相交弦定貍教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生掌握相交弦定理及其推論，并會運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)證明和計算；2．使學(xué)生掌握利用相交弦定理的推論作兩條已知線段的比例中項的方法；3．通過讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；4．通過推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法．教學(xué)重點和難點相交弦定理及其應(yīng)用是重點；靈活應(yīng)用相交弦定理及其推論證明等積線段是難點．教學(xué)過程設(shè)計一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題，發(fā)現(xiàn)定理1．投影出示圖1，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，指出圖中所有的圓周角，并說明它們之間的關(guān)系．由于前邊已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓周角的有關(guān)知識，學(xué)生容易說出∠A，∠B，∠C∠D都是圓周角，并且∠A=∠D，∠C=∠B．2．發(fā)現(xiàn)定理．接著讓學(xué)生思考，有了∠A=∠D，∠C=∠B，你還能得出什么結(jié)論？學(xué)生會很快回答：△APC∽△DPB．教師進(jìn)一步提問：這兩個三角形相似后，你又能得出什么結(jié)論？學(xué)生：對應(yīng)邊成比例．如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，變成圖2，圖中線段PA，PB，PC，PD之間的關(guān)系會發(fā)生變化嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖形，并回答，AB和CD是⊙O的什么？有什么關(guān)系？學(xué)生：AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交．教師最后啟發(fā)學(xué)生用語言將上述等積式表達(dá)的結(jié)論敘述出來．學(xué)生可能回答不夠完整、準(zhǔn)確，這時可讓學(xué)生看書P125的相交弦定理，并指出這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．(板書課題：相交弦定理)(板書：相交弦定理)圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)相交弦定理：在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，那么PA·PB=PC·PD．學(xué)生口述證明過程，教師板書，3．從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論．對兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互相垂直如圖3，AB是直徑，并且AB⊥CD于P．提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論？學(xué)生：PA·PB=PC·PD．這時，PC和PD有什么關(guān)系呢？根據(jù)是什么？學(xué)生：PC=PD，根據(jù)垂徑定理．在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出：PC2=PA·PB．請學(xué)生用文字語言將這一結(jié)論敘述出來，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確．教師糾正，并板書．推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．得出推論后，教師指出：由于圓是軸對稱圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則CP2=PA·PB．(圖4)若再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：PC2=PA·PB；AC2=AP·AB；CB2=BP·AB．二、應(yīng)用舉例例1已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點分成的兩段的長．引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解．學(xué)生口述，教師寫出解答過程．例2已知：線段a，b，求作：線段c，使c2=ab．分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線段a＋b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段．作法：學(xué)生口述作法，教師黑板上作圖．(圖5)教師指出：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用．同時可啟發(fā)學(xué)生考慮通過其它途徑完成作圖．練習(xí)1如圖6，AP=2厘米，PB=厘米，CP=1厘米，求CD．(投影打出)變式練習(xí)：若AP=2厘米，PB=厘米，CP，DP的長度皆為整數(shù)．那么CD的長度是多少？將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．練習(xí)2如圖7，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP=4厘米，PD=2厘米．求PO的長．引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)相交弦定理的推論．先求出CP．進(jìn)而再求OP的長，并請一名學(xué)生板演．練習(xí)3如圖8：在⊙O中，P是弦AB上一點，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求證PC2=PA·PB．(投影打出)引導(dǎo)學(xué)生分析：由AP·PB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長CP交⊙O于D，于是有PC·PD=PA·PB又根據(jù)條件OP⊥PC．易證得PC=PD．問題得證．三、小結(jié)首先教師提出問題：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上．教師提出：這節(jié)課學(xué)習(xí)了相交弦定理和它的推論．這一定理及其推論在證明等積式以及圓中相關(guān)線段的求值問題中有著較為廣泛的運(yùn)用．學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法．最后教師還應(yīng)指出：相交弦定理只介紹了圓內(nèi)兩弦相交這一特殊情況．如果兩弦的延長線相交會有什么結(jié)論？(提出問題讓學(xué)生課