數(shù)字電子技術(shù)CH1

數(shù)字電路基礎(chǔ)1.1數(shù)制與編碼1.2

邏輯函數(shù)與邏輯圖1.3邏輯代數(shù)的基本定律1.4

邏輯函數(shù)的化簡1.1數(shù)制與編碼

進(jìn)位計數(shù)制數(shù)制轉(zhuǎn)換數(shù)值數(shù)據(jù)的表示常用編碼進(jìn)位計數(shù)制1、十進(jìn)制=3

102

+

3101+

3100+310-1

+310-2權(quán)權(quán)權(quán)權(quán)權(quán)特點：1)基數(shù)10，逢十進(jìn)一，即9+1=103)不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值10i。

4)任意一個十進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式(333.33)10位置計數(shù)法按權(quán)展開式(N)10=(Kn-1K1K0.K-1K-m)10

2)有0-9十個數(shù)字符號和小數(shù)點，數(shù)碼Ki從0-9=Kn-110n-1++K1101+K0100+K-110-1++K-m10-m返回數(shù)基表示相對小數(shù)點的位置返回二進(jìn)制任意進(jìn)制1）基數(shù)R，逢R進(jìn)一，3）不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值Ri。4）任意一個R進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式(N)R=(Kn-1K1K0.K-1K-m)2=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m2)有R兩個數(shù)字符號和小數(shù)點，數(shù)碼Ki從0-R-11）基數(shù)2，逢二進(jìn)一，即1+1=103）不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值2i。4）任意一個二進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項式的形式(N)2=(Kn-1K1K0.K-1K-m)2=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1+K-m2-m2)有0-1兩個數(shù)字符號和小數(shù)點，數(shù)碼Ki從0-1常用數(shù)制對照表返回數(shù)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制非十進(jìn)制非十進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制八、十六進(jìn)制八、十六進(jìn)制二進(jìn)制十進(jìn)制與非十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換非十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換返回

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制除2取余法：用目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)（R=2）去除十進(jìn)制數(shù)，第一次相除所得余數(shù)為目的數(shù)的最低位

K0，將所得商再除以基數(shù)，反復(fù)執(zhí)行上述過程，直到商為“0”，所得余數(shù)為目的數(shù)的最高位Kn-1。例：（81）10=（？）2得：（81）10=（1010001）28140201052022222221K00K10K20K31K40K51K61返回小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制乘2取整法：小數(shù)乘以目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)（R=2），第一次相乘結(jié)果的整數(shù)部分為目的數(shù)的最高位K-1，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)依次記下整數(shù)部分，反復(fù)進(jìn)行下去，直到小數(shù)部分為“0”，或滿足要求的精度為止。例：

（0.65）10=(?)2

要求精度為小數(shù)五位。0.652K-110.32K-200.62K-310.22K-400.42K-500.8由此得：(0.65)10=(0.10100)2綜合得：(81.65)10=(1010001.10100)2返回如2-5，只要求到小數(shù)點后第五位十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制、十六進(jìn)制非十進(jìn)制轉(zhuǎn)成十進(jìn)制方法：將相應(yīng)進(jìn)制的數(shù)按權(quán)展成多項式，按十進(jìn)制求和(F8C.B)16=

F×162+8×161+C×160+B×16-1=

3840+128+12+0.6875=3980.6875例：返回返回非十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制與八進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換從小數(shù)點開始，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每三位分為一組，不足三位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的八進(jìn)制碼替代，即得目的數(shù)。例8：11010111.0100111B=?Q

11010111.0100111B=327.234Q11010111.0100111小數(shù)點為界000723234返回非十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制與十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換從小數(shù)點開始，將二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每四位分為一組，不足四位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的十六進(jìn)制碼替代，即得目的數(shù)。例9：

111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.10101小數(shù)點為界00000B3A8X1=+1101101X2=-1101101數(shù)值數(shù)據(jù)的表示一、真值與機器數(shù)數(shù)符（+/-）+尾數(shù)（數(shù)值的絕對值）符號（+/-）數(shù)碼化

