提分微課(四)

角平分線問題第四單元三角形提分微課(四)第四單元三角形1當(dāng)題中出現(xiàn)角平分線或易得到角平分線(有對稱或等腰三角形)時,首先考慮利用角平分線定理求解.若另有平行或垂直等條件,則可考慮構(gòu)造等腰三角形或?qū)ΨQ圖形求解.當(dāng)題中出現(xiàn)角平分線或易得到角平分線(有對稱或等腰三角形)2類型一角平分線+邊的垂線雙垂直

如圖T4-1,遇到角平分線上的點到角的一邊的垂線時,一般過該點作另一邊的垂線,構(gòu)造雙垂直求解.圖T4-1類型一角平分線+邊的垂線雙垂直如圖T4-131.如圖T4-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,若CD=3,則點D到AB的距離DE是 (

)A.5 B.4 C.3 D.2圖T4-2C1.如圖T4-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的2.如圖T4-3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,則DE的長是

.

圖T4-32.如圖T4-3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BA人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(1)填空:點B的坐標(biāo)為

;AC的長度為

.

(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖T4-4解:(1)(12,9);15

3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖T4-43.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形如圖T4-5,當(dāng)題目中有垂直于角平分線的線段PA時,通過延長AP交ON于點B,構(gòu)造等腰三角形AOB求解.圖T4-5類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形如104.如圖T4-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,則AE=

.

圖T4-6[答案]4

[解析]延長BD,AC交于點F,如圖.∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.∵AD⊥BD,∠ACB=90°,∠AEC=∠BED,∴∠EAC=∠FBC.又∵AC=BC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF=2BD=4.4.如圖T4-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,圖5.如圖T4-7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于點D,BE⊥AD交AD延長線于點E,連接CE,則△ACE的面積為

.

[答案]5圖T4-75.如圖T4-7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=圖T4-8圖T4-8類型三見角平分線作對稱全等三角形如圖T4-9,若P是∠MON平分線上一點,點A是邊OM上任意一點,可考慮在邊ON上截取OB=OA,連接PB,構(gòu)造△OPB≌△OPA,進(jìn)而將一些線段和角進(jìn)行等量代換,這是常用的解題技巧之一.圖T4-9類型三見角平分線作對稱全等三角形如圖T4-147.如圖T4-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一個動點且不與A,B重合,連接DP交對角線AC于E,連接BE.求證:∠APD=∠CBE.圖T4-10證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE.∴∠APD=∠CBE.7.如圖T4-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一個動點且8.如圖T4-11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求證:AB=AC+CD.圖T4-118.如圖T4-11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠B人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件類型四角平分線+平行線等腰三角形

當(dāng)題中同時出現(xiàn)角平分線和平行線時,注意找等腰三角形.一般地,角平分線、平行線、等腰三角形中任意兩個條件存在,可得第三個條件.如圖T4-12,OP平分∠MON,PQ∥ON,則△OPQ為等腰三角形.圖T4-12類型四角平分線+平行線等腰三角形當(dāng)題189.如圖T4-13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,則∠D的度數(shù)為 (

)A.50° B.60°C.70° D.100°圖T4-13A9.如圖T4-13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=810.在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD.若BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯誤的是 (

)A.BC=2BE

B.∠A=∠EDAC.BC=2AD

D.BD⊥ACC10.在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD11.如圖T4-14,AC是正方形ABCD的對角線,∠DCA的平分線交BA的延長線于點E,若AB=3,則AE=

.

圖T4-1411.如圖T4-14,AC是正方形ABCD的對角線,∠DCA12.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點E,DF平分∠ADC交邊BC于點F,若AD=11,EF=5,則AB=

.

12.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點E,DF平[答案]8或3[解析]①如圖①,在?ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于點F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可證AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.圖①[答案]8或3圖①②如圖②,在?ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案為8或3.圖②②如圖②,在?ABCD中,圖②13.如圖T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,過D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,則DE=

.

圖T4-1513.如圖T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥14.如圖T4-16,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于點E,DF∥BC交AC于點F.求證:四邊形DECF是菱形.圖T4-16證明:如圖,∵DE∥AC,DF∥BC,∴四邊形DECF為平行四邊形,∠2=∠3.又∵CD平分∠ACB交AB于點D,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴DE=EC,∴四邊形DECF為菱形.14.如圖T4-16,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于15.如圖T4-17,在△ABC中,AB>AC,E為BC邊的中點,AD為∠BAC的平分線,過E作AD的平行線,交AB于F,交CA的延長線于點G.求證:BF=AC+AF.圖T4-1715.如圖T4-17,在△ABC中,AB>AC,E為BC邊的人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件類型五角平分線+角平分線三角形內(nèi)心圖T4-18類型五角平分線+角平分線三角形內(nèi)心圖T42916.如圖T4-19所示,△ABC的三邊AB,BC,CA的長分別是20,30,40,三條角平分線將△ABC分為三個三角形,則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=

.

