第三章線性方程組線性方程組消元法線性方程組有解判別定理線性方程組應(yīng)用第1頁第1頁第一節(jié)線性方程組消元法一、線性方程組基本概念1.線性方程組定義引例 有三家生產(chǎn)同一個產(chǎn)品工廠A1、A2、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2，其用量分別為45t和25t第2頁第2頁引例

有三家生產(chǎn)同一個產(chǎn)品工廠A1、A2、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨品每公里運(yùn)費(fèi)為1元，問各廠產(chǎn)品如何調(diào)配才干使總運(yùn)費(fèi)至少？第3頁第3頁解設(shè)各廠到各用戶產(chǎn)品數(shù)量如表1-2依題意，3個廠總產(chǎn)量和用戶總用量相等：第4頁第4頁再來看總運(yùn)費(fèi)，由表1-1：12于是，題目要處理問題是：使之滿足方程組①和②并使總運(yùn)費(fèi)至少.第5頁第5頁

幾種線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)個數(shù)為n，方程個數(shù)為m，則線性方程組能夠?qū)懗上铝行问剑喝舫?shù)項均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，不然，稱為非齊次線性方程組.第6頁第6頁2.線性方程組線性組合線性方程加法：將兩個線性方程(1)(2)左右兩邊相加得到下列新線性方程：稱為本來兩個線性方程和。第7頁第7頁線性方程乘常數(shù)將線性方程兩邊同乘以已知常數(shù)，線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程數(shù)乘。線性方程線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個已知常數(shù)再將所得兩個方程相加，得到新方程：得到一個新線性方程：第8頁第8頁(3)稱為本來兩個方程(1)和(2)一個稱為這個線性方程組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)解。對給定兩個線性方程組(I)和(II)，假如(II)中每個方程都是(I)中方程線性組合，就稱(II)是(I)線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個方程組等價，等價線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)過程稱為同解變換。第9頁第9頁例1二、線性方程組消元法求解線性方程組1、線性方程組初等變換第10頁第10頁解第11頁第11頁用“回代”辦法求出解：第12頁第12頁于是解得(2)第13頁第13頁小結(jié)：1．上述解方程組辦法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到下列三種變換（1）互換方程順序；（2）以不等于０數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組初等變換．（以替換）（與互相替換）第14頁第14頁3．上述三種變換都是可逆．由于三種變換都是可逆，因此變換前方程組與變換后方程組是同解．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組初等變換總是把方程組變成同解方程組．第15頁第15頁2、利用初等變換解普通線性方程組(化為階梯型方程組)第16頁第16頁2、利用初等變換解普通線性方程組(化為階梯型方程組)第17頁第17頁2、利用初等變換解普通線性方程組(化為階梯型方程組)第18頁第18頁2、利用初等變換解普通線性方程組(化為階梯型方程組)第19頁第19頁2、利用初等變換解普通線性方程組(化為階梯型方程組)第20頁第20頁第21頁第21頁第22頁第22頁第23頁第23頁定理2在齊次線性方程組證實：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個數(shù)不會超出原方程組中方程個數(shù)，即第24頁第24頁在第一章用消元法討論線性方程組第二節(jié)線性方程組有解判別定理（1）求解問題.第三章中(1)式寫成以向量x為未知元方程（2）第25頁第25頁定理1線性方程組(1)有解充足必要條件是有無窮多個解.；當(dāng)時，方程組(1)只有唯一解；時，方程組(1)證實線性方程組(1)經(jīng)初等變換后可化為：（3）第26頁第26頁其中那么，相應(yīng)矩陣行初等變換將方程組(1)系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B分別化成第27頁第27頁由于都是階梯型矩陣，因此能夠看出而第28頁第28頁而初等變換不改變矩陣秩，因此定理2

n元齊次線性方程組有非零解充足必要條件是系數(shù)矩陣秩.推論1當(dāng)時，齊次線性方程組只有唯一零解.推論2當(dāng)時，齊次線性方程組有非零解充足必要條件是.第29頁第29頁例1

解齊次線性方程組解

對系數(shù)矩陣A作初等變換變?yōu)樽詈喰危旱?0頁第30頁原方程同解方程組為取為自由變量，即得第31頁第31頁令，將之寫成為通常參數(shù)形式其中為任意實數(shù)，寫成列向量形式第32頁第32頁例2設(shè)有線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？并在有無窮多個解時求其通解．