最高位：“0”表示“+”“1”表示“-”二、帶符號二進(jìn)制數(shù)的代碼表示1.原碼[X]原：原碼反碼補碼變形補碼尾數(shù)部分的表示形式：最高位：“0”表示“+”“1”表示“-”符號位+尾數(shù)部分（真值）原碼的性質(zhì)：

“0”有兩種表示形式[+00…0]原=000…0而[-00…0]原=100…0數(shù)值范圍：+（2n–1-1）≤[X]原≤-（2n-1-1）如n=8，原碼范圍01111111～11111111，數(shù)值范圍為+127～-127符號位后的尾數(shù)即為真值的數(shù)值返回數(shù)值數(shù)據(jù)的表示2.反碼[X]反：符號位+尾數(shù)部分反碼的性質(zhì)正數(shù)：尾數(shù)部分與真值形式相同負(fù)數(shù)：尾數(shù)為真值數(shù)值部分按位取反

X1=+4X2=-4[X1]反

=00000100[X2]反

=111110113、補碼[X]補：符號位+尾數(shù)部分正數(shù)：尾數(shù)部分與真值同即[X]補=[X]正負(fù)數(shù)：尾數(shù)為真值數(shù)值部分按位取反加1即[X]補=[X]反+

1

“0”有兩種表示形式[+00…0]反=000…0而[-00…0]反=111…1數(shù)值范圍：+（2n–1-1）≤[X]反≤-（2n-1-1）如n=8，反碼范圍01111111～10000000，數(shù)值范圍為+127～-127符號位后的尾數(shù)是否為真值取決于符號位返回補碼的性質(zhì)：數(shù)值數(shù)據(jù)的表示雙符號位：正數(shù)-“00”

負(fù)數(shù)-“11”符號位+尾數(shù)應(yīng)用：兩個符號位（S1S0）都作為數(shù)值一起參與運算，運算結(jié)果的符號如兩個符號位相同，結(jié)果正確；不同則溢出。判斷是否有溢出方法：4、變形補碼[X]變補：例：

已知X1=-1110B，X2=+0110B，求X1+X2=？

[X1]補

=10010-1110B+）[X2]補

=00110+1000B[X1+X2]補=11000-1000B故得[X1+X2]補=11000即X1+X2=-1000B例：已知X1=48，X2=31求X1+X2=？

X1=+48[X1]變補=00110000+）X2=+31+）[X2]變補=00011111X1+X2=+79[X1+X2]變補=01001111

“0”有一種表示形式[+00…0]補=000…0而[-00…0]補=1000…0

數(shù)值范圍：+(2n-1-1）≤[X]補≤-2n-1如n=8，補碼范圍01111111～10000000，數(shù)值范圍為+127～-128

符號位后的尾數(shù)并不表示真值大小

用補碼進(jìn)行運算時，兩數(shù)補碼之和等于兩數(shù)和之補碼，即

[X1]補+[X2]補={X1+X2}補（mod2n）常用編碼自然二進(jìn)制碼格雷碼二—十進(jìn)制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：用一組二進(jìn)制碼按一定規(guī)則排列起來以表示數(shù)字、符號等特定信息。（一）自然二進(jìn)制碼及格雷碼自然二進(jìn)制碼格雷碼2.編碼還具有反射性，因此又可稱其為反射碼。1.任意兩組相鄰碼之間只有一位不同。注：首尾兩個數(shù)碼即最小數(shù)0000和最大數(shù)1000之間也符合此特點，故它可稱為循環(huán)碼返回按自然數(shù)順序排列的二進(jìn)制碼自然二進(jìn)制碼格雷碼二—十進(jìn)制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：（二）二—十進(jìn)制BCD碼

有權(quán)碼用四位二進(jìn)制代碼對十進(jìn)制數(shù)的各個數(shù)碼進(jìn)行編碼。有權(quán)碼表示十進(jìn)制數(shù)：18421BCD（NBCD）碼276.8↓↓↓↓010011101101000例：（276.8）10=（？）NBCD（276.8）10=（0010011101101000）NBCD四位二進(jìn)制數(shù)中的每一位都對應(yīng)有固定的權(quán)常用編碼返回自然二進(jìn)制碼格雷碼二—十進(jìn)制碼奇偶檢驗碼

