回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正交設(shè)計(jì)：優(yōu)方案只能限制在已定的水平上，而不是一定試驗(yàn)范圍內(nèi)的最優(yōu)方案回歸正交設(shè)計(jì)（orthogonalregressiondesign）：可以在因素的試驗(yàn)范圍內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)用較少的試驗(yàn)建立回歸方程能解決試驗(yàn)優(yōu)化問(wèn)題不適合非數(shù)量性因素第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析建立試驗(yàn)指標(biāo)（y）與m個(gè)試驗(yàn)因素x1，x2，…，xm之間的一次回歸方程例：m＝3時(shí)，一次回歸方程：

y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3其中x1，x2，x3表示3個(gè)因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程：

y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1.1一次回歸正交設(shè)計(jì)的基本方法（1）確定因素的變化范圍以因素xj為例：設(shè)xj

的變化范圍為[xj1，xj2]xj1為xj的下水平xj2為xj的上水平

xj0為xj的零水平：xj0＝(xj1＋xj2)/2因素xj的變化間距Δj：Δj＝上水平－零水平＝xj2－xj0Δj=(xj2

－xj1)/2第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）因素水平的編碼zj：因素xj的編碼，稱為規(guī)范變量

xj：自然變量

上水平xj2的編碼：zj2＝1下水平xj1的編碼：zj1＝－1零水平xj0的編碼：zj0＝0編碼（coding）：將因素xj的各水平進(jìn)行線性變換：第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四編碼目的：使每因素的每水平在編碼空間是“平等”的，規(guī)范變量zj的取值范圍都是[－1，1]編碼能將試驗(yàn)結(jié)果y與因素xj（j＝1，2，…，m）之間的回歸問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成試驗(yàn)結(jié)果y與編碼值z(mì)j之間的回歸問(wèn)題第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）一次回歸正交設(shè)計(jì)表將二水平的正交表中“2”用“－1”代換，例：第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四回歸正交設(shè)計(jì)表的特點(diǎn)：任一列編碼的和為0任兩列編碼的乘積之和等于0第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）試驗(yàn)方案的確定可參考正交設(shè)計(jì)的表頭設(shè)計(jì)方法交互作用列的編碼等于表中對(duì)應(yīng)兩因素列編碼的乘積零水平試驗(yàn)（中心試驗(yàn)）表頭設(shè)計(jì)：第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1.2一次回歸方程的建立總試驗(yàn)次數(shù)為n

：

n＝mc＋m0mc：二水平試驗(yàn)次數(shù)m0：零水平試驗(yàn)次數(shù)一次回歸方程系數(shù)的計(jì)算：常數(shù)項(xiàng)：a一次項(xiàng)系數(shù)：bj交互項(xiàng)系數(shù)：bjk第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

j＝1，2，…，m

j＞k,k＝1，2，…，m－1說(shuō)明：求得的回歸系數(shù)直接反映了該因素作用的大小回歸系數(shù)的符號(hào)反映了因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的正負(fù)第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1.3回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析8.1.3.1無(wú)零水平試驗(yàn)時(shí)①平方和：總平方和：一次項(xiàng)偏回歸平方和：交互項(xiàng)偏回歸平方和：回歸平方和：殘差平方和：第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四②自由度dfT＝n―1各種偏回歸平方和的自由度＝1回歸平方和的自由度：殘差自由度：第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四③均方④F檢驗(yàn)：回歸方程顯著性檢驗(yàn)偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)：判斷因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)的影響程度經(jīng)檢驗(yàn)不顯著的因素或交互作用應(yīng)歸入殘差，重新檢驗(yàn)可直接從回歸方程中剔除這些一次和交互項(xiàng)第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例8-1：（1）因素水平編碼第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）正交表的選擇和試驗(yàn)方案的確定第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）回歸方程的建立m0＝0，n＝mc＝8計(jì)算表計(jì)算各回歸系數(shù)寫出y與規(guī)范變量zj的回歸方程根據(jù)偏回歸系數(shù)絕對(duì)值大小，確定因素和交互作用主次根據(jù)偏回歸系數(shù)正負(fù)，得到各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響方向（4）方差分析（5）回歸方程的回代：得到試驗(yàn)指標(biāo)y與自然變量xj的回歸方程第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1.3.2有零水平試驗(yàn)時(shí)目的：進(jìn)行回歸方程的失擬性（lackoffit）檢驗(yàn)（要求m0≥2）失擬性檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)一次回歸方程在整個(gè)研究范圍內(nèi)的擬合情況失擬性檢驗(yàn)步驟：第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)m0次零水平試驗(yàn)結(jié)果為y01，y02，…，y0m0

