1、2022/10/12空間有限元分析-軸對稱1第4章 空間問題有限元分析空間軸對稱問題曹國華主要內(nèi)容 4.1位移模式 4.2幾何方程 4.3單元剛度 4.4等效載荷2022/10/123空間有限元分析-軸對稱1、研究對象 當(dāng)彈性體的幾何形狀，約束情況，以及所受的外力都軸對稱于某一軸，則這種彈性體的應(yīng)力分析問題稱為軸對稱應(yīng)力分析問題，在工程中如 。2、與平面問題的差異 軸對稱問題采用極座標(biāo) r , , z 雖然物體上任一點用三個座標(biāo) r, ，z 描述，但物體中無論應(yīng)力、位移 都與無關(guān)，所以它只是r, z的函數(shù)?；钊瑝毫θ萜鞯?2022/10/124空間有限元分析-軸對稱 在用有限元法求解軸對稱問

2、題時，采用的單元一般為整圓環(huán)，如右圖所示。它們和子午面rz面相交的截面，可以是直邊三角形或矩形，也可以是任意四邊形、曲邊三角形、曲邊四邊形等。各個單元之間以圓環(huán)形的鉸相互連接，而每一個鉸與子午面rz面的交點就稱為節(jié)點。如圖上的i、j、m等。所有單元將在子午面rz面上形成有限元網(wǎng)格，與在平面問題中形成的網(wǎng)格一樣。因為在軸對稱問題中采用的單元是一個整圓環(huán)，所以在計算單元的體積時要注意到這一點。下面以三角形截面單元為例，說明如何求解軸對稱問題。2022/10/125空間有限元分析-軸對稱位移模式 如圖所示子午面rz面上的一個三角形單元，設(shè)單元上任一點的徑向位移（沿r向位移）分量為 ，軸向位移（沿z向

3、位移）為量為 。由于這兩個位移分量僅是r和z的函數(shù)，故令 與平面問題一樣，可將位移用形函數(shù)及節(jié)點位移表示為2022/10/126空間有限元分析-軸對稱位移模式即式中： 二階單位矩陣； 、 、 形函數(shù)矩陣，如下 （i、j、m 輪換）式中,2022/10/127空間有限元分析-軸對稱位移模式 幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程 過任一點 作兩個沿正標(biāo)向的微分線段:幾何方程與物理方程2022/10/128空間有限元分析-軸對稱1.只有徑向位移 ，求形變。P, A, B變形后為 ， 各點的位移如下圖所示。幾何方程與物理方程2022/10/129空間有限元

4、分析-軸對稱PA線應(yīng)變在小變形假定 下，幾何方程與物理方程2022/10/1210空間有限元分析-軸對稱所以切應(yīng)變?yōu)閹缀畏匠膛c物理方程2022/10/1211空間有限元分析-軸對稱2. 只有環(huán)向位移 ,求形變。P, A, B變形后為 ，各點的位移如下圖所示。幾何方程與物理方程2022/10/1212空間有限元分析-軸對稱幾何方程與物理方程2022/10/1213空間有限元分析-軸對稱切應(yīng)變?yōu)閹缀畏匠膛c物理方程2022/10/1214空間有限元分析-軸對稱 3.當(dāng) 和 同時存在時，幾何方程為幾何方程與物理方程2022/10/1215空間有限元分析-軸對稱 4.當(dāng)軸對稱時，幾何方程（空間）為幾何方

5、程2022/10/1216空間有限元分析-軸對稱 極坐標(biāo)中的物理方程 直角坐標(biāo)中的物理方程是代數(shù)方程，且 x 與 y 為正交； 因此，物理方程在形式上相似。 極坐標(biāo)中的物理方程也是代數(shù)方程,且與 為正交；物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程： 對于平面應(yīng)變問題，只須作如下變換：物理方程 由彈性力學(xué)知，軸對稱問題中除平面內(nèi)的應(yīng)變分量 外，還有環(huán)向應(yīng)變 。 因此，其幾何方程為 將位移代入上式，得2022/10/1219空間有限元分析-軸對稱單元剛度引入則注：應(yīng)變矩陣 中的元素不全是常量，因此單元內(nèi)的應(yīng)變也不是常量，這是因為軸對稱問題中采用的單元是圓環(huán)，徑向的位移 必引起環(huán)向應(yīng)變 ，而此應(yīng)變的大小與點的位

