第十章軸測圖、透視圖與徒手圖

§1軸測圖

1.1軸測投影的基本概念

軸測投影屬于一種單面平行投影，用軸測投影法繪出的軸測投影圖，雖然在表現(xiàn)力和度量方面不如多面正投影圖，但突出的優(yōu)點(diǎn)是具有較強(qiáng)的直觀性

1．1．1軸測投影的形成

用平行投影法將物體連同確定該物體的直角坐標(biāo)系一起沿不平行于任一坐標(biāo)平面的方向投射到一個(gè)投影面上，所得到的圖形，叫作軸測投影，簡稱軸測圖。空間坐標(biāo)軸OX、OY、OZ在軸測投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1稱為軸測投影軸，簡稱軸測軸投影面P稱為軸測投影面投射線S的方向稱為投射方向1.1.2軸間角與軸向伸縮系數(shù)

軸測軸之間的夾角稱作軸間角

軸測單位長度與空間坐標(biāo)單位長度之比，稱為軸向伸縮系數(shù)

沿O1X1軸的軸向伸縮系數(shù)O1A1/OA＝ｐ沿O1Y1軸的軸向伸縮系數(shù)O1B1/OB＝ｑ沿O1Z1軸的軸向伸縮系數(shù)O1C1/OC＝ｒ1.1.3軸測投影的基本性質(zhì)

１）空間平行兩直線，其投影仍保持平行

２）空間平行于某坐標(biāo)軸的線段，其投影長度等于該坐標(biāo)軸的軸向伸縮系數(shù)與線段長度的乘積

1.1.4軸測投影的種類正軸測投影：投射方向垂直于軸測投影面

斜軸測投影：投射方向傾斜于軸測投影面

（１）正軸測投影

1）正等軸測投影：ｐ＝ｑ＝ｒ

2）正二等軸測投影：ｐ＝ｒ≠ｑ3）正三等軸測投影：ｐ≠ｑ≠ｒ（２）斜軸測投影

1）斜等軸測投影：ｐ＝ｑ＝ｒ2）斜二等軸測投影：ｐ＝ｒ≠ｑ3）斜三等軸測投影：ｐ≠ｑ≠ｒ1．1．5基本作圖方法

已知軸測軸OX、OY、OZ及相應(yīng)的軸向伸縮系數(shù)ｐ、ｑ、ｒ，求作點(diǎn)A（5，7，9）的軸測投影。

1）沿OX截取Oaξ＝5ｐ；2）過aξ作aaξ∥OY，截取aaξ＝7ｑ；3）過a作aA∥OZ，截取aA＝9ｒ。A點(diǎn)即為所求軸測投影三棱錐的正投影圖

三棱錐的軸測投影圖

ｐ＝ｒ＝１，ｑ＝0.5

1.2正等軸測投影的軸向伸縮系數(shù)和軸間角

1．2．1軸向伸縮系數(shù)

在正軸測投影(ｐ＝ｑ＝ｒ)中，無論坐標(biāo)系與軸測投影面的相對(duì)位置如何，而三個(gè)軸向伸縮系數(shù)平方之和總等于２

ｐ２＋ｑ２＋ｒ２＝２

ｐ＝ｑ＝ｒ＝2／3≈0.82

實(shí)際作圖常采用簡化軸向伸縮系數(shù)

簡化系數(shù)ｐ＝ｑ＝ｒ＝１用簡化系數(shù)畫出的正等軸測圖約放大了1／0.82≈1.22倍

用軸向伸縮系數(shù)作圖

用簡化伸縮系數(shù)作圖

1.2.2軸間角

正等測軸測投影的軸間角均為１２０°

1.3平行坐標(biāo)面的圓在正等軸測投影中的投影

在正等軸測投影中，空間坐標(biāo)面對(duì)軸測投影面都是傾斜的，因此，平行坐標(biāo)面的圓，其軸測投影都是橢圓。為了畫出在正等軸測投影中的橢圓，只要知道相應(yīng)的橢圓長短軸方向及長、短軸大小即可。

1.3.1長、短軸的方向

在XOY坐標(biāo)面上的圓E，其直徑CD平行于軸測投影面P，所以CD在P面上的投影ｃ1ｄ1即為橢圓的長軸，因OZ軸垂直于XOY平面，故OZ軸也垂直于直徑CD

推論平行于XOY面的圓，其軸測投影橢圓長軸垂直O(jiān)1Z軸

平行于YOZ面的圓，其軸測投影橢圓長軸垂直O(jiān)1X軸

平行于XOZ面的圓，其軸測投影橢圓長軸垂直O(jiān)1Y軸

1.3.2長、短軸大小

（１）

按軸向伸縮系數(shù)作圖時(shí)長短軸的大小

長軸大小等于圓的直徑D，長軸ｃ1ｄ1＝CD＝D。橢圓的短軸是圓的最大斜度線方向上的直徑的投影，其長度約為0.58D。

（２）按簡化軸向伸縮系數(shù)作圖時(shí)長、短軸的大小

各坐標(biāo)面上的橢圓長軸＝D×1.22，即1.22D；短軸＝0.58D×1.22，即0.71D。

1.3.3正等軸測圖橢圓的共軛軸

對(duì)于正等軸測圖，每個(gè)坐標(biāo)面上的橢圓都有一對(duì)共軛軸，平行于所在平面的軸測軸，其大小若采用簡化系數(shù)作圖，恰好等于圓的直徑D。如圖所示，在XOY面上，ａｂ∥OX，ｃｄ∥OY，ａｂ＝ｃｄ＝Ｄ。在其余兩個(gè)坐標(biāo)面上也可得到相應(yīng)的共軛軸。