圖T4-192∶3∶416.如圖T4-19所示,△ABC的三邊AB,BC,CA的長17.如圖T4-20所示,已知△ABC的周長是18cm,BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,若△ABC的面積為45cm2,則OD=

;若∠BOC=110°,則∠A=

°.

圖T4-2017.5cm4017.如圖T4-20所示,已知△ABC的周長是18cm,B圖T4-21圖T4-21[答案]C[答案]C提分微課(四)

角平分線問題第四單元三角形提分微課(四)第四單元三角形34當(dāng)題中出現(xiàn)角平分線或易得到角平分線(有對稱或等腰三角形)時,首先考慮利用角平分線定理求解.若另有平行或垂直等條件,則可考慮構(gòu)造等腰三角形或?qū)ΨQ圖形求解.當(dāng)題中出現(xiàn)角平分線或易得到角平分線(有對稱或等腰三角形)35類型一角平分線+邊的垂線雙垂直

如圖T4-1,遇到角平分線上的點到角的一邊的垂線時,一般過該點作另一邊的垂線,構(gòu)造雙垂直求解.圖T4-1類型一角平分線+邊的垂線雙垂直如圖T4-1361.如圖T4-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,若CD=3,則點D到AB的距離DE是 (

)A.5 B.4 C.3 D.2圖T4-2C1.如圖T4-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的2.如圖T4-3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,則DE的長是

.

圖T4-32.如圖T4-3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BA人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(1)填空:點B的坐標(biāo)為

;AC的長度為

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(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖T4-4解:(1)(12,9);15

3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在3.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y軸的正半軸上,OA=12,OC=9,連接AC.(2)若CD平分∠ACO,交x軸于點D,求直線CD的函數(shù)表達(dá)式.圖T4-43.如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A在人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形如圖T4-5,當(dāng)題目中有垂直于角平分線的線段PA時,通過延長AP交ON于點B,構(gòu)造等腰三角形AOB求解.圖T4-5類型二角平分線+角平分線的垂線等腰三角形如434.如圖T4-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,則AE=

.

圖T4-6[答案]4

[解析]延長BD,AC交于點F,如圖.∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.∵AD⊥BD,∠ACB=90°,∠AEC=∠BED,∴∠EAC=∠FBC.又∵AC=BC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF=2BD=4.4.如圖T4-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,圖5.如圖T4-7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于點D,BE⊥AD交AD延長線于點E,連接CE,則△ACE的面積為

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[答案]5圖T4-75.如圖T4-7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=圖T4-8圖T4-8類型三見角平分線作對稱全等三角形如圖T4-9,若P是∠MON平分線上一點,點A是邊OM上任意一點,可考慮在邊ON上截取OB=OA,連接PB,構(gòu)造△OPB≌△OPA,進(jìn)而將一些線段和角進(jìn)行等量代換,這是常用的解題技巧之一.圖T4-9類型三見角平分線作對稱全等三角形如圖T4-477.如圖T4-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一個動點且不與A,B重合,連接DP交對角線AC于E,連接BE.求證:∠APD=∠CBE.圖T4-10證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE.∴∠APD=∠CBE.7.如圖T4-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一個動點且8.如圖T4-11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求證:AB=AC+CD.圖T4-118.如圖T4-11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠B人教中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點角平分線問題課件類型四角平分線+平行線等腰三角形

當(dāng)題中同時出現(xiàn)角平分線和平行線時,注意找等腰三角形.一般地,角平分線、平行線、等腰三角形中任意兩個條件存在,可得第三個條件.如圖T4-12,OP平分∠MON,PQ∥ON,則△OPQ為等腰三角形.圖T4-12類型四角平分線+平行線等腰三角形當(dāng)題519.如圖T4-13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,則∠D的度數(shù)為 (

)A.50° B.60°C.70° D.100°圖T4-13A9.如圖T4-13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=810.在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD.若BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯誤的是 (

)A.BC=2BE

B.∠A=∠EDAC.BC=2AD

D.BD⊥ACC10.在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD11.如圖T4-14,AC是正方形ABCD的對角線,∠DCA的平分線交BA的延長線于點E,若AB=3,則AE=

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圖T4-1411.如圖T4-14,AC是正方形ABCD的對角線,∠DCA12.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點E,DF平分∠ADC交邊BC于點F,若AD=11,EF=5,則AB=

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12.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點E,DF平[答案]8或3[解析]①如圖①,在?ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于點F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可證AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.圖①[答案]8或3圖①②如圖②,在?ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案為8或3.圖②②如圖②,在?ABCD中,圖②13.如圖T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,過D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,則DE=

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圖T4-1513.如圖T4-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥14.如圖T4-16,在△ABC中,CD平分