問為何值時，此線性方程組第33頁第33頁解由于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，故可從系數(shù)矩陣行列式入手討論．由于第34頁第34頁故由克拉默法則知，當(dāng)，，時,當(dāng)時，寫出相應(yīng)方程組增廣矩陣，方程組有唯一解．并把它化成行階梯形矩陣第35頁第35頁因此方程組無解．

第36頁第36頁當(dāng)時，

因此方程組無解．

第37頁第37頁當(dāng)時，

因此方程組有無窮多個解．第38頁第38頁取為自由未知量，得原方程組同解方程組為

即令為任意常數(shù)，則得方程組通解為

第39頁第39頁例3

設(shè)有線性方程組解第40頁第40頁第41頁第41頁其通解為第42頁第42頁這時又分兩種情形：第43頁第43頁定理3矩陣方程有解充足必要條件是.第44頁第44頁例4求解齊次線性方程組解第45頁第45頁即得與原方程組同解方程組第46頁第46頁由此即得第47頁第47頁例5求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．第48頁第48頁例6求解非齊次方程組通解解

對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換第49頁第49頁故方程組有解，且有第50頁第50頁因此方程組通解為第51頁第51頁例7

解證對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，方程組增廣矩陣為第52頁第52頁第53頁第53頁由于原方程組等價于方程組由此得通解：第54頁第54頁第三節(jié)線性方程組應(yīng)用第55頁第55頁劍橋減肥食譜問題

一個在20世紀(jì)80年代很流行食譜，稱為劍橋食譜，是通過多年研究編制出來。這是由AlanH.Howard博士領(lǐng)導(dǎo)科學(xué)家團(tuán)隊通過8年對過度肥胖病人臨床研究，在劍橋大學(xué)完畢。這種低熱量粉狀食品準(zhǔn)確地平衡了碳水化合物、高質(zhì)量蛋白質(zhì)和脂肪、配合維生素、礦物質(zhì)、微量元素和電解質(zhì)。為得到所希望數(shù)量和百分比營養(yǎng)，Howard博士在食譜中加入了各種食品。每種食品供應(yīng)了各種所需要成份，然而沒有按正確百分比。比如，第56頁第56頁脫脂牛奶是蛋白質(zhì)主要起源但包括過多鈣，因此大豆粉用來作為蛋白質(zhì)起源，它包括較少許鈣。然而大豆粉包括過多脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪較少，然而乳清又含有過多碳水化合物…在這里我們把問題簡化，看看這個問題小規(guī)模情形。表1是該食譜中3種食物以及100克每種食物成份含有一些營養(yǎng)素數(shù)量。第57頁第57頁31.170脂肪

45743452碳水化合物

33135136蛋白質(zhì)

乳清

大豆面粉

脫脂牛奶

減肥所要求每日營養(yǎng)量每100克食物所含營養(yǎng)（g）營養(yǎng)

表1第58頁第58頁

假如用這三種食物作為天天主要食物，那么它們用量應(yīng)各取多少才干全面準(zhǔn)確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？

以100克為一個單位，為了確保減肥所要求每日營養(yǎng)量，設(shè)每日需食用脫脂牛奶x1個單位，大豆面粉x2個單位，乳清x3個單位，則由所給條件得第59頁第59頁解上方程組得，解為即為了確保減肥所要求每日營養(yǎng)量，每日需食用脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。

MATLAB代碼下列：Untitled2.mclear;A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1];b=[33;45;3];U=rref([A,b])第60頁第60頁網(wǎng)絡(luò)流問題當(dāng)科學(xué)家、工程師或者經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一些數(shù)量在網(wǎng)絡(luò)中流動時自然推導(dǎo)出線性方程組。比如，都市規(guī)劃和交通工程人員監(jiān)控一個網(wǎng)絡(luò)狀市區(qū)道路交通流量模式；電氣工程師計算流經(jīng)電路電流；以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析通過度銷商和零售商網(wǎng)絡(luò)從制造商到用戶產(chǎn)品銷售。許多網(wǎng)絡(luò)中方程組涉及成百甚至上千變量和方程。一個網(wǎng)絡(luò)涉及一組稱為接合點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)點(diǎn)集，并由稱為分支線或弧連接部分或所有節(jié)點(diǎn)。流方向在每個分支上有標(biāo)示，流量（速度）也有顯示或用變量標(biāo)識。第61頁第61頁