1.3.4正等軸測圖中橢圓的近似畫法

１)已知一對(duì)共軛直徑畫橢圓的方法

已知共軛軸AB、CD，分別過A、B、C、D四點(diǎn)，作共軛軸的平行線，得到邊長等于共軛軸的菱形，作菱形的對(duì)角線

分別取菱形兩個(gè)鈍角的頂點(diǎn)為１、２兩點(diǎn)，連接１C及２D并分別交長對(duì)角線于3、4兩點(diǎn)

以１點(diǎn)為圓心，以１C為半徑畫圓弧CB，以２點(diǎn)為圓心，以２D為半徑畫圓弧AD

以3點(diǎn)為圓心，以3C為半徑畫圓弧AC，以4點(diǎn)為圓心，以4D為半徑畫圓弧BD，四段圓弧組成近似的橢圓

已知長、短軸畫正等軸測圖中橢圓的方法

已知：長軸EF，短軸GH，當(dāng)采用簡化系數(shù)作圖時(shí)，長軸EF＝1.22D（D為圓的直徑），短軸GH＝EFtg30°

以橢圓中心為圓心，以長半軸為半徑畫圓，交短軸于O1、O2兩點(diǎn)，以橢圓中心為圓心，以短半軸為半徑畫圓，交長軸于O3、O4兩點(diǎn)，連O1O3、O1O4、O2O3及O2O4

以O(shè)1為圓心，以O(shè)1G為半徑作圓?。保玻設(shè)2為圓心，以O(shè)2H為半徑作圓?。常?，以O(shè)3為圓心，以O(shè)3E為半徑作圓弧１４，以O(shè)1為圓心，以O(shè)4F為半徑作圓?。玻常亩螆A弧組成近似的橢圓

1．4正等軸測圖的畫法

1.4.1平面立體

［例1］畫出如圖所示六棱柱的正等軸測圖

1）畫軸測軸，在Z軸上取六棱柱高度，得頂面中心O1，并畫頂面中心線O1X1及O1Y1

2）在O1X1上截取六邊形對(duì)角長度得A、D兩點(diǎn)，在O1Y1上截取對(duì)邊寬度，得1、2兩點(diǎn)

3）分別過1、2兩點(diǎn)作BC∥EF∥O1X1并使BC＝EF等于六邊形的邊長

4）連接ABCDEF各點(diǎn)，得六棱柱的頂面

5）過頂面各頂點(diǎn)向下畫平行于OZ的各條棱線，使其長度等于六棱柱的高

6）畫出底面，去掉多余線，加深后得到六棱柱的正等軸測圖

［例2］畫出如圖所示物體的正等軸測圖

1.4.2曲面立體

［例１］畫出如圖所示圓錐臺(tái)的正等軸測圖

1）畫軸測軸，采用簡化伸縮系數(shù)作圖，定出上、下底的中心

2）確定共軛軸，畫出上、下底兩個(gè)橢圓，并作兩橢圓的公切線

3）去掉作圖線及不可見線，加深可見輪廓線，即得到圓錐臺(tái)的正等軸測圖

［例２］畫出如圖所示被截切后圓柱的正等軸測圖

1）畫軸測軸，采用簡化伸縮系數(shù)作圖，首先畫成完整的圓柱

2）在圓柱的軸測圖上，定出平面P的位置，得到所截矩形ABCD；

3）按坐標(biāo)關(guān)系定出C、H、K、E、F、G、D各點(diǎn)，光滑連接成部分橢圓

4）去掉作圖線及不可見線，加深可見輪廓線后，即為所求軸測圖

［例3］畫出如圖所示兩相交圓柱的正等軸測圖

1）畫出軸測軸，將兩個(gè)圓柱按正投影圖所給定的相對(duì)位置畫出軸測圖；

2）用輔助面法求作軸測圖上的相貫線，首先在正投影圖中作一系列輔助面，然后在軸測圖上作出相應(yīng)的輔助面，分別得到輔助交線，輔助交線的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)，連接各點(diǎn)即為相貫線；

3）去掉作圖線，加深，完成全圖

［例4］畫出球體的正等軸測圖

球的正等軸測圖是圓。當(dāng)采用簡化系數(shù)時(shí)，正等軸測圖的圓的直徑為1.22D，為了增強(qiáng)立體感，在軸測圖上常畫出平行于坐標(biāo)面的三個(gè)輪廓線圓或以切去一角來表示球體的軸測圖1．5斜軸測投影