①重復(fù)試驗(yàn)誤差：平方和：重復(fù)試驗(yàn)誤差的自由度：②回歸方程失擬部分：失擬平方和：失擬平方和自由度：第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于給定的顯著性水平α（一般取0.1）當(dāng)FLf＜Fα（dfLf，dfe1）時(shí)，就認(rèn)為回歸方程失擬不顯著，失擬平方和SSLf是由隨機(jī)誤差造成的，所建立的回歸方程是擬合得很好例8-2③失擬檢驗(yàn)：第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2二次回歸正交組合設(shè)計(jì)回歸方程的建立：根據(jù)最小二乘法原理得到正規(guī)方程組求解正規(guī)方程組，得回歸系數(shù)要求：試驗(yàn)次數(shù)＞回歸方程的項(xiàng)數(shù)回歸正交組合設(shè)計(jì)：在一次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再增加一些特定的試驗(yàn)點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合形成試驗(yàn)方案

第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2.1二次回歸正交組合設(shè)計(jì)表（1）二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案二元二次回歸方程：試驗(yàn)方案第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正交組合設(shè)計(jì)的三類試驗(yàn)點(diǎn)及次數(shù)：二水平試驗(yàn)：全實(shí)施：mc＝2m

1/2實(shí)施：mc＝2m－11/4實(shí)施：mc＝2m－2

星號(hào)試驗(yàn)：與原點(diǎn)（中心點(diǎn)）的距離都為γ

mγ＝2m

零水平試驗(yàn)：各因素水平編碼都為零時(shí)的試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)m0

第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案三元二次回歸方程：試驗(yàn)方案第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）星號(hào)臂長(zhǎng)度與二次項(xiàng)的中心化

①星號(hào)臂長(zhǎng)度星號(hào)臂長(zhǎng)度γ與因素?cái)?shù)m，零水平試驗(yàn)次數(shù)m0及二水平試驗(yàn)數(shù)mc有關(guān)γ的確定公式計(jì)算第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四參考表8-18m0因素?cái)?shù)m234（1/2實(shí)施）45（1/2實(shí)施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回歸正交組合設(shè)計(jì)γ值表第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四②二次項(xiàng)的中心化對(duì)二次項(xiàng)的每個(gè)編碼進(jìn)行中心化處理：

(二次項(xiàng)編碼)－(二次項(xiàng)編碼算術(shù)平均值)試驗(yàn)號(hào)z1z2z1z2z12z22z1’z2’1111111/31/321－1－1111/31/33－11－1111/31/34－1－11111/31/35100101/3－2/36－100101/3－2/3701001－2/31/380－1001－2/31/3900000－2/3－2/3二元二次回歸正交組合設(shè)計(jì)編碼表第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2.2二次回歸正交組合設(shè)計(jì)的應(yīng)用（1）基本步驟①因素水平編碼試驗(yàn)因素的水平被編為－γ，－1，0，1，γ變化間距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四規(guī)范變量zj自然變量xjx1x2…xm上星號(hào)臂γx1γx2γ…xmγ上水平1x12＝x10＋Δ1x22＝x20＋Δ2…xm2＝xm0＋Δm零水平0x10x20…xm0下水平－1x11＝x10－Δ1x21＝x20－Δ2…xm1＝xm0－Δm下星號(hào)臂－γx－1γx－2γ…x－mγ變化間距ΔjΔ1Δ2…Δm因素水平的編碼表第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四②確定合適的二次回歸正交組合設(shè)計(jì)參考表8-22因素?cái)?shù)m選用正交表表頭設(shè)計(jì)mcmγ2L4（23）1，2列22＝443L8（27）1，2，4列23＝864（1/2實(shí)施）L8（27）1，2，4，7列24－1＝884L16（215）1，2，4，8列24＝1685（1/2實(shí)施）L16（215）1，2，4，8，15列24－1＝16105L32（231）1，2，4，8，16列25＝3210正交表的選用③試驗(yàn)方案的實(shí)施

第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四④回歸方程的建立常數(shù)項(xiàng)：a一次項(xiàng)偏回歸系數(shù)bj：交互項(xiàng)偏回歸系數(shù)bkj：二次項(xiàng)偏回歸系數(shù)bjj：第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑤回歸方程顯著性檢驗(yàn)總平方和：交互項(xiàng)偏回歸平方和：二次項(xiàng)偏回歸平方和：一次項(xiàng)偏回歸平方和：平方和：回歸平方和：殘差平方和：第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自由度：dfT＝n―1各種偏回歸平方和的自由度：1

回歸平方和的自由度：

殘差平方自由度：

第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四回歸系數(shù)的檢驗(yàn)：第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑥失擬性檢驗(yàn)⑦回歸方程的回代⑧最優(yōu)試驗(yàn)方案的確定:回歸方程的“規(guī)劃求解”根據(jù)極值的必要條件：…（2）例8-3第40頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.3二次回歸正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)（1）基本概念回歸旋轉(zhuǎn)正交設(shè)計(jì)：規(guī)范變量空間（編碼空間）內(nèi)，與試驗(yàn)中心點(diǎn)（零水平點(diǎn)）距離相等的球面上各點(diǎn)回歸方程預(yù)測(cè)值的方差相等（2）三類試驗(yàn)點(diǎn)