網(wǎng)絡(luò)流基本假設(shè)是所有流入網(wǎng)絡(luò)總流量等于所有流出網(wǎng)絡(luò)總流量，且所有流入一個節(jié)點(diǎn)流量等于所有流出此節(jié)點(diǎn)流量。于是，對于每個節(jié)點(diǎn)流量能夠用一個方程來描述。網(wǎng)絡(luò)分析問題就是擬定當(dāng)局部信息（如網(wǎng)絡(luò)輸入）已知時，求每一分支流量。第62頁第62頁電路問題

在工程技術(shù)中所碰到電路，大多數(shù)是很復(fù)雜，這些電路是由電器元件按照一定方式互相連接而構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)。在電路中，含有元件導(dǎo)線稱為支路，而三條或三條以上支路會合點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。電路網(wǎng)絡(luò)分析，粗略地說，就是求出電路網(wǎng)絡(luò)種各條支路上電流和電壓。對于這類問題計算，通常采用基爾霍夫（Kirchhoff）定律來處理。以圖3-2所表示電路網(wǎng)絡(luò)部分為例來加以闡明。

第63頁第63頁第64頁第64頁設(shè)各節(jié)點(diǎn)電流如圖所表示，則由基爾霍夫第一定律（簡記為KCL）（即電路中任一節(jié)點(diǎn)處各支路電流之間關(guān)系：在任一節(jié)點(diǎn)處，支路電流代數(shù)和在任一瞬時恒為零（通常把流入節(jié)點(diǎn)電流取為負(fù)，流出節(jié)點(diǎn)電流取為正）。該定律也稱為節(jié)點(diǎn)電流定律），有對于節(jié)點(diǎn)A：

對于節(jié)點(diǎn)B：對于節(jié)點(diǎn)C：對于節(jié)點(diǎn)D：第65頁第65頁于是求各個支路電流就歸結(jié)為下面齊次線性方程組求解相應(yīng)MATLAB代碼為：dianliu.mclearA=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];b=[0;0;0;0];[R,s]=rref([A,b]);r=length(s);disp('相應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系為：')x=null(A,'r')第66頁第66頁其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均為正數(shù)，因此通解中3個任意常數(shù)應(yīng)滿足下列條件：

假如則：解之，得其解為第67頁第67頁

交通流問題

圖3-3給出了某都市部分單行街道在一個下午早些時候交通流量（每小時車輛數(shù)目）。計算該網(wǎng)絡(luò)車流量。

第68頁第68頁第69頁第69頁由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，有對于節(jié)點(diǎn)A：對于節(jié)點(diǎn)B：對于節(jié)點(diǎn)C：對于節(jié)點(diǎn)D：對于節(jié)點(diǎn)E：于是，所給問題能夠歸結(jié)為下列線性方程組求解。

第70頁第70頁求解該問題相應(yīng)MATLAB代碼：wangluo.mclearA=[-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,-1,1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,0,1,0,-1;1,0,-1,0,0,0];b=[50;0;-60;50;-40];[R,s]=rref([A,b]);[m,n]=size(A);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);disp('非齊次線性方程組特解為：')x0disp('相應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系為：')x=null(A,'r')第71頁第71頁解這個方程組，得

其中：第72頁第72頁馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來做數(shù)學(xué)模型。在每種情形中，該模型習(xí)慣上用來描述用同一個辦法進(jìn)行多次試驗或測量，試驗中每次測試結(jié)果屬于幾種指定也許結(jié)果之一，每次測試結(jié)果依賴于最近前一次測試。

比如，若每年要統(tǒng)計一個都市及其郊區(qū)人口，像這樣向量能夠顯示60%人口住在這個都市中，40%人口住在郊區(qū)。中分量加起來等于1，是闡明這個地域總?cè)丝凇?/p>

第73頁第73頁當(dāng)向量在中一個馬爾科夫鏈描述一個系統(tǒng)或試驗時，中數(shù)值分別列出系統(tǒng)在n個也許狀態(tài)中概率，或試驗結(jié)果是n個也許結(jié)果之一概率。稱為狀態(tài)向量。馬爾科夫鏈可用一階差分方程來刻畫：