ASCII碼等。常用的編碼：

無權(quán)碼2.其它有權(quán)碼2421、5421、52111.余3碼余3碼中有效的十組代碼為0011～1100代表十進(jìn)制數(shù)0--92.其它無權(quán)碼字符編碼ASCII碼：七位代碼表示128個字符96個為圖形字符控制字符32個。常用編碼返回1.2邏輯函數(shù)與邏輯圖邏輯變量及基本邏輯運算邏輯函數(shù)及其表示方法

邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則邏輯變量及基本邏輯運算一、邏輯變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)二、基本邏輯運算與運算或運算非運算返回邏輯表達(dá)式F=AB=AB與邏輯真值表與邏輯關(guān)系表與邏輯開關(guān)A開關(guān)B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF邏輯符號只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生與邏輯運算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示邏輯表達(dá)式F=A+

B或邏輯真值表或邏輯ABF1邏輯符號只有決定某一事件的有一個或一個以上具備，這一事件才能發(fā)生ABF101101001110N個輸入：F=A+

B+...+N或邏輯運算符，也有用“∨”、“∪”表示返回返回非邏輯當(dāng)決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，非邏輯真值表邏輯符號AF1AF0110邏輯表達(dá)式F=A

“-”非邏輯運算符三、復(fù)合邏輯運算與非邏輯運算F1=AB或非邏輯運算F2=A+B與或非邏輯運算F3=AB+CD異或運算ABF101101001100邏輯表達(dá)式F=AB=AB+AB

ABF=1邏輯符號ABF101101000011同或運算邏輯表達(dá)式F=AB=AB

ABF=1邏輯符號“”異或邏輯運算符“⊙”同或邏輯運算符返回0V3V工作原理A、B中有一個或一個以上為低電平0V只有A、B全為高電平3V，二極管與門電路0V3V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V返回（四）正邏輯與負(fù)邏輯則輸出F就為低電平0V則輸出F才為高電平3VABFVLVLVLVLVHVL111ABF1001000000ABF01001011111VLVHVHVLVHVH電平關(guān)系正邏輯負(fù)邏輯正與=負(fù)或正或=負(fù)與正與非=負(fù)或非正或非=負(fù)與非正、負(fù)邏輯間關(guān)系邏輯符號等效在一種邏輯符號的所有入、出端同時加上或者去掉小圈，當(dāng)一根線上有兩個小圈，則無需畫圈原來的符號互換（與←→或、同或←→異或）高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示返回（四）正邏輯與負(fù)邏輯（與門）（或門）高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示邏輯函數(shù)及其表示方法一、邏輯函數(shù)用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、...連接起來，所得的表達(dá)式F=f（A、B、C、...）稱為邏輯函數(shù)。二、邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯函數(shù)式

邏輯圖波形圖輸入變量不同取值組合與函數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)系列成表格用邏輯符號來表示函數(shù)式的運算關(guān)系輸入變量輸出變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯態(tài)反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時序圖ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開，F(xiàn)滅0000C合，A、B中有一個合，F(xiàn)亮11C合，A、B均斷，F(xiàn)滅0邏輯函數(shù)式挑出函數(shù)值為1的項1101111101111每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項這些乘積項作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC返回邏輯圖F=ABC+ABC+ABC乘積項用與門實現(xiàn)，和項用或門實現(xiàn)波形圖010011001111返回邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則公理、定律與常用公式公理交換律結(jié)合律分配律0-1律重疊律互補律還原律反演律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)自等律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=AAB=A+BA+B=ABA=A吸收律消因律包含律合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=AA+AB=A+BA(A+B)=ABAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)證明方法利用真值表例：用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=AB返回等式右邊由此可以看出：與或表達(dá)式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的公式可推廣：例：證明包含律成立返回利用基本定律邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則三個基本運算規(guī)則代入規(guī)則：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律基本運算規(guī)則