6、置有關(guān)。另外，由于 中含有 項，使單元的應(yīng)變、應(yīng)力及單元剛度矩陣的計算比平面問題復(fù)雜得多。2022/10/1220空間有限元分析-軸對稱單元剛度 （i、j、m 輪換）根據(jù)彈性力學(xué)可知 ，對于軸對稱問題，有2022/10/1221空間有限元分析-軸對稱單元剛度 根據(jù)虛功原理或用最小位能原理，可以和平面問題一樣推得其單元剛度矩陣的表達(dá)式為 ，在軸對稱問題中，由于單元是一圓環(huán)，上述積分式中的微分體積 可取為微分圓環(huán)的體積，即 ，故單元剛度矩陣為2022/10/1222空間有限元分析-軸對稱 與平面問題一樣，單元剛度矩陣 是一個6 x 6 階的方陣，矩陣 可分成三塊，故 也可分成3 x 3個子矩陣，每

7、個子矩陣為2 x 2 階的方陣，其表達(dá)式為單元剛度 因為矩陣 與坐標(biāo)有關(guān)，且坐標(biāo) r 處于分母上，因此積分不像平面問題中那么簡單，常采用三種辦法進(jìn)行計算：1、顯式積分；2、數(shù)值積分；3、簡單的近似積分。一般采用第3種簡單的積分，它不僅在程序上簡單，而且還回避了節(jié)點在極軸上時帶來的奇異問題。實踐證明，在精度方面它并不比精確的積分公式法差。 具體做法是取節(jié)點坐標(biāo)平均值，即單元中心坐標(biāo)2022/10/1223空間有限元分析-軸對稱單元剛度若點落在對稱軸上，r =?并取在剛度矩陣中以 代替 ，以 代替 可得 這樣就使得單元剛度矩陣中的被積函數(shù)化為常數(shù)，然后積分即可求得 ，具體表達(dá)式這里不再給出。202

8、2/10/1224空間有限元分析-軸對稱單元剛度 常數(shù) 仍以 r 和 z 的平均值代替 r , z, 則得到一個近似的剛度矩陣Kste單元剛度2022/10/1225空間有限元分析-軸對稱展開后得下式(s=i, j, m； t=i , j , m)根據(jù)所得的單元剛度矩陣 Ke 可得到整體剛度矩陣K=Ke單元剛度2022/10/1226空間有限元分析-軸對稱其中， 與平面問題一樣，無論使用虛功原理或最小位能原理可以得到相同的載荷移置公式，其形式與平面問題相似。 2022/10/1227空間有限元分析-軸對稱等效載荷計算軸對稱問題的等效節(jié)點載荷與平面問題的有所不同，因為周對稱結(jié)構(gòu)的子午面上的一個節(jié)

9、點是關(guān)于對稱軸中心對稱的圓環(huán)，故當(dāng)計算集中力、表面力和體積力時，應(yīng)在整個環(huán)上積分。2022/10/1228空間有限元分析-軸對稱等效載荷1、集中力移置- 集中力作用點的徑向坐標(biāo)。集中力為2022/10/1229空間有限元分析-軸對稱等效載荷2、體積力移置 若體積力為重，則單位體積的力為為密度單元自重移置到節(jié)點 i，j，m 上的等效節(jié)點載荷為 (i，j，m) 如果單元離開對稱軸較遠(yuǎn)（ ）可認(rèn)為將 1/3 的自重移置到每個節(jié)點上。 面積坐標(biāo)積分式（在三角形全面積上）面積坐標(biāo)積分式（在三角形單元邊i-j上）2022/10/1230空間有限元分析-軸對稱等效載荷2、體積力移置 若體積力為重，則單位體積的力為為密度面積坐標(biāo)積分式（在三角形全面積上）面積坐標(biāo)積分式（在三角形單元邊i-j上） 設(shè)單元的分布面力為 ，則其對應(yīng)的等效節(jié)點載荷為2022/10/1231空間有限元