈.第53頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充（了解）奈氏判據(jù)的推導(dǎo)

根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的保角映射定理(幅角定理)，對(duì)于復(fù)平面[s]內(nèi)的一條連續(xù)封閉曲線，在[1+G(s)H(s)]復(fù)平面內(nèi)必有一條封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。第54頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

取[s]平面上包圍[s]右半面的封閉曲線Ls:L1+L2，L1為ω從-∞到∞的整個(gè)虛軸，L2為半徑趨于∞的半圓弧。Ls為[s]平面上的Nyquist軌跡。L1映射到[1+G(s)H(s)]復(fù)平面為1+G(jω)H(jω)曲線。L2映射到[G(s)H(s)]復(fù)平面為原點(diǎn)或?qū)嵼S上某點(diǎn)。第55頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

G(s)H(s)=F(s)-1，可見F(s)平面的虛軸右移一個(gè)單位就是[GH]平面。F(s)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)就是[GH]平面上的（-1，j0）。點(diǎn)F(s)的映射曲線LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線包圍（-1，j0）的圈數(shù)。第56頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

Ls曲線把F(s)在[s]平面上的實(shí)部為正的極點(diǎn)和零點(diǎn)都包含進(jìn)去。F(s)極點(diǎn)是GK(s)的極點(diǎn)，F(xiàn)(s)零點(diǎn)是GB(s)的極點(diǎn)。即Ls曲線包圍了系統(tǒng)的開環(huán)右極點(diǎn)和閉環(huán)右極點(diǎn)。由幅角定理知，當(dāng)s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動(dòng)一周，在[F]平面上的映射曲線LF將順時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N=Z-P。第57頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動(dòng)一周，即ω從-∞到∞時(shí)，在[GH]平面上的映射曲線LGH將順時(shí)針包圍(-1，j0)的圈數(shù)N=Z-P

第58頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部。即F(s)的零點(diǎn)(GB(s)的極點(diǎn)）都在復(fù)平面的左半部。即Z=0。所以當(dāng)s沿[s]平面上的Nyquist軌跡移動(dòng)一周，即ω從-∞到∞時(shí)，在[GH]平面上的映射曲線LGH將順時(shí)針包圍(-1，j0)的圈數(shù)N=-P。第59頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一由右圖可見，開環(huán)Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N＝-1：而開環(huán)特征根全部位于左半S平面，即P＝0，由Nyquist判據(jù)知，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定?！纠?-1】

：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

解：第60頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一補(bǔ)充：當(dāng)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，其開環(huán)奈氏曲線不封閉，此時(shí)需作輔助線。即按常規(guī)方法作出ω由0+→∞變化時(shí)的Nyquist曲線后，從G(j0)開始，以∞為半徑順時(shí)針補(bǔ)畫v90°的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其輔助線的起始點(diǎn)始終在無窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。

第61頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一【例5-2】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)其幅相頻率特性曲線如圖所示。試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中無右極點(diǎn)，即由圖可見，系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，即N=0故N=P/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第62頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一同理，如果開環(huán)傳遞函數(shù)中包含有ν個(gè)積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相頻率特性曲線后，必須增補(bǔ)從ω=0開始順時(shí)針轉(zhuǎn)ν×90°到ω=0+為止的半徑為無窮大的一段圓弧。然后用增補(bǔ)后的開環(huán)幅相頻率特性曲線來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第63頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一【例5-3】單位反饋系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線，如圖所示。圖中虛線是按ν=2畫的增補(bǔ)圓弧?？梢?，開環(huán)幅相頻率特性曲線反向包圍（-1，j0)點(diǎn)一圈，N=-1,開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=0因此，N≠P/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第64頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，奈氏判據(jù)的修正:(1)開環(huán)極點(diǎn)s=0，應(yīng)用Nyquist判據(jù)時(shí)，[s]平面的Ls不能經(jīng)過GK(s)的極點(diǎn)，所以在這種情況下，要對(duì)L1段進(jìn)行修正。以半徑為無窮小的圓?。╮=0）逆時(shí)針繞開開環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)。而這段以半徑為無窮小的圓弧在[GH]平面的映射曲線為半徑為無窮大，按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過ν·π。（按順時(shí)針方向從ν·π/2到-ν·π/2）(2)在此情況下，系統(tǒng)的Nyquist圖并不是封閉的，做輔助線：以無窮大為半徑，從奈氏曲線（ω從0到∞）起始段沿逆時(shí)針方向繞過ν·π/2做圓和實(shí)軸相交。輔助顯和奈氏曲線一起來應(yīng)用奈氏判據(jù)。第65頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一例：1.G(s)H(s)=10/s2(0.15s+1)(不穩(wěn)定）2.G(s)H(s)=(不穩(wěn)定）第66頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：1.一階微分環(huán)節(jié)相位正的，使原開環(huán)頻率特性相位滯后量減小，因此串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)，校正系統(tǒng)使之穩(wěn)定。2.對(duì)于二階系統(tǒng)，當(dāng)ω從0到∞變化時(shí)，相位最多不超過-180度。不會(huì)到第二象限，開環(huán)增益K增大時(shí)，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定，但穩(wěn)態(tài)誤差減小。（精度和穩(wěn)定性之間的平衡加入補(bǔ)償環(huán)節(jié)進(jìn)行校正。）3.對(duì)于最小相位系統(tǒng)（開環(huán)），只有在三階和三階以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定。4.開環(huán)系統(tǒng)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)越多，系統(tǒng)的型別越高，系統(tǒng)越容易不穩(wěn)定，但穩(wěn)態(tài)誤差減小。一般不超過4型。第67頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)頻率特性曲線比較復(fù)雜氏奈氏判據(jù)的應(yīng)用：