反演規(guī)則：對于任意一個邏輯函數(shù)式F，做如下處理：若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”

換成“.”;常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注：①保持原函數(shù)的運算次序--先與后或，必要時適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ枹诓粚儆趩蝹€變量上的非號有兩種處理方法非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換

將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變例：F(A,B,C)其反函數(shù)為或返回基本運算規(guī)則

對偶式：對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對偶式F′，也稱對偶函數(shù)

對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。使公式的數(shù)目增加一倍。求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。注：函數(shù)式中有“”和“⊙”運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“”換成“⊙”，“⊙”換成“”。

例：其對偶式返回1.3邏輯函數(shù)的表達(dá)形式函數(shù)表達(dá)式的常用形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式函數(shù)表達(dá)式的常用形式五種常用表達(dá)式F(A、B、C)“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式表達(dá)式形式轉(zhuǎn)換返回利用還原律利用反演律邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項：n個變量有2n個最小項，記作mi3個變量有23（8）個最小項m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）一、最小項和最大項乘積項和項最小項二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號最小項編號i-各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項

最小項的性質(zhì)：同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0。即mimj=0(i≠j)全部最小項之和為1，即任意一組變量取值，只有一個最小項的值為1，其它最小項的值均為0最大項n個變量有2n個最大項，記作in個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的和項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）同一組變量取值任意兩個不同最大項的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項之積為0，即任意一組變量取值，只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1最大項：最大項的性質(zhì)：返回最小項與最大項的關(guān)系相同編號的最小項和最大項存在互補關(guān)系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干個最小項之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)F可用等同個與這些最小項相對應(yīng)的最大項之積表示。

例：m1m3m5m7==返回邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)積之和(最小項）表達(dá)式式中的每一個乘積項均為最小項F(A、B、C、D)例：求函數(shù)F(A、B、C、D)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式解：F(A、B、C、D)利用反演律利用互補律，補上所缺變量CABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，寫出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式

從真值表找出F為1的對應(yīng)最小項解:011331101551110661111771然后將這些項邏輯加F(A、B、C)1.4邏輯函數(shù)的簡化代數(shù)法化簡函數(shù)圖解法化簡函數(shù)

邏輯函數(shù)簡化中的幾個實際問題函數(shù)的簡化依據(jù)

邏輯電路所用門的數(shù)量少

每個門的輸入端個數(shù)少

邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性邏輯函數(shù)的簡化返回最簡式的標(biāo)準(zhǔn)

首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量少

與或表達(dá)式的簡化代數(shù)法化簡函數(shù)與門的輸入端個數(shù)少實現(xiàn)電路的與門少下級或門輸入端個數(shù)少方法：并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B消項：利用A+AB=A消去多余的項AB配項：利用和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項BC消元：利用消去多余變量A代數(shù)法化簡函數(shù)例：試簡化函數(shù)解：利用反演律配項加AB消因律消項AB或與表達(dá)式的簡化F（或與式）求對偶式F（與或式）簡化F（最簡與或式）求對偶式F（最簡或與式）返回圖形法化簡函數(shù)卡諾圖（K圖）圖中的一小格對應(yīng)真值表中的一行，即對應(yīng)一個最小項，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖K圖的特點圖形法化簡函數(shù)

k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)--k圖有2n個小方格，分別對應(yīng)2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個因子不同有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個變量ABDADA1四個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個變量十六個相鄰格圈在一起，結(jié)果mi=1卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則：幾何相鄰的2i（i=1、2、3…n）個小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含（n-i）個變量的積項標(biāo)注該圈。動畫返回圖形法化簡函數(shù)

與或表達(dá)式的簡化步驟先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項對應(yīng)的方格填1，其它填0。合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個圈內(nèi)必須有新的最小項。每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達(dá)式返回根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖1、已知函數(shù)為最小項表達(dá)式，存在的最小項對應(yīng)的格填1，其余格均填0。2、若已知函數(shù)的真值表，將真值