多自由度系統(tǒng)振動姓名:何江波學(xué)院:機(jī)械工程學(xué)院郵箱：445875183@2023/2/3教學(xué)內(nèi)容拉格朗日方程多自由系統(tǒng)的無阻尼自由振動2無阻尼自由振動3m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)其中，[m]，[k]分別為質(zhì)量矩陣，剛度矩陣。[k]和[F]為位移向量和力向量。如果考慮阻尼，則還會存在阻尼矩陣[c]，則動力學(xué)方程為：設(shè)系統(tǒng)為n自由度系統(tǒng)，振動方程為：(1)[m]為n*n維質(zhì)量矩陣，[k]為n*n維剛度矩陣，其中[x]

為n維列向量。設(shè)方程的解為(2)[A]為n維列向量。將式(2)帶入式(1)，得:(3)方程（3）為方程（2）的特征（本征）方程，因此線性系統(tǒng)自由振動的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)特征值問題的求解。無阻尼自由振動4通常情況下，[m]和[k]

為正定矩陣。根據(jù)線性代數(shù)理論，將保證以上所有特征值大于或等于零。并且一般情況下，特征值彼此不相等，即所有特征值都是單根，那么對于每一個(gè)特征值都對應(yīng)一個(gè)特征向量。將所有特征值開方，并按大小順序依次排列，可以得到：

ω1,

ω1,

…,

ωn代表了自由振動的固有頻率。由此有結(jié)論，n自由度系統(tǒng)有n個(gè)固有頻率。進(jìn)一步，每個(gè)特征值（每個(gè)固有頻率）對應(yīng)于一個(gè)特征向量，因此有n個(gè)特征向量：這樣，我們得到了n個(gè)特征對每一個(gè)特征對叫做一個(gè)模態(tài)(mode)，ωi稱為第i階模態(tài)頻率(或固有頻率),[A](i)

稱為模態(tài)振型(modalshape)。無阻尼自由振動5無阻尼自由振動6例:求圖示系統(tǒng)的自然頻率。2kmmk2kkx1x2x3求：固有頻率和模態(tài)向量。解：利用拉格讓日方程求出動力學(xué)方程：2kmmk2kkx1x2x3無阻尼自由振動74.3無阻尼自由振動，特征值問題特征方程：解得：

8附加條件(特征方程)：根據(jù)附加條件(特征方程)，可以得到：

設(shè)方程的解為將其帶入振動方程中，可以得到：無阻尼自由振動9第二階模態(tài)有1個(gè)節(jié)點(diǎn)，第三階模態(tài)有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，這由主振型內(nèi)元素符號變號的次數(shù)可以判斷出取A3=1,并且將三個(gè)特征頻率分別帶入，便可以得到與之對應(yīng)的三個(gè)模態(tài)向量：無阻尼自由振動10模態(tài)圖形：1121-11-11第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：第三階模態(tài)：無節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無阻尼自由振動11無阻尼自由振動12將藍(lán)色下劃線兩式相減：對于ωr：轉(zhuǎn)置左乘假設(shè)有兩個(gè)頻率ωr和

ωs

，他們分別對應(yīng)了一個(gè)模態(tài)向量對于ωs：左乘無阻尼自由振動13若時(shí)，則得到：代回轉(zhuǎn)置式，得到：上面兩式表明模態(tài)向量關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交每個(gè)模