用平行斜角投影法得到的軸測投影稱為斜軸測投影

特點(diǎn)軸測投影面P平行于XOZ坐標(biāo)面投影方向不應(yīng)平行于任何坐標(biāo)面凡是平行于XOZ坐標(biāo)面的平面形，其斜軸測投影均反映實(shí)形1.5.1軸間角和軸向伸縮系數(shù)

斜二等軸測投影的伸縮系數(shù)為ｐ＝ｒ＝１，ｑ＝０.５軸間角為：∠ＸＯＺ＝９０°∠ＸＯＹ＝∠ＹＯＺ＝１３５°

1.5.2斜二等軸測投影中平行于坐標(biāo)面的圓的投影

標(biāo)準(zhǔn)斜二等軸測投影采用軸向伸縮系數(shù)分別為ｐ＝ｒ＝１，ｑ＝０.５

水平或側(cè)面橢圓的近似畫法

1.5.3斜二軸測圖的畫法［例１］畫出如圖所示物體的斜二軸測圖。

1）根據(jù)形體的特征在正投影圖上選定坐標(biāo)軸。將具有圓柱體部分的端面選作正面，即使其平行于OXZ坐標(biāo)面；

2）首先按斜二軸測圖的軸間角畫出軸測軸的位置，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系定出圓孔的圓心Ｏ１，并畫出前表面；

3）由O1沿Y軸向后量取O1O2＝1／2板厚，得到圓心O2，畫出與前表面相同的后表面，被遮擋的部分可不畫出。畫半圓柱的輪廓線時(shí)應(yīng)作前后兩個(gè)半圓的公切線

4）畫物體的下半部分，擦去多余線，加深后即為所求斜二軸測圖。

該物體的斜二軸測圖也可畫成下圖的形式

［例２］畫出如圖所示物體的斜二軸測圖。

1）在正投影圖上選定坐標(biāo)軸，將具有大小不等圓的端面選為正面，即使其平行于XOZ坐標(biāo)面；

2）畫斜二軸測圖的軸測軸，根據(jù)坐標(biāo)分別定出每個(gè)端面的圓心位置，如O、O1、O2等

3）按圓心位置，依次畫出圓柱、圓錐及各圓孔

4）擦去多余線，加深后完成全圖

1．6軸測圖畫法舉例與尺寸標(biāo)注

1.6.1組合體軸測圖畫法舉例

［例1］繪制如圖所示組合體的正等軸測圖

1）作形體分析：該組合體由底板和立板堆積而成，左右對(duì)稱。軸測圖上有兩個(gè)方向上的橢圓，且有半橢圓和四分之一圓弧的軸測橢圓弧。

2）選坐標(biāo)軸

3）畫底板和立板的外切長立方體圖，注意保持其相對(duì)位置

4）畫底板上兩個(gè)圓柱孔，作出上表面兩橢圓中心，畫出橢圓

5）畫底板圓角。用半徑R在棱邊上分別截取點(diǎn)a、b、c、d，過且點(diǎn)分別作相應(yīng)棱邊的垂線，其交點(diǎn)O1、O2即是圓弧的圓心。以O(shè)1、O2為圓心過相應(yīng)切點(diǎn)畫弧即為上表面上圓角的軸測圖。自O(shè)1、O2向下畫垂線并在其上截取底板厚度得到下表面圓角的圓心O3、O4，用與上表面相同的半徑畫圓弧，并作出右邊上，下兩圓弧的切線，完成底板圓角的作圖

6）畫立板圓孔。作出前表面上的圓心，畫出橢圓。再畫出后表面上的橢圓。為此，將圓心O5、O6和切點(diǎn)e均沿Y向后移板厚距離得中心O7、O8和切點(diǎn)eˊ，即可畫出橢圓的可見部分

7）畫立板上部的半圓柱

8）完成軸測圖

［例２］繪制如圖所示組合體的正等軸測圖

分析兩視圖可知，該組合體由半圓柱形底板、拱形立板及肋板等組成；拱形板頂部有小圓孔，產(chǎn)生相貫線，拱形板的大圓孔與底板圓柱面也產(chǎn)生相貫線；肋板的斜面與拱形板的圓柱面向切，無相交線。繪制該組合體軸測圖的過程如圖

［例3］繪制如圖所示立體的斜二軸測剖視圖

畫軸測剖視圖的方法有兩種

第一：是先畫立體外形，然后剖切，再擦掉多余的外形輪廓，并在剖面部分畫上剖面線，最后描深

第二：先畫出剖面形狀的軸測圖，然后補(bǔ)全內(nèi)、外輪廓，最后畫剖面線并描深

剖面線的畫法

軸測剖視的正等軸測圖其上有肋板，按不剖繪制

1.5.2軸測圖尺寸注法

軸測圖中標(biāo)注尺寸的基本原則

1）軸測圖中線性尺寸一般應(yīng)沿軸測軸方向標(biāo)注

2）尺寸線必須和所標(biāo)線段平行