定義1

一個含有非負(fù)分量且各分量數(shù)值相加等于1向量稱為概率向量；各列向量均為概率向量方陣稱為隨機(jī)矩陣；一個概率向量序列和一個隨機(jī)矩陣P，使得稱為馬爾科夫鏈。第74頁第74頁下面我們先看一個數(shù)值例子

例

令考慮系統(tǒng)：它狀態(tài)由馬爾科夫鏈描述，伴隨時間流逝，這個系統(tǒng)將有什么結(jié)果？解

后面向量中數(shù)值保留4位或5位有效數(shù)字。第75頁第75頁繼續(xù)可得這些向量似乎是迫近

。注意到下面第76頁第76頁若系統(tǒng)處于狀態(tài)q，則從上一次測量到下一次測量，系統(tǒng)沒有發(fā)生改變。

定義2

若P是隨機(jī)矩陣，則滿足概率向量q稱為隨機(jī)矩陣P穩(wěn)態(tài)向量。若隨機(jī)矩陣P冪

僅包括正數(shù)值，稱P是一個正則隨機(jī)矩陣。

在上例中，向量q是隨機(jī)矩陣P穩(wěn)態(tài)向量。又第77頁第77頁

關(guān)于馬爾科夫鏈我們有下面定理

定理

若P是一個正則隨機(jī)矩陣，則P含有惟一穩(wěn)態(tài)向量q。進(jìn)一步，若x0是任一個起始狀態(tài)，且，則當(dāng)時，馬爾科夫鏈?zhǔn)諗康絨。

這個定理證實在相關(guān)馬爾科夫鏈教科書可找到，這里不做證實。這個定理奇妙之處于于初始狀

由于P2中每個數(shù)是嚴(yán)格正，故P是一個正則隨機(jī)矩陣。第78頁第78頁狀態(tài)對馬爾科夫鏈長期行為沒有影響。下面舉一例闡明求解隨機(jī)矩陣穩(wěn)態(tài)向量一個辦法。例

設(shè)，求P穩(wěn)態(tài)向量。

解

由定義知，穩(wěn)態(tài)向量是方程解，因此求穩(wěn)態(tài)向量就是要解這個方程。

即第79頁第79頁最后，在

全體解集合中求一個概率向量，這是簡樸，在通解中，令，得則q即為所求。容易求得其通解為

相應(yīng)MATLAB代碼為：weitai.mP=[0.6,0.3;0.4,0.7];E=[1,0;0,1];[R,s]=rref(P-E);r=length(s);x=null(P-E,'r')第80頁第80頁聯(lián)合收入問題

已知三家公司X,Y,Z含有圖2-1所表示股份關(guān)系，即X公司掌握Z公司50%股份，Z公司掌握X公司30%股份，而X公司70%股份不受另兩家公司控制等等。

現(xiàn)設(shè)X，Y和Z公司各自營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司聯(lián)合收入是其凈收入加上在其它公司股份按百分比分成收入、試擬定各公司聯(lián)合收入及實際收入。第81頁第81頁

解

依照圖2-1所表示各個公司股份百分比可知，若設(shè)X、Y、Z三公司聯(lián)合收入分別為x,y,z,則其實際收入分別為0.7x，0.2y，0.3z。故而現(xiàn)在應(yīng)先求出各個公司聯(lián)合收入。由于聯(lián)合收入由兩部分構(gòu)成，即營業(yè)凈收入及從其它公司分成收入，故對每個公司可列出一個方程，對X公司為x=10+0.7y+0.5z對Y公司為y=100000+0.2z對Z公司為z=80000+0.3x+0.1y第82頁第82頁故得線性方程組因系數(shù)行列式故此方程組有唯一解。MATLAB代碼為：symsxyzeq1=sym('x-0.7*y-0.5*z=10');eq2=sym('y-0.2*z=100000');eq3=sym('-0.3*x-0.1*y+z=80000');[xyz]=solve(eq1,eq2,eq3)第83頁第83頁Y公司聯(lián)合收入為y=137309.64(元)實際收入為0.2*137309.64=27461.93(元)Z公司聯(lián)合收入為z=186548.22(元)實際收入為0.3*186548.22=55964.47(元)于是X公司聯(lián)合收入為X=309390.86(元)實際收入為0.7*309390.86=216573.60（元）第84頁第84頁

