第三章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析3.1信號(hào)分解為正交函數(shù)3.2傅里葉級(jí)數(shù)3.3周期信號(hào)的頻譜3.4非周期信號(hào)的頻譜（傅里葉變換）3.5傅里葉變換的性質(zhì)3.6周期信號(hào)的傅里葉變換3.7LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8

取樣定理本章主要內(nèi)容:變換域分析的基本思想仍為：將信號(hào)分解為基本信號(hào)之和或積分的形式，再求系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，從而求出系統(tǒng)對(duì)給定信號(hào)的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。信號(hào)分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。

為各相應(yīng)方向的正交單位矢量。

它們組成一個(gè)二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中的任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。3.1信號(hào)分解為正交函數(shù)（2）正交函數(shù)集在區(qū)間上的n個(gè)函數(shù)（非零）……,其中任意兩個(gè)均滿足

為常數(shù)，則稱函數(shù)集為區(qū)間

內(nèi)的正交函數(shù)集。（1）正交函數(shù)在區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)

和若滿足條件則函數(shù)與為在區(qū)間的正交函數(shù)。一、正交函數(shù)集（3）完備正交函數(shù)集之外不存在函數(shù)

如果在正交函數(shù)集

滿足等式

，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。

在區(qū)間

內(nèi)組成完備正交函數(shù)集。對(duì)于復(fù)函數(shù):若復(fù)函數(shù)集

在區(qū)間

滿足

，則稱此復(fù)函數(shù)集為正交函數(shù)集。

復(fù)函數(shù)集

在區(qū)間

內(nèi)是完備的正交函數(shù)集。

其中

。二、信號(hào)分解為正交函數(shù)設(shè)有n個(gè)函數(shù)

在區(qū)間

構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)

用這

個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為：

根據(jù)最小均方誤差原則，可推出：

式中：如果分解的項(xiàng)數(shù)越多則誤差愈小。即

，均方誤差

，即

在區(qū)間

內(nèi)分解為無窮多項(xiàng)之和。3.2傅里葉級(jí)數(shù)

將周期信號(hào)

在區(qū)間

內(nèi)展開成完備正交信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號(hào)所展開的無窮級(jí)數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級(jí)數(shù)”或“指數(shù)形傅里葉級(jí)數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。

一、周期信號(hào)的分解設(shè)有一個(gè)周期信號(hào)

，它的周期是

，角頻率

，它可分解為：其中

稱為傅里葉系數(shù)，

。那么,傅里葉系數(shù)如何求得呢?由上式可見，

是

的偶函數(shù)

，

是

的奇函數(shù)，

由于是同頻率項(xiàng),因此可將其合并式中：

則有

可見，

是

的偶函數(shù)，即有

而

是的奇函數(shù)，即有

可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)均可分解為直流分量，一次諧波或基波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同，二次諧波，以此類推，三次，四次等諧波。

……一般而言稱為次諧波，是次諧波的振幅，是其初相角。**結(jié)論：周期信號(hào)可分解為各次諧波分量之和。例3.2-1將下圖中的方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：

它僅含有一、三、五、七....等奇次諧波分量。如下頁圖所示，是用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)來逼近的情況：TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波圖

3.2-3方波的組成（1）所取項(xiàng)愈多，合成波形（除間斷點(diǎn)外）愈接近于原方波信號(hào)。（2）所取項(xiàng)數(shù)愈多，在間斷點(diǎn)附近，尖峰愈靠近間斷點(diǎn)。（3）即使

，在間斷點(diǎn)處尖峰仍不能與之吻合，有

的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。

(吉布斯現(xiàn)象）主體

-----低頻細(xì)節(jié)------高頻若給定的

有某些特點(diǎn)，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零從而式計(jì)算較為簡便。（1）

為偶函數(shù)則有

，波形對(duì)稱于縱坐標(biāo)。

二、奇偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)從而有

（2）

為奇函數(shù)則有

，波形對(duì)稱于原點(diǎn)。進(jìn)而有這時(shí)有實(shí)際上，任意信號(hào)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中**一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)不僅與其波形有關(guān)，而且與原點(diǎn)的選擇有關(guān)。如果

的前半周期波形移動(dòng)

后，與后半周期波形對(duì)稱于橫軸即：

，稱為奇諧函數(shù)。

此時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即

0t-TT-T/2f

(t)T/21-1圖

3.2-6奇諧函數(shù)（3）

為奇諧函數(shù)例3.2-2正弦交流信號(hào)

經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如下圖所示。求它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。（a）全波整流信號(hào)

（b）半波整流信號(hào)解

（1）全波整流信號(hào)圖（a）的全波整流信號(hào)可寫成（其周期

，

為原正弦信號(hào)角頻率

）

由于它是t的偶函數(shù)，故

，

基波角頻率

與信號(hào)角頻率

相等,

并令

，對(duì)上式進(jìn)行變量替換得:可見，它除直流外，僅含有

的偶次諧波。

想一想：本題中若把

f1(t)看成以T/2為周期，則由于它仍是的偶函數(shù)，故

，令

，則

對(duì)上式進(jìn)行變量替換:（2）半波整流信號(hào)圖（b）的半波整流信號(hào)可寫為（其周期

）它的傅里葉級(jí)數(shù)可直接由下式求出本題也可將它分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分：

討論

關(guān)于n的奇偶性。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式將上式第三項(xiàng)中的

用

代換，并考慮到

是

的偶函數(shù)，即

；

是

的奇函數(shù),

則上式可寫為

:如將上式中的

寫成

（

），則上式可以寫成:令復(fù)數(shù)量

，稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為

，相角為

，則得傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式為

復(fù)傅里葉系數(shù)

這就是求指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)

的公式。

任意周期信號(hào)

可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)

之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為

。