穿越：沿ω增大的方向，開環(huán)奈氏曲線穿過(-1，j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸部分；若曲線由上而下穿過(-1，-∞)，稱為“正穿越”。若曲線由下而上穿過(-1，-∞)，稱為“負(fù)穿越”。若曲線始于或止于(-1，-∞)，穿越次數(shù)為1/2。第68頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一正穿越相當(dāng)于奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)相角增大。負(fù)穿越相當(dāng)于奈氏曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)相角減小。此時(shí)的奈氏判據(jù)：當(dāng)ω從0到∞變化時(shí)，若開環(huán)頻率特性曲線在(-1,j0)點(diǎn)左實(shí)軸的正穿越次數(shù)減去負(fù)穿越次數(shù)等于P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)定。第69頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一圖例第70頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一半次穿越：G(jω)H(jω)

軌跡起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。+1/2次穿越-1/2次穿越第71頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)ω由0變化到∞時(shí)，Nyquist曲線在(-1,j0)點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于m/2時(shí)(m

為系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù))，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定第72頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的。開環(huán)狀態(tài)是不穩(wěn)定的(m=2)G(j)H(j)軌跡逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)一次。++-第73頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)不穩(wěn)定m=1?次穿越閉環(huán)穩(wěn)定第74頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是利用開環(huán)頻率特性GK(jω)的極坐標(biāo)圖來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(Bode)同樣可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,稱為對(duì)數(shù)(Bode)判據(jù)。

5-4伯德穩(wěn)定判據(jù)第75頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.Nyquist圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖上的0分貝線(對(duì)數(shù)幅頻特性的橫軸)。2.Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Bode圖上的-180度(對(duì)數(shù)相頻特性的橫軸)。3.Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸的交點(diǎn)的頻率，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，記ωc。

Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅相頻特性曲線與橫軸的交點(diǎn)的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率記ωg。第76頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系原點(diǎn)為圓心的單位圓

0

分貝線。單位圓以外L(ω)>0的部分；單位圓內(nèi)部L(ω)<0的部分。負(fù)實(shí)軸－180°線。相連(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點(diǎn)(0+)

Nyquist曲線的輔助線(0+)+v90°線第77頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特曲線當(dāng)ω增大時(shí)從下向上穿越－180°線(相角滯后減小)；(-1,j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越點(diǎn)L(ω)>0范圍內(nèi)的與－180°線的穿越點(diǎn)。負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)ω增大時(shí)，從上向下穿越－180°線(相角滯后增大)。第78頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)m個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在L(ω)>0

的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性曲線(ω)(含輔助線)與-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于m/2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。第79頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，m=2正負(fù)穿越數(shù)之和-1閉環(huán)不穩(wěn)定。第80頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)特征方程有兩個(gè)右根，m=2正負(fù)穿越數(shù)之和+1閉環(huán)穩(wěn)定。第81頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)特征方程無右根，m=0正負(fù)穿越數(shù)之和0閉環(huán)穩(wěn)定。第82頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一開環(huán)特征方程無右根，m=0L()>0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負(fù)穿越數(shù)之和為0閉環(huán)穩(wěn)定。第83頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一例：已知開環(huán)頻率特性，判斷其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。先繪制其開環(huán)奈時(shí)圖ω=0時(shí)，│G(jω)H(jω)│=K ∠G(jω)H(jω)=0oω=∞時(shí)，│G(jω)H(jω)│=0 ∠G(jω)H(jω)=270o曲線從k開始，順時(shí)針穿過4、3、2象限ω=∞ω=0kk'ImRe(-1,0)ω①②當(dāng)k值較小時(shí)如①，不包圍（-1，j0）點(diǎn),N=0當(dāng)k值較大時(shí)如②，包圍（-1，j0）點(diǎn),N=-1由題知：開環(huán)沒有右極點(diǎn)，即P=0所以：①系統(tǒng)穩(wěn)定 ②系統(tǒng)不穩(wěn)定第84頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一例.開環(huán)傳遞函數(shù)中有s=0極點(diǎn)開環(huán)特征方程具有零根，即開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)若有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，其頻率特性為Gk(jω)=jωDk(jω)Mk(jω)當(dāng)ω=0時(shí)，Gk(0)=－jωω=∞時(shí)，Gk(∞)=0Gk(jω)曲線如圖a所示-1ω=∞ω=0ImωRe第85頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一若有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，其頻率特性為當(dāng)ω=0時(shí)，Gk(0)=－∞

ω=∞時(shí)，Gk(∞)=0Gk(jω)曲線如圖b所示Gk(jω)=（jω）2Dk(jω)Mk(jω)-1ω=0ω=∞Imωω=0b第86頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一第87頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一特征方程最近虛軸的根和虛軸的距離穩(wěn)定性裕量可以定量地確定系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的遠(yuǎn)近，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)之一。5-5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性第88頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一注意：虛軸是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定邊界G(j)H(j)軌跡靠近(-1,j0)點(diǎn)的程度GH平面第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第89頁，共103頁，2023年，2月20日，星期一增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點(diǎn)相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)GH平面ggcc1-穩(wěn)定系統(tǒng)2-不穩(wěn)定系統(tǒng)增益交界頻