當(dāng)代飛行器外形設(shè)計例把飛行器外形分成若干大部件，每個部件沿著其表面又用三維細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機(jī)身表面以及此表面內(nèi)外空氣。對每個立方體列寫出空氣動力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰立方體共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。對一個飛行器，小立方體數(shù)目能夠多達(dá)400,000個，而要解聯(lián)立方程也許多達(dá)2,000,000個。第85頁第85頁

向量組線性相關(guān)性應(yīng)用第86頁第86頁藥方配制問題經(jīng)過中成藥藥方配制問題，了解向量組線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量線性表示以及向量空間等線性代數(shù)知識。問題：某中藥廠用9種中草藥A-I，依據(jù)不同百分比配制成了7種特效藥，各用量成份見表1（單位：克）。第87頁第87頁206201228I103510101656H25392251749G505535535525F633525210E35471552597D014501135C5560352512012B10038201214210A7號成藥6號成藥5號成藥4號成藥3號成藥2號成藥1號成藥中藥

表1

第88頁第88頁試解答：（1）某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠第3號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷藥物。（2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新特效藥，表2給出了三種新特效藥成份，請問能否配制？如何配制？第89頁第89頁305214I216841H3811871G8015550F76053E5110244D82714C6714162B8816240A3號新藥2號新藥1號新藥中藥

表2第90頁第90頁解：（1）把每一個特效藥當(dāng)作一個九維列向量:u1,u2,u3,u4,u5

,u6,u7分析7個列向量構(gòu)成向量組線性相關(guān)性。若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷特效藥；若向量組線性相關(guān)，且能將u3,u6用其余向量線性表示，則能夠配制3號和6號藥物問題（1）分析與求解第91頁第91頁Matlab代碼u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][U0,r]=rref(U)

計算結(jié)果為第92頁第92頁從最簡行階梯型U0中能夠看出r=12457，R(U)=5,向量組線性相關(guān)，一個最大無關(guān)組為

故能夠配制3號和6號藥。第93頁第93頁問題（2）分析與求解

三種新藥用v1，v2，v3表示，問題化為v1，v2，v3能否由u1-u7線性表示，若能表示，則可配制；不然，不能配制。令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3][U0,r]=rref(U)計算結(jié)果為v1v2v3第94頁第94頁由U0最后三列能夠看出結(jié)果一個最大無關(guān)組為：u1,

u2,u4,

u5,u7,v3,能夠看出

v1=u1+3u2+2u4，

v2=3u1+4u2+2u4+u7由于v3在最大無關(guān)組,不能被線性表示，因此無法配制。第95頁第95頁

特性值、特性向量應(yīng)用

第96頁第96頁

假設(shè)A可對角化，特性向量，，特性值

基，故任一初始向量x0可惟一表示為

(1)x0這種特性向量分解擬定了序列所發(fā)生情況。由于是特性向量，因此

普通地有(2)第97頁第97頁下面例子闡明當(dāng)時，(2)會出現(xiàn)什么結(jié)果。

生態(tài)系統(tǒng)

用表示在時間k（單位：月）貓頭鷹和老鼠數(shù)量，是在研究區(qū)域貓頭鷹數(shù)量，是老鼠數(shù)量（單位是千只）。設(shè)它們滿足下面方程（3）其中p是被指定正參數(shù)。第1個方程中表示，假如沒有老鼠為食物，每月僅有40%貓頭鷹存活下來，第2個方程表明，假如沒有貓頭鷹捕食老鼠，則老鼠數(shù)量每月增長20%。若有足夠多老鼠，表示貓頭鷹增長數(shù)量，而負(fù)第98頁第98頁

解

方程（3）差分方程形式為，其中當(dāng)p=0.325時，矩陣特性值為和，相應(yīng)特性向量是

初始向量x0可表示為，那么對k≥0，有項表示由于貓頭鷹捕食所引起老鼠死亡數(shù)量（事實上，一個貓頭鷹每月平均吃掉1000p只老鼠）。當(dāng)p=0.325時，預(yù)測該系統(tǒng)發(fā)展趨勢。第99頁第99頁當(dāng)k→∞時，不久趨于零。假設(shè)c1>0，那么對所有足夠大k，有(4)伴隨k增大，上式近似程度會更加好，故對足夠大k(5)近似式（5）表明最后2個分量（貓頭鷹和老鼠數(shù)量）每月以大約1.05倍數(shù)增長，即月增長率為5%。由（4），就近似等于（6,13）倍數(shù)，因此，2分量之比率也近似于6與13比率,第100頁第100頁

