自學(xué)專題二函不等式列極限數(shù)學(xué)歸納法一能培歸納

猜想

證明

轉(zhuǎn)化能力

運算能力

反思能二問探問題1數(shù){}足an

12

a1

2

a,(nn

).則{

n

}通項公式

n

=;(II)則

1an

100n

的最小值為

;(III)設(shè)函數(shù)

f(n)

是

1an

100n

與

的最大者則

f(n)

的最小值為

問題2已定義在上函數(shù)

f(x

和數(shù)列{

n

}足下列條:(a)(n=2,3,4,1n21

fa)f(a)=(a)(=2,3,4,,為零常數(shù).nnnn令

nn

n

(

nN

證數(shù)列

{}n

是等比數(shù)列(II)求數(shù)列{

n

}通項公式(III)當

k

時求

liman

n

問題3已兩點M

(

且點P使

PM

成公差小于零的等差數(shù)列.點的跡是什么曲(II)若坐標為三習(xí)探選擇題

(xy)00

記為與PN的夾角求tan列

{}n

的通項公式

an

2

kn

若數(shù)列滿足

n

(

nN

則k的值范圍是

k

k

C,

k

k差數(shù)列

{}{}前項分別為,若n

Sn,則=Tbn

22n2nC,3nn

2n知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù),們的公比為

則

的取值范圍是

(0,

111)B,,1]C,[1,)()222/

nnnn在差列

{},an1

125

第10項開始比1大記

1lim(a),則t的取值范圍是2nn

t

4344D,75752575507550A

(y)1

(xy)22

,C

(x,)33

是橢圓

x22(2b2

)上三個F為點若

,BF,CF

成等差數(shù)列則有

x23

yy2

C,

21x23

x2

2

x1中tanA是以為三4為第七項的等差數(shù)列的公

tan

是以

13

為第三項9第六項的等比數(shù)列的公則這個三角形是鈍三角形B,銳角三角形等腰直角三角形填空

D,以上都不對差數(shù)列

{}n(6)和324nn

且前6項為36,后項和為180,

n

2232n26n

則

limnn

等比數(shù)列

{}n

中,

lim(a1nn

115

則

1

的取值范圍是

一個數(shù)列

{}n

當

n

為奇數(shù)時,

nn

當

n

為偶數(shù)時

2n

n2

則這個數(shù)列的前

項之和

2m

等差數(shù)列

{}n

中,

S

n

是它的前

n

項和且

6

7

7

8

則此數(shù)列的公差

②

,是各項中最大的一,一定是S中最大,中正確的是97

解答題已知

fx)12

2

3

3

n

n

且

1

組成等差數(shù)(n為偶數(shù)又

f(1)

2

f(

,(I)求列的通項

n

;(II)試比較

1f2

與大并明理由.已知函數(shù)

f)xbx

是偶函數(shù),

()

是奇函數(shù)正數(shù)數(shù)列

{}n

滿足,f(a1

)(aann

2

)

若

{}n

前

n

項的和為

S

n

則

limSn

n

=;(II)若

)(n

),中的項的最大值和最小值n/7

nfn)nfn)設(shè)函數(shù)

f(x

的定義域為全體實數(shù)對任意不相等的實數(shù)

x1

x2

都有

fx)(x)11

且存在

x0

使得

f)0

數(shù)列

{}n

中

10

f()n

(nN)n

求證對于任意的自然數(shù)n,:;(II)xn0n參答

問題1解:

a1

2

an

得

S

n

=

n

2

an當n時n

n

=

2

n

n

有

2

2n

n

即

annann

于是

aaa2n3又aaaa345(n1123n

a

11得=2(由于也適合該式,a1

(

(II)

1an

100n

=

=

(n49.5)2450.25所以當n或50時

1an

100n有小值2450.(III)因

1f(n)是100與的最大者有an

n(100)

有

f

min

()

=

f(1)=1.問題2(I)證明:由

,bfa)f)()121212

由數(shù)學(xué)歸納法可證

n

(n

).而當n2時

baf()(a)k()nnnbannnn

因此數(shù)列

{}n

是一個公比為的比數(shù)列.(II)解由(I)知

bn

n1

n

()(2

)當k時b12

n

(/7

當

k

時,

)121

(

)而

)12n2132

n

)(2)n

有當

k

時,

n

=

(a)2

n

(

;當

k

時,

n

=

(a)(n2)2

以上兩式對時成于是當k時a)n121

1=(a))當時,n)anf(a))n

(III)解當k時alim[()nn

f(]1

問題3解:(I)設(shè)P(

,y由,N得PM,

,)

(2,0)有

MP2(1)

2

2

,2(1)

于是

PM

NM

成公差小于零的等差數(shù)列等價于

x2y[2(1)2(1)]即))

所以點的跡是以原點為圓3為徑的右半圓C.(II)設(shè)P(

x0

0

則點P在圓C上

PM0

2

又

PM

)0

2

y

0

2

)0

2

y

0

2

=

(4x)=400

2

得

PMPM

又

x0

0

2

有

12

0sin3

cos

1

14

由此得

3y00

習(xí)題解答

n

nn

nN

恒成立有

3

得

k

選/7

n323n111n323n111

aa2n2bb1

n(2n

S2n2Tnn

選B.三邊長分別為

,aq

2

且

①當

時,由

aqaq

2

得

1

152

;②當

時由aq

2

a

得

55,是得222

選

d且d而lim1019n

1d(a)n2

又

a1

17于是257550

選D.橢圓第2定得

AFx1

2)x)BF)c

選條件得

4,9

13

tan有tanB

得

C

A)])

于是

為銳角三角,B.

36a12345n

n

n

n

n

180

有(a)a)16n

)即a)1

得

1n

=36,又

a1324,解得2

1111113limS333n2222nn12

條件知公比

滿足

q

且

1

當

時,

01

115

;當

時,

1212.是的取值范圍是)(,)151515

當為數(shù)時相鄰兩項為a與nn

由

n得nn

2)nn=10,

1

所以

{}n

中的奇數(shù)項構(gòu)成以

1

為首項公差

的等差數(shù)列./7

2nnnn1nn14n2nnnn1nn14n當n為偶數(shù)相鄰兩項為與,2nnn

n2

得

na2n,且aan22所以

{}n

中的偶數(shù)項構(gòu)成以

2

為首項公q2的比數(shù)列由此得

2m

m(m2(1mm

2

由

,677

8

得

a7

有

;

9

6

;

S

7

是

S

n

中的最大值選①②④.解(I)

f題意有1n

a=,and11

①又

f1n

n

(n

為正偶數(shù))得

代入①有

2nn

(II)

11f())2)3222

n

1f())2))22

n得

11111)f()2()2)3n22222

n于是

11f())22

解(I)可得

f)2

()

由知

f(an

)(aa)nn

得a1(3a))而有n,是limann3

(II)

bf)(a)annn

583)218

由

214374a)知的最大值為最小值為b3243

證明用數(shù)學(xué)歸納法當

時,

10

命題成立.假設(shè)當

(

k

)時

ak

成立那么當

時由

f(xfx)x11

得

f(x)f(a),又f),a)x0kk0000k

而

得xfa)k00k

于是

xf(ak0

k

即

af()xf(a)

又

fa)2akk