該例闡明了相關(guān)生態(tài)系統(tǒng)兩個基本事實，若A是n階矩陣，它特性值滿足和，是相應(yīng)特性向量，若x0由(1)式給出且，那么對足夠大k，(6)和(7)式（6）和（7）近似精度可依據(jù)需要通過取足夠大k來得到。由（7）式知，每時段最后以近似倍數(shù)增長，因此，擬定了系統(tǒng)最后增長率。同樣由（6）式知，對足夠大k，2個分量之比近似等于p1相應(yīng)分量之比。也就是說，相應(yīng)每6只貓頭鷹，大約有13000只老鼠。第101頁第101頁二次型應(yīng)用第102頁第102頁

工程師、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家經(jīng)常要尋找在一些特定集合內(nèi)x值，使得二次型xTAx取最大值或最小值。含有代表性是，這類問題可化為x是在一組單位向量中變量優(yōu)化問題。下面我們將看到，這類條件優(yōu)化問題有一個有趣且精彩解。我們還是從一個簡樸例子開始我們討論。

例

在下一年度，某縣政府計劃用一筆資金修x百公里公路，修整y百平方公里公園，政府部門必須擬定在兩個項目上如何分派它資金，假如也許話，能夠同時開始兩個項目，而不是僅開始一個項目。假設(shè)x和y必須滿足下面限制條件第103頁第103頁見圖5-12。每個陰影可行集合點(diǎn)(x,y)表示一個也許年度工作計劃，求在限制曲線上點(diǎn)，使資金利用達(dá)到最大。

第104頁第104頁為了制定工作計劃，縣政府需要考慮居民意見，為度量居民分派各類工作計劃(x,y)值或效用，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常利用下面函數(shù)稱之為效用函數(shù)，曲線（c為常數(shù)）稱之為無差別曲線，由于在該曲線上任意點(diǎn)效用值相等?，F(xiàn)制定一個工作計劃，使得效用函數(shù)達(dá)到最大。

解

約束條件方程并沒有描述一個單位向量集，可進(jìn)行變量代換修正這個問題。把約束條件方程變形：

第105頁第105頁令，則約束條件變成，效用函數(shù)變成令，則原問題變?yōu)椋谙拗茥l件下最大值。

二次型矩陣為

A特性值為±10，相應(yīng)特性值10單位特性向量為。因此最大值為10，且在處取得。

第106頁第106頁于是，最優(yōu)工作計劃是修建百公里公路，修整百平方公里公園。最優(yōu)工作計劃是限制曲線和無差別曲線切點(diǎn)，含有更大效用點(diǎn)(x,y)位于和限制曲線不相交無差別曲線上，見圖5-13。

第107頁第107頁

可逆矩陣應(yīng)用第108頁第108頁密碼問題矩陣密碼法是信息編碼與解碼技巧，其中一個是基于利用可逆矩陣辦法。先在26個英文字母與數(shù)字間建立起一一相應(yīng)，比如能夠是

若要發(fā)出信息“SENDMONEY”，使用上述代碼，則此信息編碼是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸是，這種編碼很容易被別人破譯。在一個較長信息編碼中，人們會依據(jù)那個出現(xiàn)頻率最高數(shù)值而猜出它代表是哪個字母，比如上述編碼中出現(xiàn)最多次數(shù)值時5，人們自第109頁第109頁然會想到它代表是字母E，由于統(tǒng)計規(guī)律告訴我們，字母E是英文單詞中出現(xiàn)頻率最高。

我們能夠利用矩陣乘法來對“明文”SENDMONEY進(jìn)行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增長非法用戶破譯難度，而讓合法用戶輕松解密。假如一個矩陣A元素均為整數(shù)，并且其行列式|A|=±1，那么由

即知，A-1元素均為整數(shù)。我們能夠利用這樣矩陣A來對明文加密，使加密之后密文很難破譯。現(xiàn)在取第110頁第110頁明文“SENDMONEY”相應(yīng)9個數(shù)值3列被排成下列矩陣矩陣乘積相應(yīng)著將發(fā)出去密文編碼：43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用戶用A-1去左乘上述矩陣即可解密得到明文。第111頁第111頁為了結(jié)構(gòu)“密鑰”矩陣A，我們能夠從單位陣I開始，有限次地使用